专题21 全等三角中重要模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题21 全等三角中重要模型专项训练 本专题包含倍长中线与截长补短、一线三等角（K字）模型、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、角平分线模型等。 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ． 2．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转180°得到），把、，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是_________； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明给出了如下思路：延长到点，使，连接，经过推理可知… （1）请根据小明提供的思路写出详细的过程并求出的取值范围． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【尝试应用】（2）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【拓展提升】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为__________． 4．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，是的角平分线，于点E． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点M是边上一个动点（不与点D重合），以为一边，在的下方作，交射线于点G，请画出完整图形，探究与数量之间的关系，并说明理由． 5.（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：．（4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：．①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段．②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：． 【类比分析】（3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．(1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，则与的数量关系是__________．如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过A作于D，过B作于，，，则的长___________； (2)【变式运用】如图3，在中，，，．求． (3)【拓展迁移】如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 8．（23-24八年级上·广东惠州·期末）（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 9．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为_____________． （2）探究问题：①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过Rt的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 10．（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，O是内的点，，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接．设为，当为等腰三角形时，为 ． 11．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图①、图②中，点C为线段上一点，与都是等边三角形．(1)求证；(2)如图②，与交于点E，与交于点F，探究的形状，并证明你的结论． 12．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．①的度数为 ；②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 13．（2024九年级下·重庆·专题练习）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图，当点在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，在上，，若的面积为，，请直接写出的面积． 14．（23-24九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在四边形中，，． (1)求证：；(2)如图②，当时，若点E，F分别在边上，且．求证：；(3)在（2）的条件下，若，是等腰三角形，直接用含的代数式表示． 15．（23-24七年级下·陕西·期末）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________． 探索延伸：（2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 实际应用：（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 16．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 17．（23-24八年级·全国·假期作业）如图，画，并画的平分线．    (1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、（如图①），则 ；（填“”“ ”或“”） (2)把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与、交于点E、F，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由． 18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验： 画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 19．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，于E． (1)求证：平分；(2)若，，求的长． 20．（23-24八年级上·安徽·期中）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 21．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（    ）    A．的值不变 B． C．的长不变 D．四边形的面积不变 23．（2024·山西临汾·八年级统考阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：． 分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 全等三角中重要模型专项训练 本专题包含倍长中线与截长补短、一线三等角（K字）模型、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、角平分线模型等。 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ． 【答案】①③④ 【详解】， 、分别是、的平分线， ，， ，如图，延长交延长线于， ，，平分，， 在与中，，， ，，在与中，，， ，，故①正确，，，即点为的中点，∵为不一定相等，∴为不一定相等，故②错误， 若，则是斜边上的中线，则，故③正确， ，∴的取值范围为，故④正确． 综上所述，正确的有①③④．故答案为：①③④． 2．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转180°得到），把、，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是_________； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），（2）见解析，（3），证明见解析 【详解】解：（1）∵为中线，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即，解得：．故答案为：． （2）延长到点F使，再连接，∵是边上的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴为的垂直平分线，∴， ∵，∴． （3），证明如下：延长到点G使，再连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明给出了如下思路：延长到点，使，连接，经过推理可知… （1）请根据小明提供的思路写出详细的过程并求出的取值范围． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【尝试应用】（2）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【拓展提升】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为__________． 【答案】（1）（2）见解析（3）12 【详解】解：（1）延长到点E，使，连接，    ∵是的中线，∴，又，∴，∴， 在中，，，，∴， ∵，∴；故答案为：； （2）延长至点，使，连接， 同法可得：，∴，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：，∴，， ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴的面积为：；故答案为：． 4．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，是的角平分线，于点E． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点M是边上一个动点（不与点D重合），以为一边，在的下方作，交射线于点G，请画出完整图形，探究与数量之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：在中，，，，， 平分，，， 又，，，又，是等边三角形； （2）解：，理由如下：如图，延长至H，使得，连接， 由（1）得，， ，，， 又，是等边三角形，，， ，，，， ，，即， 在和中，，，， ，． 5.（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：．（4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【详解】（1）补充证明如下：∵，∴， 又∵∴，∴ ∵点是边的中点，∴，又∵∴， 在中，∴∴， 又，∴，即； （2）∵，∴，∵为的角平分线，∴ ∴，故答案为：． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴，又∵∴ ∵是的角平分线，∴，在中， ∴∴∴； （4）解：如图所示，在上截取，∵平分∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴∴， ∴，∴故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：．①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段．②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：． 【类比分析】（3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）①选择小明同学的解题思路， 证明：如图1，过作，交的延长线于， ，，是等腰直角三角形，， ，，，，， 又，，，，，， ，，； ②选择小涛同学的解题思路，证明：如图2，在上截取，连接， ，，为等腰直角三角形，，， ，，又，，， 又，，又，， ， ，，； （2）证明：如图3，过作于，则， ，，，又，，， ，，，， ，，，又，， 又，，，， ，； （3）如下图，过作于，则，，，， 又，，， 又，，，， ，，， 又，，， 又，，，，， ，，，． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．(1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，则与的数量关系是__________．如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过A作于D，过B作于，，，则的长___________； (2)【变式运用】如图3，在中，，，．求． (3)【拓展迁移】如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)；(2)2(3)9，或 【详解】（1）解：，理由如下，∵，，∴， ∵，∴ ，，∴， 在与中，∵，∴，∴； ∵，，∴，∵， ∴ ，，∴， 在与中，∵，∴，∴，， ∵，，∴； （2）解：∵，，∴，，，∴，在与中，∵， ∴，∴，∵，∴， （3）解：当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， ∵，，，∴，，由（1）得，， ∴，∴； 当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， ∵，，，∴，， 由（1）得，，∴，∴， 当作斜边时，作三角形高，过D作，过A作， ∵，，，∴，， 由（1）得，，∴，，∵，， ， ∴，，∴，，∴ ∴，，∴， 综上所述：的面积是9，或． 8．（23-24八年级上·广东惠州·期末）（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 【答案】（1）0.8；（2）见解析；（3）18 【详解】解：（1），，． ，． 在和中，， ，；故答案为：0.8； （2）证明：，， ，在和中， ，，． （3）的面积为27，，的面积是：，由（2）中可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是18， 故答案为：18． 9．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为_____________． （2）探究问题：①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过Rt的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【详解】解：（1）∵，，∴，故答案为：； （2）①，理由如下：直线，直线，， ，，，， 在和中，，，，， ，故答案为：； ②成立．证明如下：如图2， ，，， 在和中，，，，， ； （3）①当在上，在上时，即，，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ，，； ②当在上，在上时，即，，， ，，； ③当到达，在上时，即，，， ，，． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 10．（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，O是内的点，，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接．设为，当为等腰三角形时，为 ． 【答案】或或 【详解】解：，，，， ，，，，， 由旋转得，，， ，， 当△为等腰三角形，且时，则， ，，； 当△为等腰三角形，且时，则， ，； 当△为等腰三角形，且时，则， ，， 综上所述，或或，故答案为：或或． 11．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图①、图②中，点C为线段上一点，与都是等边三角形．(1)求证；(2)如图②，与交于点E，与交于点F，探究的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析(2)是等边三角形，证明见解析 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，∴， ∴，即，∴，∴； （2）解：是等边三角形，证明如下：∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴是等边三角形． 12．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．①的度数为 ；②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中∴∴ ∵∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下：∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵∴，即 在和中∴∴ ∵∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高∴ ∵∴                 （3）∵是等腰三角形，∴ ∴同（1）可得： ∴∴ ∵是等腰三角形，∴ ∴ 13．（2024九年级下·重庆·专题练习）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图，当点在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，在上，，若的面积为，，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2），理由如下：如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形，∴，，∴，又∵，∴， ∴，，∵，，∴， ∴，∴，在和中，， ∴，∴，∵，∴； （3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合， ∴，，，∵，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴，由旋转得， ∴，∴是直角三角形，∴， ∵，∴，∵，的面积为， ∴． 14．（23-24九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在四边形中，，． (1)求证：；(2)如图②，当时，若点E，F分别在边上，且．求证：；(3)在（2）的条件下，若，是等腰三角形，直接用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)为或或 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，∴．∵，∴，∴； （2）证明：如图，将围绕点A旋转到的位置， 则，∵，则，∴． ∵．∴，∴； （3）解：在四边形中，，，则． 由知，． ①当时，则， 则，； ②当时，则，； ③当时，则，则，． 综上，为或或． 15．（23-24七年级下·陕西·期末）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________． 探索延伸：（2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 实际应用：（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里 【详解】解：（1）由题意： ∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，， ，故答案为：． （2）仍然成立．理由：如图1，延长到点G，使，连接． ∵，，∴． 在和中，，∴， ∴，．∵， ∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴． （3）如图2，连接，延长，相交于点C． ∵，，∴． ∵，，∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立，即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 16．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）解：若，则，，∴，， ∵平分，∴，故答案为：； （2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， ∵平分，∴∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如图，在上取， ∵是等腰三角形，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，由（）可得，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，即． 17．（23-24八年级·全国·假期作业）如图，画，并画的平分线．    (1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、（如图①），则 ；（填“”“ ”或“”） (2)把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与、交于点E、F，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)=(2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵平分，，，，故答案为：． （2），理由如下：过作于，于，如图②所示：    则，，平分， ，，， ，，由（1）得，， 在和中，，，． 18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验： 画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）解：平分，，，∴； （2），理由如下：当时，如图①， ，平分，， ，且， ，，，∴，； 当与不垂直时，如图②，作于点，于点， ，，，，， ，且，， ，， ，∴，，综上所述，． （3），理由如下： 如图③，在上取一点，使，连接， 平分，，，∴， ，，， ，，且， ，，，． 19．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，于E． (1)求证：平分；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于， ∵，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∴平分； （2）解：由（1）可得：，在和中， ，∴，∴，∴． 20．（23-24八年级上·安徽·期中）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在上取，连接，    ，，且，，，， ∵，，，， ，． 21．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是的角平分线，， ，，又， ，， 即，又，， ，即， ，故选：． 22．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（    ）    A．的值不变 B． C．的长不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【详解】解：如图作于E，于F．∵，∴，      ∵，∴，∴， ∵平分，于E，于F，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，，∴，∴定值，故D正确， ∵，故A正确， ∵M，N的位置变化，∴的长度是变化的，故C错误． ∵，∴，∵与互补，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵平分，∴∴，故B正确，故选：C 23．（2024·山西临汾·八年级统考阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，，， 是的平分线，， 在和中，，，； （2）证明：如图②，过点作于，于，    是的平分线，，，， ，，， 在和中，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$