第二十一章 四边形培优提升作业限时训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦四边形核心知识，整合特殊四边形性质判定、中点问题及动态几何，通过多样化题型培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题|菱形判定、中位线应用、矩形对角线计算等|从特殊四边形定义到性质判定，结合图形变换与坐标几何| |填空|4题|菱形周长、平行四边形周长、正方形拼接角度等|以对角线、边长关系为核心，关联三角形与四边形计算| |解答|6题|矩形尺规作图证明、平行四边形判定与计算等|融合作图操作、性质应用与综合证明，构建“概念-推理-应用”链条|

2025-2026学年第二学期八年级下册数学暑假专项提升【06】 人教版新课标第二十一章 四边形培优提升专项训练 限时时长：60分钟　满 分：100分 完成日期： 实际用时： . 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，若要使成为菱形，则需要添加的条件是(     ) A. B. C. D. 2.如图，在四边形中，，分别是，的中点，。若，，则的长度为(     ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，相交于点，则下列结论中错误的是(     ) A. B. C. D. 4.如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是(     ) A. B. C. D. 5.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点，，，按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.如图，是带有滑道的铁杠，，是两段横木，是嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，，，是三段橡皮筋，且，分别是，的中点当螺钉在滑道里上下滑动时，下列说法正确的是(     ) A. 螺钉滑至两端处时，的长度最大 B. 螺钉滑至中点处时，的长度最大 C. 螺钉从滑动到的过程中，的长度不断增大 D. 螺钉上下滑动时，的长度始终不变 7.用若干个全等的正五边形按如图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是(     ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 8.如图，，，，分别是，，，的中点，且，下列结论： ；四边形是矩形； 平分；； 四边形的周长等于 其中正确的个数是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为           ． 10.如图，▱的对角线交于点，，，则的周长为           ． 11.如图是由个相同的正方形拼成，则            12.如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过           秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形 小明的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； 作直线，交于点； 连接并延长，截取； 连接，，则四边形就是所求作的矩形 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 14.本小题分 如图，在中，，是边上一点，且，连接，，分别为，的中点，连接，，． 求证：四边形是平行四边形 若，求▱的周长． 15.本小题10分 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，是的中点，过点作，交于点． 求证：四边形是矩形； 若，矩形，求的长． 16.本小题10分 【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板阴影部分，点在对角线上． 【数学理解】 该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程 若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 17.本小题分如图，为锐角三角形，平分． 请用无刻度的直尺和圆规分别在，上取点，，使得，保留作图痕迹，不写作法 在的条件下，求证：四边形是菱形． 18.本小题分 如图，是等边三角形，是边上的高，点在的延长线上，连接，，过点作与的延长线相交于点，连接，，。 求证：四边形为平行四边形； 若，求四边形的面积。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级下册数学暑假专项提升【06】 人教版新课标第二十一章 四边形培优提升专项训练 限时时长：60分钟　满 分：100分 完成日期： 实际用时： . 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，若要使成为菱形，则需要添加的条件是(     ) A. B. C. D. 2.如图，在四边形中，，分别是，的中点，。若，，则的长度为(     ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，相交于点，则下列结论中错误的是(     ) A. B. C. D. 4.如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是(     ) A. B. C. D. 5.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点，，，按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.如图，是带有滑道的铁杠，，是两段横木，是嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，，，是三段橡皮筋，且，分别是，的中点当螺钉在滑道里上下滑动时，下列说法正确的是(     ) A. 螺钉滑至两端处时，的长度最大 B. 螺钉滑至中点处时，的长度最大 C. 螺钉从滑动到的过程中，的长度不断增大 D. 螺钉上下滑动时，的长度始终不变 7.用若干个全等的正五边形按如图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是(     ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 8.如图，，，，分别是，，，的中点，且，下列结论： ； 四边形是矩形； 平分； ； 四边形的周长等于 其中正确的个数是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为           ． 10.如图，▱的对角线交于点，，，则的周长为           ． 11.如图是由个相同的正方形拼成，则            12.如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过           秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形 小明的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； 作直线，交于点； 连接并延长，截取； 连接，，则四边形就是所求作的矩形 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 14.本小题分 如图，在中，，是边上一点，且，连接，，分别为，的中点，连接，，． 求证：四边形是平行四边形 若，求▱的周长． 15.本小题10分 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，是的中点，过点作，交于点． 求证：四边形是矩形； 若，矩形，求的长． 16.本小题10分 【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板阴影部分，点在对角线上． 【数学理解】 该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程 若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 17.本小题分如图，为锐角三角形，平分． 请用无刻度的直尺和圆规分别在，上取点，，使得，保留作图痕迹，不写作法 在的条件下，求证：四边形是菱形． 18.本小题分 如图，是等边三角形，是边上的高，点在的延长线上，连接，，过点作与的延长线相交于点，连接，，。 求证：四边形为平行四边形； 若，求四边形的面积。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级下册数学暑假专项提升【06】 人教版新课标第二十一章 四边形培优提升专项训练 限时时长：60分钟　满 分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，若要使成为菱形，则需要添加的条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.如图，在四边形中，，分别是，的中点，。若，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  3.如图，在中，，相交于点，则下列结论中错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、四边形是平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形， ，正确，不符合题意； C、四边形是平行四边形， ，正确，不符合题意； D、根据四边形是平行四边形不能推出，错误，符合题意； 故选：． 4.如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：在矩形中，， ， ， ， 又， ． 故选：． 根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，含度角直角三角形的性质，熟记各性质是解题的关键． 5.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点，，，按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  6.如图，是带有滑道的铁杠，，是两段横木，是嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，，，是三段橡皮筋，且，分别是，的中点当螺钉在滑道里上下滑动时，下列说法正确的是(    ) A. 螺钉滑至两端处时，的长度最大 B. 螺钉滑至中点处时，的长度最大 C. 螺钉从滑动到的过程中，的长度不断增大 D. 螺钉上下滑动时，的长度始终不变 【答案】D  7.用若干个全等的正五边形按如图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是(    ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】B  8.如图，，，，分别是，，，的中点，且，下列结论：；四边形是矩形；平分；；四边形的周长等于其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可． 【解答】 解：、、、分别是、、、的中点， ，，，， ， ，， 四边形是菱形， ，正确； 四边形是矩形，错误； 平分，正确； 当时，如图所示，延长交于点， ，分别为，中点， ，， ，故本小题错误； 四边形周长等于，正确； 综上所述，共个正确； 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． 根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【解答】 解：如图所示，菱形中，，， 根据题意得，， 四边形是菱形， ，， 是直角三角形， ， 此菱形的周长为：． 故答案为：． 10.如图，▱的对角线交于点，，，则的周长为          ． 【答案】  11.如图是由个相同的正方形拼成，则           【答案】  【解析】解：如图，连接、，设每个小正方形的边长都是，则，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 由勾股定理得，， ， ，， ， ， 故答案为：． 将图形的有关三角形的顶点标上字母，连接、，设每个小正方形的边长都是，则，，证明≌，则，由勾股定理得，，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 12.如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过          秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或  【解析】解：设点、运动的时间为，依题意有： ，，，； ， 当时，四边形是平行四边形，即，解得； 当时，四边形是平行四边形，即，解得． 所以当或秒时，直线将四边形截出一个平行四边形． 故答案为：或． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题10分 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，在中，． 求作：矩形 小明的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； 作直线，交于点； 连接并延长，截取； 连接，，则四边形就是所求作的矩形 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 【答案】证明：由作图知，，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 14.本小题10分 如图，在中，，是边上一点，且，连接，，分别为，的中点，连接，，． 求证：四边形是平行四边形 若，求▱的周长． 【答案】(1)解:证明:E,F分别为BC,BD的中点,EF是BCD的中位线. EF//CD,EF=CD. CD=2AD,AD=EF. 又AD//EF,四边形ADEF是平行四边形.  (2)BD=4AD=4,AD=. 在RtABD中,BAD=,F为BD的中点,AF=BD=4=. 四边形ADEF是平行四边形,AF=DE=2,EF=AD=. ▱ADEF的周长为2(AF+EF)=23=6  15.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，是的中点，过点作，交于点． 求证：四边形是矩形； 若，矩形，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AD// BC． ∵E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线． ∴OE// BC． ∵EF// BD， ∴四边形OEFB是平行四边形． ∵AD⊥BD，AD// BC， ∴BC⊥BD． ∴∠CBD＝90°． ∴四边形OEFB是矩形．  (2)10  16.本小题分 【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板阴影部分，点在对角线上． 【数学理解】 该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程 若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1)四边形ABCD是正方形, AB=CB,ABD=CBD. 又BE=BE, ABECBE(SAS). (2)四边形ABCD是正方形, BAD=,ADB=. DE=DA, DAE=DEA. DAE+DEA+ADE=, DAE=DEA=, BAE=BAD-DAE=. 17.本小题分 如图，为锐角三角形，平分． 请用无刻度的直尺和圆规分别在，上取点，，使得，保留作图痕迹，不写作法 在的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)解:如图,点E,F即为所求作.   (2)证明:由(1)知DE//AF,AE//DF, 四边形AEDF为平行四边形. 又AD平分BAC, BAD=CAD. DE//AF, EDA=DAC. EAD=EDA. AE=DE. 四边形AEDF为菱形. 18.本小题12分 如图，是等边三角形，是边上的高，点在的延长线上，连接，，过点作与的延长线相交于点，连接，，。 求证：四边形为平行四边形； 若，求四边形的面积。 【答案】(1)证明：∵是等边三角形的边上的高， ∴，。 ∵， ∴， ∴，。 ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴。 又∵， ∴四边形为平行四边形。 (2)解：∵是等边三角形的边上的高，， ∴，， ∴。 由（1）知为等边三角形， ∴。 ∵，， ∴， ∴， ∴。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $