精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷高二数学（A卷）

青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷 高 二 数 学（A卷） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词的否定为全称量词命题. 【详解】命题“，使”的否定是： ，使. 故选：C 2. 设集合，，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再通过补集运算得到，最后通过交集运算算出答案 【详解】解：因为或， 所以， 所以， 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据充分不必要条件的要求分别判断即可. 【详解】由，可得，即，解得或. 由可得，故“”是“”的充分条件； 而由推不出，如满足，但不满足，即“”不是“”的必要条件. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】解：因为，所以，所以，故A选项一定成立； 取，，可判断B选项不一定成立； 取，，可判断C选项不一定成立； 取，则，可判断D选项不一定成立； 故选：A. 5. 年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给数据，及参考公式，求线性回归方程即可. 【详解】由题中的数据可知 所以 所以 所以y关于x的线性回归方程为 故选：D 6. 若，则（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】令求出，再根据二项式定理求解即可. 【详解】二项式展开式中的系数为. 因此中的系数为. 令，则， 进而. 7. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 40种 B. 120种 C. 200种 D. 240种 【答案】D 【解析】 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 8. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 若，两组数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C. 决定系数越大，模型的拟合效果越好 D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由相关系数的含义可判断A；由残差的散点图的性质可判断B；决定系数越大，模型的拟合效果越好可判断C；由古典概率可判断D. 【详解】对于A，若，两组数据的样本相关系数分别为，， 且，则组数据比组数据的相关性较弱，故A错误； 对于B，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验， 恰好抽到一件次品的概率是，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. ab的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，应用基本不等式及指数运算性质求、的最小值，由，则，代入求最小值，即可得. 【详解】A：由，当且仅当取等号，对； B：由，则，当且仅当时取等号，错； C：由，当且仅当时取等号，对； D：由，则，故，错. 故选：AC 11. 已知，下列正确的是（ ） A. 当时，的值域为 B. 当时，有2个零点 C. 若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 D. 过点可作的两条切线，则a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数得出函数值域判断A，利用导数求出函数最大值，由最大值为负判断B，根据函数有两个极值点转化为导数有两个不等实根，利用导数分析即可判断C，求出切线方程，转化为方程有两个不等根，利用导数及分类讨论求解判断D. 【详解】当时，，，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以且时，，所以的值域为，故A正确； 当时，，由可得 ，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即无零点，故B错误； ，由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，上单调递减，， 且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根，所以函数有两个极点时，的取值范围是，故C正确； 由，设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，切线方程为， 而点在切线上，则，即有，由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，令， 则函数有2个零点，求导得， ①若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值， 又， 当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ②若，恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； ③若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又， 显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ④若，显然，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，要函数有2个零点，必有，得， 当时，， 而函数在上的值域为，因此在上的值域为，当时，令，求导得，函数在上单调递减，则，， 而函数在上单调递减，值域为，因此函数在上的值域为，于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题3题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12. 若关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程关系求参数值，即可得. 【详解】由题设，方程两根为1和4，则，得， 所以. 故答案为： 13. 随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正态分布的对称性得到满足的条件，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为，且正实数，满足， 所以，即. 所以 （当且仅当即，时取等号）. 所以的最小值为. 14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，都有， 所以，即， 所以在上单调递增， 又， 所以对所有恒成立， 所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 （2）认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关 【解析】 【分析】（1）利用分类统计，即可得到二阶列联表； （2）利用独立性检验的计算步骤即可求解. 【小问1详解】 设喜爱该档节目的男性观众数为x，则喜爱该档节目的女性观众数为，不喜爱该档节目的女性观众数为， 则，得． 故列联表完成如下． 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 【小问2详解】零假设为：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 根据（1）中列联表的数据，计算得到． 根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 16. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）请在图中画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数. 【答案】（1） 单调递增区间为，，单调递减区间为，极小值为0，极大值为；  （2）图像见解析. （3）答案见详解   【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据符号判断函数的单调性，并求解极值. （2）根据（1）的单调性以及极值点画出大致图像即可. （3）根据（2）的图像，讨论的取值，分析方程的解的个数. 【小问1详解】 函数定义域为，. 由于恒成立，令，解得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此极大值，极小值. 【小问2详解】 【小问3详解】 结合函数图像分类讨论： 当时，解的个数为. 当或​时，解的个数为； 当时，解的个数为3. 当​时，解的个数为. 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 【答案】（1） （2） 的分布列为 0 1 2 数学期望为 （3） 的分布列为 0 1 2 3 方差为 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解； （2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数， 服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望； （3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率， 服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差. 【小问1详解】 依题意，得 ，解得 ． 【小问2详解】 依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以 的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 所以，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）两个零点 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【小问1详解】 因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． 【小问3详解】 因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 19. 甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． （1）求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； （2）在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； （3）记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】(1)设事件表示甲队第局获胜，那么前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率有两种情况： 和 ，使用独立与互斥事件概率计算公式计算即可； (2)利用全概率公式计算出甲获得比赛胜利，再使用条件概率计算公式计算甲获得比赛胜利的条件下，甲在第3局获胜的概率； （3）由于采取5局3胜制，的所有可能取值为，，，使用独立与互斥事件概率计算公式计算出所有可能取值的概率. 【小问1详解】 设事件表示甲队第局获胜， 则前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率为 ． 【小问2详解】 设事件为甲获得本场比赛的胜利， 则， ， 故． 【小问3详解】 根据题意得的所有可能取值为，，， 其中， ， ， 则的分布列为 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷 高 二 数 学（A卷） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 2. 设集合，，，则（       ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. 0 C. D. 4 7. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 40种 B. 120种 C. 200种 D. 240种 8. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 若，两组数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C. 决定系数越大，模型的拟合效果越好 D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 10. 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. ab的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知，下列正确的是（ ） A. 当时，的值域为 B. 当时，有2个零点 C. 若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 D. 过点可作的两条切线，则a的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题3题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12. 若关于的不等式的解集为，则的值为__________． 13. 随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）请在图中画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数. 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 19. 甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． （1）求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； （2）在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； （3）记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $