第06讲 双曲线中的最值问题讲义（知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线的最值和取值范围专题，覆盖距离、面积、周长、参数、离心率等核心考点，按基础范围边界、常见最值类型、解题策略的逻辑层次构建知识体系。通过高考分析明确考查要求，知识要点梳理几何性质与代数方法，解题策略指导几何优先与代数转化，题型归纳结合典型例题与变式训练，形成考点梳理、方法指导、真题训练的完整教学流程，帮助学生系统突破难点。 讲义突出数学眼光与数学思维的培养，如利用双曲线定义转化线段和差（抽象能力），结合临界状态分析参数范围（推理意识）。每个题型设置“典型例题+变式训练”，如题型03通过焦点三角形周长最值问题，引导学生用几何法与函数思想解决综合问题。分层练习覆盖基础巩固与能力提升，确保复习针对性，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰框架，提升学生应考能力。

第06讲 双曲线的最值和取值范围 目 录 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：双曲线中线段和的最值 4 题型02：双曲线中线段和的最值 7 题型03：双曲线中三角形周长最值 9 题型04：双曲线中面积最值 12 题型05：双曲线与平面向量交汇最值问题 14 题型06：双曲线中的距离最值 15 题型07：双曲线中的参数最值问题 19 题型08：多元最值 24 题型09：双曲线中的离心率最值问题 28 题型10：最值多选综合 31 巩固提升 34 1. 高频小题+大题小问，常结合离心率、弦长、面积、距离、斜率命题 2. 核心考查几何性质、函数最值、不等式、参数范围综合应用 3. 易错点：忽略双曲线定义域、焦点位置、渐近线边界限制 1. 熟练掌握距离、弦长、面积、离心率常见最值题型 2. 能用几何法、代数法快速求参数取值范围 3. 规避边界、范围、焦点位置类失分陷阱 一、基础范围边界 设标准方程 1. 横坐标：，纵坐标 2. 离心率范围： 3. 焦半径范围：|PF|≥c-a 二、常见最值类型 1.距离最值 ①双曲线上动点到定点：结合几何图形、两点间距离公式，函数求最值 ②动点到焦点：利用定义转化，结合三角形三边关系 ③动点到渐近线：最短距离为0，渐近线为趋近边界 2.焦点三角形最值 ①面积最大值：顶点处取得最大值cot ②顶角、边长存在取值范围，结合余弦定理判定 3.弦长与斜率范围 ①直线与双曲线相交，联立方程后判别式Δ>0限定参数 ②渐近线斜率为临界值，直线斜率不能等于渐近线斜率，否则无交点 4.离心率取值范围 ①依据边长、角度、位置关系构造不等关系 ②结合=+，转化为关于a,b,c不等式求解 三、常用解题依据 1. 定义：||PF1|-|PF2||=2a 2. 不等关系：三角形三边关系、坐标取值限制 3. 函数思想：坐标代入解析式，换元后求函数值域 4. 临界状态：顶点、切线、渐近线为范围分界点 1. 几何优先：利用双曲线定义、渐近线、焦点三角形、三边关系求最值 2. 代数转化：设点坐标，化为二次函数、分式函数求值域 3. 不等式约束：结合离心率范围、判别式、坐标范围列不等式求解 4. 临界定位：以顶点、渐近线、切线位置判定取值边界 题型01：双曲线中线段和的最值 双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 【典型例题1】已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的定义，结合到圆上点的距离最小值，就可以把的最小值转化为，然后再利用两点间距离线段最短，即可求得最小值. 【解答过程】 根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则，所以， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 【典型例题2】已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 【典型例题3】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【解析】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：9. 【变式训练1-1】点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练1-2】已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】已知双曲线的左、右焦点为，，的一条渐近线为，点位于第一象限且在双曲线上，点满足：，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【变式训练1-8】设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【变式训练1-10】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 题型02：双曲线中线段和的最值 【典型例题1】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【典型例题2】已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可. 【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 【变式训练2-1】已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点21．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（  ） A．11 B．9 C．7 D．6 【变式训练2-2】已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式训练2-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________． 题型03：双曲线中三角形周长最值 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】条件等式求最值、求双曲线中的最值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 【典型例题2】已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的最小值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入坐标可得答案； （2）当直线l的斜率不存在时，可得A､B的坐标及的周长；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，的周长利用韦达定理得到，设，根据的范围可得答案. 【解析】(1)设双曲线C的方程为，代入点，得， 所以双曲线C的标准方程为. (2)双曲线C的左焦点为，设､， ①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和， 此时的周长为. ②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 由得， 因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以， 得设的周长为z， ， 设，由，得，，，所以， 综上，由①②可得的周长的最小值为. 【变式训练3-1】已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【变式训练3-5】已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且. (1)求双曲线的标准方程； (2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点. ①求证：点与点的横坐标的积为定值；②求△周长的最小值. 题型04：双曲线中面积最值 【典型例题1】已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【解析】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 【典型例题2】已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点. （1）求的值； （2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解； （2）设出直线的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值. 【详解】（1）由题意：，，解得即 （2）由（1）知，曲线，点，设直线的方程为：， 联立得：，，又，， 设，，，， 面积，令，，，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为. 【变式训练4-1】已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式训练4-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【变式训练4-3】已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________. 【变式训练4-4】在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围. 【变式训练4-5】已知双曲线的离心率为，经过点、． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值． 题型05：双曲线与平面向量交汇最值问题 【典型例题】过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、切线长、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 【变式训练5-1】已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练5-3】（多选题）已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4. (1)求C的方程； (2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值. 题型06：双曲线中的距离最值 【典型例题1】已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线定义可推得点B落在圆上，由此将|BD|的最小值转化为圆上的点到直线的距离的最小值问题. 【详解】作出图形如图所示， 设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得，故，故，则点B落在圆上,因为点O到直线l：的距离为，故的最小值为， 【典型例题2】（多选题）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【答案】ACD 【分析】 求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D． 【详解】双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，， ，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时， 综上的最小值为6．D正确． 【点睛】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径：是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当轴时，是双曲线的通径，此时为弦长度的最小值． 【典型例题3】已知双曲线的离心率为2，且双曲线C与椭圆有相同的焦点．点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用离心率和焦点坐标求得双曲线方程，求得双曲线的渐近线，设，，然后利用点到直线的距离求得，然后利用余弦定理结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得，则，故双曲线C的方程为，其渐近线方程为，设点，，，则，， 故．因为点P在双曲线C上，所以，则．因为渐近线的倾斜角为，所以，故，在中，由余弦定理可得 ，当且仅当等号成立，则，即的最小值为． 【变式训练6-1】设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（     ）. A．4 B．5 C．6 D．3 【变式训练6-2】已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是______. 【变式训练6-5】已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________． 【变式训练6-6】已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的最小值是__________，最大值是__________． 【变式训练6-7】费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线的两个焦点为，，则双曲线在点处的切线平分.已知是坐标原点，点为双曲线：的左焦点，点在的右支上，点为的中点，直线是在点处的切线，直线与相交于点，则的取值范围是 . 【变式训练6-8】已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值． 【变式训练6-9】设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值. 【变式训练6-10】已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【变式训练6-11】我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. (1)求与的方程； (2)已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； 【变式训练6-12】已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【变式训练6-13】已知△OFQ的面积为2，＝m （1）设≤m≤4，求∠OFQ正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），||＝c，m＝（﹣1）c2，当||取得最小值时，求此双曲线的方程. 题型07：双曲线中的参数最值问题 【典型例题1】已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的内切圆半径为，求出双曲线的离心率，利用三角形的面积公式以及双曲线的定义可求得的取值范围. 【详解】由、、成等比数列得，，即.，. 设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，易知， ，，.由得，即， 则，的取值范围为，，则的最大值为。 【典型例题2】已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的最小值是________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，可得出，分析得出，即可解得的取值范围. 【详解】设点，则，则或为锐角，如下图所示： 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点，由题意可知，，则，解得，则的最小值是1. 【典型例题3】已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为 (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由离心率为可得，然后算出，然后可求出答案； （2） 设，，联立消元，弦长公式算出，设，， （3） 联立得，同理，然后算出，然后可得，即可得 到答案. 【解析】(1)因为双曲线的离心率为，则，，可得， 由已知，将代入，可得，由， 即，所以，故双曲线的方程为； (2)依题意，设，，由可得， 所以解得，且 所以， 设，，由得，同理， 所以，所以， 其中，因为，故的取值范围是 【变式训练7-1】设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的最大值与最小值的和为（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式训练7-6】已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-7】函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 【变式训练7-8】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-9】已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为 (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围. 【变式训练7-10】已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为． (1)求双曲线C的方程； (2)直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围． 【变式训练7-11】已知双曲线：（，）交轴于两点，是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，，且双曲线离心率为2. (1)求双曲线 的标准方程； (2)设直线l：（）与双曲线交于两点，为双曲线虚轴在轴正半轴的端点，若，求实数的取值范围. 【变式训练7-12】已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围. 题型08：多元最值 【典型例题1】已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，连接与双曲线的另一个焦点，如下所示： 由双曲线的定义可知，，又双曲线方程为，故，又点坐标为，双曲线的渐近线为，故点到渐近线的距离为，故. 【典型例题2】已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（  ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果. 【解析】由双曲线的对称性，假设在右支上，即， 由到的距离为，而， 所以 ， 综上，，同理，则， 对于双曲线，有且， 所以，而，即. 故选：D. 【典型例题3】已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为 ；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由，根据双曲线的性质，求出半焦距，即可得出离心率；根据双曲线的性质，由线段长度的最小值为，得出，即可求出结果.因为双曲线， 若，则，所以，因此双曲线的离心率为； 因为为左焦点，所以，其中， 若对于双曲线上任意一点，为使线段的长度最小，则点必在该双曲线的左支上，设，则，， 所以 ，因此，解得. 故答案为：；. 【典型例题4】如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N. (1)若的面积为，求直线AB的方程； (2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意，先求出椭圆方程和双曲线的方程，然后联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，根据的面积为求出的值即可求解； （2）联立直线和双曲线方程，先求出，再根据的范围即可求解. 【解析】(1)由题得，解得，所以椭圆的方程为， 等轴双曲线的方程为.由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：， 联立，消去得， 所以，又，所以，则 将换成，得，所以，设， 由，消去得，，所以得， 则，，， 所以，解得，所以直线AB的方程为； (2)由，消去得，解得， 所以，，， 则，，， 所以的取值范围为． 【变式训练8-1】已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【变式训练8-3】已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 【变式训练8-4】已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【变式训练8-6】已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ） A．48 B．49 C．50 D．42 【变式训练8-7】已知双曲线和直线是的左、右顶点，是上异于A，B两点的任意一点，直线AP，BP分别交直线于M，N两点，设的外接圆半径分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-8】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式训练8-9】已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-10】已知实数满足，则的取值范围是____________ 【变式训练8-11】已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围． 题型09：双曲线中的离心率最值问题 【典型例题1】已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得. 【详解】，即， 化简得，即，解得或，所以. 【典型例题2】已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的最小值是___________. 【答案】 【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围. 【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图， 由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，，由余弦定理可得：，即，解得，因为，所以，，可得，故，则双曲线的离心率的最小值是。 【典型例题3】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线交双曲线于，两点. (1)若，四边形的面积为12，求双曲线的方程； (2)若，且四边形是矩形，求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)因为直线交双曲线于､两点，所以，两点关于原点对称，从而四边形 是平行四边形，设双曲线的焦距为，则四边形的面积，解得， 从而，，所以，， 于是，解得，，所以双曲线的方程为； (2)设，则.由，得. 因为，所以， 化简得.因为，所以.由得，解得；由得，解得.因此，的取值范围为. 【变式训练9-1】已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【变式训练9-2】已知双曲线（，）的右顶点为，抛物线（）的焦点为，若在双曲线的渐进线上存在点，使得，则双曲线的离心率的最大值是（ ） A. B. C. D. 【变式训练9-3】（多选题）已知双曲线，直线与交于，两点（在的上方），，点在轴上，且轴.若的内心到轴的距离不小于，则的离心率最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点，且的最小值为，则该双曲线的离心率是__________. 【变式训练9-5】已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 【变式训练9-6】过双曲线左焦点的动直线与的左支交于，两点，设的右焦点为. （1）若三角形可以是边长为4的正三角形，求此时的标准方程； （2）若存在直线，使得，求离心率的取值范围. 【变式训练9-7】设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围. 题型10：最值多选综合 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据条件，确定双曲线的方程，进而确定的坐标，利用两点间的距离公式，可判断A的真假；利用平面向量的坐标表示，可判断B的真假；利用三角形的边的关系，结合两点间的距离公式，可判断C的真假；结合双曲线的定义和两点间的距离公式，可判断D的真假. 【详解】对双曲线：，，所以. 双曲线在一、三象限的渐近线方程为. 如图： 直线所在的直线方程为：. 由，即. 由且，即. 又，所以. 对A：因为，所以，，所以，故A正确； 对B：因为，，所以不成立，故B错误； 对C：,当三点共线时取等号，故C正确； 对D：设双曲线左焦点为，则， 所以，当三点共线时取等号.故D正确。 故选：ACD 【典型例题2】若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（       ） A．的焦点到渐近线的距离为4 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，可知，再根据求得，从而得出双曲线的右焦点为，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小，即可判断C选项；过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，可得出过的最短的弦长，即可判断D选项. 【详解】由题意知，，即，因为，所以，解得：， 所以右焦点为，双曲线的渐近线方程为，对于A：到渐近线的距离为，故A正确；对于B：因为，所以双曲线的离心率为，故B错误；对于C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故C正确；对于D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故D错误． 【变式训练10-1】在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【变式训练10-2】已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（       ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点 D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2= 【变式训练10-3】已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（       ） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【变式训练10-4】双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为 A．4 B． C．2 D． 【变式训练10-5】已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时，的面积为 【变式训练10-6】若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【变式训练10-7】已知曲线，则（  ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 一、单选题： 1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．42 6．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 7．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 1．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的实轴长为8 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为 2．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（    ） A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1 B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于 C．的最短长度为6 D．满足的直线有4条 3．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（    ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 4．已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 三、填空题： 1．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为 . 2．双曲线：的左，右顶点分别是，，是上任意一点，直线，分别与直线：交于，，则的最小值是 ． 3．已知点，若双曲线的右支上存在两动点，，使得，则的最小值为 . 4．已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为 . 四、解答题 1．已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程； (3)已知点，求的最小值. 2．在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值. 3．已知双曲线过点，左､右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左､右两支分别交于两点. (1)求双曲线C的方程； (2)记直线的斜率分别为，求的最小值. 4．设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 5．已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率． (1)求的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值． 6．已知双曲线Γ：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线Γ的方程； (2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值. 7.已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 双曲线的最值和取值范围 目 录 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：双曲线中线段和的最值 4 题型02：双曲线中线段和的最值 11 题型03：双曲线中三角形周长最值 15 题型04：双曲线中面积最值 21 题型05：双曲线与平面向量交汇最值问题 27 题型06：双曲线中的距离最值 30 题型07：双曲线中的参数最值问题 42 题型08：多元最值 52 题型09：双曲线中的离心率最值问题 62 题型10：最值多选综合 69 巩固提升 77 1. 高频小题+大题小问，常结合离心率、弦长、面积、距离、斜率命题 2. 核心考查几何性质、函数最值、不等式、参数范围综合应用 3. 易错点：忽略双曲线定义域、焦点位置、渐近线边界限制 1. 熟练掌握距离、弦长、面积、离心率常见最值题型 2. 能用几何法、代数法快速求参数取值范围 3. 规避边界、范围、焦点位置类失分陷阱 一、基础范围边界 设标准方程 1. 横坐标：，纵坐标 2. 离心率范围： 3. 焦半径范围：|PF|≥c-a 二、常见最值类型 1.距离最值 ①双曲线上动点到定点：结合几何图形、两点间距离公式，函数求最值 ②动点到焦点：利用定义转化，结合三角形三边关系 ③动点到渐近线：最短距离为0，渐近线为趋近边界 2.焦点三角形最值 ①面积最大值：顶点处取得最大值cot ②顶角、边长存在取值范围，结合余弦定理判定 3.弦长与斜率范围 ①直线与双曲线相交，联立方程后判别式Δ>0限定参数 ②渐近线斜率为临界值，直线斜率不能等于渐近线斜率，否则无交点 4.离心率取值范围 ①依据边长、角度、位置关系构造不等关系 ②结合=+，转化为关于a,b,c不等式求解 三、常用解题依据 1. 定义：||PF1|-|PF2||=2a 2. 不等关系：三角形三边关系、坐标取值限制 3. 函数思想：坐标代入解析式，换元后求函数值域 4. 临界状态：顶点、切线、渐近线为范围分界点 1. 几何优先：利用双曲线定义、渐近线、焦点三角形、三边关系求最值 2. 代数转化：设点坐标，化为二次函数、分式函数求值域 3. 不等式约束：结合离心率范围、判别式、坐标范围列不等式求解 4. 临界定位：以顶点、渐近线、切线位置判定取值边界 题型01：双曲线中线段和的最值 双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 【典型例题1】已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的定义，结合到圆上点的距离最小值，就可以把的最小值转化为，然后再利用两点间距离线段最短，即可求得最小值. 【解答过程】 根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则，所以， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 【典型例题2】已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 【典型例题3】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【解析】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：9. 【变式训练1-1】点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由双曲线的方程可得，焦点， 可得， 所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直， 且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6， 故选：A 【变式训练1-2】已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当三点共线时取得最小值，利用两点坐标求距离公式计算即可. 【详解】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，由，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，即三点共线时，取得最小值，且最小值为， 【变式训练1-3】已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的定义，将点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线的距离，进而得出结果. 【详解】已知双曲线，可知，则， 所以，分别为的左、右焦点，则，即， 设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则. 故选：A. 【变式训练1-4】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练1-5】已知双曲线的左、右焦点为，，的一条渐近线为，点位于第一象限且在双曲线上，点满足：，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题可得双曲线方程，PM为角平分线，延长交于N，由中位线定理可得M所在轨迹，后由两点间距离公式结合不等式知识可得答案. 【解答过程】由的左、右焦点为，，的一条渐近线为， 可得双曲线方程为：， 因，则PM为的角平分线. 其中是延长相交而来，由对称性可得为等腰三角形， 则，M为的中点. 又由双曲线定义，可得，则. 因M为的中点，O为的中点，则， 则在以O为圆心，半径为的圆上，设， 则 当时，因，又， 则当时，，当且仅当时取等号. 则 得，当且仅当，即时取等号. 故选：A. 【变式训练1-6】已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的定义，将点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线的距离，进而得出结果. 【详解】已知双曲线，可知，则， 所以，分别为的左、右焦点，则，即， 设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则. 故选：A. 【变式训练1-7】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【解答过程】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【变式训练1-8】设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【解答过程】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式训练1-9】已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】双曲线的右焦点， 设的左焦点为，则， 因为是右支上一点，所以， 所以， 当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为. 【变式训练1-10】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 题型02：双曲线中线段和的最值 【典型例题1】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【典型例题2】已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可. 【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 【变式训练2-1】已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点21．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（  ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【分析】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【解析】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 【变式训练2-2】已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义得到，进而根据，即可求解 【详解】设双曲线的右焦点为， 由可知，，则， 因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知： ， 所以， 因为， 当且仅当，，三点共线时，达到最小值， 因为，，所以， 即的最小值为． 故选：C． 【变式训练2-3】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（  ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【解析】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A. 【变式训练2-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得AH=AI，F1H=F1J，F2J=F2I，再由双曲线的定义可得：F1H –IF2 =2a，进而可得F1J – F2J = 2a，设J的横坐标，解出横坐标，设直线AB的倾斜角，则求出ME-NE的表达式，由倾斜角的范围求出其范围. 【详解】设直线，，与的内切圆分别相切于点，，，则，，．因为，所以，即，即，设点的横坐标为，则点的横坐标为．因为，，所以，解得，所以点与点重合，且轴；同理，可得轴．设直线的倾斜角为，当时，易得；当时，，，由题可知， 所以，又，所以．综上可知，的取值范围为． 题型03：双曲线中三角形周长最值 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】条件等式求最值、求双曲线中的最值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 【典型例题2】已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的最小值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入坐标可得答案； （2）当直线l的斜率不存在时，可得A､B的坐标及的周长；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，的周长利用韦达定理得到，设，根据的范围可得答案. 【解析】(1)设双曲线C的方程为，代入点，得， 所以双曲线C的标准方程为. (2)双曲线C的左焦点为，设､， ①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和， 此时的周长为. ②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 由得， 因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以， 得设的周长为z， ， 设，由，得，，，所以， 综上，由①②可得的周长的最小值为. 【变式训练3-1】已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案 【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A 【变式训练3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，渐近线的方程为， 则点到渐近线的距离， 则由题， 由双曲线的定义，所以， 所以的周长为， 当且仅当三点共线时等号成立， 又的周长的最小值为， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率. 故选：C. 【变式训练3-3】已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 【变式训练3-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【答案】18 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当三点共线时取得最小值为，得出，再利用基本不等式求出，最后将的面积表示为即可. 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 【变式训练3-5】已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且. (1)求双曲线的标准方程； (2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点. ①求证：点与点的横坐标的积为定值；②求△周长的最小值. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②6. 【分析】 （1）由在圆上求出参数a，利用向量数量积的坐标表示求出参数c，进而可得双曲线方程. （2）①设直线为，联立双曲线求得，联立渐近线与直线方程求与的横坐标，注意直线斜率不存在情况的讨论；②法1：利用两点距离公式求，结合基本不等式及①结论即可求周长最小值；法2：由①结论及两点距离公式可得，再由余弦定理求，进而应用基本不等式求的最小值，注意等号成立条件. 【解析】(1)设双曲线的半焦距为，由在圆上，得：， 由，得：， 所以，则双曲线的标准方程为. (2)①当直线的斜率存在时，设其方程为，显然， 联立，消去得：，由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且， 于是得，则， 双曲线的渐近线为，联立，消去得：， 设，，则. 当直线的斜率不存在时，，故， 综上，点与点的横坐标的积为定值3. ②法1：由①，， 则 ，当且仅当时取等号， 所以△周长的最小值为6. 法2：由①，则，， 在△中，由余弦定理，所以△的周长为，当且仅当时取等号，所以△的周长的最小值为6. 题型04：双曲线中面积最值 【典型例题1】已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【解析】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 【典型例题2】已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点. （1）求的值； （2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解； （2）设出直线的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值. 【详解】（1）由题意：，，解得即 （2）由（1）知，曲线，点，设直线的方程为：， 联立得：，，又，， 设，，，， 面积，令，，，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为. 【变式训练4-1】已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】条件等式求最值、求双曲线中的最值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 【变式训练4-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【答案】18 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当三点共线时取得最小值为，得出，再利用基本不等式求出，最后将的面积表示为即可. 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 【变式训练4-3】已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为，根据对称性易得四边形是矩形且面积为，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可. 【详解】依题意得，双曲线的焦点是，设双曲线方程为，且，不妨设在第一象限，根据对称性易得四边形是矩形，且面积为：，联立，解得，注意到，化简得，于是， 所以四边形面积为，又，取等号，则四边形面积最大值为. 【变式训练4-4】在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）由对称性可得，代入计算可得定值，根据定值可得的轨迹为双曲线，利用双曲线的定义可得方程； （2）根据分别为双曲线的渐近线设出点A､B的坐标，设，然后利用向量的坐标运算得到点坐标，将点坐标代入双曲线方程，将面积用表示出来，然后求最值即可. 【解析】(1)证明：如图，由点与关于对称， 则，，故为定值.由， 由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，设双曲线方程为，，， 所以双曲线方程为； (2)由题意知，分别为双曲线的渐近线 设，由，设. ，，由于P点在双曲线上 又同理，设的倾斜角为， 则. 由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， ；当时，；. 【变式训练4-5】已知双曲线的离心率为，经过点、． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出以及点、到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形面积的最小值． 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）设点、， 联立可得，    ， 由韦达定理可得，，可得， ， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 所以，四边形的面积为 . 当且仅当时，四边形的面积取最小值. 题型05：双曲线与平面向量交汇最值问题 【典型例题】过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、切线长、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 【变式训练5-1】已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程可求得坐标，进而求得双曲线方程；设，利用平面向量数量积的坐标运算以及点在双曲线上可将表示为，由在轴上方知，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：，，解得：；设，，，，在轴上方且在双曲线上，且， ，当时，取得最小值，最小值为. 【变式训练5-2】直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解. 【解析】圆，圆心，半径， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以，又双曲线，则，，右焦点为， 所以 ， 又，即，所以，当点在右顶点时取等号， 即， 所以的最小值为， 故选：D.      【变式训练5-3】（多选题）已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，则或，且有，可得，，， ，令，其中或， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.①当时，函数单调递减，此时；②当时，函数单调递增，此时. 综上所述，函数在上的值域为.因此，的最小值是. 【变式训练5-4】已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4. (1)求C的方程； (2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值. 【答案】(1)(2)1 【分析】（1）由题意得，化简可得答案， （2）求出渐近线方程，设点，，，，，由可得，代入双曲线方程化简可得，然后表示的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案 【解析】 (1)由题意得，即，整理得，因为双曲线的顶点坐标满足上式， 所以C的方程为. (2)由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，设点，，，，， 由，得，整理得，①， 把①代入，整理得②， 因为，， 所以.由，得， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是1. 题型06：双曲线中的距离最值 【典型例题1】已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线定义可推得点B落在圆上，由此将|BD|的最小值转化为圆上的点到直线的距离的最小值问题. 【详解】作出图形如图所示， 设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得，故，故，则点B落在圆上,因为点O到直线l：的距离为，故的最小值为， 【典型例题2】（多选题）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【答案】ACD 【分析】 求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D． 【详解】双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，， ，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时， 综上的最小值为6．D正确． 【点睛】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径：是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当轴时，是双曲线的通径，此时为弦长度的最小值． 【典型例题3】已知双曲线的离心率为2，且双曲线C与椭圆有相同的焦点．点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用离心率和焦点坐标求得双曲线方程，求得双曲线的渐近线，设，，然后利用点到直线的距离求得，然后利用余弦定理结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得，则，故双曲线C的方程为，其渐近线方程为，设点，，，则，， 故．因为点P在双曲线C上，所以，则．因为渐近线的倾斜角为，所以，故，在中，由余弦定理可得 ，当且仅当等号成立，则，即的最小值为． 【变式训练6-1】设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（     ）. A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，进而得到，结合双曲线的定义可知，设，根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案. 【详解】双曲线的方程为：，可得，则，设，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，则.由题意，， 由双曲线的定义：，则，于是，，即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心（0,0）到直线的距离为：，该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为：2+2=4. 【变式训练6-2】已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到的距离，再根据得出答案. 【详解】圆的圆心坐标为，设 则由此。 【变式训练6-3】设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】由题可判断在轴正半轴上，求出圆心到渐近线的距离和圆半径，可得，进而得出，利用可求. 【详解】由题可得渐近线方程为，，由于圆与两条渐近线都相切，则在轴或轴上， 又圆过的右顶点，则在轴正半轴上，即，圆心到渐近线的距离为，又圆半径为，则由题可得，即，又，则，，，，则长的取值范围是. 【点睛】解题的关键是得出在轴正半轴上，根据圆心到渐近线的距离等于半径得出 【变式训练6-4】设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是______. 【答案】5 【解析】 【分析】延长交于点，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的最小值． 【详解】由双曲线的方程可得：，则，所以，，，设，， 不妨设点在双曲线右支上，延长交于点，则，，如图： 由角平分线性质可知，，双曲线的定义可得，即， ，，即点在以原点为圆心，2为半径的圆上，因圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离为， 【变式训练6-5】已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围． 【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以 【变式训练6-6】已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的最小值是__________，最大值是__________． 【答案】 【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围． 【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以则点到渐近线的距离的最小值是，最大值是． 【变式训练6-7】费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线的两个焦点为，，则双曲线在点处的切线平分.已知是坐标原点，点为双曲线：的左焦点，点在的右支上，点为的中点，直线是在点处的切线，直线与相交于点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求双曲线中的最值问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】首先根据题意画出图象，然后根据图象的特征可知，然后根据的范围，即可求得取值范围. 【详解】根据题意画出图象为： 因为是的中点，是的中点，所以是三角形的中位线， 所以，所以， 又是双曲线在点处的切线，所以为的角平分线， 所以. 所以. 因为点在双曲线的右支，且由题意知点不与右顶点重合， 所以. 所以. 故答案为：. 【变式训练6-8】已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值． 【答案】(1)；(2)1 【分析】 （1）求得双曲线C的的，即可求得双曲线C的标准方程； （2）以设而不求的方法先判定直线MN过定点，再去求点B到直线MN的距离的最大值． 【解析】 (1)由题意得．设双曲线C的焦距为2c，则，所以．所以， 所以双曲线C的标准方程． (2)设，则直线PA的方程为：．由，得． 因为直线PA与C交于A，M，所以，所以． 因为，所以，， 所以因为直线PB的方程为 由，得．因为直线PB与C交于B，N，所以，所以． 因为，所以，， 所以．所以当时，直线MN的方程为． 令，得． 所以直线MN过定点．当时，，所以直线MN过定点． 所以当时，点B到直线MN的距离取得最大值为1． 【变式训练6-9】设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）依题意可得，再根据，即可得到方程组，求出、，即可得解； （2）依题意可知，设，，即可表示出，，从而得到，再由两点式表示出的方程，即可得到过定点，从而得到，即可得到； 【解析】(1)依题意可得，解得，所以双曲线方程为 (2)由（1）可知，依题意可知，设，，，，则有，，所以，，所以，，作差得，又的方程为，所以过定点，所以，即的最大值为； 【变式训练6-10】已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解. （2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知，，则，解得或， 因此， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式训练6-11】我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. (1)求与的方程； (2)已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； 【答案】(1)，;(2) 【解析】（1）因为是焦距为8的等轴双曲线的一部分， 所以，解得 所以的方程为的方程为. （2）设，当时，， 因为，所以当时，； 当时，， 当时，. 又，所以， 即线段长度的最小值为. 【变式训练6-12】已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）代入可知曲线为双曲线，根据双曲线标准方程即可求离心率； （2）（ⅰ）由，结合即可求，然后建立方程组求得点的坐标； （ⅱ）先考虑直线斜率不存在时，斜率存在时可得直线过定点，再求得弦长，建立函数求最值可得斜率不存在时取得最小值. 【解析】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线， 离心率. （2）设，则， 又，，解得， 即曲线， （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则， 由题可知，， ，联立， 解得或（舍去），即， 所以点的坐标为. （ⅱ）设，， 则由，得 ，即. 且， 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. 故直线斜率存在时， ， 代入得， ， 令，则， 则，其中， 故当且仅当，即时，即， 故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. 【变式训练6-13】已知△OFQ的面积为2，＝m （1）设≤m≤4，求∠OFQ正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），||＝c，m＝（﹣1）c2，当||取得最小值时，求此双曲线的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，由已知可得，化简得，根据的范围即可求出； （2）设，则由△OFQ的面积可得，由可得，表示出利用基本不等式可求出的坐标，再代入双曲线方程即可求出. 【详解】（1）由已知，△OFQ的面积为，，设， 得，， ，，故∠OFQ正切值的取值范围为； （2）设所求的双曲线方程为，（a＞0，b＞0）， Q（x1，y1），则， ∵△OFQ的面积，， 又由，， 则，当且仅当c＝4时，最小. 此时Q的坐标为或.由此可得，解得， 故所求方程为. 题型07：双曲线中的参数最值问题 【典型例题1】已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的内切圆半径为，求出双曲线的离心率，利用三角形的面积公式以及双曲线的定义可求得的取值范围. 【详解】由、、成等比数列得，，即.，. 设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，易知， ，，.由得，即， 则，的取值范围为，，则的最大值为。 【典型例题2】已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的最小值是________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，可得出，分析得出，即可解得的取值范围. 【详解】设点，则，则或为锐角，如下图所示： 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点，由题意可知，，则，解得，则的最小值是1. 【典型例题3】已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为 (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由离心率为可得，然后算出，然后可求出答案； （2） 设，，联立消元，弦长公式算出，设，， （3） 联立得，同理，然后算出，然后可得，即可得 到答案. 【解析】(1)因为双曲线的离心率为，则，，可得， 由已知，将代入，可得，由， 即，所以，故双曲线的方程为； (2)依题意，设，，由可得， 所以解得，且 所以， 设，，由得，同理， 所以，所以， 其中，因为，故的取值范围是 【变式训练7-1】设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的最大值与最小值的和为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围. 【详解】设，则，那么，，两式相减得：，整理得：，即 ，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中， 所以，则的最大值与最小值的和为。 【变式训练7-2】设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围. 【详解】设，则，那么，，两式相减得：，整理得：，即 ，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中，所以。 【变式训练7-3】已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，利用点差法计算得出，结合的取值范围可求得的取值范围. 【详解】因为直线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，而双曲线的离心率，当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，则双曲线的方程为，设、、，则，两式相减得：，即，即， 又，． 【变式训练7-4】已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准标准方程可知该双曲线的渐近线方程为：，即，设，有，因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1， 所以有，把代入化简得， ， 【变式训练7-5】设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用几何关系得到，再利用基本不等式求的最小值，即得焦距的最小值. 【详解】设右焦点，其中一条渐近线设为，即，右焦点到渐近线的距离，即，，，的面积的最小值为16，即，，即的最小值是，那么焦距的最小值是，当时等号成立. 【变式训练7-6】已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】化简得，消去，解不等式即得解. 【详解】，即，即，又，所以， 所以 ，可得。 【变式训练7-7】函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 【答案】D 【解析】令，解得， 所以， 因为点A在双曲线上， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以m-n的最大值为4 故选：D 【变式训练7-8】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 【变式训练7-9】已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为 (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由离心率为可得，然后算出，然后可求出答案； 设，，联立消元，弦长公式算出，设，， 联立得，同理，然后算出，然后可得，即可得 到答案. 【解析】(1)因为双曲线的离心率为，则，，可得， 由已知，将代入，可得，由， 即，所以，故双曲线的方程为； (2)依题意，设，，由可得， 所以解得，且 所以， 设，，由得，同理， 所以，所以， 其中，因为，故的取值范围是 【变式训练7-10】已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为． (1)求双曲线C的方程； (2)直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）利用双曲线的离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程； （2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二次方程，利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系，利用A，B两点都在以点为圆心的同一圆上得到，再利用向量的数量积为0得到、的关系，进而消去得到的不等式进行求解. 【解析】(1)因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为，所以点在双曲线上，由题意，得，解得，，， 即双曲线的标准方程为. (2)联立，得，因为直线与该双曲线C交于不同的两点， 所以且，即且， 设，，的中点，则，， 因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，所以，即， 因为，，所以，即， 将代入，得，解得或，即m的取值范围为或. 【变式训练7-11】已知双曲线：（，）交轴于两点，是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，，且双曲线离心率为2. (1)求双曲线 的标准方程； (2)设直线l：（）与双曲线交于两点，为双曲线虚轴在轴正半轴的端点，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）由题设设，，，进而得直线方程，再根据方程得坐标，再结合和得，最后根据离心率求解得答案； （2）根据题意设，，线段中点坐标为，进而得，，再结合得并结合判别式求解不等式即可得答案. 【解析】(1)由题及双曲线的对称性，设，，， 则：，：， 故.又，即，代入得 ，又，得，，即： (2)由题知，，设，，线段中点坐标为， 联立，得，依题意，得.且，即有，代入直线方程得， 由知，，即：.即. 所以，②且，③由①②③式得，或. 【变式训练7-12】已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）求出点的坐标，结合可求得的值，进一步可求得双曲线的标准方程； （2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，再结合以及可求得实数的取值范围. 【解析】(1)，，双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，，不妨取点在上，设点，，，因为， 则，可得，则点,，则，，则， 所以，双曲线的标准方程为. (2)由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即①， 由韦达定理可得，，则，， ，，，所以，②， 又③，由①②③得：或. 题型08：多元最值 【典型例题1】已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，连接与双曲线的另一个焦点，如下所示： 由双曲线的定义可知，，又双曲线方程为，故，又点坐标为，双曲线的渐近线为，故点到渐近线的距离为，故. 【典型例题2】已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（  ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果. 【解析】由双曲线的对称性，假设在右支上，即， 由到的距离为，而， 所以 ， 综上，，同理，则， 对于双曲线，有且， 所以，而，即. 故选：D. 【典型例题3】已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为 ；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由，根据双曲线的性质，求出半焦距，即可得出离心率；根据双曲线的性质，由线段长度的最小值为，得出，即可求出结果.因为双曲线， 若，则，所以，因此双曲线的离心率为； 因为为左焦点，所以，其中， 若对于双曲线上任意一点，为使线段的长度最小，则点必在该双曲线的左支上，设，则，， 所以 ，因此，解得. 故答案为：；. 【典型例题4】如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N. (1)若的面积为，求直线AB的方程； (2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意，先求出椭圆方程和双曲线的方程，然后联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，根据的面积为求出的值即可求解； （2）联立直线和双曲线方程，先求出，再根据的范围即可求解. 【解析】(1)由题得，解得，所以椭圆的方程为， 等轴双曲线的方程为.由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：， 联立，消去得， 所以，又，所以，则 将换成，得，所以，设， 由，消去得，，所以得， 则，，， 所以，解得，所以直线AB的方程为； (2)由，消去得，解得， 所以，，， 则，，， 所以的取值范围为． 【变式训练8-1】已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，其中，可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得当取最小值和最大值时对应的值，可求得、的值，即可得解. 【详解】由题意可得，，、，双曲线的渐近线方程为， 不妨设直线的斜率为，则直线的方程为，易得，设点的坐标为，其中，，，所以，，故当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，因此，. 【变式训练8-2】已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】设直线的方程为与双曲线方程联立求出点坐标，同理设直线的方程为，求出点的坐标，从而得出,在利用均值不等式可得答案. 【详解】依题意得直线与的斜率都存在且不为0，不妨设直线的方程为， 则直线的方程为．设，，联立，得，则，， ，同理可得， ，所以，即，当且仅当时等号成立． 【点睛】本题通过查直线与双曲线的位置关系，考查基本不等式的应用，解答本题的关键是得到，后，根据表达式的特点，得到，再利用基本不等式求的最小值．属于中档题. 【变式训练8-3】已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据直线与双曲线的位置关系，表示出，，可求得，根据基本不等式可得. 【详解】设，，由题意得A，关于原点对称，∴，∴，，∴，∴， 【变式训练8-4】已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】设点，由，可求出，及的表达式，连接MO，易知，结合，可得，，进而求出的范围即可. 【详解】设点，由题意可得， 则，则， ∴．如下图，O为坐标原点，连接MO，易知，分别为线段，的中点， 所以，且，∴，，∵函数在上单调递减，∴，∴. 【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线中线段的比例关系，解题的关键是通过双曲线的性质、题中几何关系，求得的表达式，进而可求得，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 【变式训练8-5】已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【变式训练8-6】已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ） A．48 B．49 C．50 D．42 【答案】A 【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果； 【详解】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接， 在以为直径的圆上，，， ； 为双曲线上一点，且，，； 【变式训练8-7】已知双曲线和直线是的左、右顶点，是上异于A，B两点的任意一点，直线AP，BP分别交直线于M，N两点，设的外接圆半径分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，因为为双曲线上异于A，B两点的任意一点， 所以，即． 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，直线， 则直线， 令，得， 令，得，所以． 因为的外接圆半径分别为， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 故选：B. 【变式训练8-8】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解析】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 【变式训练8-9】已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线、利用双曲线定义求方程、由方程研究曲线的性质 【分析】根据双曲线的定义及直线与双曲线相交求解的取值范围. 【详解】由，知，. 因为点满足：，即 ，且， 所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为， 则其焦距，实轴长，所以，，所以， 所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为. 由曲线方程得. 因为曲线上存在点满足：， 所以直线与双曲线的左支有交点，所以. 故选：A. 【变式训练8-10】已知实数满足，则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围. 【详解】当，表示椭圆第一象限部分；当，表示双曲线第四象限部分；当，表示双曲线第二象限部分；当，不表示任何图形； 以及两点，作出大致图象如图： 曲线上的点到的距离为，根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，与距离为2，曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近2，考虑曲线第一象限的任意点设为到的距离 ，当时取等号，所以，则的取值范围是。 【变式训练8-11】已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】 （1）设双曲线的半焦距为，由建立关于的方程，并求出的值，再将点坐标代入双曲线得，结合，解得，的值，即可求出双曲线的方程； （2）先设直线的方程为，再分别与双曲线的渐近线方程联立，得到，的表达式，即可求出长度的表达式，联立双曲线与直线的方程，整理成关于的一元二次方程．设，，结合韦达定理求出，的表达式，并得到的取值范围，进而求得的表达式，化简，再结合的取值范围即可求解． 【解析】(1)设双曲线的半焦距为，∵，∴． 又，，解得，，∴双曲线的方程为． (2)由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，联立得， ∴．联立得， 设，，则，，由即， ∴， ∴． 又，∴，∴，∴的取值范围为． 【点睛】本题以双曲线为背景，考察双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属综合困难题. 题型09：双曲线中的离心率最值问题 【典型例题1】已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得. 【详解】，即， 化简得，即，解得或，所以. 【典型例题2】已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的最小值是___________. 【答案】 【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围. 【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图， 由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，，由余弦定理可得：，即，解得，因为，所以，，可得，故，则双曲线的离心率的最小值是。 【典型例题3】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线交双曲线于，两点. (1)若，四边形的面积为12，求双曲线的方程； (2)若，且四边形是矩形，求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)因为直线交双曲线于､两点，所以，两点关于原点对称，从而四边形 是平行四边形，设双曲线的焦距为，则四边形的面积，解得， 从而，，所以，， 于是，解得，，所以双曲线的方程为； (2)设，则.由，得. 因为，所以， 化简得.因为，所以.由得，解得；由得，解得.因此，的取值范围为. 【变式训练9-1】已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，利用两点间线段最短，结合已知直接求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点坐标为，因此有由双曲线的定义可知： ，所以周长为，当在线段上时，有最小值，最小值为5，因此有，所以离心率为： .故选：B 【变式训练9-2】已知双曲线（，）的右顶点为，抛物线（）的焦点为，若在双曲线的渐进线上存在点，使得，则双曲线的离心率的最大值是（ ） A. B. C. D. 答案：A 【分析】首先求出，，设，根据得到，从而得到，再整理即可得到离心率的取值范围. 【详解】双曲线（，）的右顶点，渐近线方程为，抛物线（）的焦点为，设，，，因为，所以，整理得，由题知，即，，，，所以，因为，所以.则双曲线的离心率的最大值是。 【变式训练9-3】（多选题）已知双曲线，直线与交于，两点（在的上方），，点在轴上，且轴.若的内心到轴的距离不小于，则的离心率最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内心的的性质得到，从而得到，，进而求出离心率的取值范围. 【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，，则. 因为，所以A是线段的中点，又轴，所以，， 所以的内心G在线段上.因为DG平分∠EDA，在△EDG中，由正弦定理得：，在△ADG中，由正弦定理得：，由于，，所以，因为G到y轴的距离不小于，所以，所以， 因此，即，，故，则的离心率最大值为. 【变式训练9-4】已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点，且的最小值为，则该双曲线的离心率是__________. 【答案】 【分析】根据双曲线方程，设及，将代入双曲线方程并化简可得，由题意的最小值为，结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得的值，进而求得离心率即可. 【详解】设点，，则，即， ∵，， ，当时，等号成立，∴，∴，∴. 【变式训练9-5】已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出关于、的齐次不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】过点作于，过点作于， 因为，所以，又因为，所以，故，又因为，且，所以，因此，所以，又因为直线与圆有公共点，所以，故，即，则，所以，又因为双曲线的离心率，所以. 【变式训练9-6】过双曲线左焦点的动直线与的左支交于，两点，设的右焦点为. （1）若三角形可以是边长为4的正三角形，求此时的标准方程； （2）若存在直线，使得，求离心率的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据双曲线的定义求得，，再计算出可得双曲线方程； （2）设，，设的方程为，代入双曲线方程，由韦达定理得，然后由，得的关系，由不等式性质得的不等式，从而可求得离心率的范围． 【详解】 （1）依题意得：，，.∴， ，，，此时的方程为； （2）设的方程为，与联立，得 设，，则，，由 ，， ∴，又∵，∴∴ 又、在左支且过，∴， ∴综上所述． 【变式训练9-7】设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围. 【答案】（1）（除点外）；（2）. 【解析】（1）根据题意，设，根据椭圆的几何性质得出、的坐标，由，，由直线的斜率公式得出点的坐标间的关系式，从而得出点的轨迹方程； （2）由（1）得的方程为：，利用椭圆的几何性质求出，最后根据，即可求出的取值范围. 【详解】（1）根据题意，设， ， 由①②得：，， 代入③得，即，即，经检验点不合题意， 因此Q点的轨迹方程为（除点外）. （2）由（1）得Q点的轨迹方程为（除点外），所以的方程为：，，，，. 题型10：最值多选综合 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据条件，确定双曲线的方程，进而确定的坐标，利用两点间的距离公式，可判断A的真假；利用平面向量的坐标表示，可判断B的真假；利用三角形的边的关系，结合两点间的距离公式，可判断C的真假；结合双曲线的定义和两点间的距离公式，可判断D的真假. 【详解】对双曲线：，，所以. 双曲线在一、三象限的渐近线方程为. 如图： 直线所在的直线方程为：. 由，即. 由且，即. 又，所以. 对A：因为，所以，，所以，故A正确； 对B：因为，，所以不成立，故B错误； 对C：,当三点共线时取等号，故C正确； 对D：设双曲线左焦点为，则， 所以，当三点共线时取等号.故D正确。 故选：ACD 【典型例题2】若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（       ） A．的焦点到渐近线的距离为4 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，可知，再根据求得，从而得出双曲线的右焦点为，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小，即可判断C选项；过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，可得出过的最短的弦长，即可判断D选项. 【详解】由题意知，，即，因为，所以，解得：， 所以右焦点为，双曲线的渐近线方程为，对于A：到渐近线的距离为，故A正确；对于B：因为，所以双曲线的离心率为，故B错误；对于C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故C正确；对于D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故D错误． 【变式训练10-1】在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】 求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D． 【详解】双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，， ，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时， 综上的最小值为6．D正确． 【点睛】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径：是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当轴时，是双曲线的通径，此时为弦长度的最小值． 【变式训练10-2】已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（       ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点 D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2= 【答案】AC 【解析】 【分析】 可设，代入双曲线的方程，结合不等式恒成立思想，以及基本不等式求得，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，可判断，，，再由焦点三角形面积及双曲线的对称性，即可判断． 【详解】可设，可得，即有，由，，可得， 即，若恒成立，且实数的最大值为1，可得的最小值为1， 由，当时等号成立，则，解得，可得双曲线的方程为，则，故正确，错误；由双曲线的焦点为，，函数，的图象恒过双曲线的焦点，，故正确；由△PF1F2的面积为及双曲线的对称性可知，P点可在左支，也可在右支上，所以∠PF1F2=错误，故错误． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查不等式恒成立问题解法和函数的图象的特点、以及直线和双曲线的关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 【变式训练10-3】已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（       ） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出渐近线方程，设，直接计算，然后判断各选项． 【详解】由题意双曲线的渐近线为，即，设，不妨设在第一象限，在渐近线上，则，，，A正确；在双曲线上，则，， ，，∴，B正确；，当且仅当时等号成立，即的最小值为，C错误；渐近线的斜率为，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴，，当且仅当时等号成立，∴，即最小值为，D正确． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题． 【变式训练10-4】双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为 A．4 B． C．2 D． 【答案】ABD 【解析】由渐近线上的点的坐标可求得渐近线方程；利用对称关系可知，由此求得；当三点共线且在双曲线右支上时，可知取得最小值，无最大值，由此可判断各个选项能否取得. 【详解】由双曲线方程得渐近线方程为：，在渐近线上， 渐近线方程为 设坐标原点为，则，，当三点共线且在双曲线右支上时，最小，，又为双曲线上的动点 ， 无最大值 选项中的值均大于，选项中的值小于，选项中的值均有可能取得 【变式训练10-5】已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时，的面积为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、基本不等式求和的最小值、双曲线中的定值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】    由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 为定值，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D正确； 故选：BCD 【变式训练10-6】若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由焦点三角形面积公式可得A错误；由双曲线的定义可得B正确；当点位于右顶点时可得C正确；由向量的数量积和基本不等式可得D错误. 【详解】圆的圆心为，半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A错误； 对于B，由双曲线的定义可得，当三点共线时取等号，故B正确； 对于C，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点位于右顶点时，最小， 所以，所以四边形面积的最小值为，故C正确； 对于D， ，当时取等号，但，所以取不到等号，故D错误. 故选：BC 【变式训练10-7】已知曲线，则（  ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【解析】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确． 故选：ABD 一、单选题： 1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：， 所以，因为，，所以，， 所以，将代入得： .故选：B． 2．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【解析】椭圆，，所以. 设以为直径的圆圆心为，如图所示： 因为圆与圆外切，所以，因为，， 所以， 所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支. 即，曲线. 所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，故， 如图所示： 到渐近线的距离, 则，当且仅当，，三点共线时取等号， ∴的最小值为.故选：D 4．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】作出图形如图所示， 设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB， 由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得， 故，故，则点B落在圆上, 因为点O到直线l：的距离为，故的最小值为，故选：D 5．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．42 【解析】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上， 直线方程为，令，解得：，； 以为直径的圆的圆心为，且．连接， 在以为直径的圆上，，， ； 为双曲线上一点，且，，；故选：A 6．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 【解析】依题意得直线与的斜率都存在且不为0， 不妨设直线的方程为，则直线的方程为． 设，，联立，得，则，， ， 同理可得， ， 所以 即，当且仅当时等号成立．故选：C 7．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，又， 所以，则，所以， 设，，则，， 所以，即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，即直线斜率的最小值是.    故选：C 二、多选题 1．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的实轴长为8 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为 【解析】由双曲线C的方程为，得：，， 对于A：双曲线C的渐近线方程为，故A正确； 对于B：双曲线C的实轴长为，故B正确； 对于C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确； 对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故D错误； 故选：ABC. 2．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（    ） A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1 B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于 C．的最短长度为6 D．满足的直线有4条 【解析】由双曲线可得，，所以， 对于A：若在双曲线右支上，则的最短长度为，故选项A正确； 对于B：双曲线的渐近线方程为：，若，同在双曲线右支上，则的斜率大于或小于，故选项B不正确； 对于C：当，同在双曲线右支上时，轴时，最短，将代入可得，此时，当，在双曲线两支上时，最短为实轴长，所以的最短长度为，故选项C不正确； 对于D：当，同在双曲线右支上时，，当，在双曲线两支上时，，根据双曲线对称性可知：满足的直线有4条，故选项D正确； 故选：AD. 3．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（    ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 【解析】对于A，依题意可知，，，结合，得，，所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，， 直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而， 联立，得，则，，， 若，则，即，解得，不满足，故B错误； 对于C，由，则，， 所以 因为，所以，故C正确； 对于D，， 设，则，，令，函数在上单调递减，因此，故D正确， 故选：ACD． 4．已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 【解析】对A：因为双曲线，故可得，则离心率，故A正确； 对B：因为，故可得， 则，因为，则， 令，故，，故当时，取得最大值.故B错误； 对C：设点，则，又双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为.故C正确； 对D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故；当点在轴下方时，同理可得.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题： 1．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为 . 【解析】设点 ，由得：， 所以，化简得：， 即满足条件的点在圆上运动， 又点存在于上，故双曲线与圆有交点， 则 ,即实数a的最大值为2， 2．双曲线：的左，右顶点分别是，，是上任意一点，直线，分别与直线：交于，，则的最小值是 ． 【解析】由双曲线的对称性可知，只需研究在右支上时，取最小值的情况. 由上可得，，根据双曲线方程可得， 所以设直线的斜率分别为，则． 的方程为，令，解得， 的方程为，令，解得， 所以，(当且仅当，即，时等号成立)． 故答案为：. 3．已知点，若双曲线的右支上存在两动点，，使得，则的最小值为 . 【解析】设，则，即. 因为，所以，则 . 因为，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值是. 4．已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为 . 【解析】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为， 设是双曲线上任意一点，则， 所以，则， 由点线距离公式得， 两边平方得 ， 所以，即的最小值为. 四、解答题 1．已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程； (3)已知点，求的最小值. 【解析】（1）依题意，， 又离心率为，即，则.所以， 双曲线C的标准方程. （2）设动点，点，由线段的中点为Q， 则，代入双曲线C的方程得，所以Q的轨迹方程. （3）动点P是双曲线C上任意一点，设，则， 则，，或， ， 当时，取最小值，最小值为. 2．在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值. 【解析】（1）由已知可得：，整理化简可得：，即, 所以动点的轨迹方程为：； （2）由可设直线OP的方程为，直线OQ的方程为， 由，可得，所以，同理可得， 又由且，可得，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为6. 3．已知双曲线过点，左､右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左､右两支分别交于两点. (1)求双曲线C的方程； (2)记直线的斜率分别为，求的最小值. 【解析】（1）因为点在双曲线上，故，即， 而双曲线的渐近线方程为，到一条渐近线的距离为， 所以，解得，又，    所以，故所求双曲线的方程为； （2）因为双曲线的方程为，所以，故以为直径的圆为 ，而直线是其切线，所以应满足，得， 而坐标满足，消去得， 求得，而，故，由此可得（*）， 由于分别在的左､右两支，故，因此， 所以，将代入整理得， 又，故，显然， 由题意得，故，     所以， 将及代入，求得，而， 故，又，故， 即. 4．设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 【解析】（1）由题意，得的渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 又因为，所以，则，故的方程为． （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则，当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为．    5．已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率． (1)求的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值． 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为2，则， 由双曲线过点，且，则，即，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设直线，，， 由题意可知，联立方程，整理得， 由题意可得，解得或， 则，．可得，， 则，所以． 因为，则，整理得， 则，即，则． 所以，即． ∴，当且仅当，即或时，等号成立， 此时或，均满足与的左、右两支分别相交．∴的最小值为6． 6．已知双曲线Γ：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线Γ的方程； (2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值. 【解析】（1）不妨设，到双曲线的一条渐近线的距离为. 双曲线过，所以，所以双曲线方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设，则， ，依题意， ，即， 由解得或（舍去）， 所以，此时到直线的距离为. 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ，依题意， 所以 ， 整理得， 即，由于直线，，所以， 函数的开口向上， 判别式为，故①成立. 所以直线的方程为，即， 所以到的距离，， 当时，；当时， 当且仅当时等号成立.所以. 7.已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案； （3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案. 【解答过程】（1）由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线. （2）设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，消去可得， 由，则，， 又因为，，所以 ，代入，， 可得， 所以直线的斜率之和为. （3）设，，， 联立，解得，同理可得， 联立，解得，同理可得， 所以，， 因为，所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得，当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $