专题14 三角形相关的拓展提升题 学案 2026年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦三角形动态与静态性质探究，通过5类40题系统整合角平分线、最值、动点等核心考点，以题链形式构建从性质推导到综合应用的逻辑体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定值问题|8道|探究角/线段数量关系不变性|三角形内角和→角平分线性质→动态图形中不变量推导| |最值问题|8道|结合轴对称/旋转求线段/面积最小值|垂线段最短→图形变换→几何模型构建| |动点问题|8道|动态环境下角/线段关系变化规律|动点轨迹→分类讨论→实时几何关系分析| |综合性问题|8道|多结论辨析与多知识点融合|高线/角平分线综合→全等/相似判定→复杂图形性质推理| |角平分线相关|8道|内外角平分线夹角数量关系|内角和与外角性质→角平分线定义→多角关系代数化|

专题14 三角形相关的拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 三角形相关定值问题】 1 【类型2 三角形相关最值问题】 19 【类型3 三角形相关动点问题】 36 【类型4 三角形相关综合性问题】 50 【类型5 角平分线相关探究角的数量关系】 62 【类型1 三角形相关定值问题】 1．学习“三角形”这章时，数学兴趣小组开展以下探究活动．如图1，在中，的大小保持不变，记作．点E，D，F分别在边上，且． (1)当时，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点M，和的平分线交于点N．该小组发现：无论点E，D，F怎么运动，始终为定值．请你写出这个定值，并说明理由； (3)该小组类比（2）的研究，又找到和为定值的两个角，这两个角分别以M、N为顶点．你知道该小组的这个研究结果吗？请直接写出结果，无需证明．（要求：写出具体哪两个角及具体的定值，并以等式形式呈现） 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： ∵， ∴； ∵和的平分线交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； (3) 【分析】（1）由平行线的性质得到，则可证明，据此可证明； （2）由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则可求出，进而得到，同理可得，据此可得答案； （3）连接，则平分，平分，可求出，同理可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接， ∵和的平分线交于点M，和的平分线交于点N， ∴平分，平分， 同理可得， ∵， ∴， ∴ ． 2．根据以下所给的材料，解答下面的问题． 材料一：如图1，中，若，则． 材料二：如图2，的内角和外角的平分线交于点，则有结论：．    解答问题： 如图3，点与点坐标轴上，且，满足． (1)求点A（ ， ），B（ ， ）的坐标； (2)C为y轴正半轴上一动点，D为的外角的平分线与的平分线的交点，当，求C点坐标； (3)如图4，C为y轴正半轴上A的上方一动点，P为线段上一动点，连延长交x轴于E，和平分线交于F，在点C在运动过程中，下列结论：①是定值，②是定值；请选择你认为正确的结论，并进行证明；若都不正确，也请说明理由． 【答案】(1)0；3；2；0 (2) (3)是定值；证明见解析 【分析】（1）由已知，求出、的值即可求出，的坐标； （2）由题意可求得，根据外角性质求得的外角和的外角的度数，可推得，即可求出，从而得到点坐标； （3）设、交于点，通过三角形角平分线及三角形内角和推出，从而确定是定值． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得：，， ，； （2）解：如图3，E为A上方一点， 平分， ，， ∴， 平分， ∴， ， 在中：， ， ， ； （3）解：是定值； 设、交于点，      则，， ，平分，， ， ， 在中： ， ， 在中： ， ． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，绝对值的非负性，平面直角坐标系，熟练掌握三角形角平分线的用法是解答本题的关键． 3．已知，点． (1)如图1，若点C与点O重合，且，求的面积； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，旋转，使的顶点C在直线与x轴之间，N为上一点，E为与的交点，，下列两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值． 【答案】(1) (2) (3)②正确，理由见解析 【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，根据△ABC的面积等于梯形AMNB的面积减去两个直角三角形的面积列式计算即可得解； （2）根据对顶角相等，三角形内角和定理和互余的性质得出∠CED=37.5°， 再根据邻补角即可得出∠CEF=142.5° ； （3）作CP∥x轴，则CP∥DM∥x轴，根据平行线的性质得∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°， 由于∠NEC+∠CEF=180°， 所以∠2=∠NEC， 然后利用∠1+∠2=90° 即可得到，即确定②正确． 【详解】（1）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N． ∵ ， ∴AM=a，OM=3，BN=b，ON=3， ∴MN= OM +ON =3+3=6， ， ∵，即， ∴； （2）∵， ∴． 如图，设BC与OD交于点H， ∵，， ∴， ∴； （3）为定值．理由如下： 如图，作CP∥x 轴， 则CP∥DM∥x轴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 即②正确． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，余角、邻补角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 4．如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动． (1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________． (2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变． （i）用含有的式子表示的度数_________． （ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）． ①与互补；②为定值；③为定值；④与互余． 【答案】(1)1，2 (2)不变，135° (3)（i）；（ii）①③④ 【分析】（1）构建方程组即可解决问题；（2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求出∠APB即可；（3）（ⅰ）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可解决问题；（ⅱ）结论：①③④正确．根据角平分线的定义，三角形内角和定理一一证明即可； 【详解】（1）由题意：，解得，故答案为1，2． （2）解：不变化．．理由：如图2， ∵直线直线， ∴， 即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴度数不变化，总是等于． （3） （i）由题意得∠AOB＝90°＋α，∠OAB＋∠OBA＝90°−α，∵AP平分∠BAO，BP平分∠ABO，∴∠PAB＋∠PBA＝＝45°−α，∴∠APB＝180°−（45°−α）＝135°＋α故答案为：． （ii）①∠APB与∠Q互补；正确．理由：∵AQ平分∠CAB，BQ平分∠ABD，∴∠Q＝180°−(∠QAB＋∠QBA)＝180°−[(180°−∠OAB)＋(180°−∠OBA)]＝(∠OAB＋∠OBA)＝[180°−(90°＋α)]＝45°−α，∴∠APB＋∠Q＝135°＋α＋45°−α＝180° ②∠M−∠Q为定值．错误．理由：∵∠Q＝45°−α，∴∠M＝90°−∠Q＝45°＋α，∴∠M−∠Q＝α，不是定值． ③∠APB−∠M为定值；正确．理由：同法可证：∠PAM＝90°，∴∠APB＝∠PAM＋∠M，∴∠APB−∠M＝90°为定值．④∠Q与∠M互余；正确．理由：∵BQ平分∠ABD，BM平分∠ABO，∴∠MBQ＝(∠ABD＋∠ABO)＝90°，∴∠Q＋∠M＝90°．故答案为①③④ 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的定义、三角形内角和定理、二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 5．如图1，直线与直线，分别交于点，，与互补． (1)如图1，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的平分线交于点P，的延长线与交于点G、H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 【答案】(1)平行；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线与直线平行； （2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据与的角平分线交于点P，可得，进而证明； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得的度数． 【详解】（1）解：， 理由：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； 即的大小是定值． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、余角和补角，三角形的内角和定理的应用，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． 6．在中，，点在线段上． (1)如图1，点在线段上，，若，，则_____°； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再结合已知条件可证； （2）如图，延长交于K．设，求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长交于K，延长交于N．设，仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：是定值，理由如下： 如图，延长交于K．设． ∵，平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵（三角形的外角的性质）， ∴， ∴，即， ∴是定值； （3）解：如图，延长交于K，延长交于N．设． 同（2）法可证：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，角度的和差计算等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．在中，，点D在线段BC上 (1)如图1，点E在线段AC上，，若，则______°； (2)如图2，AH平分，点F在线段BD上，交AD的延长线于点G，与的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，时，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)50 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CDE，再结合已知条件可证∠BAD=2∠CDE=50°； （2）如图，延长GF交AB于K．设∠P=x，∠CFG=y，求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长GH交AB于K，延长PG交BC于N．设∠BFG=y，仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CDE， ∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE， ∵∠ADE=∠AED，∠C=∠B， ∴∠ADE=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE， ∴∠B+∠BAD=∠B+∠CDE+∠CDE， ∴∠BAD=2∠CDE=50°， 故答案为：50； （2），理由如下： 如图，延长GF交AB于K．设∠P=x，∠CFG=y． ∵AH⊥GK，AH平分∠BAD， ∴∠GAH+∠AGH=90°，∠KAH+∠AKG=90°，∠KAH=∠GAH， ∴∠AGK=∠AKG， ∵PD平分∠AGF， ∴∠AGK=2∠PGK， ∵∠AKQ=∠B+∠KFB， ∴2∠PGK=∠KFB+∠B=∠ACB+∠CFG， ∵CP平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠PCB， ∴2∠PGK=2∠PCB+y ∴ 由三角形的外角性质得∠P+∠PCB=∠PGK+∠CFG， ∴， ∴x-y=，即x=， ∴ （3）解：如图，延长GH交AB于K，延长PG交BC于N．设∠BFG=y． 同法可证：∠AGK=∠AKG， ∴∠AGK=∠AKG=∠B+∠BFK， ∴∠AGF=180°-∠AGK=180°-∠B-∠BFK， ∵PG平分∠AGF， ∴，， ∵CP平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠PCB， 又∵∠B=∠ACB， ∴∠B=2∠PCB， ∴， ∴， 由三角形外角的性质可知， ∴， ∴， ∴ ∴； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 8．如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． (1)若，求的度数； (2)在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题意可得，再根据直角三角形的两个锐角互余得，然后根据三角形的外角的性质得； （2）由垂直定义得，再根据三角形外角的性质得，进而得，则此题可解． 【详解】（1）解：∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：为定值，理由如下： ∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为定值． 【类型2 三角形相关最值问题】 9．阅读理解：如图1，中，是边上一点，且，试说明．    解：过点作边上的高， ，， ， 又， ． 根据以上结论解决下列问题：如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点，分别在线段，上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，当取得最小值时，求四边形的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①的最小值为；②． 【分析】（1）由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质即可求解； （2）①作点关于直线的对称点，连接、，可得当点落在上且时，的值最小，为此时的长，根据的面积为，将用含的式子表示即可；②先将的面积用表示，再由求出的长，得，可得，由，，求出，由即可求出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵沿直线翻折得到，点的对应点为， ∴； （2）解：①如图，作于点，交于点，连接、，   ， 由翻折得，， ∵，， ∴（）， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴≥， ∴当点落在上且时，的值最小，为此时的长； 如图，于点，交于点，，    由，得， 解得，， 此时， ∴的最小值为． ②如图，当取最小值时，于点，交于点，，    设，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，，得， 设， ∵， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴． 10．如图，中，点是边上的一点，与关于直线成轴对称，点与点对应． (1)如图1，点在边上，，，求的度数； (2)如图2，点在外，若，，垂足为点，求证：； (3)在（2）的条件下，为上一动点，为上一动点，若，，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 由轴对称性质知，， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由轴对称性质得，得，由三角形内角和性质得,得，由三角形外角性质即得； （2）由垂直得，由三角形外角性质得，∴由平角性质得，由折叠性质得，，即得； （3）连接，由折叠知性质得，，得，当点M在上时，取得最小值，就取得最小值，可得，由，得，得，由，即得． 【详解】（1）解：由轴对称性质知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：略； （3）解：连接， 由轴对称性质知，， ∴， 当点M在上时， ， 当时， 取得最小值，就取得最小值， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 11．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，若BC=2AB，，，求； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到△，连接，以为斜边向右作等腰直角三角形，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，过点作于点，连接．想办法求出，可得结论； （2）如图2中，过点作交的延长线于点．证明，推出，再证明，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得结论； （3）如图3中，连接，以，为边构造矩形，连接，．证明四边形是正方形，再证明，推出，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，连接． ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：如图2中，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：如图3中，连接，以，为边构造矩形，连接，． 由（1）可知，，， 是的中点， ，， ， 四边形是正方形， ，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 12．综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 问题发现 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……． 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点B时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 拓展延伸： 小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】问题1：（1）； （2），证明如下； 如图，连接， ∵将绕点D顺时针方向旋转得到， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． 问题2：①；②； 问题3：． 【分析】问题1：（1）由折叠的性质可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由旋转知，，再证即可得出结论； 问题2：①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，，然后在中根据勾股定理求出，即可解答； ②过点作于，交于．则四边形是矩形，得出，由三角形面积求出，然后证，得出，即可得出结论； 问题3：连接、，则，当、、三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形斜边中线的性质得，证明，由相似三角形的性质得出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：问题1：（1）∵折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴． 故答案为： （2）略 问题2：①∵将绕点D顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴． 故答案为： ②过点作于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵ ∴， ∴，， 解得：． 问题3：如图，连接、， ∵， ∴、、三点共线时，，此时的值最小，最小， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 13．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 14．如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 15．如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 16．如图，点C为直线外一点，，连接，，点D，E分别是，的中点，连接，交于点F，已知图中阴影部分的面积为4．线段长的最小值为________． 【答案】8 【分析】如图：连接，过点作于点，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点作于点， ∵点分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 又 ∵点到直线的距离垂线段最短， ， ∴的最小值为． 【类型3 三角形相关动点问题】 17．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点． (1)若，，求的度数． (2)当点在线段上运动时，求证：． 【答案】(1)． (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理的推论，熟练掌握该定理是解题的关键； （1）根据题干信息可以推出的度数，再根据角平分线得出的度数，再根据三角形外角的性质可以得到的度数，然后根据三角形内角和定理求得的度数； （2）根据三角形内角和定理可以得到的表达式，根据角平分线得到的表达式，进而推导出的表达式，再根据垂直即可求得的表达式． 【详解】（1），， ． 平分， ， ． ， ， ． （2）解：证明：， ． 平分， ， ． ， ， ， ， 即． 18．在三角形中，，点是线段上的动点（点不与端点、重合），点在上，连接、，． (1)如图，若平分，求证：； (2)如图2，连接，．若，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用角平分线定义求，结合三角形内角和定理求，证明 （2）过点D作交于点H，通过平行线性质、角的关系推出，再根据垂线段最短判断与的大小关系． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，交于点． ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴（垂线段最短，当与重合时取等号）． 19．在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到，再由， 可得，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三个内角的平分线交于点， ∴分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点M在线段上时， ∵，， ∴ ， ∵，即， ∵， ∴， 即； 当点M在线段的延长线上时，如图， 同理， ∵，即， ∴ 即； 综上所述，、、三者之间的数量关系为或． 20．如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 21．如图，在三角形中，点E是射线上的一个动点（与点B，C不重合），将线段沿平移得到线段，连接，画的平分线与的平分线交于点P． (1)如图1，点E在线段上， ①若，，依题意补全图1，并直接写出和的度数； ②用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，点E在线段的延长线上，直接用等式表示出与的数量关系． 【答案】(1)①补全图形如图： ，； ②， 证明：由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）①由平移的性质得，，由平行线的性质求出，由角平分线的定义可得，，过点作，则，，从而可得，即可得出结果；②由平移的性质得，，由平行线的性质求出，由角平分线的定义可得，，过点作，则，，从而可得，最后结合三角形内角和定理即可得证； （2）由平移的性质得，，由平行线的性质求出，由角平分线的定义可得，，过点作，则，，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：①由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②略； （2）解：由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， 过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．在中，，点D，E分别是边上的点，点F是直线上一动点，设，，． (1)如图1，若点F在线段上，且，求的度数； (2)若点F在线段的延长线上． （i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由； （ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）.理由见解析（ii）.理由见解析 【分析】（1）连接，利用三角形的外角的性质求解即可； （2）（i）利用三角形的外角的性质求解即可；（ii）利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 由三角形的外角性质，得，， ∴ （2）（i） 理由：如图2，设与相交于点G ∵， ∴ （ii） 理由：如图3，设与相交于点G ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质． 23．如图1，点，点分别在边、上，，的平分线交于点． (1)求的度数． (2)如图2，如果的平分线交于点，，求的度数． (3)如图3，如果点是线段上的一个动点（不与点、重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，直接写出其值． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，角的和差关系等知识点． （1）根据平行线的性质得到，根据角的和差关系以及角平分线的定义得到，继而得到． （2）设交于点，根据三角形外角的性质得到，根据平分，平分，得到，继而得到． （3）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，通过角的和差关系计算得到，继而得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，设交于点， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ； （3）解：不变， 分别平分， ， ， ， ，， ， ，， ． 24．已知：如图，点 是直线 上一动点，连接 ． (1)如图，当点在线段上时，若，，求 度数． (2)当点在直线上时，请写出，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)当点在线段上时，，当点在线段 的延长线上时，当点在线段的延长线上时，．证明见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质可求解 （2）点在线段上、点在线段的延长线上和点在线段的延长线上三种情况来解答，当点在线段上时，；点在线段的延长线上时，；点在线段的延长线上时， 【详解】（1）如图 中， ，，， ． （2）（2）如图中，当点在线段上时，， 如图中，当点在线段的延长线上时，， 如图中，当点在线段的延长线上时，． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题 【类型4 三角形相关综合性问题】 25．如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，垂直于，交于点G，交于点H．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据垂直的定义、对顶角相等及直角三角形两锐角互余判断①；根据三角形外角的性质及角平分线的定义判断②；根据三角形内角和定理、角平分线及高线的性质推导角度关系判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ，， ，． ，． ， ，故①正确； 平分， ． 是的外角， ． ． 是的外角， ． ． ，故②正确； ，， ，故③正确； ， 在中，， ． ， ． ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 26．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，逐项判断，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵分别为的外角， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵为的外角， ∴， 即，故③正确； ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①②③④，共4个． 27．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 28．如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【详解】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 29．如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定与性质．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不正确； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有①③④． 故选：C． 30．如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①三角形的中线将三角形分成等底等高、面积相等的两部分，故； ②根据直角三角形的面积公式，用面积法可算出斜边上的高； ③通过“同角的余角相等”和“对顶角相等”，可推出； ④利用“同角的余角相等”和角平分线，可推出等于，即． 【详解】解：①是中线， ， 等底等高的两个三角形面积相等， ，正确； ②，，，，是边上的高， ， ， 解得，正确； ③，， ，， 平分， ， ， ， ，正确； ④，， ，， ， ， ，正确． 综上，正确的说法有个． 31．如图，点、点分别是的边AB、AC上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论： ①； ②； ③平分； ④； ⑤．其中结论正确的有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义以及角度的计算与代换．由平行线的判定和性质可判定①②③④，设，，，由角平分线的定义可得，，可判断⑤． 【详解】解：①， ， 故结论①正确； ②， ， 又， ， ， 故结论②正确； ③， ， 又， ， 平分， 故结论③正确； ④比的余角小， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确； ⑤设，，， 为的平分线， ， ， 即， 由③知， ，即， 将代入， 得， 解得， ， 故结论⑤不正确； 综上所述，正确的结论是①②③④； 故选：． 32．如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 【类型5 角平分线相关探究角的数量关系】 33．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)F在E左侧；F在E，D中间；F在D右侧 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，， 再根据三角形外角的性质可得，进一步推理得，最后再根据三角形外角性质，即可求得答案； （3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，再同（1）即可得到答案； （4）分点F在点E左侧，点F在D，E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）；理由如下: 、的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， ， ； （2）的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ； （3）；理由如下： ，， ， ，， ， ， 由（1）知，； （4）理由如下：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ∵， ∴ ， 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，，， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得，； 综上所述，F在E左侧； F在中间； F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 34．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则________； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，则的度数为________（结果用含n的代数式表示）； 【拓展提升】 （4）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）F在E左侧；F在中间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则． （3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ． （2） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ． （3）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． （4）当点在点左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ， ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得 ，， ， ， 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得 ，， ， ， 综上所述，F在E左侧；F在中间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 35．在中， (1)如图1，若，为和的角平分线，则的度数是 度； (2)如图2，为和的角平分线，直接写出与之间的关系 ； (3)如图3，为和的角平分线，写出与的数量关系并证明． 【答案】(1)120 (2) (3)，证明见解析 【分析】题目考查了三角形外角的性质，角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，补角的定义，三角形的内角和定理等，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解； （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得答案； （2）根据角平分线的定义、平角定义以及三角形内角和定理即可求得答案； （3）根据在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，推出，，根据三角形外角性质求解即可； 【详解】（1）解：在中，， ， ，分别是两个内角，的角平分线， ，， ； （2）在中， ， ，分别是两个外角，的角平分线， ， ， 故答案为：； （3），证明如下： 在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ，， ， ， ， ， ． 36．如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． (1)如图1，若，则的度数为___________． (2)当时，求证：； (3)如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角的平分线，对顶角相等，三角形内角和定理计算解答即可． （2）根据（1）的证明解答即可； （3）根据（2）的结论，证明解答即可； 本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，对等角相等，等量代换，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： 根据（2）解答，得， 根据三角形内角和定理，得， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， 故． 37．小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． (1)【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； (2)【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)125；70 (2) 解：，理由如下： ∵的角平分线与的角平分线相交于点， ，， ∴在中， ， 又， ； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理： （1）根据角平分线的定义得到，，进而推出，，据此利用三角形内角和定理即可求出答案； （2）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． （3）如图所示，连接，设，，则由三角形内角和定理得到，，，进而得到；由角平分线的定义得到，，进而得到，，则，则． 【详解】（1）解：∵在中，的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：125；70； （2）略 （3）解：如图所示，连接， 设，， ∴，，， ∴ ∵的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 38．直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动．    (1)如图1，当直线与直线垂直时，、分别是和的角平分线，点A，B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出的大小．（提示：三角形三个内角的和等于） (2)如图2，点A，B在运动的过程中，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点F，的角平分线和的角平分线相交于点E．求证：．（提示：可作结论用） (3)如图2，点A，B在运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)不变，理由： 当直线与直线垂直时，， ． 、分别是和的角平分线， ，． ． ． (2) 解：由已知得：． ，， ． ． (3)， 理由：在中，， ． ． （2）知 ． ． 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义和三角形内角和定理即可得出结果； （2）由角平分线的定义、三角形内角和定理和角的关系即可得出结果； （3）由角平分线的定义和角的关系即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 39．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 40．在中，，点在射线上（不与重合），点在射线上，连接，若． (1)如图1，若，求度数； (2)当点在边上时，试说明； (3)若的角平分线交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由题意设：，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. (3)解：当在线段上时，；当在线段的延长线上时，； 理由如下：如图，当在线段上时， 由题意设：，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当在线段的延长线上时，如图， 同理由题意设：，， ∴， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 三角形相关的拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 三角形相关定值问题】 1 【类型2 三角形相关最值问题】 5 【类型3 三角形相关动点问题】 8 【类型4 三角形相关综合性问题】 11 【类型5 角平分线相关探究角的数量关系】 14 【类型1 三角形相关定值问题】 1．学习“三角形”这章时，数学兴趣小组开展以下探究活动．如图1，在中，的大小保持不变，记作．点E，D，F分别在边上，且． (1)当时，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点M，和的平分线交于点N．该小组发现：无论点E，D，F怎么运动，始终为定值．请你写出这个定值，并说明理由； (3)该小组类比（2）的研究，又找到和为定值的两个角，这两个角分别以M、N为顶点．你知道该小组的这个研究结果吗？请直接写出结果，无需证明．（要求：写出具体哪两个角及具体的定值，并以等式形式呈现） 2．根据以下所给的材料，解答下面的问题． 材料一：如图1，中，若，则． 材料二：如图2，的内角和外角的平分线交于点，则有结论：．    解答问题： 如图3，点与点坐标轴上，且，满足． (1)求点A（ ， ），B（ ， ）的坐标； (2)C为y轴正半轴上一动点，D为的外角的平分线与的平分线的交点，当，求C点坐标； (3)如图4，C为y轴正半轴上A的上方一动点，P为线段上一动点，连延长交x轴于E，和平分线交于F，在点C在运动过程中，下列结论：①是定值，②是定值；请选择你认为正确的结论，并进行证明；若都不正确，也请说明理由． 3．已知，点． (1)如图1，若点C与点O重合，且，求的面积； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，旋转，使的顶点C在直线与x轴之间，N为上一点，E为与的交点，，下列两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值． 4．如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动． (1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________． (2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变． （i）用含有的式子表示的度数_________． （ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）． ①与互补；②为定值；③为定值；④与互余． 5．如图1，直线与直线，分别交于点，，与互补． (1)如图1，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的平分线交于点P，的延长线与交于点G、H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值． 6．在中，，点在线段上． (1)如图1，点在线段上，，若，，则_____°； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 7．在中，，点D在线段BC上 (1)如图1，点E在线段AC上，，若，则______°； (2)如图2，AH平分，点F在线段BD上，交AD的延长线于点G，与的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，时，求的度数（用的代数式表示）． 8．如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． (1)若，求的度数； (2)在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 【类型2 三角形相关最值问题】 9．阅读理解：如图1，中，是边上一点，且，试说明．    解：过点作边上的高， ，， ， 又， ． 根据以上结论解决下列问题：如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点，分别在线段，上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，当取得最小值时，求四边形的面积（用含的代数式表示）． 10．如图，中，点是边上的一点，与关于直线成轴对称，点与点对应． (1)如图1，点在边上，，，求的度数； (2)如图2，点在外，若，，垂足为点，求证：； (3)在（2）的条件下，为上一动点，为上一动点，若，，，直接写出的最小值． 11．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，若BC=2AB，，，求； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到△，连接，以为斜边向右作等腰直角三角形，连接，求的最小值． 12．综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 问题发现 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……． 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点B时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 拓展延伸： 小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 13．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 14．如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 15．如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为______． 16．如图，点C为直线外一点，，连接，，点D，E分别是，的中点，连接，交于点F，已知图中阴影部分的面积为4．线段长的最小值为________． 【类型3 三角形相关动点问题】 17．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点． (1)若，，求的度数． (2)当点在线段上运动时，求证：． 18．在三角形中，，点是线段上的动点（点不与端点、重合），点在上，连接、，． (1)如图，若平分，求证：； (2)如图2，连接，．若，，试判断与的大小关系，并说明理由． 19．在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 20．如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 21．如图，在三角形中，点E是射线上的一个动点（与点B，C不重合），将线段沿平移得到线段，连接，画的平分线与的平分线交于点P． (1)如图1，点E在线段上， ①若，，依题意补全图1，并直接写出和的度数； ②用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，点E在线段的延长线上，直接用等式表示出与的数量关系． 22．在中，，点D，E分别是边上的点，点F是直线上一动点，设，，． (1)如图1，若点F在线段上，且，求的度数； (2)若点F在线段的延长线上． （i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由； （ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 23．如图1，点，点分别在边、上，，的平分线交于点． (1)求的度数． (2)如图2，如果的平分线交于点，，求的度数． (3)如图3，如果点是线段上的一个动点（不与点、重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，直接写出其值． 24．已知：如图，点 是直线 上一动点，连接 ． (1)如图，当点在线段上时，若，，求 度数． (2)当点在直线上时，请写出，，的数量关系，并证明． 【类型4 三角形相关综合性问题】 25．如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，垂直于，交于点G，交于点H．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 28．如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 29．如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 31．如图，点、点分别是的边AB、AC上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论： ①； ②； ③平分； ④； ⑤．其中结论正确的有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【类型5 角平分线相关探究角的数量关系】 33．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 34．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则________； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，则的度数为________（结果用含n的代数式表示）； 【拓展提升】 （4）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 35．在中， (1)如图1，若，为和的角平分线，则的度数是 度； (2)如图2，为和的角平分线，直接写出与之间的关系 ； (3)如图3，为和的角平分线，写出与的数量关系并证明． 36．如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． (1)如图1，若，则的度数为___________． (2)当时，求证：； (3)如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 37．小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． (1)【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； (2)【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 38．直线与直线相交于点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动．    (1)如图1，当直线与直线垂直时，、分别是和的角平分线，点A，B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出的大小．（提示：三角形三个内角的和等于） (2)如图2，点A，B在运动的过程中，、分别是和的角平分线，、的延长线交于点F，的角平分线和的角平分线相交于点E．求证：．（提示：可作结论用） (3)如图2，点A，B在运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 39．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 40．在中，，点在射线上（不与重合），点在射线上，连接，若． (1)如图1，若，求度数； (2)当点在边上时，试说明； (3)若的角平分线交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $