专题01 丰富的图形世界易错压轴题型18易错+3压轴（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦图形世界核心概念与空间转化，以21类易错压轴题型构建从基础认知到综合应用的递进训练体系，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何体基础认知|5题型|考查常见几何体识别、组合构成、分类及点棱面关系|从具体几何体到元素关系，构建空间基本概念| |空间与平面转化|2题型|涉及平面图形旋转成体、三视图|体现“面动成体”思想，培养空间想象能力| |展开图综合应用|8题型|涵盖正方体展开图识别、相对面、表面积体积计算|从平面展开图到立体图形还原，强化转化能力| |截面与平面图形|3题型|包括几何体截面、平面图形识别、七巧板拼图|连接空间切割与平面图形，渗透数形结合| |压轴综合问题|3题型|点棱面综合、小正方体数量最值、展开图综合计算|整合多知识点，提升综合分析与逻辑推理能力|

专题01 丰富的图形世界易错压轴题型 题型一 常见的几何体 题型二 组合几何体的构成 题型三 立体图形的分类 题型四 几何体中的点、棱面 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 题型七 从不同方向看几何体 题型八 几何体展开图的认识 题型九 由展开图计算几何体的表面积 题型十 由展开图计算几何体的体积 题型十一 正方体几种展开图的识别 题型十二 正方体相对两面上的字 题型十三 含图案的正方体的展开图 题型十四 求展开图两点折叠后的距离 题型十五 补一个面使图形围成正方体 题型十六 截一个几何体 题型十七 平面图形形状的识别 题型十八 用七巧板拼图形 题型十九 几何体中点、棱、面综合问题（压轴） 题型二十 最多需多少块小正方体类问题（压轴） 题型二十一 几何体展开图求表面积、体积综合（压轴） 题型一 常见的几何体 1．（2026·四川达州·中考真题）下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 题型二 组合几何体的构成 4．（25-26七年级上·全国·期末）组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 5．（25-26七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·广东佛山·开学考试）下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 题型三 立体图形的分类 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 8．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________； （2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 9．（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：②______；⑥______； （2）在以上几何体中，是柱体的有______（填序号）；含曲面的有______（填序号）． 题型四 几何体中的点、棱面 10．（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，下列说法正确的是(    ) A．几何体是三棱锥 B．几何体有3个侧面 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有6条侧棱 11．（25-26七年级下·陕西西安·自主招生）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数点数棱数，那么此多面体印信的棱数为__________． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 13．（25-26七年级上·山东聊城·期末）“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 14．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列现象对应的数学原理描述错误的是（   ） A．流星划过夜空留下光迹——点动成线 B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D．铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 15．（25-26七年级上·河南商丘·期末）非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条（如图）．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是_________． 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 16．（2026·陕西渭南·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的几何体其中一个底面的面积为_____．（结果保留） 18．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 题型七 从不同方向看几何体 19．（25-26八年级下·重庆·期末）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·全国·期中）如图是一个几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是__________． 21．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 题型八 几何体展开图的认识 22．（2026·江苏苏州·中考真题）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）如图中每个方格的边长是，用涂色部分围成一个圆柱，圆柱的体积是______． 24．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． (1)写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； (2)将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 题型九 由展开图计算几何体的表面积 25．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 26．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）如图，这是一个五直棱柱，若它的底面边长都是，侧棱长都是，回答下列问题： (1)它有______个面，______个顶点，______条棱． (2)它的所有侧面的面积之和是多少？ 27．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为 (1)用表示包装盒的体积和表面积； (2)如果，分别求包装盒的体积和表面积． 题型十 由展开图计算几何体的体积 28．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 30．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出了两种不同的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．请你动手操作并完成任务（纸板厚度及接缝处忽略不计）．    动手操作1：根据图1所示的方式制作一个无盖的长方体纸盒． 方法1：先在纸板的四角剪去四个边长都为的正方形，再沿虚线折起来． 动手操作2：根据图2所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法2：先在纸板四角剪去两个边长都是的正方形和两个宽为的同样大小的小长方形，再沿虚线折起来． (1)无盖长方体纸盒底面的边长是 ，有盖长方体纸盒的底面积是 （用含，的代数式表示） (2)已知，． ①求该无盖长方体纸盒的底面积； ②求该有盖长方体的体积． 题型十一 正方体几种展开图的识别 31．（2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，可以涂黑的小正方形的位置一共有___________处． 33．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）看图解答下列各题： (1)一个正方体共有______种平面展开图； (2)在图中网格中画出两种不同的正方体的展开图． 题型十二 正方体相对两面上的字 34．（2026·吉林松原·模拟预测）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（     ） A．满 B．少 C．年 D．怀 35．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图是一个正方体骰子的表面展开图，当它折成正方体时，相对面上1点对____点，2点对___点，3点对____点． 36．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）春节快到了，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．如图所示，他设计了一个正方体盒子进行包装，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．    (1)共有 种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得（直接在图中填上即可）． 题型十三 含图案的正方体的展开图 37．（25-26七年级下·内蒙古乌海·开学考试）如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 38．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是_______． 39．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题： (1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？ (2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？ (3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？ 题型十四 求展开图两点折叠后的距离 40．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 41．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 42．（25-26七年级上·山东青岛·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 题型十五 补一个面使图形围成正方体 43．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 44．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 45．（25-26七年级上·北京石景山·期末）小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______． 题型十六 截一个几何体 46．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）某棱柱共有个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，往一个密封的正方体容器内持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水面形状会呈现不同的多边形，但水面形状可能出现的多边形是______．（写出一个即可） 48．（25-26六年级上·山东泰安·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_____棱柱，共有_____个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_____，_____（写出你认为可能的两种形状）； (3)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 题型十七 平面图形形状的识别 49．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）下列图形中，属于立体图形的有（    ）个 （1）正方形；（2）圆；（3）棱柱；（4）圆锥；（5）六边形 A．1 B．2 C．3 D．4 50．（25-26七年级上·全国·课后作业）把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 51．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形：______（填序号）． 立体图形：______（填序号）． 题型十八 用七巧板拼图形 52．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 53．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由________块板组成，其中：正方形板有________块；平行四边形板（不包括正方形板）有________块；三角形板有________块． 54．（25-26七年级下·广东佛山·期末）七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 题型十九 几何体中点、棱、面综合问题（压轴） 55．（25-26六年级下·全国·单元复习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 56．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 57．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆．那么大立方体被涂过油漆的面数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二十 最多需多少块小正方体类问题（压轴） 58．（25-26七年级上·山西运城·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 59．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则______． 60．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． (3)若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 题型二十一 几何体展开图求表面积、体积综合（压轴）61．（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）【拓展探究】某综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①－⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 （只填写序号）； 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒． 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？ 62．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在一次综合与实践活动中，同学们开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，知识准备：下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） 下表是活动的相关信息． 使用材料 制作目标 操作方法 示意图 边长为的正方形纸板 制作一个无盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来 制作一个有盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来 解答下列问题： (1)用含a和b的代数式表示无盖的长方体纸盒的底面积，并求当，时，这个长方体纸盒的底面积； (2)细心的同学发现，制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，试探究a和b应满足的等量关系（结果用含b的代数式表示a）； (3)受这次活动的启发，小刚想用一张长为，宽为的长方形纸板，制作一个高为的有盖的长方体纸盒（如图），请你用含m，n，h的代数式表示这个长方体纸盒的体积． 若已知，，，求制作的长方体纸盒的体积？ 63．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．    【操作一】 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）若，，那么这个无盖长方体纸盒的底面积是多少？ 【操作二】 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （2）若，，该有盖长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？请写出计算过程．    【拓展延伸】 如图3，用矩形硬纸片分别制作无盖纸盒和有盖纸盒，无盖纸盒和有盖纸盒的体积是否满足（3）中的倍数关系？若满足请直接写出结果；若不满足请写出具体的倍数关系．    2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 丰富的图形世界易错压轴题型 题型一 常见的几何体 题型二 组合几何体的构成 题型三 立体图形的分类 题型四 几何体中的点、棱面 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 题型七 从不同方向看几何体 题型八 几何体展开图的认识 题型九 由展开图计算几何体的表面积 题型十 由展开图计算几何体的体积 题型十一 正方体几种展开图的识别 题型十二 正方体相对两面上的字 题型十三 含图案的正方体的展开图 题型十四 求展开图两点折叠后的距离 题型十五 补一个面使图形围成正方体 题型十六 截一个几何体 题型十七 平面图形形状的识别 题型十八 用七巧板拼图形 题型十九 几何体中点、棱、面综合问题（压轴） 题型二十 最多需多少块小正方体类问题（压轴） 题型二十一 几何体展开图求表面积、体积综合（压轴） 题型一 常见的几何体 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】圆锥 题型二 组合几何体的构成 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】 题型三 立体图形的分类 7． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 8． 【答案】 ②，③，⑥ ①，④ ⑤ ①，③，⑤ 【分析】本题考查立体图形的判断，熟练掌握每种立体图形的特征是解题关键． 按照立体图形的特征逐一判断，然后填到适当的横线上即可． 【详解】根据立体图形的特征判断，①是圆锥，②是棱柱，③是圆柱，④是棱锥，⑤是球体，⑥是棱柱． ∴柱体包括②，③，⑥，锥体包括①，④，球体包括⑤，有曲面的是①，③，⑤． 9． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【分析】本题考查了常见的几何体，立体图形的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给的图形确定图形的名称； （2）先说出各个图形的名称，再归类即可． 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱， 故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 题型四 几何体中的点、棱面 10．【答案】B 11．【答案】48 12． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 13．【答案】A 14．【答案】D 15．【答案】点动成线 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 16．【答案】D 17．【答案】 18．【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成，根据圆柱和圆锥的体积公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成， ∴得到的立体图形的体积为： ． 题型七 从不同方向看几何体 19．【答案】B 20．【答案】 21． 【答案】作图见解析 【分析】从上面观察几何体及小正方形中的数字，可知从正面看几何体的列数与从上面观察几何体的列数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应列中小正方形中的数字的最大数字；从左面看几何体的列数与从上面观察几何体的行数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应行中小正方形中的数字的最大数字，据此画图即可． 【详解】解：如图： 题型八 几何体展开图的认识 22．【答案】B 23．【答案】 24． 【答案】(1)长方体（或四棱柱）； 三棱锥 (2)11 【分析】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键． （1）根据几何体表面展开图的特征，即可判断图①、图②对应的几何体； （2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出、的值，进而计算． 【详解】（1）解：图1中对应几何体为：①长方体（或四棱柱），②三棱锥. （2）解：由题图可知与1，2与4，y与相对． ∵相对的两个面上的数字之和均相等，， ． ． ． 题型九 由展开图计算几何体的表面积 25．【答案】 26． 【答案】(1)7，10，15 (2)它的所有侧面的面积之和是 【分析】本题考查认识几何体及几何体的表面积，熟知棱柱的定义及侧面展开图是解题的关键． （1）根据所给直五棱柱的特征，即可解决问题； （2）先求出一个侧面的面积，即可求出所有侧面的面积之和． 【详解】（1）解：它有7个面，10个顶点，15条棱． （2）解：它的底面边长都是，侧棱长都是， 直五棱柱的侧面是长方形，且由5个面积相等的侧面组成， 一个侧面的面积为， ， 答：它的所有侧面的面积之和是． 27． 【答案】(1)； (2)体积为720，表面积为516 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方体的体积与表面积公式是解题的关键． （1）利用长方体的体积公式和面积公式解答即可； （2）将的值代入（1）的代数式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：饮料包装盒的长，宽，高分别为：，6，15， 包装盒的体积为：； 包装盒的表面积为． （2）解：当时， 包装盒的体积为； 包装盒的表面积为． 题型十 由展开图计算几何体的体积 28．【答案】B 29．【答案】400 30． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了认识立体图形，列代数式及已知字母的值求代数式的值，掌握立体图形的特征是正确计算的前提，用代数式是解题关键． （1）根据图1，得底面的边长为；根据图2，得长方体底面的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可； （2）①把，代入代数式结合正方形的面积公式求值即可； ②把，代入代数式结合长方体的体积公式求值即可． 【详解】（1）解：无盖长方体纸盒底面的边长是， 有盖长方体纸盒底面的长为，宽为， 故有盖长方体纸盒的底面积是． （2）解：①当，时， 该长方体纸盒的底面边长为， 所以该长方体纸盒的底面积为． ②当，时， 该长方体纸盒的底面积为， 所以该长方体纸盒的体积为． 题型十一 正方体几种展开图的识别 31．【答案】B 32．【答案】4 33． 【答案】(1)11 (2)见解析 【详解】（1）解：一个正方体共有种平面展开图； （2）解：如图： 题型十二 正方体相对两面上的字 34．【答案】C 35． 【答案】 6 5 4 36． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键； （1）根据正方体展开图即可求解； （2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可． 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间四连方，则两侧各一个，即在中间四个正方形下面添加一个小正方形都符合题意，即共4种弥补方法． 故答案为：4； （2）解：如图所示，即为所求．    题型十三 含图案的正方体的展开图 37．【答案】D 38．【答案】 39． 【答案】(1)F (2)E (3)F 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，正方体的展开图， 根据正方体相对面的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵A和F是相对面上的字 ∴如果A在长方体的底部，那么F会在上面； （2）解：如果面F在前面，从左面看是B面，那么E会在上面； （3）解：如果从右面看是面C，面D在后面，那么F会在上面． 题型十四 求展开图两点折叠后的距离 40．【答案】D 41．【答案】4 42． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 题型十五 补一个面使图形围成正方体 43．【答案】B 44．【答案】C 45．【答案】见解析 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一． 【详解】解：如图所示：（答案不唯一） 【点睛】考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的11种平面展开图，并灵活应用其进行准确判断是解题的关键，此类题重点培养学生的空间想象能力． 题型十六 截一个几何体 46．【答案】D 47．【答案】五边形（答案不唯一） 48． 【答案】(1)六，8 (2)三角形，四边形（答案不唯一） (3)需要喷漆的面积是，所需丝带的长为 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）求出侧面积，即可求解喷漆的面积；棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和，即可求解所需丝带的长度． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共有个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为：三角形，四边形（答案不唯一） （3）解：这个储物箱所有侧面的面积之和为： 若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为： 答：需要喷漆的面积是，所需丝带的长为． 题型十七 平面图形形状的识别 49．【答案】B 50． 【答案】立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 【分析】本题考查了几何图形的分类：立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度；平面图形是二维图形，只存在于一个平面内． 【详解】解：③圆锥是立体图形，因为它是由圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑤圆柱是立体图形，因为它是由两个平行圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑦球是立体图形，因为它是所有点与中心点距离相等的三维图形． ⑨正方体是立体图形，因为它是由六个正方形面围成的三维图形． ①长方形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ②三角形是平面图形，因为它是三条边组成的二维图形． ④直线是平面图形，因为它是无限延伸的一维图形，但存在于平面内． ⑥平行四边形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ⑧圆是平面图形，因为它是所有点与中心点距离相等的二维图形． 立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 51． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【分析】本题主要考查了平面图形和立体图形的识别，各个部分不都在同一平面内的为立体图形，各个部分在同一平面内的为平面图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 题型十八 用七巧板拼图形 52．【答案】6 53．【答案】 7 1 1 5 54． 【答案】(1)1 (2) 如图， 【分析】本题主要考查了七巧板的问题： （1）根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的，从而得到，即可求解； （2）根据①与②的面积之和为8，①与③与⑤与⑦的面积之和为8，③与④与⑤与⑥与⑦的面积之和为8，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴； （2）略 题型十九 几何体中点、棱、面综合问题（压轴） 55． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 56．【答案】A 57．【答案】D 题型二十 最多需多少块小正方体类问题（压轴） 58．【答案】B 59．【答案】 60． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，求小立方块堆砌图形的表面积，熟练掌握及运用空间能力是做题的关键． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可； （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可； （3）把从不同方向看到的面积相加即可． 【详解】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示： （2）解：保持这个几何体从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小立方块，如图所示： 故答案为：． （3）解：由图可得， 这个几何体的表面积为． 故答案为：． 题型二十一 几何体展开图求表面积、体积综合（压轴） 61． 【答案】（1）①⑤⑥；（2）588，294 【分析】本题主要考查立体图形的展开，解题的关键是正确记忆相关知识点． （1）根据正方体展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可判断； （2）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积． 【详解】解：（1）根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系可得： ②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误； 故答案为：①⑤⑥； （2）无盖盒子的体积为：， 有盖盒子的长：，宽为：，高为：， 有盖盒子的体积为：， 故答案为：588，294． 62． 【答案】(1)②，， (2) (3)， 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；根据题意求出长方体纸盒的底面积即可； （2）根据制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，列方程求解即可； （3）分别用含m，n，h的代数式，表示长方体边长，进而可以列式得解，结合所得代数式，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒． 故答案为：②． 由图可得，无盖的长方体纸盒的底面为正方形，边长为， ∴底面积为． 当，时， ． ∴这个长方体纸盒的底面积为． （2）解：根据题意得，有盖的长方体纸盒的长为，高为， ∵这个长方体纸盒的宽是高的3倍少， 宽为． ∵长是宽的2倍， ，． （3）解：根据题意得，长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的体积为． 当，，时， 长方体纸盒的体积为． 63． 【答案】【问题解决】（1）这个无盖长方体纸盒的底面积是；（2）；（3）无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍，计算过程见解析；【拓展延伸】无盖纸盒和有盖纸盒的体积满足（3）中的倍数关系，无盖纸盒的体积是有盖纸盒的体积的2倍. 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合计算： （1）根据题意可得图1中的长方体底面是一个边长为的正方形，利用正方形面积计算公式求解即可； （2）根据题意得到该有盖长方体的长为，宽为，高为，据此利用长方体面积计算公式求解即可； （3）仿照（1）先求出无盖长方体的底面积进而，再求出高即可求出无盖长方体的体积；先求出有盖长方体的长、宽、高，进而可求出有盖长方体的体积； （4）仿照（3）求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，图1中的长方体底面是一个边长为的正方形， ∴这个无盖长方体纸盒的底面积为； 当，时， （2）由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为， 故答案为：； （3）无盖长方体的体积为； 由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为； ∴无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍； （4）无盖长方体的体积为； 由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为； ∴无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 丰富的图形世界易错压轴题型 题型一 常见的几何体 题型二 组合几何体的构成 题型三 立体图形的分类 题型四 几何体中的点、棱面 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 题型七 从不同方向看几何体 题型八 几何体展开图的认识 题型九 由展开图计算几何体的表面积 题型十 由展开图计算几何体的体积 题型十一 正方体几种展开图的识别 题型十二 正方体相对两面上的字 题型十三 含图案的正方体的展开图 题型十四 求展开图两点折叠后的距离 题型十五 补一个面使图形围成正方体 题型十六 截一个几何体 题型十七 平面图形形状的识别 题型十八 用七巧板拼图形 题型十九 几何体中点、棱、面综合问题（压轴） 题型二十 最多需多少块小正方体类问题（压轴） 题型二十一 几何体展开图求表面积、体积综合（压轴） 题型一 常见的几何体 1．（2026·四川达州·中考真题）下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】A 【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 3．（2025七年级上·全国·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 【答案】圆锥 【分析】本题考查认识立体图形，解题关键是熟记常见几何体的特征．根据甲和乙所述特征，几何体需同时具备曲面和顶点，常见几何体中圆锥满足条件 【详解】解：球有曲面但无顶点，三棱锥有顶点但无曲面，圆柱有曲面但无顶点，圆锥既有曲面（侧面）又有顶点， ∴该几何体模型可能是圆锥． 故答案为：圆锥． 题型二 组合几何体的构成 4．（25-26七年级上·全国·期末）组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【答案】D 【分析】此题考查从实物中抽象出立体图形，要求学生掌握常见的圆柱、圆锥、球这些立体图形的特征． 图中的几何体上面是圆柱，下面是圆锥，由此可得解． 【详解】解：如图所示的陀螺是由圆柱和圆锥组成的． 故选D． 5．（25-26七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 6．（25-26七年级下·广东佛山·开学考试）下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 【答案】 【分析】本题考查了涂色问题的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形的排列特点，找到露出在外面的面既是涂色面，依次即可得出答案． 【详解】解：观察图形可得：三个面涂上红色的正方体有个，四面涂上红色的正方体有个， 故答案为：，． 题型三 立体图形的分类 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 8．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________； （2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 【答案】 ②，③，⑥ ①，④ ⑤ ①，③，⑤ 【分析】本题考查立体图形的判断，熟练掌握每种立体图形的特征是解题关键． 按照立体图形的特征逐一判断，然后填到适当的横线上即可． 【详解】根据立体图形的特征判断，①是圆锥，②是棱柱，③是圆柱，④是棱锥，⑤是球体，⑥是棱柱． ∴柱体包括②，③，⑥，锥体包括①，④，球体包括⑤，有曲面的是①，③，⑤． 9．（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：②______；⑥______； （2）在以上几何体中，是柱体的有______（填序号）；含曲面的有______（填序号）． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【分析】本题考查了常见的几何体，立体图形的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给的图形确定图形的名称； （2）先说出各个图形的名称，再归类即可． 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱， 故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 题型四 几何体中的点、棱面 10．（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，下列说法正确的是(    ) A．几何体是三棱锥 B．几何体有3个侧面 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可． 【详解】解：∵该几何体是三棱柱， ∴底面是三角形，侧面是四边形，且有3个侧面，3条侧棱， 故B说法正确，A、C、D说法错误， 故选：B． 11．（25-26七年级下·陕西西安·自主招生）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数点数棱数，那么此多面体印信的棱数为__________． 【答案】48 【分析】本题考查几何体，根据经过每一个点都有四条棱，棱数等于点数的2倍，再根据面数点数棱数，进行计算即可。 【详解】解：因为经过每一个点都有四条棱，两点确定一条棱， 所以多面体的棱数为点数的2倍， 设此多面体印信的棱数为，则点数为， 由面数点数棱数，得：，解得：， 故， 此多面体印信的棱数为48； 故答案为：48. 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 题型五 点、线、面、体四者之间的关系 13．（25-26七年级上·山东聊城·期末）“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的动态关系，需将雨滴和雨丝抽象为几何图形，结合概念判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵雨滴可抽象为点，雨丝可抽象为线， ∴点运动形成线，对应数学原理为点动成线， 故选：A． 14．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列现象对应的数学原理描述错误的是（   ） A．流星划过夜空留下光迹——点动成线 B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D．铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 【答案】D 【分析】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，面动成体是解决本题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定． 【详解】解：A．流星划过夜空留下光迹，反映的是“点动成线”，本选项正确，故不符合题意； B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面，反映的是“线动成面”，本选项正确，故不符合题意； C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体，反映的是“面动成体”，本选项正确，故不符合题意； D．铅笔在纸上写字留下笔画，反映的是点动成线，本选项错误，故符合题意； 故选：D． 15．（25-26七年级上·河南商丘·期末）非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条（如图）．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是_________． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握四者之间的关系是做题的关键．根据题意，由“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，得出数学原理是点动成线，即可作答． 【详解】解：由题意得，这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线． 题型六 平面图形旋转后所得的立体图形 16．（2026·陕西渭南·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“面动成体”的原理，分析平面图形各部分旋转后形成的立体图形即可． 【详解】解：观察平面图形可知，该图形是一个三角形，且有一条边在旋转轴l上， ∵ 三角形绕其一边所在直线旋转一周，上半部分边旋转形成圆锥侧面，下半部分边旋转形成圆锥侧面， ∴ 得到的立体图形是两个底面重合的圆锥． 17．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的几何体其中一个底面的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，掌握“面动成体”和圆柱体的体积计算方法是正确解答的关键．以长方形的长边为轴旋转，得出圆柱体的底面半径和高，根据体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：以宽为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为，高为， 因此底面的面积为：， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成，根据圆柱和圆锥的体积公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成， ∴得到的立体图形的体积为： ． 题型七 从不同方向看几何体 19．（25-26八年级下·重庆·期末）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从正面看到的图形分为上下两层，共三列，下面一层的每一列都有一个小正方形，上面一层最右边那列有一个小正方形，据此可得答案． 【详解】解；从正面看到的视图如下所示： 20．（25-26七年级上·全国·期中）如图是一个几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了从不同角度观察物体．根据题意可得该几何体为圆柱体，再根据圆柱体表面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意可得该几何体为圆柱体， 表面积为． 故答案为： 21．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）一个几何体是由几个棱长为的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状； 【答案】作图见解析 【分析】从上面观察几何体及小正方形中的数字，可知从正面看几何体的列数与从上面观察几何体的列数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应列中小正方形中的数字的最大数字；从左面看几何体的列数与从上面观察几何体的行数相同，且每列小正方形数目为从上面观察几何体的相应行中小正方形中的数字的最大数字，据此画图即可． 【详解】解：如图： 题型八 几何体展开图的认识 22．（2026·江苏苏州·中考真题）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子． 23．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）如图中每个方格的边长是，用涂色部分围成一个圆柱，圆柱的体积是______． 【答案】 【分析】圆柱的体积公式． 【详解】解：根据图可知：圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则圆柱的体积为： ． 24．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． (1)写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； (2)将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 【答案】(1)长方体（或四棱柱）； 三棱锥 (2)11 【分析】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键． （1）根据几何体表面展开图的特征，即可判断图①、图②对应的几何体； （2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出、的值，进而计算． 【详解】（1）解：图1中对应几何体为：①长方体（或四棱柱），②三棱锥. （2）解：由题图可知与1，2与4，y与相对． ∵相对的两个面上的数字之和均相等，， ． ． ． 题型九 由展开图计算几何体的表面积 25．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是长方体的表面积公式，解题关键是熟练掌握长方体的表面积公式． 根据长方体的表面积公式得，代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，是长方体的高，是长方体的宽，是长方体的长， 长方体的表面积长宽长高宽高， 且这个长方体的表面积为， ， 又，， ， 解得． 故答案为：． 26．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）如图，这是一个五直棱柱，若它的底面边长都是，侧棱长都是，回答下列问题： (1)它有______个面，______个顶点，______条棱． (2)它的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)7，10，15 (2)它的所有侧面的面积之和是 【分析】本题考查认识几何体及几何体的表面积，熟知棱柱的定义及侧面展开图是解题的关键． （1）根据所给直五棱柱的特征，即可解决问题； （2）先求出一个侧面的面积，即可求出所有侧面的面积之和． 【详解】（1）解：它有7个面，10个顶点，15条棱． （2）解：它的底面边长都是，侧棱长都是， 直五棱柱的侧面是长方形，且由5个面积相等的侧面组成， 一个侧面的面积为， ， 答：它的所有侧面的面积之和是． 27．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为 (1)用表示包装盒的体积和表面积； (2)如果，分别求包装盒的体积和表面积． 【答案】(1)； (2)体积为720，表面积为516 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方体的体积与表面积公式是解题的关键． （1）利用长方体的体积公式和面积公式解答即可； （2）将的值代入（1）的代数式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：饮料包装盒的长，宽，高分别为：，6，15， 包装盒的体积为：； 包装盒的表面积为． （2）解：当时， 包装盒的体积为； 包装盒的表面积为． 题型十 由展开图计算几何体的体积 28．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的体积计算问题，解答时一定要清楚长方体展开图的特征，以及长方体体积计算的公式． 、的长度均为8的一半，可得长方体的长或宽；6减去的长度值再除以2可得长方体的高，6减高的2倍可得长方体的宽或长；求得长方体的长、宽、高后，进而按“长方体的体积长宽高”求出体积即可． 【详解】解：由题意可得，的长度：（）， 长方体的高：（） 长方体的宽：（） 长方体的体积：（） 答：原长方体的体积是． 故选B． 29．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 【答案】400 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由于正方形的边长为，同时在正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剪去的小正方形的边长为，由此得到长方体的长、宽、高，最后利用长方体的容积公式即可求解． 【详解】解：依题意得：长方体的容积为：； 故答案为：400． 30．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出了两种不同的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．请你动手操作并完成任务（纸板厚度及接缝处忽略不计）．    动手操作1：根据图1所示的方式制作一个无盖的长方体纸盒． 方法1：先在纸板的四角剪去四个边长都为的正方形，再沿虚线折起来． 动手操作2：根据图2所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法2：先在纸板四角剪去两个边长都是的正方形和两个宽为的同样大小的小长方形，再沿虚线折起来． (1)无盖长方体纸盒底面的边长是 ，有盖长方体纸盒的底面积是 （用含，的代数式表示） (2)已知，． ①求该无盖长方体纸盒的底面积； ②求该有盖长方体的体积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了认识立体图形，列代数式及已知字母的值求代数式的值，掌握立体图形的特征是正确计算的前提，用代数式是解题关键． （1）根据图1，得底面的边长为；根据图2，得长方体底面的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可； （2）①把，代入代数式结合正方形的面积公式求值即可； ②把，代入代数式结合长方体的体积公式求值即可． 【详解】（1）解：无盖长方体纸盒底面的边长是， 有盖长方体纸盒底面的长为，宽为， 故有盖长方体纸盒的底面积是． （2）解：①当，时， 该长方体纸盒的底面边长为， 所以该长方体纸盒的底面积为． ②当，时， 该长方体纸盒的底面积为， 所以该长方体纸盒的体积为． 题型十一 正方体几种展开图的识别 31．（2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图，不能出现“田字格”，“凹字格”，“7字型”． 【详解】解：A.折叠后有面会重叠，不符合题意； B.可折成正方体，符合题意； C.属于“7字型”，不符合题意； D.属于“凹字格”，不符合题意． 32．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，可以涂黑的小正方形的位置一共有___________处． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，正方体的展开图有11种，其中“141”型有6种，“132”型有4种，“222”型有1种，“33”型有1种，观察已有 5 个涂黑小正方形的布局，逐一判断即可． 【详解】解：在②或③或④处涂黑一个小正方形可构成“132”型，满足题意； 在⑥处涂黑一个小正方形可构成“33”型，满足题意； 在①或⑦处涂黑一个小正方形，涂黑的6个小正方形不能形成一个正方体的展开图， ∴可以涂黑的小正方形的位置一共有4处， 故答案为：4． 33．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）看图解答下列各题： (1)一个正方体共有______种平面展开图； (2)在图中网格中画出两种不同的正方体的展开图． 【答案】(1)11 (2)见解析 【详解】（1）解：一个正方体共有种平面展开图； （2）解：如图： 题型十二 正方体相对两面上的字 34．（2026·吉林松原·模拟预测）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（     ） A．满 B．少 C．年 D．怀 【答案】C 【详解】解：根据正方体展开图可知：有“壮”字一面的相对面上的字为“年”． 35．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）如图是一个正方体骰子的表面展开图，当它折成正方体时，相对面上1点对____点，2点对___点，3点对____点． 【答案】 6 5 4 【分析】根据正方体平面展开图中相对面的位置规律进行解题即可． 【详解】解：在正方体的平面展开图中，相对的两个面在展开图中不相邻，且中间相隔一个正方形， 当它折成正方体时，相对面上1点对点，2点对点，3点对点． 36．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）春节快到了，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．如图所示，他设计了一个正方体盒子进行包装，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．    (1)共有 种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得（直接在图中填上即可）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键； （1）根据正方体展开图即可求解； （2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可． 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间四连方，则两侧各一个，即在中间四个正方形下面添加一个小正方形都符合题意，即共4种弥补方法． 故答案为：4； （2）解：如图所示，即为所求．    题型十三 含图案的正方体的展开图 37．（25-26七年级下·内蒙古乌海·开学考试）如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据题意，阴影正方形面为上面，圆圈正方形面为右面，黑白三角形面为前面，展开图中只有④符合要求； 【详解】解：④符合要求； 38．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正方体的平面展开图，以及平面展开图与立体图之间的对应关系，掌握以上知识点是做题的关键．根据正方体的平面展开图与立体图之间的对应关系，将其还原为正方体，即可解答． 【详解】解：根据正方体的平面展开图与立体图之间的对应关系，将正方体的平面展开图（图乙）还原为正方体（图甲）时，通过观察可得，黑点所在的位置与点在正方体中的位置是对应的， 即图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是． 故答案为：． 39．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题： (1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？ (2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？ (3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？ 【答案】(1)F (2)E (3)F 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，正方体的展开图， 根据正方体相对面的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵A和F是相对面上的字 ∴如果A在长方体的底部，那么F会在上面； （2）解：如果面F在前面，从左面看是B面，那么E会在上面； （3）解：如果从右面看是面C，面D在后面，那么F会在上面． 题型十四 求展开图两点折叠后的距离 40．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 41．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 42．（25-26七年级上·山东青岛·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 题型十五 补一个面使图形围成正方体 43．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 44．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 45．（25-26七年级上·北京石景山·期末）小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______． 【答案】见解析 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一． 【详解】解：如图所示：（答案不唯一） 【点睛】考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的11种平面展开图，并灵活应用其进行准确判断是解题的关键，此类题重点培养学生的空间想象能力． 题型十六 截一个几何体 46．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）某棱柱共有个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用一个平面截几何体的知识，先根据棱柱顶点数确定棱柱类型，再分析截面可能的边数，进而判断选项． 【详解】解：∵某棱柱共有个顶点， ∴该棱柱为棱柱， ∵棱柱有个侧面和个底面，共个面 ∴用一个平面截该棱柱时，截面最多与个面相交，得到边形 ∴截面的边数可能是． 故选：D． 47．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，往一个密封的正方体容器内持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水面形状会呈现不同的多边形，但水面形状可能出现的多边形是______．（写出一个即可） 【答案】五边形（答案不唯一） 【分析】本题考查了截一个几何体，掌握正方体的截面形状是解题的关键． 正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得到六边形，最少与三个面相交得到三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得到六边形，最少与三个面相交得到三角形，所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形， 故答案为：五边形． 48．（25-26六年级上·山东泰安·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_____棱柱，共有_____个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_____，_____（写出你认为可能的两种形状）； (3)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六，8 (2)三角形，四边形（答案不唯一） (3)需要喷漆的面积是，所需丝带的长为 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）求出侧面积，即可求解喷漆的面积；棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和，即可求解所需丝带的长度． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共有个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为：三角形，四边形（答案不唯一） （3）解：这个储物箱所有侧面的面积之和为： 若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为： 答：需要喷漆的面积是，所需丝带的长为． 题型十七 平面图形形状的识别 49．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）下列图形中，属于立体图形的有（    ）个 （1）正方形；（2）圆；（3）棱柱；（4）圆锥；（5）六边形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形与平面图形的识别﹒立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度；平面图形是二维图形，只有长度和宽度，据此逐个判断即可求解﹒ 【详解】解：正方形是平面图形，圆是平面图形，棱柱是立体图形，圆锥是立体图形，六边形是平面图形﹒ 故选：B 50．（25-26七年级上·全国·课后作业）把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 【答案】立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 【分析】本题考查了几何图形的分类：立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度；平面图形是二维图形，只存在于一个平面内． 【详解】解：③圆锥是立体图形，因为它是由圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑤圆柱是立体图形，因为它是由两个平行圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑦球是立体图形，因为它是所有点与中心点距离相等的三维图形． ⑨正方体是立体图形，因为它是由六个正方形面围成的三维图形． ①长方形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ②三角形是平面图形，因为它是三条边组成的二维图形． ④直线是平面图形，因为它是无限延伸的一维图形，但存在于平面内． ⑥平行四边形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ⑧圆是平面图形，因为它是所有点与中心点距离相等的二维图形． 立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 51．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形：______（填序号）． 立体图形：______（填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【分析】本题主要考查了平面图形和立体图形的识别，各个部分不都在同一平面内的为立体图形，各个部分在同一平面内的为平面图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 题型十八 用七巧板拼图形 52．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 53．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由________块板组成，其中：正方形板有________块；平行四边形板（不包括正方形板）有________块；三角形板有________块． 【答案】 7 1 1 5 【分析】此题是一道几何综合题，主要考查平行四边形、正方形、三角形的概念，熟悉七巧板的构造是解题的关键．七巧板由7个几何图形构成，包括1个正方形，1个平行四边形、5个三角形，即可得到问题的答案． 【详解】解：如图，由七巧板的构造可知，正方形由7个几何图形构成， 其中包括： 1个正方形，即正方形； 1个平行四边形，即平行四边形； 5个三角形，即， 故答案为：7，1，1，5． 54．（25-26七年级下·广东佛山·期末）七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 【答案】(1)1 (2) 如图， 【分析】本题主要考查了七巧板的问题： （1）根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的，从而得到，即可求解； （2）根据①与②的面积之和为8，①与③与⑤与⑦的面积之和为8，③与④与⑤与⑥与⑦的面积之和为8，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴； （2）略 题型十九 几何体中点、棱、面综合问题（压轴） 55．（25-26六年级下·全国·单元复习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 56．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 【答案】A 【分析】本题考查正多面体与多边形，掌握知识点是解题的关键． 利用欧拉公式，其中，每个面为正五边形，先计算总边数，再求解顶点数． 【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数， ∴总边数（每条边被两个面共享）． 代入欧拉公式：， ∴， ∴， ∴． 故选A． 57．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆．那么大立方体被涂过油漆的面数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】题目主要考查立方体的逻辑判断，理解题意是解题关键 设大立方体棱长为n，显然；若，即使六面都油漆过，未油漆的小方块也有个，大于45，确定或5，除掉已油漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长宽高为a，b，c，结合题意求解即可 【详解】解：若，即使六面都油漆过，未油漆的小方块也有个，大于45． ∴或5． 除掉已油漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体， 设其和长宽高为a，b，c， 则，且， ∴只能是， 即，它的4个面油漆过． 故选：D． 题型二十 最多需多少块小正方体类问题（压轴） 58．（25-26七年级上·山西运城·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，应分别根据从前面、上面和左侧面的形状，综合起来考虑整体形状．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看最有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题． 【详解】解：根据从上面看到的图可得，第一层有5个小立方体； 根据从正面看到的图可知：共有2层，第二层最多有4个小立方体， ∴搭成该几何体最多需要小立方块的个数是（个）， 故选：B． 59．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则______． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体；在上面看到的图形中标出相应的位置小立方体的数量可能的情况即可． 【详解】解：需要小立方块最多时，如图所示， 从图中可得：； 当需要小立方块最少时，如图所示， 从图中可得：； ． 故答案为：． 60．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． (3)若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，求小立方块堆砌图形的表面积，熟练掌握及运用空间能力是做题的关键． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可； （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可； （3）把从不同方向看到的面积相加即可． 【详解】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示： （2）解：保持这个几何体从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小立方块，如图所示： 故答案为：． （3）解：由图可得， 这个几何体的表面积为． 故答案为：． 题型二十一 几何体展开图求表面积、体积综合（压轴） 61．（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）【拓展探究】某综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①－⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 （只填写序号）； 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒． 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？ 【答案】（1）①⑤⑥；（2）588，294 【分析】本题主要考查立体图形的展开，解题的关键是正确记忆相关知识点． （1）根据正方体展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可判断； （2）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积． 【详解】解：（1）根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系可得： ②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误； 故答案为：①⑤⑥； （2）无盖盒子的体积为：， 有盖盒子的长：，宽为：，高为：， 有盖盒子的体积为：， 故答案为：588，294． 62．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在一次综合与实践活动中，同学们开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，知识准备：下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） 下表是活动的相关信息． 使用材料 制作目标 操作方法 示意图 边长为的正方形纸板 制作一个无盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来 制作一个有盖的长方体纸盒 先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来 解答下列问题： (1)用含a和b的代数式表示无盖的长方体纸盒的底面积，并求当，时，这个长方体纸盒的底面积； (2)细心的同学发现，制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，试探究a和b应满足的等量关系（结果用含b的代数式表示a）； (3)受这次活动的启发，小刚想用一张长为，宽为的长方形纸板，制作一个高为的有盖的长方体纸盒（如图），请你用含m，n，h的代数式表示这个长方体纸盒的体积． 若已知，，，求制作的长方体纸盒的体积？ 【答案】(1)②，， (2) (3)， 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；根据题意求出长方体纸盒的底面积即可； （2）根据制作的有盖的长方体纸盒的长是宽的2倍，若要求这个长方体纸盒的宽是高的3倍少，列方程求解即可； （3）分别用含m，n，h的代数式，表示长方体边长，进而可以列式得解，结合所得代数式，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒． 故答案为：②． 由图可得，无盖的长方体纸盒的底面为正方形，边长为， ∴底面积为． 当，时， ． ∴这个长方体纸盒的底面积为． （2）解：根据题意得，有盖的长方体纸盒的长为，高为， ∵这个长方体纸盒的宽是高的3倍少， 宽为． ∵长是宽的2倍， ，． （3）解：根据题意得，长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的体积为． 当，，时， 长方体纸盒的体积为． 63．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．    【操作一】 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）若，，那么这个无盖长方体纸盒的底面积是多少？ 【操作二】 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （2）若，，该有盖长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？请写出计算过程．    【拓展延伸】 如图3，用矩形硬纸片分别制作无盖纸盒和有盖纸盒，无盖纸盒和有盖纸盒的体积是否满足（3）中的倍数关系？若满足请直接写出结果；若不满足请写出具体的倍数关系．    【答案】【问题解决】（1）这个无盖长方体纸盒的底面积是；（2）；（3）无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍，计算过程见解析；【拓展延伸】无盖纸盒和有盖纸盒的体积满足（3）中的倍数关系，无盖纸盒的体积是有盖纸盒的体积的2倍. 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合计算： （1）根据题意可得图1中的长方体底面是一个边长为的正方形，利用正方形面积计算公式求解即可； （2）根据题意得到该有盖长方体的长为，宽为，高为，据此利用长方体面积计算公式求解即可； （3）仿照（1）先求出无盖长方体的底面积进而，再求出高即可求出无盖长方体的体积；先求出有盖长方体的长、宽、高，进而可求出有盖长方体的体积； （4）仿照（3）求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，图1中的长方体底面是一个边长为的正方形， ∴这个无盖长方体纸盒的底面积为； 当，时， （2）由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为， 故答案为：； （3）无盖长方体的体积为； 由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为； ∴无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍； （4）无盖长方体的体积为； 由题意得，该有盖长方体的长为，宽为，高为， ∴该有盖长方体的体积为； ∴无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $