测试卷01 《一元二次方程》单元测试卷（暑假预习） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学《一元二次方程》单元卷，120分钟150分，覆盖定义、解法、判别式、韦达定理及实际应用，立足基础，突出运算能力与模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|定义、根的判别式、系数|基础概念辨析，如方程定义判断| |填空题|6/24|增长率、根与系数、几何剪拼|生活情境（工业总产值）与几何结合| |解答题|9/86|解方程、实际应用（面积/利润）、赵爽构造法|综合应用，如矩形花园面积问题、赵爽几何法解一元二次方程，体现推理与创新|

《一元二次方程》 单元测试 （考试时间：120分钟；分值：150） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．下列关于x方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，是的三边长，且关于的一元二次方程的两根相等，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 7．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 8．若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(    ) A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 9．一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 10．已知方程，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分。） 11．某企业今年4月的工业总产值为450万元，第二季度总产值为1638万元，设4月、5月平均每月的增长率为x，则可列方程________． 12．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 13．一元二次方程的一个根为，则的值为________，另一根为________． 14．若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是_________． 15．如图，将正方形沿图中虚线剪成三块图形（图中的 x，y，d 是相应线段的长度），用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为的长方形，若 x 的值为 6，则 y 的值为  ____________  ，此时 d的值为  _____ ． 16．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是___________ ． 三、解答题（本大题共9题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）（1）计算：． （2）解方程：． 18．（本题6分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 19．（本题8分）某校学生为了制作图片展览，要在一幅长、宽的图片四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和图片的面积相等，那么银边的宽应该是多少？    20．（本题8分）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 21．（本题8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 22．（本题10分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带． (1)若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出10件，请求出该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为14000元． 23．（本题12分）已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p，q，满足，求m的值． 24．（本题14分）已知，关于x的一元二次方程，若是该方程的一个根，求的值及另一个根． 25．（本题14分）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知5是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长． ①求的值； ②求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《一元二次方程》 单元测试 （考试时间：120分钟；分值：150） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2．关于的方程根的情况为（    ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式；通过计算判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴判别式， ∴方程无实数根． 故选：A． 3．一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程化为标准形式，再计算各项系数之和即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴系数， ∴系数和． 故选D． 4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 5．下列关于x方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，不符合题意； C．是一元二次方程，符合题意； D．是二元二次方程，不符合题意． 故选：C． 6．已知，，是的三边长，且关于的一元二次方程的两根相等，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】A 【分析】本题考查通过判别式为零的条件，结合勾股定理的逆定理，推导出三角形的形状．由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式，从而推导出边长关系，再根据勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形． 故选：A． 7．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断①正确；先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断②正确；先根据一元二次方程根的定义可得，再将将代入可得，由此即可判断③正确；根据一元二次方程根的定义可得，则可得或，说法④错误；由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程一定有两个不相等的实数根；说法①正确； ∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程没有实数根；说法②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 将代入得：， ∴是方程的一个根；说法③正确； ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，则说法④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 8．若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(    ) A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 【答案】B 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得或， 当时，2，2，4不能构成三角形，舍去； 当时，此三角形的周长为， 故选：B． 9．一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键． 根据判别式与根的个数之间的关系即可求解； 【详解】解：， ，，， ， 有两个不相等的实数根； 故选：B 10．已知方程，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 【答案】B 【分析】一元二次方程的两个根，，则满足，． 【详解】解： 原方程为 ，移项整理得一般形式： ． 其中 ， ，， ∴ ，即方程有两个实数根， ∴两根之和为，两根之积为， 解方程得，， 故：，， 对比选项，只有B说法正确． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分。） 11．某企业今年4月的工业总产值为450万元，第二季度总产值为1638万元，设4月、5月平均每月的增长率为x，则可列方程________． 【答案】 【分析】由题意可分别示出5月、6月的工业总产值，由等量关系：第二季度总产值为1638万元，即可列出方程． 【详解】解：5月、6月的工业总产值分别为万元、万元， 根据等量关系得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，根据题意找出等量关系并列出方程是关键． 12．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 13．一元二次方程的一个根为，则的值为________，另一根为________． 【答案】 【分析】将x=-1代入方程即可求得k的值，然后利用根与系数的关系即可求出另一个跟从而得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， ∵一元二次方程的一个根为x=-1， ∴， 解得， ∴原方程为， ∴， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立． 14．若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴ 故答案为： ． 15．如图，将正方形沿图中虚线剪成三块图形（图中的 x，y，d 是相应线段的长度），用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为的长方形，若 x 的值为 6，则 y 的值为  ____________  ，此时 d的值为  _____ ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意得：长方形的长为，宽为，再由长方形的长与宽之比为，且正方形的面积等于长方形的面积，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：长方形的长为，宽为， ∵长方形的长与宽之比为，且正方形的面积等于长方形的面积， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：； 16．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是___________ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根， ， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式后计算加减法即可得到答案； （2）把原方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解；（1） ； （2） ， 或， 解得． 18．（本题6分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（）利用直接开平方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3）解： ． 或 ∴，． 19．（本题8分）某校学生为了制作图片展览，要在一幅长、宽的图片四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和图片的面积相等，那么银边的宽应该是多少？    【答案】 【分析】设银边的宽应该是，根据银边的面积和图片的面积相等列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设银边的宽应该是， 由题意，得． 整理，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：银边的宽应该是． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据等量关系正确列出方程是解题的关键． 20．（本题8分）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 【答案】(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 21．（本题8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】(1)当长度是时，矩形花园的面积为 (2)不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 【详解】（1）解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． （2）略 22．（本题10分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带． (1)若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出10件，请求出该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为14000元． 【答案】(1) (2)80元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）设丝绸条带的宽度为，根据“丝绸条带的面积等于该工艺品的面积减去除丝绸条带外白色部分的面积”列出方程，求解即可． （2）设该公司每天把销售单价降低y元，根据当日所获利润为14000元列出方程，求解后即可求出定价． 【详解】（1）解：设丝绸条带的宽度为， 根据题意，得． 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：丝绸条带的宽度为． （2）解：设该公司每天把销售单价降低y元时，当日所获利润为14000元， 由题意得：， 整理，得， 解得：． ∴销售单价为（元）， 答：该公司每天把销售单价定为80元时，当日所获利润为14000元． 23．（本题12分）已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p，q，满足，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2)或 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：． ， ∴无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得，． ． ， 解得：，， 即m的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是理解根的判别式和根与系数的关系的公式，正确列出不等式和方程求解． 24．（本题14分）已知，关于x的一元二次方程，若是该方程的一个根，求的值及另一个根． 【答案】，另一个根为． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系． 将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 故关于x的一元二次方程为：， 则方程的另一个根为， 故，另一个根为． 25．（本题14分）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知5是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长． ①求的值； ②求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的周长为 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）①先把代入方程得，②将代入得方程为，利用因式分解法解方程，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）①把代入方程，得，解得； ②当时，原方程变为， 整理，得，解得，． ∵该方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，且不存在三边为，，5的等腰三角形． ∴等腰三角形的腰为5，底边为， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $