1.1 练习1 空间向量及其线性运算 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量线性运算，分层设计覆盖基础概念到实际应用，通过概念辨析、推理运算、情境建模三阶巩固知识，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|单位向量、共线共面判定|单选为主，强化概念辨析与基础运算| |中档层（6-12题）|空间几何体向量表示、共面条件|填空+多选，综合应用与逻辑推理| |提升层（13-16题）|向量化简证明、实际情境应用|解答题为主，融入光岳楼等真实情境，发展建模能力|

1.1 练习1　空间向量及其线性运算 1. 下列命题中，正确的是( 　) A. 同一条直线上的单位向量都相等 B. 只有零向量的模等于0 C. 在空间四边形ABCD中，与是相反向量 D. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个 2. 若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( 　) A. m，n，p共线 B. m与p共线 C. n与p共线 D. m，n，p共面 3. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( 　) A. ＝0 B. ＝0 C. ＝0 D. ＝0 4. A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点( 　) A. 不共面 B. 共面 C. 不一定共面 D. 无法判断 5. 已知a，b，c不共面，e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则实数t的值为( 　) A. 3 B. 1 C. －3 D. －3或3 6. 如图所示，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，则等于( 　) A. B. C. D. 7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有764，那么点M必( 　) A. 在平面BAD1内 B. 在平面BA1D内 C. 在平面BA1D1内 D. 在平面AB1C1内 8. (多选)下列命题中，为真命题的是( 　) A. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D. 空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 9. (多选)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则( 　) A. B. C. D. ()＝ 10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 (填“平行”“相等”或“相反”).  11. 已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，且与A，B，P三点不共线，β，则实数β＝ .  12. 已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点.若t，且A，B，C，P四点共面，则t＝ .  13. 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简： (1)； (2)，并标出以上化简结果的向量. 14. 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝xyz，求x＋y＋z的值. 15. (2024·烟台一中检测)光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上底面边长与下底面边长之比约为，则＝ 　.  16. (2024·义乌中学检测)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 练习1　空间向量及其线性运算 1. 下列命题中，正确的是(　B　) A. 同一条直线上的单位向量都相等 B. 只有零向量的模等于0 C. 在空间四边形ABCD中，与是相反向量 D. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个 【解析】 A错误，同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；B正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；C错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；D错误，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，一共有5个. 2. 若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　D　) A. m，n，p共线 B. m与p共线 C. n与p共线 D. m，n，p共面 【解析】 ∵(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，∴p＝mn.又m与n不共线，∴m，n，p共面. 3. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(　A　) A. ＝0 B. ＝0 C. ＝0 D. ＝0 【解析】 由题图观察，平移后可以首尾相接，故有＝0. 4. A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点(　B　) A. 不共面 B. 共面 C. 不一定共面 D. 无法判断 【解析】 ∵＝1，∴P，A，B，C四点共面. 5. 已知a，b，c不共面，e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则实数t的值为(　A　) A. 3 B. 1 C. －3 D. －3或3 【解析】 e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则有e＝λd，即解得则t的值为3. 6. 如图所示，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，则等于(　D　) A. B. C. D. 【解析】 ∵N为BC的中点，∴().又，∴()，∴()，∴(). 7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有764，那么点M必(　C　) A. 在平面BAD1内 B. 在平面BA1D内 C. 在平面BA1D1内 D. 在平面AB1C1内 【解析】 ∵764 ＝664 ＝64 ＝64 ＝6()－4() ＝1164，且11＋(－6)＋(－4)＝1，∴M，B，A1，D1四点共面，即点M必在平面BA1D1内. 8. (多选)下列命题中，为真命题的是(　BC　) A. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D. 空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 【解析】 对于A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a，b的方向不一定相同，A为假命题；对于B，与的方向相同，模也相等，则，B为真命题，对于C，向量的相等满足传递性，C为真命题；对于D，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行，D为假命题. 9. (多选)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则(　ACD　) A. B. C. D. ()＝ 【解析】 ∵E，F分别为BC，CD的中点，∴由中位线性质可知，A正确；若，则，由图可知不共线，矛盾，B错误；∵，C正确；∵()＝×2，D正确. 10. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是　平行　(填“平行”“相等”或“相反”).  【解析】 设G是AC的中点，连接EG，FG，则()，∴2，从而与的关系是平行. 11. 已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，且与A，B，P三点不共线，β，则实数β＝ 　.  【解析】 ∵A，B，P三点共线，∴＝λ，即＝λ()，＝(1－λ)λ.又β，∴解得β＝. 12. 已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点.若t，且A，B，C，P四点共面，则t＝ 　.  【解析】 ∵A，B，C，P四点共面，∴＝xyz，且x＋y＋z＝1，又t，即t，即t，∴t＝1，解得t＝. 13. 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简： (1)； (2)，并标出以上化简结果的向量. 解： (1). (2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.∴，∴. 故所求向量如图所示. 14. 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； 证明： ∵＝()＋()＝，∴A，E，C1，F四点共面. (2)若＝xyz，求x＋y＋z的值. 解： ∵()＝， ∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝. 15. (2024·烟台一中检测)光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上底面边长与下底面边长之比约为，则＝ 　.  【解析】 延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则，且，∴. 16. (2024·义乌中学检测)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值. 解： 连接BD，BG(图略). ∵，∴. ∵，∴.∵，∴，∴()＝. 又，∴. ∵＝m，∴＝m. ∵， ∴. 又G，B，P，D四点共面，∴1＝0，得m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $