精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

青铜峡市宁朔中学2023-2024学年第二学期 高二年级数学期末测 试卷时间：2024.7 出卷人：叶正龙 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. a≥9 B. a≤9 C. a≥10 D. a≤10 3. 若正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 数列，满足，，则的前100项之和等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知 则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）服从正态分布，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（ ） 附：若，则， A. 8718件 B. 8772件 C. 8128件 D. 8186件 8. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是． A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知X的分布列为 X 0 1 2 P a 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 90 95 100 105 110 销售量 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法不正确的有（ ） A. 变量与负相关且相关性较强 B. C. 当时，的估计值为13 D. 相应于点的残差为 11. 已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 当且仅当时，取得最大值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用这10个数字，可以组成_______个没有重复数字的三位数. 13. 在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率为_____. 14. 已知随机变量，当取最大值时，________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知递增的等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 某种产品2014年到2018年的年投资额x（万元）与年利润y（万元）的数据统计如下，由散点图知，y与x之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年投资金额（万元） 1 2 3 4 5 年利润（万元） 2.4 2.7 6.4 7.9 （1）求表中实数的值； （2）求关于的线性回归方程． 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为或． 17. 某城市地铁将于2022年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下： 月收入（单 位：百元） 赞成定价 者人数 1 2 3 5 3 4 认为价格 偏高者人数 4 8 12 5 2 1 （1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少（所有计算结果四舍五入保留整数）； （2）由以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”． 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图如图． （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的份布列和数学期望； （3）从流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列和方差． 19. 已知函数（，为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2023-2024学年第二学期 高二年级数学期末测 试卷时间：2024.7 出卷人：叶正龙 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A，再求. 【详解】集合. 又，所以. 故选：A 2. 命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. a≥9 B. a≤9 C. a≥10 D. a≤10 【答案】C 【解析】 【分析】先把“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题转化为a≥9，再用集合法求解. 【详解】命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a. 从集合的包含关系可以判断， a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件． 故选：C. 【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； (2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； (3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； (4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含． 3. 若正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解. 【详解】因为正数满足， 所以. 所以, 当且仅当，即时，取等号， 当时，取得的最小值为. 故选：A. 4. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较大小，易得为增函数，利用对数函数的单调性比较，，大小即可 【详解】函数的定义域为，且是增函数， 因为，所以，即． 故选：D． 5. 数列，满足，，则的前100项之和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用裂项相消法求和. 【详解】∵, ∴， ∴, 故选：B． 6. 已知 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理分别求出，再求和得解. 【详解】显然， 在的展开式中，，， 所以. 故选：C 7. 已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）服从正态分布，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（ ） 附：若，则， A. 8718件 B. 8772件 C. 8128件 D. 8186件 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布模型，计算对应的概率值，从而求得所需的概率，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 则质量在（82,98）内的概率， 质量在（74,106）内的概率， 所以质量在（82，106）内的概率 ， 所以质量在区间（82，106）内的产品估计有件， 故选：D 【点睛】本题考查正态分布中原则的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 8. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可得函数单调性、极值与最值，解不等式即可得答案. 【详解】由题意得， 令得；令得或， 由此得函数在上是减函数，在上是增函数， 故函数在处取到极小值-2， 判断知此极小值必是区间上的最小值， 所以，解得； 又当时，，故有， 综上知实数的取值范围是， 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知X的分布列为 X 0 1 2 P a 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由分布列的性质，可相应的概率和均值. 【详解】由随机变量分布列的性质可知，即，∴，故A正确； ，故B正确； ，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD 10. 2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 90 95 100 105 110 销售量 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法不正确的有（ ） A. 变量与负相关且相关性较强 B. C. 当时，的估计值为13 D. 相应于点的残差为 【答案】C 【解析】 【分析】由回归直线可得变量线性负相关，且由相关系数，可知相关性强，判断A，计算样本中心点坐标，计算求得，判断B;将代入线性回归直线求得的估计值，判断C;求出相应于点的残差即可判断D. 【详解】对于A，由回归直线可得变量 线性负相关，且由相关系数，可知相关性强，故A正确， 对于B，由表中数据可得，﹐ ，故回归直线恒过点 ， 故 ，解得，故B正确， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，相应于点的残差为，故D正确． 故选：C. 11. 已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 当且仅当时，取得最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】 先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，， 所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前项和的最值问题，是中档题. 等差数列前项和的最值得求解常见一下两种情况： （1）当时，有最大值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定； （2）当时，有最小值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用这10个数字，可以组成_______个没有重复数字的三位数. 【答案】648 【解析】 【分析】先考虑百位，然后考虑十位和个位，由此计算出正确答案. 【详解】先考虑百位，有种方法； 然后考虑十位和个位，有种方法； 故没有重复数字的三位数有个. 故答案为： 13. 在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率计算公式求解答案. 【详解】设事件A为：第一次抽到男生，事件B为：第二次抽到女生 则事件AB为：第一次抽到男生，第二次抽到女生； 根据题意 所以在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率为： 故答案为：. 14. 已知随机变量，当取最大值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布数学期望、方差的计算公式先列出，然后构造函数，利用导数求解最大值及取得最值时的值. 【详解】因为，所以，， 故， 设函数，则， 令得，或（舍）， 故当时，， 当，， 所以在上递增，上递减，故在处取最大值， 其最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项分布的数学期望、方差的运算，考查利用导数分析函数的最值，难度一般. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知递增的等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解首项和公比即可， （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等比数列公比为， 由题意有，解得， 所以． 【小问2详解】 ， 所以， ， ． 16. 某种产品2014年到2018年的年投资额x（万元）与年利润y（万元）的数据统计如下，由散点图知，y与x之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年投资金额（万元） 1 2 3 4 5 年利润（万元） 2.4 2.7 6.4 7.9 （1）求表中实数的值； （2）求关于的线性回归方程． 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为或． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由5年利润的平均值是4.7结合平均数公式求得值. （2）由已知数据求得和的值，即可得到线性回归方程． 【小问1详解】 依题意，，解得. 【小问2详解】 依题意，，， ， ， 因此，则， 所以所求线性回归方程为． 17. 某城市地铁将于2022年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下： 月收入（单 位：百元） 赞成定价 者人数 1 2 3 5 3 4 认为价格 偏高者人数 4 8 12 5 2 1 （1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少（所有计算结果四舍五入保留整数）； （2）由以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”． 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 附：． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）12（百元） （2）填表见解析；可以认为“月收入以百元为分界点对地铁定价的态度没有差异” 【解析】 【分析】（1）利用组中值，计算月平均收入，即可得出结论； （2）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算的值，根据临界值表，即可得到结论． 【小问1详解】 ． “认为价格偏高者”的月平均收入为 ， “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是百元． 【小问2详解】 根据条件可得列联表如下： 月收入不低于百元人数 月收入低于百元人数 合计 认为价格偏高者 赞成定价者 合计 零假设为月收入以百元为分界点对地铁定价的态度无差异． ． 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为“月收入以百元为分界点对地铁定价的态度没有差异”． 18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图如图． （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的份布列和数学期望； （3）从流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列和方差． 【答案】（1）12件； （2）分布列见解析，数学期望为； （3）分布列见解析，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接可计算产品数量； （2）由已知可知该分布为超几何分布，进而可得分布列与期望； （3）由已知可知该分布为二项分布，进而可得分布列及方差. 【小问1详解】 质量超过克的产品的频率为， 所以质量超过克的产品数量为（件）. 【小问2详解】 质量超过克的产品数量为， 则质量未超过克的产品数量为，的取值为，，， ，，， 所以的分布列为 数学期望为. 【小问3详解】 根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为， 从流水线上任取件产品互不影响， 因此质量超过克的件数可能的取值为，，，且， ，，， 所以的分布列为 方差为. 19. 已知函数（，为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为 （2）当 时，在区间上的最大值为，最小值为；当时，在上的最大值为，最小值为；当时，在上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值. 【小问1详解】 ，求导得， 令，即，解得或. 令，即，解得. 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为. 【小问2详解】 ①当时，因为在上递减， 所以在区间上的最大值为，最小值为； ②当时，因为在上递减，在上递增，且， 所以在上的最大值为，最小值为； ③当时，因为在上递减，在上递增， 且，所以在上的最大值为， 最小值为. 综上所述，当 时，在区间上的最大值为，最小值为； 当时，在上的最大值为，最小值为； 当时，在上的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $