精品解析：福建省福州屏东中学2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学

福州屏东中学2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 （全卷共三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案都必须写在答题卡对应区域内，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各图中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个正多边形的每一个外角是，则这个多边形是（ ） A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正七边形 3. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列是关于他们射击成绩的平均数和方差的描述，其中能说明A成绩较好且更稳定的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 4. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 直线不经过哪个象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 B. 三个班级中，乙班分数的四分位距最大 C. 三个班级中，甲班分数的方差最小 D. 若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 9. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 12. 将正比例函数的图象沿轴向下平移2个单位长度，所得直线对应的函数表达式为________． 13. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 14. 如图，在中，D、E分别为的中点，点F在上，且，若，则的长为______． 15. 某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，根据图象，得出以下结论：①“基础电价”是元/度；②当时，y与x的函数表达式为；③若明明家五月份缴纳电费132元，则明明家这个月用电量为200度．以上结论正确的是_______．（写序号即可） 16. 如图，正方形中，，为边的中点，连接，为正方形内一点，且满足，连接，则的最小值为____________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 19. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 20. 已知点、、、，请判断四个点中哪三个点共线？并说明理由． 21. 艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名同学进行艺术测评与分析，下面是对九年级（1）班抽测到的10名同学的测评分值的数据分析过程： 10名同学的测评分值数据分组统计如表： 分组方式 组别 测评分值数据 方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 分组数据统计分析如表： 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 85 46 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． （1）如图所示为10名同学测评分值的统计图，则图中“90分”对应的圆心角度数为________． （2）________，________，________，________． （3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，应尽可能保持同组成员之间的水平接近，请你根据以上信息，选择一种有利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 22. 已知：点在的平分线上． （1）尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（不写作法，但要保留作图痕迹）； （2）已知，，求菱形的面积． 23. 某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … （1）根据表格数据，求出水流的函数解析式； （2）若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 24. 已知抛物线： （1）当，时，求抛物线的顶点坐标； （2）点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 25. 如图，在四边形中，，点在上，连接，点关于直线的对称点在四边形内部，射线交边于点，连接，射线交于点，交的延长线于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，平分， ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 （全卷共三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案都必须写在答题卡对应区域内，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各图中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与它对应．在图象上体现为：作垂直于轴的直线，该直线与函数图象最多只有一个交点． A．当时，作垂直于轴的直线与图象有两个交点，故不是的函数，不符合题意； B．对于任意，作垂直于轴的直线与图象只有一个交点，故是的函数，符合题意； C．作垂直于轴的直线与图象可能有两个交点，故不是的函数，不符合题意； D．作垂直于轴的直线与图象可能有两个交点，故不是的函数，不符合题意． 2. 如果一个正多边形的每一个外角是，则这个多边形是（ ） A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正七边形 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，正多边形各外角相等的性质，计算边数即可得到答案． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角都相等， 已知该正多边形每一个外角为， ∴边数， 因此该多边形为正十边形． 3. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列是关于他们射击成绩的平均数和方差的描述，其中能说明A成绩较好且更稳定的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定． 根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可． 【详解】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 故选：C． 4. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 5. 直线不经过哪个象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数（，为常数，）的图像性质，根据和的符号即可判断直线经过的象限． 【详解】解：∵直线解析式为 ∴， ∴直线经过第一、第二、第三象限，不经过第四象限． 6. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键． 8. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 B. 三个班级中，乙班分数的四分位距最大 C. 三个班级中，甲班分数的方差最小 D. 若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的性质，中位数反映数据的中心位置，箱体高度（四分位距）和极差反映数据的离散程度（方差），上四分位数对应前的数据分界点，据此逐项判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知丙班的中位数约为分， ， 丙班得分高于分的学生人数多于得分低于分的学生人数，故A错误； 对于B，四分位距等于上四分位数减去下四分位数，即图中箱体的高度， 丙班的箱体高度最大， 丙班分数的四分位距最大，故B错误； 对于C，甲班的箱体最窄且极差（最大值减最小值）最小，数据分布最集中， 甲班分数的方差最小，故C正确； 对于D，若每班有个学生，， 第名（按分数从高到低排列）的分数对应上四分位数附近， 丙班的上四分位数（箱体上边缘）最高， 丙班的第名分数最高，故D错误． 9. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 12. 将正比例函数的图象沿轴向下平移2个单位长度，所得直线对应的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据“上加下减”的平移规律即可得到结果，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将正比例函数的图象沿轴向下平移个单位长度， 所得直线对应的函数表达式为． 13. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 14. 如图，在中，D、E分别为的中点，点F在上，且，若，则的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由D、E分别为的中点，及中位线定理得；再由直角三角形斜边中线的性质，得，由即可求解． 【详解】解：∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，根据图象，得出以下结论：①“基础电价”是元/度；②当时，y与x的函数表达式为；③若明明家五月份缴纳电费132元，则明明家这个月用电量为200度．以上结论正确的是_______．（写序号即可） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数解实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，当时，运用待定系数法可得直线的解析式为，判定①；当时，运用待定系数法可得直线的解析式为，可判定②；根据明明家五月份缴纳电费元大于元，明明家这个月用电量为度，运用第二档的计算方法可判定③；由此即可求解． 【详解】解：当时，设直线的解析式为，把点代入， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴“基础电价”是元/度，故①正确； 当时，设直线的解析式为，把点代入， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴当时，y与x的函数表达式为，故②正确； ∵第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，明明家五月份缴纳电费元大于元， ∴设明明家这个月用电量为度， ∴这个月的费用为：， 解得，， ∴明明家这个月用电量为260度，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故答案为：①② ． 16. 如图，正方形中，，为边的中点，连接，为正方形内一点，且满足，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式及同底等高性质，确定点的运动轨迹为线段（为中点），利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出点到的距离即为的最小值. 【详解】解：∵四边形是正方形，，为边的中点 ， ∴，， ． 在中， ， ∵，且与有公共底边 ， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离 ， 连接， 在中，底边，高为  ， 可知，且点与点在直线的异侧 ， 故点在过点且平行于的直线上 ． 设该直线交于点， 则 ． ∵， 即 ， ∴四边形是平行四边形 ． ∴ ． ∵， ∴， 即为中点 ． ∴点在线段上运动 ． 根据垂线段最短，当时，取得最小值 ， 在中，， ， 根据勾股定理， ， 利用等面积法，，  即 ． 解得 ． 故答案为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），. （2），. 【解析】 【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 开平方得， 解得，， 【小问2详解】 移项得， 提取公因式得， 整理得， 则或， 解得，． 18. 如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 19. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】应邀请6个球队参加比赛． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请x个球队参加比赛，利用所有队数乘以队数减一的差得到所有数量，结合单循环除以二即可得到答案； 【详解】解：设应邀请x个球队参加比赛，由题意可得， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：应邀请6个球队参加比赛． 20. 已知点、、、，请判断四个点中哪三个点共线？并说明理由． 【答案】、、三点共线 解：设过点和的直线解析式为 将两点坐标代入得 解得 因此直线的解析式为 将代入解析式，左边，右边，左边右边， 因此点在直线上， 将代入解析式，左边，右边，左边右边， 因此点不在直线上， 验证其余任意三点的组合，计算可得其余组合中第三个点都不在前两点确定的直线上，因此、、三点共线． 【解析】 【分析】本题利用一次函数的性质判断三点共线，解题思路是先求出过两点的直线解析式，再将第三个点的坐标代入验证，若点的坐标满足解析式，则该点在直线上，即三点共线，对所有三个点的组合依次验证即可得到结论． 【详解】略 21. 艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名同学进行艺术测评与分析，下面是对九年级（1）班抽测到的10名同学的测评分值的数据分析过程： 10名同学的测评分值数据分组统计如表： 分组方式 组别 测评分值数据 方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 分组数据统计分析如表： 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 85 46 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． （1）如图所示为10名同学测评分值的统计图，则图中“90分”对应的圆心角度数为________． （2）________，________，________，________． （3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，应尽可能保持同组成员之间的水平接近，请你根据以上信息，选择一种有利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 【答案】（1）108 （2）85；90；360；16 （3）解：选择方式二，理由如下： 根据题意，组内离差平方和越小，同组成员水平越接近，越有利于小组学习， 方式一的总组内离差平方和为，方式二的总组内离差平方和为，，因此方式二同组成员水平更接近，故选择方式二． 【解析】 【分析】（1）用360度乘以得分为90的人数占比即可得到答案； （2）根据中位数和众数的定义可得的值，根据方差与离差平方和之间的关系可求出； （3）根据题意应选择组内离差平方和较小的分组，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得图中“90分”对应的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：Ⅰ组数据排序为，5个数的中位数是第3个数，即； 乙组数据为，出现次数最多的数是90，即； 方式一的总离差平方和Ⅰ组离差平方和 Ⅱ组离差平方和 ； 方式二总离差平方和为110，甲组离差平方和为， ∴乙组离差平方和为， ∴乙组方差； 【小问3详解】 略 22. 已知：点在的平分线上． （1）尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（不写作法，但要保留作图痕迹）； （2）已知，，求菱形的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点O为圆心，为半径画弧，交于点C，作线段的垂直平分线，交、于点D、B，连接、即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，根据直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，得出，最后根据菱形的面积公式求出． 【小问1详解】 解：如图，菱形为所作． 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ，， ，， 在中， ， ， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，（舍去）， ， ， ， 即：菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … （1）根据表格数据，求出水流的函数解析式； （2）若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）①2米；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出直线的函数解析式为；设，则，可求出，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为，同理可得，根据题意可得，，则可推出，再根据求出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设水流的函数解析式为， 由题意得 ∴， ∴水流的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①∵米，米， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为， 同理可得， ∵两棵树等高，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 24. 已知抛物线： （1）当，时，求抛物线的顶点坐标； （2）点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2）①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 【小问2详解】 ①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 25. 如图，在四边形中，，点在上，连接，点关于直线的对称点在四边形内部，射线交边于点，连接，射线交于点，交的延长线于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，平分， ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②求的值． 【答案】（1）证明：由轴对称的性质可得， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①解：，理由如下： 由轴对称的性质可得，， ∵ ， ∴， ∴； ∵平分， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可得，可证明，得到，据此可证明四边形为平行四边形； （2）①由轴对称的性质可得，，则可证明，得到；可证明，得到；设，则；根据三角形内角和定理可求出，可证明，得到，则；证明，得到，则可证明；②设，则，可得，；证明，可推出，进而得到；证明，得到；再证明，得到；由勾股定理得，则可得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②设， 由（2）①得， ∴， ∴； 由（2）①得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 由（2）①可得， ∴， ∴， ∴； 由平行四边形的性质可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $