专题15 三角形相关的选择填空分类训练 【暑期培优】2026年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦三角形核心考点，12类60题从概念辨析到性质应用再到综合变换，构建完整知识网络，强化几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |构成条件/个数|10道|三边关系判断/图形计数|三角形概念基础| |等腰三角形|10道|分类讨论度数与周长|特殊三角形性质应用| |角平分线/内角和/外角|15道|角度转化与计算|三角形角关系推导| |中线/面积|10道|面积等分与线段计算|几何量关系应用| |概念/稳定性/折叠|15道|性质辨析/实际应用/变换综合|知识体系拓展与综合应用|

专题15 三角形相关的选择填空高频考题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 构成三角形的条件】 1 【类型2 三角形的个数】 3 【类型3 等腰三角形的度数求解】 5 【类型4 等腰三角形的线段求解】 7 【类型5 三角形相关面积问题】 9 【类型6 角平分线相关角度求解】 13 【类型7 三角形的内角和】 16 【类型8 三角形的外交】 18 【类型9 利用三角形的中线求线段长】 21 【类型10 三角形相关概念题】 24 【类型11 三角形的稳定性】 27 【类型12 三角形相关折叠问题】 28 【类型1 构成三角形的条件】 1．长为10，7，5，4的四根木条，选择其中三根组成三角形，不能构成三角形的是（    ） A．10，7，5 B．10，7，4 C．10，5，4 D．7，5，4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、，长是5、7、10的木条能构成三角形，故A不符合题意； B、，长是4、7、10的木条能构成三角形，故B不符合题意； C、，长是5、4、10的木条不能构成三角形，故C符合题意； D、，长是5、4、7的木条能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 2．下列各组线段，能构成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．3，4，5 D．4，4，8 【答案】C 【分析】较短两条线段的长度和大于最长线段的长度，即可构成三角形，否则不能构成三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴A不符合题意. 选项B中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴B不符合题意. 选项C中，，满足三角形三边关系，能构成三角形，∴C符合题意. 选项D中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴D不符合题意． 3．下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（   ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，若大于则能构成，反之不能构成． 【详解】解：∵选项A中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项B中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项D中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． 4．下列三角形三边的长度，能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，6 D．5，5，13 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题目，熟知三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 5．下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需比较较小两条边的和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、∵ ，∴ 可以构成三角形. B、∵ ，，∴ 可以构成三角形. C、∵ ，，∴ 可以构成三角形. D、∵ ，不满足三边关系，∴ 无法构成三角形． 【类型2 三角形的个数】 6．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 7．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 8．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 9．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 10．如图，以点为顶点的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的个数，根据图形解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，以点为顶点的三角形有、、、，共个， 故选：． 【类型3 等腰三角形的度数求解】 11．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 12．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 13．在中，已知，且一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形；根据题意可知只能是顶角，再结合等腰三角形的底角等于得出答案． 【详解】解：根据等腰三角形的两个底角相等，可知只能是顶角， 所以这个等腰三角形的底角． 故选：D． 14．一个等腰三角形有一个角为，则它的底角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意可分为顶角和底角两种情况进行分类求解即可． 【详解】解：由题意可分：①当的角为该等腰三角形的底角时，则底角为； ②当角为该等腰三角形的顶角时，则底角为； 综上所述：该等腰三角形的底角为或； 故选C． 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，进行分等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案是正确解答本题的关键． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图， 高与左边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当为钝角三角形时，如图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为． 故选D． 【类型4 等腰三角形的线段求解】 16．已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为7cm，则它的周长为（    ） A．17cm B．19cm C．17cm或19cm D．18cm 【答案】C 【分析】分腰长为5cm和7cm，两种情况进行讨论求解即可．掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键． 【详解】解：当腰长为5cm时，周长为：； 当腰长为时，周长为； 故选C． 17．已知等腰三角形的周长为18，其中一条边的长是8，则另外两条边的长为（    ） A．8、2 B．5、5 C．6、4 D．8、2或5、5 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 对已知的边长进行分类讨论，分成为8的边长是腰或者底边，进行计算即可． 【详解】解：如果8为腰的话，那么底边的长度为；如果8为底边，那么腰的长度为，所以另外两条边的长度为8、2或5、5． 故选：D． 18．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的周长的分类计算，分已知边是等腰三角形的底边和腰两种情况计算是解题的关键． 【详解】当是底边时，则腰长为，此时三角形存在； 当是腰时，则底边长为，此时三角形存在； 故选C． 19．设等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则其周长为（    ） A．16 B．22 C．26 D．22或26 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，运用好分类讨论思想是解答本题的关键．等腰三角形的两边分别为5和10，但没有明确哪个是底边，哪个是腰，所以分两种情况讨论． 【详解】解：当6为底边时，其余两边均为10， 6、10、10可以构成三角形，周长为26； 当10为底边时，其余两边为6和6， 6、6、10可以构成三角形，周长为22， 故其周长为22或26． 故选∶D． 20．已知等腰三角形两边的长x、y满足，则等腰三角形周长为（    ） A．10 B．11 C．12 D．10或11 【答案】D 【分析】先利用绝对值和平方的非负性可得求出的值，然后分两种情况分别进行计算即可解答． 【详解】∵， ∴，， ∴或（舍去），， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时， ∴等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时， ∴等腰三角形的周长； 综上所述：等腰三角形的周长是10或11， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 【类型5 三角形相关面积问题】 21．如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，，交于点G，已知的面积是8，的面积是3，则的面积是（   ） A．24 B．30 C．36 D．40 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形的中线平分三角形的面积可得的面积的面积，的面积的面积，再由求出的面积的，可得结论． 【详解】解：连接， 是的中点， 的面积的面积，的面积的面积， ， 的面积， 的面积， 的面积的面积． 故选：B． 22．如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【分析】根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积等于20， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 23．如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接，根据中线的性质得到三角形面积之间的关系，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵的中线相交于点F， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵的面积为12 ∴， 解得， ∴． 24．如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 25．如图，点O是的重心．若阴影部分的面积的和是6，则的面积是（   ）    A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据阴影部分面积和为 6即可求解． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， ． 故选：C． 【类型6 角平分线相关角度求解】 26．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 27．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 28．如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 29．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是__________． 【答案】20 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】解：，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 30．如图，在中，平分，于点，交于点，若，则_______． 【答案】3 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据，平分，可证，根据等角对等边可得，根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，进而可得． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【类型7 三角形的内角和】 31．如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 32．如图，在中，，，则_______°． 【答案】 【分析】先用表示，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由三角形内角和定理可得： ． 33．在直角中，，，则________°． 【答案】50 【分析】根据直角三角形有一个内角为，结合已知条件分类讨论，排除不符合的情况，即可求解． 【详解】解：是直角三角形， 有一个内角为， 分三种情况讨论： 若， 则， 满足，符合题意； 若，与已知矛盾，舍去； 若，与已知矛盾，舍去； 综上，． 34．如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【答案】/度 【分析】根据比大，并结合它们互余可求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 35．在中，若，则________． 【答案】 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 【详解】解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 【类型8 三角形的外交】 36．如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【答案】56 【分析】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 37．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则___________．    【答案】/90度 【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意． 根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：．    38．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为_____________． 【答案】/度 【分析】根据、分别是的外角和外角的平分线，得出，，根据，得出，根据，，得出，最后根据三角形的内角和，得出． 【详解】解：∵、分别是的外角和外角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，邻补角的有关计算，解题的关键是根据角平分线和领补角的定义求出． 39．如图，为的一个外角，点，分别在边，上，若，则等于_______． 【答案】140 【分析】先根据，，，求出，再根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 40．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，若，，则____． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质求出的度数，再根据角平分线的定义即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． 【类型9 利用三角形的中线求线段长】 41．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 42．如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 43．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 44．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 45．如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了中线的性质，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据中线的性质得到，再利用周长作差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长 ∴与的周长差， 故选：A． 【类型10 三角形相关概念题】 46．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 47．下列说法中，正确的是（   ） A．连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 B．过直线l外一点P作于点Q，则点P到直线l的距离是线段 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的角平分线是线段 【答案】D 【分析】根据垂线段性质，点到直线距离的定义，三角形高线交点的位置，三角形角平分线的定义，逐个判断选项即可得出正确结论. 【详解】解：A.垂线段最短的性质是：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，本选项未说明是直线外一点，故原说法错误，不符合题意； B.点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，不是线段本身，故原说法错误，不符合题意； C.直角三角形三条高所在直线交于直角顶点，交点在三角形的边上，既不在三角形内也不在三角形外，故原说法错误，不符合题意； D.三角形的角平分线定义是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，则三角形的角平分线是线段，故原说法正确，符合题意. 48．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫做重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 49．下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了命题与定理，利用三角形的有关性质分别判断得出是解题关键． 根据三角形的角平分线，高，中线和全等三角形的性质，分别进行判断得出答案即可． 【详解】解：A、在钝角三角形中，从锐角顶点向对边所作的高在三角形的外部，故A不是真命题，符合题意； B、三角形的三条角平分线必交于一点（内心），故B是真命题，不符合题意； C、全等三角形对应边上的中线相等，故C是真命题，不符合题意； D、三角形一边上的中线将底边分为两等分，且两个三角形等高，所以三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等，故D是真命题，不符合题意； 故选：A． 50．下列结论正确的是（   ） A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D．直角三角形的三条高的交点在斜边上 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高，根据定义和性质判断各选项即可，掌握相关概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、任何三角形的角平分线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、任何三角形的中线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； 、直角三角形的三条高交于直角顶点，不在斜边上，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 【类型11 三角形的稳定性】 51．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________． 【答案】 三角形具有稳定性 【详解】解：三角形具有稳定性，即当三角形的三条边长确定时，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生改变，自行车的车架由多个三角形组成，利用了三角形具有稳定性这一数学原理，使得车架在受力时不易变形，保证了骑行的安全与稳定． 52．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：太空漫步机是一种有氧运动器材，它的三角形支架设计应用的几何原理是三角形具有稳定性． 53．如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【详解】解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性． 54．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 55．非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，这蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【类型12 三角形相关折叠问题】 56．如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 57．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠的性质得到，则可推出；当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况，据此根据，求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数，再验证是否为“倍角三角形”即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 在中，， ∴当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴此时不是“倍角三角形”，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时是“倍角三角形”，符合题意； 综上所述，． 58．如图，点分别在的边上，连接，把沿折叠，点恰好落在边上点的位置．若平分，则下列结论：①，②；③；④．其中正确结论的序号是___________． 【答案】 ①②④ 【分析】根据折叠的性质可得 ，从而得到对应角相等，据此判断①；根据四边形内角和定理及 判断②；根据角平分线的定义及三角形内角和定理推导 与 的关系，结合平角定义及折叠性质判断④；通过反证法或特定值法判断③是否恒成立. 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，，， ，故①正确； 在四边形 中，， ， ，即，故②正确； 平分， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ，故④正确.； 若，则， ， 由于的形状不确定，该等式不一定成立，故③错误.； 综上所述，正确的结论是①②④. 59．如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，利用折叠的性质得到相等的角是解题的关键． 先由邻补角性质求出，再利用折叠性质得和的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 60．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 三角形相关的选择填空高频考题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 构成三角形的条件】 1 【类型2 三角形的个数】 1 【类型3 等腰三角形的度数求解】 2 【类型4 等腰三角形的线段求解】 3 【类型5 三角形相关面积问题】 3 【类型6 角平分线相关角度求解】 4 【类型7 三角形的内角和】 5 【类型8 三角形的外交】 6 【类型9 利用三角形的中线求线段长】 7 【类型10 三角形相关概念题】 8 【类型11 三角形的稳定性】 9 【类型12 三角形相关折叠问题】 10 【类型1 构成三角形的条件】 1．长为10，7，5，4的四根木条，选择其中三根组成三角形，不能构成三角形的是（    ） A．10，7，5 B．10，7，4 C．10，5，4 D．7，5，4 2．下列各组线段，能构成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．3，4，5 D．4，4，8 3．下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（   ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 4．下列三角形三边的长度，能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，6 D．5，5，13 5．下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【类型2 三角形的个数】 6．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 8．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 9．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，以点为顶点的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【类型3 等腰三角形的度数求解】 11．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 12．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 13．在中，已知，且一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 14．一个等腰三角形有一个角为，则它的底角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【类型4 等腰三角形的线段求解】 16．已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为7cm，则它的周长为（    ） A．17cm B．19cm C．17cm或19cm D．18cm 17．已知等腰三角形的周长为18，其中一条边的长是8，则另外两条边的长为（    ） A．8、2 B．5、5 C．6、4 D．8、2或5、5 18．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（   ） A． B． C．或 D． 19．设等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则其周长为（    ） A．16 B．22 C．26 D．22或26 20．已知等腰三角形两边的长x、y满足，则等腰三角形周长为（    ） A．10 B．11 C．12 D．10或11 【类型5 三角形相关面积问题】 21．如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，，交于点G，已知的面积是8，的面积是3，则的面积是（   ） A．24 B．30 C．36 D．40 22．如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 23．如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 25．如图，点O是的重心．若阴影部分的面积的和是6，则的面积是（   ）    A．8 B．10 C．12 D．14 【类型6 角平分线相关角度求解】 26．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 27．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 28．如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 29．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是__________． 30．如图，在中，平分，于点，交于点，若，则_______． 【类型7 三角形的内角和】 31．如图，，，，则的度数为_____ ． 32．如图，在中，，，则_______°． 33．在直角中，，，则________°． 34．如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 35．在中，若，则________． 【类型8 三角形的外交】 36．如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 37．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则___________．    38．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为_____________． 39．如图，为的一个外角，点，分别在边，上，若，则等于_______． 40．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，若，，则____． 【类型9 利用三角形的中线求线段长】 41．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 42．如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 43．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 44．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 45．如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【类型10 三角形相关概念题】 46．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 47．下列说法中，正确的是（   ） A．连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 B．过直线l外一点P作于点Q，则点P到直线l的距离是线段 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的角平分线是线段 48．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 50．下列结论正确的是（   ） A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D．直角三角形的三条高的交点在斜边上 【类型11 三角形的稳定性】 51．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________． 52．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 53．如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 54．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 55．非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____． 【类型12 三角形相关折叠问题】 56．如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 57．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 58．如图，点分别在的边上，连接，把沿折叠，点恰好落在边上点的位置．若平分，则下列结论：①，②；③；④．其中正确结论的序号是___________． 59．如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 60．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $