第05讲 双曲线的离心率讲义（知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线离心率核心考点，系统梳理求值与范围两大模块，涵盖直接法、定义法、焦点三角形等19类题型，通过知识要点梳理、解题方法归纳、典型真题演练，帮助学生构建完整解题框架，突破参数换算、几何条件转化等难点。 讲义突出分层教学与数学思维培养，如在焦点三角形题型中结合正弦定理推导离心率公式，培养逻辑推理能力。设置基础巩固、中档提升、拔高三级练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升运算与建模能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第05讲 双曲线离心率取值及范围 目 录 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 5 题型归纳 10 一：求双曲线离心率的值 10 题型01：直接法 10 题型02：定义法求离心率 12 题型03：建立关于和的一次或二次方程与不等式（齐次方程） 13 题型04：通径法 20 题型04：运用渐近线求离心率 错误！未定义书签。 题型05：坐标法 27 题型06：焦点弦求离心率 30 （一） 焦点弦已知底角 30 （二）焦点弦定比点差 31 题型07：焦点三角形 33 （一）焦点三角形定义法 33 （二）双曲线的焦点三角形模型 35 （三）焦点三角形已知顶角 36 （四）焦点双曲线双余弦定理 38 （五）焦点三角形面积相关 39 （六）焦点三角形内心型求离心率 40 题型08：双曲线第三定义点差法 42 题型09：中点弦（点差法） 47 题型10:由题目条件和不等式关系求离心率 49 题型11：几何图形法 51 题型12:双曲线的对称性 54 题型13:角平分线相关 57 题型14：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 59 题型15：共焦点共渐近线求离心率 62 题型16：向量相关 64 题型17双曲线与圆相关 66 题型18内切圆相关 69 题型19：双曲线与和差最值 71 二：双曲线离心率取值范围 72 题型01：根据a,b,c的不等关系求离心率的取值范围 72 题型02：焦半径范围的应用 73 题型03：根据直线与双曲线的关系求取值范围 76 题型04：双曲线的有界性 81 题型05：和差最值相关 82 题型06：点差法的运用 84 题型07：焦点三角形的运用 86 题型08：双曲线对称性的运用 88 题型09：通径相关 90 题型10：由题目条件确定离心率取值范围 93 题型11：联立求点坐标型 98 题型12：向量相关 100 题型13：双曲线与圆相关 102 题型14：双曲线与内切圆相关 103 题型15：双曲线与角平分线相关 106 题型16：椭圆与双曲线结合 108 题型17：离心率求参数及离心率表达式范围 110 一. 考查题型 1.小题：选择、填空高频必考，常作为单选压轴、多选考点 2.大题：解答题第1问常规设问，也会结合焦点三角形、弦问题、渐近线综合求解 3.分值占比高，属于双曲线核心必考知识点 二. 常见命题角度 1.基础求值：已知方程、渐近线、焦距、顶点边长，直接计算离心率数值 2.范围求解：结合焦点三角形、几何约束、位置关系、不等式求离心率取值区间 3.最值问题：求离心率最大值、最小值 4.综合联动：和焦点三角形、中点弦、直线与双曲线位置、向量、角度条件结合出题 5.轨迹类：根据动点满足的几何关系，推导离心率大小或范围 三. 难度层级 1.基础档：套用公式换算参数，难度低，属于必拿分题型 2.中档档：结合几何条件列式化简求离心率，常规高频考题 3.拔高档：多约束条件嵌套、范围临界判断、最值推导，易出现边界取值失误 四. 核心易错点 1. 混淆双曲线与椭圆离心率取值范围，记错基础区间 2. 参数换算出错，分不清a、b、c对应几何量，误用关系式c^2=a^2+b^2 3. 几何条件转化等式/不等式时遗漏限制条件 4. 求范围时忽略双曲线固有属性e>1，最终取值区间判定出错 5. 渐近线、夹角、距离类条件无法快速转化为参数方程 五. 命题趋势 侧重数形结合思想，弱化纯公式计算，强化几何条件翻译；常融合三角形、直线位置关系出题，范围类考题占比逐年提升，也常作为多选选项判断考点。 1. 熟记核心定义与取值范围 掌握离心率公式，牢记双曲线固有范围，区分椭圆离心率区间，杜绝概念混淆。 2. 熟练基础参数换算 能根据双曲线标准方程、渐近线方程、顶点、实虚轴长，快速推导a、b、c三者数值，精准计算离心率具体值。 3. 掌握条件转化能力 可将角度、边长、向量、焦点三角形、直线相交相切等几何条件，转化为含a、c的等式或不等式。 4. 攻克两大核心题型 ①定值型：规范步骤求出唯一离心率数值 ②范围最值型：合理建立不等关系，结合边界约束算出准确取值区间、极值 5. 具备综合解题能力 能联动焦点三角形、渐近线、位置关系等考点，解决复合型离心率考题；小题可活用二级结论提速，大题规范列式推导步骤。 6. 养成纠错复盘习惯 规避参数混淆、范围漏限、公式误用等常见错误，能自主检验答案合理性。 知识点一：求双曲线离心率常用公式 1.双曲线离心率公式1：e= 2.双曲线离心率公式2：e= 3.双曲线离心率公式3： 已知双曲线方程为两焦点分别为为双曲线上一点，设焦点三角形，则. 证明： 由正弦定理得： 由等比定理得：即，∴。 4.双曲线离心率公式4： 以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，=，=β，则离心率 （） 证明：由正弦定理，有 ， 即 又， 5.双曲线离心率公式5：或者 点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,，k为直线AB斜 率，，(注：而不是)则 (1) 当曲线焦点在x轴上时，e= (2) 当曲线焦点在y轴上时，e= 知识点二：双曲线的定义 以焦点在轴上的双曲线为例，, 分别为双曲线的左、右焦点， 为左、右顶点，为虚轴的下、上端点，点为椭圆上任意一点，是坐标原点， 1.第一定义： 2.第二定义:，其中，为到对应准线的距离 3.第三定义：设点 , N 为双曲线上关于原点对称的两点，点 是双曲线上异于, N 的任意一点，若直线PM, PN 的斜率存在，则必有【焦点在y 轴上时为】, 证明：设点 点M,P在双曲线上 两式相减得：, 亦即 证毕。 若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有： 1　 ； 2　 . 知识点三：与双曲线离心率有关的二级结论： 1.渐近线类 若直线恒过双曲线两支之内一定点, 则有 (1)直线与双曲线仅一交点时, 直线斜率 (2)直线与双曲线两支都有交点时, 直线斜率 (3)直线与双曲线单支有两交点时, 直线斜率 2.焦点弦定理 为圆双曲线上任意焦点，、为圆双曲线上不同两点，直线的斜率记为，倾斜角记为，，则有 （1）若焦点在轴上，， （2）若焦点在轴上，， 知识点四：离心率取值范围 1.根据渐近线求离心率的取值范围 （1）若直线恒过的定点落在双曲线两支之内 ①当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率k= ②当直线与双曲线两支都有交点时，该直线的斜率k ③当直线与双曲线单支有两个交点时，该直线的斜率k; （2）若直线恒过的定点不落在双曲线两支之内 ①当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率k=或△=0 ②当直线与双曲线有两个交点时， △>0 ③当直线与双曲线左右两支都有交点时， x1x2<0; ④当直线与双曲线左支有两个交点时， 有 ⑤当直线与双曲线右支有两个交点时， 有 2.根据焦半径范围求离心率范围 （1）F是椭圆的一个焦点，P是椭圆上的任意一点，则a-c≤≤a+c； （2）F是双曲线的右焦点，若P是双曲线右支上的任意一点，则c-a≤； 若P是双曲线左支上的任意一点，则，根据题给等式确定P位置。 （3）P是椭圆上的任意一点，则-a<xp<a, -b<yp<b. 3.切线类 点为圆双曲线上异于顶点的任一点, 过点作圆双曲线的切线, 则有 4.共焦点问题 若椭圆和双曲线共焦点：（为焦点三角形顶角 5.长度范围 若为的右焦点，为右支上一动点，则有；为左支上一动点，则有 6.点差法求双曲线的离心率 若为圆双曲线上任意两点, 为的中点, 为坐标原点, 则有: ， 四：双曲线必明4个易误点 1． 双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件． 若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线， 若2a>|F1F2|则轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同． 若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，)； 若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝； 若0<a<b，则双曲线的离心率e>. 3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. 4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±. 一：求双曲线离心率的值 题型01：直接法 【典型例题1】双曲线的离心率是 . 【答案】/ 【分析】直接利用双曲线方程求出，然后求解离心率． 【详解】由双曲线可知：， 所以， 所以双曲线的离心率为：. 故答案为：. 【典型例题2】双曲线的离心率用来表示，则（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数，在上是减函数 D．是常数 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线为坐标轴，结合等轴双曲线的离心率为定值，即可求解. 【详解】由题意，双曲线的渐近线为轴和轴，即坐标轴， 其中坐标轴互相垂直，即该双曲线为等轴双曲线， 所以双曲线的离心率为，即（常数）. 故选：D. 【变式训练1-1】已双曲线C：，双曲线C的离心率为 【答案】 【分析】整理得到，直接计算离心率得到答案. 【详解】由曲线，整理可得， 离心率为定值. 故答案为：. 【变式训练1-2】已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题意可得到，，的值，即可求解 【详解】由双曲线的焦距为4可得，， 则，所以．故选：C 【变式训练1-3】已知双曲线，下列结论正确的是（    ） A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为 C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为 【答案】C 【分析】求出实半轴、虚半轴、半焦距，即可按定义逐个判断. 【详解】对A，C的实轴长为，A错； 对B，C的渐近线方程为，B错； 对C，C的离心率为，C对； 对D，C的焦点的坐标为，D错.故选：C 【变式训练1-4】设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或2 D．2 【答案】D 【分析】写出直线方程，利用点到直线距离公式，以及之间的关系列方程求出双曲线的离心率，再根据分类讨论，确定双曲线的离心率. 【详解】解：由题意在双曲线中，，半焦距为，直线过，两点 ∴在中，原点到直线的距离为， ∴解得：∵∴当时，解得：，舍去，当时，解得：，符合题意，综上，，故选：D. 【变式训练1-5】已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线C的离心率 【详解】由是一个等边三角形，可得 即，则有，即 则双曲线C的离心率。故选：A 【变式训练1-6】（多选）关于双曲线，下列说法正确的有（    ） A．实轴长为4 B．焦点为 C．右焦点到一条渐近线的距离为4 D．离心率为 【答案】AC 【分析】根据双曲线的方程求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的实轴长为，所以A正确； 焦点坐标为，所以B错误； 又由双曲线的右焦点为，其中一条渐近线的方程为，即， 所以到渐近线的距离为，所以C正确； 由双曲线的离心率的定义，可得双曲线的离心率为，所以D错误. 故选：AC. 题型02：定义法求离心率 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴的正半轴交于点，若垂直平分，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，，由双曲线定义和几何性质得到其他边长，由勾股定理得到方程，得到离心率. 【详解】设，，由双曲线定义得， 因为是的中点，所以， 由对称性可知， 又垂直平分，所以，即， 所以，，， 在中，， 即，解得． 因为，所以双曲线的离心率． 故答案为： 【变式训练2-1】已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上一点满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义求出，由可得，然后由离心率的计算公式计算即可. 【详解】因为双曲线的焦点分别为、，， 所以，故， 又因为双曲线上一点满足，所以，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式训练2-2】已知，为双曲线C：（，）的两个焦点，以为直径的圆与C在第一象限的交点为P，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，结合，利用勾股定理，得到，再结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，可得， 因为，可得， 又由以为直径的圆与C在第一象限的交点为，可得， 则满足，可得，即，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 【变式训练2-3】已知双曲线的左､右焦点分别为､，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义，结合，且，由是矩形，且 ，利用勾股定理求解. 【详解】解：如图所示： 由双曲线的定义得：， 又，且， 所以是矩形，且 ， 又因为， 即， 解得， 故答案为： 题型03：建立关于和的一次或二次方程与不等式（齐次方程） 【典型例题1】双曲线的左，右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线的右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将代入双曲线方程求出点的坐标，通过解直角三角形列出三参数，，的关系，求出离心率的值． 【详解】由于轴，且在第一象限，设 所以将代入双曲线的方程得即， 在△中，，即,解得, 故选：B 【典型例题2】已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出，写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出点坐标，利用，即可求出结果． 【详解】解：记右焦点为，由题意知，，且为等腰三角形，则只能是， 所以，，所以直线的方程为，由，得所以，整理，得， 即，解得或（舍去），所以． 故选：C 【典型例题3】双曲线的左、右焦点分别是，过作斜率为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数关系得到，再进行齐次化化简即可. 【详解】令，则，解得，则，因为， 则，所以， 所以，解得或(舍去). 故选：B. 【典型例题4】是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长度关系可得，利用双曲线定义可用表示出，利用勾股定理可构造关于的齐次方程求得离心率. 【详解】设，则，，，；由双曲线定义可知：，， ，， ，，，，则. 故选：D. 【典型例题5】已知双线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，的内心为I，若，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别相切于点P、Q、N，根据双曲线的概念得到，从而得到A与N重合，再结合题意得到，即可得到答案. 【详解】设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别 相切于点P、Q、N，如图所示：所以，，， 则， 而，所以，即A与N重合， 即内切圆I与相切于点A，所以，又，所以A为的中点， 所以，故. 故选：A. 【典型例题6】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 【变式训练3-1】已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将代入双曲线方程求出点的坐标，通过解直角三角形列出三参数，，的关系，求出离心率的值． 【详解】由于轴，且在第一象限，设 所以将代入双曲线的方程得即， 在△中，，即,解得, 故选：B 【变式训练3-2】已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求得点坐标，根据直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点， 所以，由解得， 则，而，所以， ， 两边除以得，解得或（舍去）.故选：D    【变式训练3-3】设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意得到直线，与另一条渐近线联立得到，根据为线段的中点得到，再代入双曲线方程求解即可. 【详解】由题知：，平行的一条渐近线为， 则直线， ，即. 因为为线段的中点，所以. 把代入得：， 化简得，即，则. 故选：C 【变式训练3-4】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，则，由椭圆和双曲线的定义可得，两式相加得，两边同时除以得， 所以， 故选：B 【变式训练3-5】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件证明为线段的中点，由此可得，结合双曲线的定义可得，由勾股定理可得的关系，由此可求曲线的离心率. 【详解】因为，为双曲线的左､右焦点，所以，因为 所以，又为线段的中点，所以为线段的中点，且， 又为线段的中点，所以，在中，，， 所以，所以，因为点在双曲线的右支上， 所以，故，在中，，，， 由勾股定理可得：，所以，即， 所以，又，故， 所以，故选：D. 【变式训练3-6】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的左、右半支分别于点．若为线段的中点，且是等腰三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义确定等腰的腰，再利用勾股定理列式计算作答. 【详解】依题意，令，由双曲线的定义知，， 显然，否则，有，，，，矛盾， 若，即，则，，满足条件， 过作，垂足为，则为线段的中点，于是，， 设双曲线的焦距为，在中，，即，解得， 所以的离心率．故选：B 【变式训练3-7】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支分别交于两点，且，若点为的中点，，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由条件结合双曲线定义列出关于的齐次方程，由此可求的离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为， 则，因为，所以， 由双曲线定义可得，所以 因为点为的中点，，所以，即 所以，所以，所以离心率，故选：A. 【变式训练3-8】设为双曲线T：（a＞0，b＞0）的右焦点，P是双曲线T右支上一点，且满足，线段的垂直平分线经过坐标原点，设M是线段的中点，若，则双曲线T的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得OM是的中位线，由此求出，并证明，结合双曲线定义可求，再根据勾股定理求，由此可得离心率. 【详解】如图，设F1为双曲线T：的左焦点， 依题意可得OM是的中位线，又，所以且，所以，又，故．，，则双曲线T的离心率为． 故选：C. 【变式训练3-9】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A，B分别在其左、右两支上，，M为线段AB的中点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合双曲线的定义求，结合勾股定理求出的关系，由此可得离心率. 【详解】因为，所以，又M为线段AB的中点，所以， 设，因为，M为线段AB的中点，所以，， 由双曲线定义可得，， 所以，，又，所以，故， 所以，由，可得， 由已知， 所以，即， 所以，所以离心率，C正确；故选：C 题型04：通径法和运用渐近线求离心率 【典型例题1】设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，利用双曲线的定义求出，进而可求得，利用勾股定理可求出的值，由此可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，    因为为等边三角形，则，所以，， 所以，，则， 所以，，则， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：D. 【典型例题2】已知为双曲线的右焦点，为双曲线的一条渐近线，到直线的距离为，过且垂直于轴的直线交双曲线于两点，若长为10，则的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为. 由令得， 所以，所以， 所以， 所以离心率. 故选：B 【变式训练4-1】已知双曲线的右顶点为，左焦点为，动点在上.当时，有，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断在左支上，求得，由，可得，再由，，和的关系，化简可得答案． 【详解】如图，由动点在上，当时，， 可得在左支上，令，可得， 解得，即有，则， 即， 可得，即. 故选：D.    【变式训练4-2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的对称性结合已知可得，设，然后利用双曲线的定义可得，从而得，，再利用勾股定理列方程化简可得结果. 【详解】因为过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点， 所以， 因为，所以，所以， 设，则，所以，得， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以离心率， 故选：C    【变式训练4-3】已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由已知可得,,的坐标，求得,所在直线的斜率，再由直线与直线的斜率之比为3列式求双曲线的离心率． 【详解】由题意可得，，， 点的横坐标为，代入，又，所以， ，， 则，可得． 即双曲线的离心率为2． 故选：C．    【变式训练4-4】已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】作出图象，根据几何性质可得点的坐标，结合∥可得，进而求出离心率. 【详解】由题意，在双曲线C: 中，右焦点为，FN垂直于轴，    由题意可知：， 因为是BF中点，则，可得， 且三点共线，则∥，可得，即, 所以. 故选：A. 【变式训练4-5】已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得,,由和关系可求得，，由此可求得离心率． 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， 直线 为双曲线的通径，则 由得，则， 由得，则 由得： 即 所以， 所以离心率 故答案为： 【典型例题1】已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为40°，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】双曲线C的一条渐近线的倾斜角为40°，所以，再由从而可求出即求出. 【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为40°， 所以（直线倾斜角的正切值即该直线的斜率）， 记双曲线C的离心率为e，则， 所以， 所以． 故选：C． 【典型例题2】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合离心率定义推得，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线的一条渐近线与直线垂直， 得，即，则.， 故选：B. 【典型例题3】设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据双曲线焦点的位置，结合双曲线方程与离心率公式分类讨论进行求解即可. 【详解】当该双曲线焦点位于横轴时，则有， 因为该双曲线一条渐近线为， 所以有， 即此时双曲线的离心率为； 当该双曲线焦点位于纵轴时，则有， 因为该双曲线一条渐近线为， 所以有， 即此时双曲线的离心率为， 故答案为：或 【典型例题4】已知是双曲线的左焦点，点，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由双曲线的性质可得直线与双曲线渐近线平行，结合双曲线离心率的定义求解即可． 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又已知是双曲线的左焦点，， 直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以直线与双曲线的渐近线平行， 则，即，即，即， 即， 即，即， 则双曲线的离心率为． 故答案为：． 【典型例题5】已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段的中点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形中位线得，又M是线段的中点，又可得，则可得渐近线的倾斜角为，从而求得的值，即可得双曲线离心率. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为，    因为O是线段的中点，M是线段的中点，所以 又，所以，所以， 所以 所以渐近线的倾斜角为，则，又， 所以，则离心率. 故选：C. 【变式训练4-1】设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过F作直线的垂线，分别交，于A，B两点．若成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意直线的倾斜角为，根据，得到，再由成等差数列，得到，求得，得到，利用正切的倍角公式得到，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】解：如图所示，因为向量与同向，可得直线的倾斜角为， 即，所以，所以， 又由，所以， 又因为成等差数列，所以， 联立方程组，可得，，所以， 在直角中，可得， 又由双曲线的渐近线方程为，可得， 即，解得，即， 可得，即，所以. 故选：A. 【变式训练4-2】双曲线的两条渐近线夹角为，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线夹角，得到渐近线方程的倾斜角，从而得到渐近线斜率的值，再利用的关系即可求出离心率的值． 【详解】因为两条渐近线夹角为，所以双曲线渐近线方程的倾斜角为或． 所以或． 即或，因为，所以， 即，所以． 故选：D． 【变式训练4-3】若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出渐近线方程，根据题设条件作出图象，设，可得出，从而求出，再求出到渐近线的距离，从而得出，结合的面积为，可得到，从而可得，的等量关系，再由离心率公式即可求解． 【详解】根据题意可得双曲线的渐近线方程为，. 设过点作渐近线的垂线，分别交，于点，如图所示： 因为，所以， 设，则，， 所以， 因为到的距离为，则， 所以，解得， 所以该双曲线的离心率为. 故选：A 【变式训练4-4】已知双曲线E:（a＞0,b＞0）与抛物线C:有共同的焦点,过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行,则E的离心率为（   ）． A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线和抛物线的焦点重合,建立双曲线和抛物线基本量之间的关系,再通过过双曲线左焦点且与一条渐近线平行的直线与抛物线相切,设直线联立抛物线方程,判别式等于零,建立等式,求出双曲线离心率. 【详解】解:抛物线的焦点,双曲线的右焦点为,由题意可得,,双曲线的渐近线方程为,不妨取, 设过左焦点的直线方程为联立,得, 由题意,,可得,取,又直线与平行, ,可得双曲线的离心率,所以离心率为. 故选:B． 【变式训练4-5】若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两渐近线的倾斜角，得到渐近线方程，得到，求出离心率. 【详解】因为一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，且这两条渐近线倾斜角的和等于， 所以渐近线的倾斜角分别为，故渐近线方程为， 故，，故离心率为. 故选：B. 【变式训练4-6】已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据 求出离心率. 【详解】渐近线方程为： ，由于P点坐标在第二象限，选用 ， 将P点坐标代入得： ，又 ； 故选：D. 【变式训练4-7】已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与没有公共点，则，即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，若双曲线（，）与直线无公共点，则应有，所以离心率，故选：D 【变式训练4-8】若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意得到渐近线方程的斜率，从而得到，求出离心率. 【详解】由题意得：渐近线方程的斜率为， 又渐近线方程为，所以， 所以C的离心率为故选：D 【变式训练4-9】已知双曲线，若直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，O为坐标原点，且，的夹角为，则C的离心率为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由对称性求出渐近线斜率，求解，解得c，即可求离心率． 【详解】双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，则OA＝OB， 由，的夹角为知为等边三角形， ∴渐近线的斜率为：，∴，又，∴，则．故选：A． 【变式训练4-10】已知双曲线：，的一条渐近线与圆交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式、弦长公式列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】圆的圆心为，半径为， 令，，解得或，所以直线与圆相交所得弦长为， 所以双曲线的渐近线与相交所得弦长， 到直线的距离， 所以， ，整理的， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 【变式训练4-11】该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】BC 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 于是该双曲线的渐近线方程为，而圆的圆心为，半径， 点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为， 点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为， 所以的可能取值为. 故选：BC 【变式训练4-12】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】分析：由离心率公式，可得a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长公式，解方程可得所求值． 详解：由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选D． 点睛：本题考查双曲线的性质：渐近线方程和离心率，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题． 【变式训练4-13】已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线的渐近线求出两点的坐标，即可用表示出中点的坐标，由直线与圆相切可得，再联立直线与圆，即可用表示出的坐标，再消即可得出的值，再利用求出答案. 【详解】双曲线的两条渐近线为， 联立直线与渐近线，解得， 所以的中点坐标，所以， 又，所以，即点在第一象限，即， 又直线与圆相切，即，解得（负值舍去），则直线， 联立直线与圆，解得， 即，即，解得， 所以双曲线的离心率.     故选：B 【变式训练4-14】已知双曲线C的方程为，斜率为的直线与圆相切于M，与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】. 设出直线的方程，求出A，B的坐标，从而可得点M的坐标，代入圆方程中即可求离心率 【详解】依题意，设直线的方程为，圆的方程可化为，即圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切于M，所以，由可化简得， 则直线的方程为，双曲线C的两条渐近线分别为，， 由得，同理可得， 因为M为AB中点，由中点坐标公式可得， M在圆上，将M的坐标代入圆方程可得， 化简整理得，从而可得， 则双曲线C的离心率.故选：B 【变式训练4-15】以双曲线C：的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线的渐近线上，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点公式可得在直线上，即可代入求解. 【详解】由题意可得实轴的顶点为虚轴的顶点为，故4个中点为， 双曲线的渐近线为，因此不妨考虑点在直线上， 所以，，双曲线C的离心率，故选：A. 【变式训练4-16】双曲线的左焦点为F，离心率为e，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若AB的中点为M，若等于半焦距，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设直线方程，然后与渐近线方程联立即可得出两点坐标，最后通过两点坐标得出中点坐标 并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果． 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的半焦距为， 则双曲线的左焦点，过点且斜率为1的直线方程为， 联立，可得，联立，可得，不妨设，， 故中点坐标为，则有， 所以，因为，所以， 所以（矛盾舍去）或，所以 所以，所以， 故，故选：B． 【变式训练4-17】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点B在直线上，且位于第一象限，直线与直线交于点A，且A是线段的中点，，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线渐近线方程可设出点坐标，根据和O是的中点，得出，建立等量关系得，即可求得离心率. 【详解】方法一： 由题知直线是双曲线的两条渐近线，如图， 因为O是的中点，且，所以， 设，则解得即．因为A是的中点，所以， 又点A在直线上，所以，解得c＝2a，所以，故选：B． 方法二： 因为O是的中点，，所以， 因为A是的中点，所以，又， 所以，所以， 所以，则c＝2a，所以．故选：B． 【变式训练4-18】已知双曲线的一条渐近线为，左､右焦点分别是，过点作轴的垂线与渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】依题意可得，再根据锐角三角函数得到，即可得到，再根据离心率公式计算可得. 【详解】解：依题意可得，，显然为直角三角形， 所以，即，所以，所以离心率. 故答案为： 题型05：坐标法 求出点的坐标代入双曲线方程建立等式求离心率 【典型例题1】已知为双曲线的一个焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与的另外一条渐近线交于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设过右焦点垂直于渐近线的直线为，求出，利用向量关系表示出，再代入另外一条渐近线，整理计算即可. 【详解】因为双曲线的渐近线为， 不妨设过右焦点垂直于渐近线的直线为， 联立，解得， 设，由，可得， 即，解得，即， 因为在另外一条渐近线上， 所以整理得：，即，所以. 故选：C. 【典型例题2】已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】双曲线的右焦点, 设点关于一条渐近线的对称点为， 由题意知，，解得. 又知，解得， 所以，即， 所以双曲线C的离心率是 故选：C. 【典型例题3】已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 . 【答案】 【分析】结合图形，利用垂心的定义，以及两直线垂直与斜率的关系可得，再利用离心率公式求解. 【详解】如图，设的垂心为，则有, 不妨设,则， 因为在渐近线上，所以， 直线与交于，两点， 所以，解得， 所以 又因为, 所以， 整理得，，所以，    故答案为: . 【变式训练5-1】已知坐标平面中，点为双曲线的右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】设，根据题意可知垂直平分，利用两直线垂直斜率之积为和中点坐标公式可得且，求出、，得出点坐标，代入双曲线方程得到关于、的方程，结合离心率的定义化简即可求解． 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为，，    不妨设点在第二象限，则， 由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分， 则，有，且， 解得，，所以， 将，即，代入双曲线的方程， 得，化简可得，即， 当点在第三象限时，同理可得． 故选：C. 【变式训练5-2】已知点F是双曲线的右焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意不妨设点在第一象限，又，得，代入双曲线方程化简可得离心率. 【详解】由题意不妨设点在第一象限，又，得，代入双曲线方程得，结合， 所以，两边同除以整理得，解得或（舍） 从而离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出点的坐标，二是化简求值. 【变式训练5-3】已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为 【答案】/ 【分析】设直线方程为与双曲线方程联立，根据求解. 【详解】解：如图所示：    设直线方程为与双曲线方程联立， 解得， 因为， 所以， 即，即， 解得， 故答案为： 【变式训练5-4】已知双曲线，过其上焦点的直线与圆相切于点A，并与双曲线的一条渐近线交于点不重合）．若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设出过上焦点的直线方程为，由圆心到直线距离等于半径得到，再分别联立直线与圆，直线与渐近线，求出，，根据比例关系得到方程，得到的关系式，求出离心率. 【详解】由题意得，渐近线方程， 设过其上焦点的直线方程为， 则圆心到直线的距离为，解得，不妨取负值， 如图所示，故过其上焦点的直线方程为， 联立与可得，， 解得， 联立与，可得，此时，重合，舍去， 联立与，可得，此时不重合，满足要求， 因为，所以，故， 化简得， 又，故，即， 解得，双曲线的离心率为. 故答案为： 【变式训练5-5】已知直线与圆相切于点，直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且为的中点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线的渐近线求出两点的坐标，即可用表示出中点的坐标，由直线与圆相切可得，再联立直线与圆，即可用表示出的坐标，再消即可得出的值，再利用求出答案. 【详解】双曲线的两条渐近线为， 由解得，由解得， 线段的中点坐标为，设点，即有， 又，则，即点在第一象限，直线的纵截距为正，即， 又直线与圆相切，则有，解得，则直线， 由解得，有，于是，解得， 所以双曲线的离心率.      故答案为： 题型06：焦点弦求离心率 （1） 焦点弦已知底角 ， 【典型例题1】已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A． B． C． D． 【解析】===+1，选D 【典型例题2】点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且 ，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可. 【详解】   由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则， ∴，，， ． 故答案为： 【变式训练6-1-1】已知为双曲线的左，右焦点，点在的右支上，为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求得点坐标，再将之代入双曲线方程，求得与的关系，最后利用双曲线的离心率公式即可求得的离心率. 【详解】设双曲线方程为，设在第一象限， 如下图所示：过做交轴于点，    由△为等腰三角形，且, 则，， ，， 点坐标为, 又在双曲线上，则， 即，化简得， 解得或（舍去）， 解得. 故选：D. 【变式训练6-1-2】设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解. 【详解】双曲线的焦点为，，则， 是等腰三角形，， ，， 由正弦定理即，解得， 双曲线过点，由双曲线的定义可得， 解得离心率， 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由下面两个方面着手： （1）根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值； （2）已知条件构造出，，的等式或不等式，结合化出关于，的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围. 【变式训练6-1-3】已知F1，F2是双曲线 (a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A．＋1 B．4＋2 C． D．－1 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得． 【详解】解：依题意可知双曲线的焦点为，，， 三角形高是，， 边的中点，，代入双曲线方程得：， 整理得：， ， ， 整理得，求得， ，. 故选：A. 【变式训练6-1-4】已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，求出，求出离心率. 【详解】由题知，过作轴于，则， ， ，解得， 故答案为： （二）焦点弦定比点差 点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,，k为直线AB斜率，且，则e= 当曲线焦点在y轴上时，e= 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 【解法一】设双曲线的右准线为 过分 别作于,于, , 由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为 由第二定义 又 【解法二】直线AB的斜率k=, 带入公式e==2˙= 【典型例题2】已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点D，直线BM与y轴交于点E，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，然后可得直线、的方程，然后可得点的坐标，然后由可得答案. 【详解】设，因为， 所以直线的方程为，直线的方程为， 所以， 因为，所以，所以 从而可得 故选：D 【变式训练6-2-1】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解法一】设双曲线的右准线为 过分 别作于,于, , 由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为 由第二定义 又 【解法二】直线AB的斜率k=, 带入公式e==2˙= 【变式训练6-2-2】已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是 （结果用表示） 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式表示，由直线倾斜角的大小得出，并结合向量共线的关系进行计算得出结果. 【详解】设，， 由点在双曲线上得，即. 则 ， 同理，，如图，由直线倾斜角为可知，，    ， ， 设，则， ， ， . 故答案为：. 【变式训练6-2-3】(多选)如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．与面积之比为 C．与周长之比为 D．与内切圆半径之比为 【答案】BD 【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断C；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断D，进而可得正确选项. 【详解】设，， 由双曲线的定义可得：，， 在中，由余弦定理可得：， 即，所以， 在中，由余弦定理可得：， 即，所以， 所以，，整理可得， 所以该双曲线的离心率为，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为，代入可得， 所以，，， 的周长为， ，， 所以，的周长为， 所以，和的周长之比为，C错； 对于D选项，设和的内切圆半径分别为、， 则，解得，D对. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【变式训练6-2-4】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为 . 【答案】 【解析】设，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出，由可得，这几个式子再结合化简可得 【详解】因为直线过点，且斜率为 所以直线的方程为： 与双曲线联立消去，得 设 所以 因为，可得 代入上式得 消去并化简整理得： 将代入化简得： 解之得 因此，该双曲线的离心率 故答案为： 【点睛】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解 2.求离心率即是求与的关系. . 【变式训练6-2-5】设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程，与双曲线方程消去并化简．设，，，，利用根与系数的关系得到，．通过，得到代入上式消去得关于、、的等式，结合解之得双曲线的离心率．. 【详解】直线过点，且斜率为，直线的方程为 与双曲线联立， 消去，得 ， 设，，，， ， ，可得 代入上式得，， 消去并化简整理，得， 将代入化简，得，解之得， 因此，该双曲线的离心率． 故答案为：． 题型07：焦点三角形 （一）焦点三角形定义法 【典型例题1】双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理可得的关系，从而可求出结果. 【详解】由题意知延长则必过点,如图：    由双曲线的定义知， 又因为，所以， 因为，所以， 设，则，因此， 从而由得，所以， 则，，， 又因为，所以， 即，即， 故选：B. 【变式训练7-1-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设交y轴与A，可推出，从而，结合的斜率，设可推出之间的关系，即可求得答案. 【详解】如图，设交y轴与A，A为的中点，    因为O为的中点，故为的中位线， 则，而，则, 因为直线的斜率为，故中，， 故设，则， 结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有， 则， 故选：C 【变式训练7-1-2】已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 【详解】依题意，设，则， 在中，，则， 故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 【变式训练7-1-3】已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A为双曲线C右支上一点，直线交双曲线的左支于点B，若，且原点O到直线的距离为1，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】通过双曲线的定义，用参数表示，，过作直线的垂线，构造直角三角形，从而利用勾股定理构建参数的方程求，则离心率可求. 【详解】点A为双曲线C右支上一点， ， 又， ， 点B为双曲线C左支上一点， 即， 过作直线的垂线，垂足分别为,        则,又为的中点，可得， 在直角三角形中， 在直角三角形中, ， , ,平方可得， ， ， C的离心率为. 故答案为：. 【变式训练7-1-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，且，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线的定义结合条件求解即可. 【详解】   因为，设，则有 根据双曲线的定义， 因为，所以 在直角三角形与直角三角形， 又因为 由此解得 所以， 故答案为：. 【变式7-1】5.（2023·全国·高二专题练习）设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点的直线与在第一象限相交于一点P，若，且直线倾斜角的余弦值为，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为α，可得，由P在第一象限内，且，可得，根据余弦定理可得的齐次方程，进而可求出双曲线的离心率. 【详解】设直线的倾斜角为α，则， 由P在第一象限内，且，则， ∴，由余弦定理可得， 整理得，则，解得或（舍去）.    故答案为： （二）双曲线的焦点三角形模型 【典型例题】已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】∵AB⊥x轴，又已知△ABE是直角三角形，且必有AE＝BE， ∴△ABE是等腰直角三角形，所以∠AEB＝90°，∠AEF＝45°，于是AF＝EF 不妨设A点在x轴上方，则A（－c，），故＝a＋c 即b2＝a（a＋c），得c2－ac－2a2＝0 即e2－e－2＝0，得e＝2（e＝－1舍去） 考点：双曲线标准方程，双曲线的性质，直线与双曲线位置关系 【变式训练7-2-1】已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，，到渐近线的距离为3，过的直线轴，与双曲线C的右支交于A，B两点，则的面积为（    ） A．9 B．24 C．36 D．72 【答案】C 【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离为、离心率的定义式以及的关系式建立方程组，求得双曲线的标准方程，进而求得点的坐标，利用三角形的面积公式，可得答案. 【详解】由题知，设双曲线的焦距为，则，解得， ∴双曲线，，． 将代入，解得，∴， ∴的面积为． 故选：C． 【变式训练7-2-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用点到直线的距离公式求出的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得. 【详解】双曲线的半焦距为c，渐近线方程为， 点到渐近线距离为，由双曲线定义得， 由为等腰三角形，得，即，因此， 则，所以的离心率为. 故答案为： （三）焦点三角形已知顶角 【典型例题1】已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解． 【详解】不妨设， 在△中，由余弦定理知，， 因为， 则， 两式联立得， 因为，， 整理得，化简得， 所以离心率． 故选：．    【典型例题2】已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求. 【详解】如图，因为，所以， 所以， 则， ， ， 解得. 故答案为：      【变式训练7-3-1】已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，利用余弦定理可得，再由双曲线定义可得，由离心率定义可得. 【详解】如下图所示： 根据题意可设，易知； 由余弦定理可知，可得； 即， 由双曲线定义可知可知，即； 所以离心率. 故选：A 【变式训练7-3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为 【答案】/ 【分析】根据双曲线的定义以及直角三角形的性质求解即可； 【详解】   依题意有 所以， 设又 所以、 在中， 所以， 故有：即 解得：即 在中，有 即， 所以 故答案为：. 【变式训练7-3-3】已知为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线交的右支于点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由给定条件可得，再由斜率及双曲线定义，结合勾股定理建立的方程，即可求解作答. 【详解】由，得，又，因此，又， 则，令双曲线半焦距为c，由， 得，整理得，而， 解得，所以双曲线的离心率. 故答案为：    （四）焦点双曲线双余弦定理 【典型例题】已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用双曲线定义表示出的长，再利用勾股定理可得，在和中，分别利用余弦定理可得，联立两式即可得离心率. 【详解】如下图所示，连接，易知以为圆心，为半径的圆经过点， 即为圆的直径，所以；    不妨设，则， 由双曲线定义可得 所以，即，整理得 在中可得，； 在中可得，； 又易知，可得 联立可得，， 则双曲线的离心率为 故选：B 【变式训练7-4-1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用向量的中点性质与双曲线的定义求得，，再利用余弦定理得到关于的齐次方程，解之即可. 【详解】依题意，设双曲线的半焦距为，则，，    因为是的中点，所以， 故由得， 因为，，所以， 在中，， 在中，， 所以，则，即双曲线的离心率为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的运算法则与双曲线的定义，从而得到所需线段的长度，再构造关于的齐次方程即可得解. 【变式训练7-4-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义、余弦定理求解作答. 【详解】令，则，    在中，，由余弦定理得， 即，解得，于是， 在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得， 所以双曲线离心率. 故选：A 【变式训练7-4-3】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式、余弦定理，双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】双曲线C的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，所以， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，即，因此，双曲线C的离心率为， 故选：C    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用互补两角的余弦值为零，进而运用余弦定理. 【变式训练7-4-4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，Q是双曲线的右支上一点，直线与该双曲线的左支交于点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，连接，根据双曲线的定义表示出 ，，依题意可得，再分别利用勾股定理得到，即可得解. 【详解】设，因为，所以，． 连接，因为 ，，所以，． 又，所以． 在中，有，所以①． 在中，有，所以②， 由②可得，将其代入①中，得， 即. 故选：B． （五）焦点三角形面积相关 【典型例题】设，是双曲线C:的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且△的面积为9，则C的离心率等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，结合双曲线的简单性质求出，由此可求出双曲线的离心率. 【详解】因为，是双曲线C:的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且△的面积为9， 所以，解得， 所以，得， 故双曲线的离心率为. 故选：C. 【变式训练7-5-1】双曲线的左､右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，可求出的关系，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以离心率， 故选：C    【变式训练7-5-2】已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题设可得，结合点在双曲线上及参数关系求出双曲线参数，即可得离心率. 【详解】由题设知：，则，    所以且，易知：， 又，故，且， 所以，则， 化简得，解得或（舍）， 综上，，故，则离心率为. 故答案为： （六）焦点三角形内心型求离心率 【典型例题】已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得，即，同理可得，从而可得，再由，可得，设直线的倾斜角为，在和中，分别将,用表示代入即可求出直线的斜率，再结合直线与双曲线右支交于两点，即可求出，进而可求出离心率的取值范围. 【详解】不妨设直线的斜率大于0．如图: 连接．，，设的内切圆与三边分别切于点，，，则 ， 所以，即，同理可得，所以， 设直线的倾斜角为，在中，， 在中，，又，所以， 即，解得， 所以，即直线的斜率为， 由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，所以.故选:D 【变式训练7-6-1】别为双曲线的左、右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件和面积公式得出，的关系，从而得出离心率的范围. 【详解】设的内切圆的半径为r， 则，因为， 所以，由双曲线的定义可知， 所以，即，又由，所以双曲线的离心率的取值范围是.故选：D 【变式训练7-6-2】点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】设出内切圆的半径，表示出，由得，结合双曲线的定义及离心率即可求解. 【详解】 设内切圆的半径为，则， 由可得，化简得， 又，故.故选：D. 【变式训练7-6-3】已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用三角形的内切圆圆心到各边距离都等于半径，从而得到，，，再由找到的等量关系，进而求得离心率的值. 【详解】设的内切圆半径为，则，，， 所以，又,，所以，即，所以， 故选：D. 【变式训练7-6-4】已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由重心坐标求得I的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G的坐标，再根据与轴平行，由求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：，则， 由圆的切线长定理和双曲线的定义得，所以，则， 因为与轴平行，所以，即，则，即，解得，故选：B 题型08：双曲线第三定义点差法 【典型例题1】不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率. 【详解】设， 则，两式相减得， 即， 即 ，所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以， 即，化简得，故. 故选：C. 【典型例题2】已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可. 【详解】设，，由的中点为，则， 由，两式相减得：=， 则==，由直线的斜率，∴，则， 双曲线的离心率，∴双曲线的离心率为，故选：B． 【典型例题3】不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率. 【详解】设， 则，两式相减得， 即， 即 ，所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以， 即，化简得，故. 故选：C. 【典型例题4】如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用两角和的正切公式求出，即直线的斜率为，再设，，利用点差法得到，从而求出离心率. 【详解】如图，取的中点，连接，则，所以， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的斜率为， 设，，则， 由，得到， 所以，所以，则. 故选：C 【典型例题5】已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得. 【详解】因为直线，所以， 由题可知的垂直平分线的方程为， 将与联立可得，即的中点坐标为． 设，，则，且，， 两式作差可得， 即，所以， 则双曲线的离心率为． 故选：D 【变式训练8-1】已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中点弦问题利用点差法处理. 【详解】法一：设，则， 所以，又AB的中点为， 所以，所以，由题意知， 所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误. 故选：C. 法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即， 代入并整理得， 因为为线段AB的中点，所以，整理得， 所以C的离心率.故A，B，D错误. 故选：C. 【变式训练8-2】斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设是中点，且，根据求得，再由得到直线倾斜角为，则直线倾斜角为，结合倍角正切公式求，进而求离心率. 【详解】由题设，双曲线的渐近线为，如下图， 若是中点，且， ，则，可得， 所以，则，而，则， 所以，若直线倾斜角为，则直线倾斜角为， 由，则，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：若是中点，应用点差法求得，即，由得直线倾斜角为，则直线倾斜角为为关键. 【变式训练8-3】已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部；若存在(2a，a)为中点的弦，根据点差法可得弦的斜率为，要使弦不存在，则弦与双曲线无交点，则弦的斜率大于渐近线斜率，如此即可得到的取值范围，进而求出离心率的范围﹒ 【详解】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部，则，得； 假设以(2a，a)为中点存在弦，设弦与双曲线交于， 则，两式作差得， 即， ∵不存在该中点弦，∴直线AB与双曲线无交点，则，得； 综上，可得； 又∵离心率e＝，∴≤e≤，即， 故选：B 【变式训练8-4】已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案. 【详解】设，，， 则，两式作差，并化简得，， 所以，因为为线段的中点，即所以， 即，由，得.故选：B. 【变式训练8-5】过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率 【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得 则， 则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率故选：D 【变式训练8-6】己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为.求C的离心率； 【解法一】由题设知，的方程为： 带入的方程，并化简，得 设则 ① 由为的中点知，故 即， ② 故所以的离心率 【解法二】由，即1˙3=，e==2 【变式训练8-7】已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【分析】根据题意利用点差法整理可得，结合双曲线的离心率，运算求解. 【详解】关于原点对称，设，则 ∵两式相减整理得： ∴，则 故答案为：. 【变式训练8-8】双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】依题意，设，则， 且， 而， ，， 所以. 故选：A 题型09：中点弦（点差法） 【典型例题1】过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率 【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得则，则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率故选：D 【典型例题2】已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法即可． 【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2． 设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得， 即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率． 故选：B． 【变式训练9-1】已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.因为，，所以，，故.故选：C 【变式训练9-2】直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法”求出直线l的斜率，再验证作答. 【详解】设，，因点A，B在双曲线 上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线 交于两点，所以直线l的斜率为1. 故选：D 【变式训练9-3】已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________. 【答案】 【分析】设，，，两点坐标代入双曲线方程相减可得直线与直线斜率的关系，从而得出齐次式，变形后可得离心率． 【详解】设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.因为，，所以，，故. 故答案为：． 【变式训练9-4】已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率 . 【答案】 【分析】由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，设线段BM的中点为，连接OQ，设，根据点差法得到，由垂直关系得到，结合求出点的坐标，由求出的齐次式，进而可得出答案. 【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．    由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为， 因为，所以B、N、M三点共线， 设线段BM的中点为，连接OQ， 根据题意，显然可得点为线段AB的中点，所以， 设， ，， 因为点B，M都在双曲线上， 则，两式相减得， 即， 而，， 所以，即， 又因为，则，即， 所以，即， 所以， 又，则， 即，故， 所以， 而，故，即， 则双曲线的离心率． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 【变式训练9-5】已知双曲线 与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设点，，，利用点差法求得直线的斜率，得到，再由点到直线的距离求得，得出、，即可求出离心率. 【详解】设点，，，则且， 两式相减，得，所以， 因为，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，可得，又因为，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 【变式11-1】3. （2023·江西南昌·统考三模）不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率. 【详解】设， 则，两式相减得， 即， 即 ，所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以， 即，化简得，故. 故选：C. 【变式训练9-6】已知斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，，直线与的左、右两支分别交于点，，交于点，若点恒在直线上，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设出各点的坐标及中点坐标，代入双曲线作差得，，利用三点共线表示点P的坐标，代入已知直线方程得，即可求出离心率. 【详解】设，，，，， 的中点，的中点， 则，两式相减，得，化简得， 所以，所以①，同理②， 因为，所以，，三点共线，所以， 将①②代入得，即， 因为，所以，即点P恒在直线上， 又点恒在直线上，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：    【点睛】思路点睛：一般涉及中点弦问题时，采用设而不求点差法求解，本题通过点坐标之间的关系建立a，b关系，从而求出双曲线的离心率. 【变式训练9-7】过双曲线的左焦点且斜率为的直线交双曲线的左右两支于两点，若线段的垂平分线过双曲线的右焦点.则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设中点为，根据题意作出图形,结合图形知, 利用二倍角的正切公式求出直线的斜率，把两点代入双曲线方程,利用点差法化简整理得到的关系式,进而求出双曲线的离心率即可. 【详解】设中点为， 根据题意作图如下: 由图知, 所以在中,由为斜边的中点可得, 因为,由二倍角的正切公式可得,        ， 由，， 两式作差整理得： ， 因为, 所以，即, 解得,因为, 所以双曲线的离心率为. 故答案为: 【点睛】本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系和点差法的运用;考查运算求解能力和数形结合思想;圆锥曲线与平面几何的知识相结合是求解本题的关键;属于中档题. 【变式训练9-8】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】以直线斜率是否存在进行分类.斜率存在时，直接代入题设中的式子，求出的值，进而求出离心率.斜率不存在时，由题意得出点的轨迹为圆，再利用解出点的坐标，根据“点差法”求出，进而求出离心率即可. 【详解】若直线斜率不存在，不妨设点，则所以，则离心率；若直线斜率存在，设，中点，不妨设M在x轴上方， 由，得，故点M在圆上，由，得，则，所以．由得，即． 当时，，得． 当时，，矛盾，舍去．综上所述，或． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题是求双曲线的离心率，在直线斜率不存在时，利用两点的中点，采用“点差法”求出是解题的关键. 题型10:由题目条件和不等式关系求离心率 【典型例题1】已知双曲线C的顶点为，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求双曲线C的离心率． 【答案】2 【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】， 由是等边三角形可知，因此， 又因为， 所以，从而． 【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，点Q为双曲线左支上一动点，圆与y轴的一个交点为P，若，则双曲线离心率的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将条件转化为三角形两边之和大于第三边，得到实半轴长的取值范围，进而得到离心率的最大值. 【详解】 设双曲线的左焦点为,则，所以，由题意可得 所以，，，所以. 故选：A. 【变式训练10-1】双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得出，.然后根据的关系解出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 且，所以. 又，所以，， 所以，. 故选：C. 【变式训练10-2】已知双曲线C：的右焦点F的坐标为，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】设渐近线的倾斜角为，可得，结合求出，再利用余弦定理可得关于的齐次式，即可求得答案. 【详解】由题意知点P在第一象限且在双曲线C：的一条渐近线上， 设渐近线的倾斜角为，则，即，    结合，可得， 结合题意可知，故， 又，， 在中利用余弦定理得， 即， 即，即， 故，解得或（舍去）， 故选：B 【变式训练10-3】设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求得焦点到渐近线的距离为，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，结合和离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，渐近线方程为， 如图所示，则焦点到渐近线的距离为， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 又由，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A.    【变式训练10-4】已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知双曲线C的两条渐近线为，，过右焦点作直线∥且交于点B，过点B作且交于点A，若轴，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长AF交于点，由题意可得为等边三角形，从而得OA与x轴的夹角为30°，，从而可得的关系，再根据离心率的公式计算即可. 【详解】解：如图，延长AF交于点， 则，所以.    在中，F为的中点，而∥， 所以B为的中点. 又，于是中边上的高线与中线重合， 从而为等边三角形，所以边OA与x轴的夹角为30°， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 【变式训练10-6】已知双曲线C：（，）的右焦点F（，0），点Q是双曲线C的左支上一动点，圆E：与y轴的一个交点为P，若，则双曲线C的离心率的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义进行焦半径的转化，由此求出的最小值即可求出a的范围，再根据离心率计算公式可求离心率最大值. 【详解】设双曲线C的左焦点为，则，即， 故． 由题意可得， ∵，∴， 则双曲线C的离心率． 故选：A． 题型11：几何图形法 【典型例题1】以双曲线C：焦点F为圆心，a为半径的圆与双曲线一条渐近线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得为上靠近的三等分点，据此列出满足的等量关系，求解即可. 【详解】过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，连接，如下所示：易知，又，故可得，设点，一条渐近线为，则点到渐近线距离，则，则，又， 在△中，勾股定理可得，则，故双曲线的离心率为 . 故选：B. 【典型例题2】如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C，F为焦点的双曲线恰好经过A，B，D，E四点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴建系，令正六边形的边长为2，求出各顶点坐标，由焦点坐标、点在双曲线上求双曲线参数，进而求离心率. 【详解】如下图，以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴， 令正六边形的边长为2，则、、、、，， 令所求双曲线为且，A、B、D、E在双曲线上，所以，解得，故，则. 故选：D 【典型例题3】已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若左焦点，连接，由题意知为矩形，设，则，，，在直角△、直角△中应用勾股定理列方程可得，且得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得离心率. 【详解】如下图，若左焦点，连接，因为A、B关于原点对称且，所以为矩形，设，则，，， 在直角△中，即， 所以，在直角△中，即， 所以. 故选：B 【变式训练11-1】如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由切线长定理可得几个线段长等式，再由对称性可得，由此得到，结合双曲线的定义可求得，从而得到双曲线的离心率. 【详解】不妨设内切圆在上的切点为，在上的切点为，如图，则由切线长定理可得，，又由双曲线与圆的对称性可知， 所以，故， 所以， 故，即，得，又因为，所以，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 【变式训练11-2】已知双曲线的左，右焦点分别为、，A是双曲线C的左顶点，以、为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得的坐标，结合图像易得，利用斜率公式即可求得，从而可求得双曲线C的离心率. 【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设，则， 又由双曲线易得双曲线C的渐近线为，如图，联立，解得或，∴，，又∵，∴轴， ∴由得，∴， ∴，即，∴，∴. 故选：D. . 【变式训练11-3】已知是双曲线 的右焦点，是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点.若，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】依题意画出图象，设，则，即可求出，从而求出，即可得到，即可求出离心率. 【详解】设（），则， ∵ ，∴ ， ∴ ，，， 所以，， ∴， ∴ ， ∴ 离心率. 故答案为：. 【变式训练11-4】过双曲线：的右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得，两种情况，分别求解，结合双曲线的性质，代入离心率公式，即可得到结果. 【详解】   如图①，当时，设，则，设，双曲线的渐近线方程为，所以，在中，，设 ，，，因为，所以， 又，所以，所以，，，， 则，则，且 即，解得，所以 如图②，当时，设，，设，则，，在中，， 设，，，因为，所以， 又，所以，所以，，，， 则，，，所以 ，则，所以 ，即，解得，所以. 故选：B 【变式训练11-5】已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意知四边形为菱形，再结合图形得出，最后根据定义即可得出离心率. 【详解】设双曲线焦距为，不妨设点在第一象限， 由题意知，由且与垂直可知，四边形为菱形，且边长为，而为直角三角形，，    故，则， 则， 故， 即离心率. 故答案为: . 【变式训练11-6】双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段的两个三等分点，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，设出，，由双曲线定义得到方程，并由勾股定理得到，两方程联立后求出离心率. 【详解】由题意得，取中点，连接，设双曲线C的右焦点为，连接， 因为，所以， 又A，B为线段的两个三等分点，所以，即为的中点， 又为的中点，所以，故， 设，则，又， 由勾股定理得，则， 由双曲线定义得，即①， 在Rt中，由勾股定理得， 即②， 由①得，两边平方得， 解得或（负值舍去）， 将代入②得，故离心率为.    故答案为： 【变式训练11-7】已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为，．点A在上，点B在上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称、若，则C的离心率为 ． 【答案】2 【分析】结合图像与三角函数关系，解得，点F，A关于直线对称，，由此解得的倾斜角为，从而求解出C的离心率. 【详解】   依题意，的方程为，， 设垂足为P，根据三角函数对应关系，,， 因为，的方程为，即， 则，故， 因为点F，A关于直线对称，， 又，关于y轴对称，所以的倾斜角为， 故，则，则， 所以离心率． 故答案为：. 题型12:双曲线的对称性 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可得四边形为矩形，根据垂直关系结合双曲线的定义列式求解即可. 【详解】如图，不妨设点A在第一象限， 由题意可得：，则四边形为平行四边形， 因为，即，则，所以四边形为矩形， 设，则， 因为，即，整理得. 故选：A.    【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，    又因为，所以， 所以四边形为矩形， 设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即：， 所以，即. 故选：D. 【变式训练12-1】已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线与直线对称性，得四边形为平行四边形，再将已知条件转化为焦点三角形中的长度关系，然后利用定义求离心率即可. 【详解】设双曲线C的左焦点，右焦点为，P为第二象限上的点， 连接PF，，QF，， 根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形为平行四边形. 因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点， 所以，即四边形为矩形， 由直线l的斜率为，得， 又，则是等边三角形，所以. 在中，，则，故， 又由双曲线定义知，所以， 则. 故选：B. 【变式训练12-2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据已知条件以及双曲线的定义求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】结合双曲线的对称性可知，，， 所以为等边三角形，则，则. 由双曲线的定义，得，所以，， 则. 故选：A 【点睛】求解双曲线的离心率，方向有三种，一个是求得和，从而求得双曲线的离心率；一种是求得的等量关系式，化简可求得双曲线的离心率；还有一种是求得的等量关系式，先求得，再求得双曲线的离心率. 【变式训练12-3】如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：D.    【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值； 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 【变式训练12-4】古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 【答案】/ 【分析】由题意可得四边形为平行四边形，根据及托勒密定理可得四边形为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论． 【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，， 则，，可得四边形为平行四边形，    又及托勒密定理，可得四边形为矩形． 设，， 在中，， 则，， ，，， ，解得． 双曲线的离心率为． 故答案为：． 【变式训练12-5】已知直线l过双曲线的左焦点F，且与C的左支相交于A，B两点，点D与点A关于原点O对称，若，，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，延长，连接，，由，得到，在直角中，设，得到，，，根据双曲线的定义得到，再在直角中，求得的长，得到，联立方程组求得，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】不妨设点在轴上方，由题意可知点也在双曲线上， 设双曲线C的右焦点为，连接并延长，交双曲线C于点E，连接，，如图所示， 由，可得四边形为矩形，所以， 在直角中，设，则由，得， 由对称性可得，， 由双曲线的定义可得 ①， 在直角中，由，，， 可得 ②， 由①式和②式可得，将代入①式可得， 化简可得，则双曲线C的离心率． 故答案为：.    题型13:角平分线相关 【方法总结】 1.角平分线“拆”面积： 2.角平分线定理性质： 【典型例题1】设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合双曲线的定义以及角平分线定理可得，，，，，，在，中，由余弦定理结合，计算可得答案. 【详解】   可知，，得 设，则，由双曲线的定义可知：. 因为平分，所以，故， 又， 即有，，，，， 在，中，由余弦定理可得， ，， 由， 可得. 故选：C. 【典型例题2】已知O为坐标原点，双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则b＝（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】延长交于点，由条件结合双曲线的定义求解即可. 【详解】设半焦距为，延长交于点，连接，    由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点. 根据双曲线的定义可知，即， 由于是的中点，所以是的中位线， 所以， 又双曲线的离心率为，故，所以， 所以. 故选：C. 【变式训练13-1】已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，所以∽，设，则，设，则，．由角平分线的性质可得，由双曲线的定义可得，，再结合余弦定理可得，从而可求解. 【详解】 因为，则，所以∽， 设，则，设，则，． 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知，即，，① 又由得， 在中，由余弦定理知， 在中，由余弦定理知， 即，化简得， 把①代入上式得，解得． 故选：A． 【变式训练13-2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由，的平分线与直线PQ垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 如图，设的平分线与直线PQ交于点D， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故答案为： 【变式训练13-3】双曲线：的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线交的渐近线于点，恰为的角平分线，则的离心率为 ． 【答案】2 【分析】根据双曲线的几何性质，结合勾股定理与角平分线的性质定理，建立方程，化简求值即可. 【详解】设，作出图像，如下图：    根据题意易知，且，又， 所以由勾股定理可得：， 又恰为的角平分线， 所以根据角平分线性质定理可得：， ，又， ， ，即， ，即， 又， 所以解得：. 故答案为：. 题型14：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 【典型例题1】双曲线：的离心率为，实轴长为4，的两个焦点为，.设O为坐标原点，若点P在C上，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，由为的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得. 【详解】由题意可得，所以， 在中，由余弦定理得， ， 由于，所以，故， 由于是的中点，所以 ， 则，即， 即，① 而，两边平方并整理得，，② 联立①②可得 . 故选：B． 【典型例题2】设，分别是双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，余弦定理建立关于的方程，化简即可求出双曲线离心率. 【详解】如图， 由双曲线定义可得，又， 所以，又渐近线方程为， 因为渐近线，所以，所以， 所以， 即，化简可得， 平方可得，即， 解得或（舍去）， 故选：A 【变式训练14-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义得到，，利用余弦定理表达出，进而表达出正弦，求出与面积相加，得到的面积，得到方程，解出离心率的平方. 【详解】如图，由双曲线的定义可知：，， 因为，所以， 代入中，可得：， 因为， 所以在三角形中，由余弦定理得：， 因为， 所以， 则， 取的中点M，连接BM， 因为，所以，， 所以， ， 又因为， 所以， 化简得：， 同除以得：， 解得：或（舍去） 故选：D 【变式训练14-2】已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出，，由余弦定理求出，进而得到，得到答案. 【详解】由已知可设，则， 故， 由双曲线的定义有，故，， 故， 在中，由余弦定理得 . 在中，由余弦定理得， 即， 解得， 即，故的离心率为2. 故选：A 【变式训练14-3】已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】先利用条件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式计算得到，进而根据求出离心率. 【详解】设双曲线右焦点为， 则， 则， 所以，又， 所以， 整理得， 所以. 故答案为：. 【变式训练14-4】已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（    ） A．若，则的离心率为 B．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切 C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标 D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小 【答案】ABD 【分析】由，得到，利用离心率的定义，可判定A正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C不正确； 由正弦定理得到外接圆的半径为，得出最大时，最小，只需最大，设，得到，结合基本不等式，可判定D正确． 【详解】对于A中，因为，所以，故的离心率，所以A正确； 对于B中，因为到渐近线的距离为，所以B正确； 对于C中，设内切圆与的边分别切于点，设切点， 当点在双曲线的右支上时，可得 ，解得， 当点在双曲线的左支上时，可得， 所以的内切圆圆心的横坐标，所以C不正确； 对于D中，由正弦定理，可知外接圆的半径为， 所以当最大时，最小， 因为，所以为锐角，故最大，只需最大． 由对称性，不妨设（），设直线与轴的交点为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 又由 ， 当且仅当，即时，取最大值， 由双曲线的对称性可知，当时，也取得最大值，所以D正确． 故选：ABD． 题型15：共焦点共渐近线求离心率 【典型例题1】与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定焦点，根据离心率得到方程组，解得答案. 【详解】椭圆的焦点坐标是，，设双曲线的方程为， 双曲线的离心率，故，解得，. 故双曲线的方程为. 故选：D 【典型例题2】椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，利用余弦定理得到，再根据椭圆和双曲线的定义，得到，代入求解. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 交点到两焦点的距离分别为，焦距为， 则， 又，，故，， 所以， 化简得，即 .故选：B 【变式训练15-1】已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以， 在中，由余弦定理可得， 化简得，所以，即，故选：D 【变式训练15-2】已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合外角定理可得，然后可得， 再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得. 【详解】因为，所以，所以 所以，记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为， 则由椭圆和双曲线定义可得：…①…②①2+②2可得 由勾股定理知，，代入上式可得整理得，即 所以故选：D 【变式训练15-3】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，双曲线：的离心率为，且椭圆与双曲线的焦点相同.过的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），与双曲线的右支交于点，且点在线段上.若与的周长之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及椭圆和双曲线的离心率公式，利用椭圆和双曲线的定义及三角形周长公式即可求解. 【详解】设焦距为，则，，，由椭圆的定义知，,, 所以的周长为，由双曲线的定义知，， 所以的周长， 又因为若与的周长之比为所以，整理得， 所以.故选：A. 【变式训练15-4】椭圆的左、右焦点也是双曲线的焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意和椭圆、双曲线的对称性可得，结合椭圆、双曲线的定义和离心率即可求解. 【详解】连接，由对称性可知四边形是平行四边形， 又，∴四边形是矩形.在中，， 对于椭圆，其离心率为； 而对于双曲线，其离心率为，故，故选：C. 【变式训练15-5】已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的离心率为（       ）． A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】双曲线与双曲线有公共的渐近线，设双曲线C的方程，其中λ≠0，又因为点在双曲线上，再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程，然后求解焦距即可． 【详解】双曲线与双曲线有公共的渐近线， 设双曲线C的方程，其中λ≠0， ∵点在双曲线上， ∴，解之得， 因此双曲线方程为, 故离心率为. 故选：D. 【变式训练15-6】（多选）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（       ） A．的方程为 B．的离心率为2 C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点 【答案】BC 【解析】设所求双曲线方程为，将点代入可判断A；由A求出，即可求出离心率，判断B；求出双曲线的右焦点的坐标为，代入曲线方程即可判断C；联立方程组可判断D. 【详解】对于选项A，由可得， 从而可设所求双曲线方程为. 又由双曲线过点，代入得，即，故选项A错误； 对于选项B，由双曲线的方程可知，，， 所以的离心率，故选项B正确； 对于选项C，双曲线的右焦点的坐标为， 满足，故选项C正确； 对于选项D，联立，解得，， 所以直线与双曲线只有一个交点，故选项D错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质､直线与双曲线的位置关系，考查运算求解､推理论证能力，考查直观想象､数学运算､逻辑推理核心素养，属于基础题. 【变式训练15-7】离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为 ． 【答案】8 【分析】求出椭圆的焦距，再利用给定条件结合双曲线离心率求出双曲线实轴长. 【详解】椭圆的半焦距， 依题意，双曲线的半焦距为，而双曲线的离心率，则双曲线实半轴长， 所以该双曲线的实轴长为. 故答案为：8 题型16：向量相关 【典型例题1】如图，已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，且在第一象限，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可构造方程，利用表示出坐标，由可构造齐次方程求得，由可求得结果. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为， ，，， 设，则，，即， ，，又，，， ，，， 双曲线的离心率. 故选：D. 【典型例题2】已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】首先写出直线点斜式方程并求出点，由向量线性运算的坐标表示可以求出，将其代入双曲线方程即可求解. 【详解】由题意知直线的方程为，令，得，所以． 又因为，不妨设，所以有， 解得，所以，将其代入双曲线方程， 化简得，解得或（舍去）， 所以的离心率． 故选：D. 【变式训练16-1】已知是双曲线的一个焦点，为的虚轴的一个端点，（为坐标原点），直线垂直于的一条渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设为右焦点，为的虚轴的端点且在轴的正半径轴上，则，再由可得，从而可表示出直线的斜率，然后由直线垂直于的一条渐近线，列方程可求出离心率. 【详解】不妨设为右焦点，为的虚轴的端点且在轴的正半径轴上，则，则， 因为，所以，即， 所以直线的斜率为， 因为双曲线渐近线方程为， 因为直线垂直于的一条渐近线，所以， 所以，所以， 所以，解得， 因为，所以， 故选：A 【变式训练16-2】已知双曲线的两个焦点为，点在上，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得点坐标，根据列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】由于，所以， 则，解得， 由于，所以， 整理得， 两边除以得， 由于，故解得. 故选：B    题型17双曲线与圆相关 【典型例题1】过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，    因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是，即，， 在中，，整理得， 所以双曲线E的离心率. 故选：C 【典型例题2】已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合切线的性质及直角三角形边角关系，列式计算作答. 【详解】显然圆的圆心为，半径为，令直线l与圆相切的切点为，连接， 则，有，而，又，因此，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：A 【典型例题3】已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆过点，圆与双曲线在第一象限交于点，若的面积为9，则该双曲线的离心率 . 【答案】/1.25 【分析】依据题意，求得值，再根据题设得出，利用双曲线的定义，勾股定理和题设条件列出方程组，解出值即得. 【详解】 如图，因以为直径的圆过点，故,即，又圆与双曲线在第一象限交于点，则, 不妨设，则有：消去解得：，故双曲线的离心率. 故答案为：. 【变式训练17-1】设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知，四边形为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 连接、，设， 由对称性可知，为的中点，， 因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心， 故为的中点， 又因为，且、互相垂直且平分， 所以，四边形为正方形，则，所以，， 所以，该双曲线的离心率为. 故选：A. 【变式训练17-2】已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，联立方程组求得，结合，得到，化简得到，进而得出离心率的方程，即可求解. 【详解】如图所示，连接，由双曲线的渐近线方程为， 根据题意，点在第一象限，将代入， 可得， 可得 由求根公式，可得， 因为，且，所以，所以点 由，可得，即， 因为，所以，即，化简得， 两边同除以，得，解得或（舍去）． 故选：C.    【变式训练17-3】已知双曲线的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆，与的右支的一个交点为A，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得的值，表示出A点坐标，代入双曲线方程，整理可得关于的齐次式，即可求得离心率. 【详解】由题意可知，且为锐角，    故， 而，故， 将代入中， 得，结合整理得， 即，解得或, 由于双曲线离心率，故舍去， 故， 故选：D 【变式训练17-4】已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入双曲线方程后可求离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为， 故其方程为：， 令，则，结合在轴正半轴上，故， 令，则或，故. 故，故直线. 设， 因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故， 而， 故，整理得到：， 故，故， 所以，故， 解得或，又因为，则， 则，. 故选：D.    【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建. 【变式训练17-5】已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出离心率. 【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接， 因为线段的中点在圆上，所以， 所以≌，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，过作轴于，则， 所以， 所以，得， 所以，，所以， 所以离心率， 故选：A    【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意求得，然后在中利用余弦定理求出，从而可表示出点的坐标，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 【变式训练17-6】若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，算出与的关系即可. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为, 对于圆，有，圆心为，半径为，渐近线被圆截得的弦长为， 所以圆心到渐近线的距离为，由点到直线距离公式得：, 则由则. 故答案为：. 题型18内切圆相关 【典型例题1】已知点是双曲线右支上一点，分别是的左、右焦点，若的角平分线与直线交于点，且，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点是的内心，再借助三角形面积公式求解作答. 【详解】作的平分线交的平分线于，过作轴，垂足分别为，如图，      则点为的内心，有，设， ，则， 于是直线与直线重合，而的角平分线与直线交于点，即与重合，则点为的内心， 因此令，由，得， 因此，即有，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 【典型例题2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为 ． 【答案】5 【分析】利用直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义找到与的关系，从而求出离心率. 【详解】设，，点在双曲线的右支上， 由，可知， 又由双曲线的定义有，， 在中，的内切圆的半径，又由，可得，联立解得代入， 有，整理为，可得， 有，故双曲线的离心率． 故答案为：5 【变式训练18-1】如图，已知双曲线的左､右焦点分别是，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心，在的角平分线上，如图，    设圆，与轴的切点分别为，，显然，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上， 所以，由双曲线的定义知，则， 所以，所以 ， 所以， . 又圆与圆的面积之比为，这样圆与圆的半径之比为， 因为，所以，即，整理得， 故双曲线的离心率. 故选：D. 【变式训练18-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C右支上一点，记的重心为G，内心为I．若，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】2 【分析】连接MG，MI并延长，与分别交于点O，D，根据三角形重心的性质，利用双曲线的定义转化得到，，再根据三角形内心的性质以及三角形面积公式，可得，进而求出离心率. 【详解】如图，连接MG，MI并延长，与分别交于点O，D， 设双曲线C的焦距为2c，由题意，得， 因为，且G为重心，则，所以， 因为I为的内心，所以MD为的平分线， 所以，所以， 又，所以，， 设的内切圆半径为r，则M到x轴的距离为3r， 因为，， 所以，所以，所以双曲线C的离心率． 故答案为：2． 【变式训练18-3】双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的外接圆与及轴分别切于点，结合双曲线的定义和圆的性质，求得，再由离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，设的外接圆与及轴分别切于点， 则 因为的内切圆圆心的横坐标为1，即， 由双曲线的定义，可得，可得， 所以，又由， 所以，解得，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 【变式训练18-4】已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________. 【答案】          2 【分析】根据题意，利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义可得双曲线焦点三角形内切圆圆心的横坐标为；利用三角形相似及两个内切圆半径的比值，构造的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】 如图，在中，圆为内切圆，切点分别为， 故， 又是双曲线上的一点，故，即， 又，故，则. 故的内切圆的圆心横坐标为， 同理可得，的内切圆的圆心横坐标为，即； 又，则， 即，解得. 故答案为：；2. 【变式训练18-5】（多选)在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．三角形的面积为1 C．点的纵坐标绝对值为 D．三角形的内切圆与x轴相切于点 【答案】ABD 【分析】由题意求出c，进而求出离心率即可判断A；由双曲线的定义和勾股定理可得，求出即可判断B；利用三角形等面积计算即可判断判断C；如图，由切线长相等和双曲线的定义计算即可判断D. 【详解】A：由题意知，，则， 所以双曲线的离心率为，故A正确； B：设，则， 得，所以，故B正确； C：由选项B知，，又， 所以，得，故C错误； D：如图，设内切圆与内切的切线长分别为， 由双曲线的定义知，即， 又，所以，又， 所以的内切圆与x轴相切于点，故D正确. 故选：ABD 题型19：双曲线与和差最值 【典型例题】已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（    ） A．2或 B．3或 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据双曲线定义将转化为，数形结合即可求解. 【详解】设双曲线的下焦点为，可知， 则，即， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 由题意可得，且， 因为在上单调递增，且， 所以方程，且，解得， 则，所以双曲线E的离心率为. 故选：D.   【变式训练19-1】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故选：A.    【变式训练19-2】已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是 【答案】/ 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，利用双曲线的定义即可得到，则得到关于的方程，则得到离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点， 则. 由双曲线的定义可得， 则， 因为，所以， 则周长的最小值为，结合， 整理得，即，解得（负舍）. 故答案为：.    . 二：双曲线离心率取值范围 题型01：根据a,b,c的不等关系求离心率的取值范围 【典型例题1】已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，再解不等式，结合离心力公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，所以，，解得． 因为，所以． 故选：A 【典型例题2】若，则双曲线的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由a>1，得双曲线的离心率为． 故选：C． 【典型例题3】双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】选C. 【变式训练1-1】若双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案. 【详解】， 由于，所以， 所以， 故选：C 【变式训练1-2】已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用表示出离心率，进而可得其取值范围. 【详解】由双曲线（其中）， 得， 则双曲线离心率， 因为，所以，则， 所以， 所以，即双曲线离心率的取值范围为. 故选：A. 【变式训练1-3】已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，曲线为双曲线，得到，再根据离心率公式可求出结果. 【详解】当时，∴曲线方程化为，曲线为双曲线， 所以，，， 所以，因为，所以. 故答案为：. 【变式训练1-4】双曲线 的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知求得，，得到.又，根据二次函数的性质得出，开方即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 所以， 所以 . 因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 【变式训练1-5】已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，再解不等式，结合离心力公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，所以，，解得． 因为，所以． 故选：A 题型02：焦半径范围的应用 【方法总结】 利用或 的范围： F为双曲线的右焦点，若P是双曲线右支上的动点，则|PFl≥c-a.若P是双曲线左支上的动点，则|PF|≥c+a. 【典型例题1】已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用双曲线的几何性质和 的几何性质即可求解. 【详解】 如图，由双曲线的几何性质可知 ，由条件可知 ， ，在 中， ，即 ， ； 当点P位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即 ， ，由双曲线的几何性质知 ，所以离心率的取值范围是 ； 故选：C. 【典型例题2】设，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：. 【典型例题3】已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为(－c，0)，(c，0)．若双曲线上存在点P使得，则该双曲线的离心率的取值范围是_______________． 【答案】 由正弦定理可得，即，由e>1可得点P在双曲线的右支上． 又，则，即，边角关系 因为点P不在x轴上，所以，即，即， 结合解得 【变式训练2-1】已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围. 【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义 在中，由正弦定理得，因为， 所以，所以，因为点在双曲线右支上，所以， 所以，得，由双曲线的性质可得， 所以，化简得，所以，解得， 因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为， 故选：C 【变式训练2-2】已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意与双曲线定义计算得即可解决. 【详解】设， 因为， 所以， 所以由余弦定理得， 所以，① 因为由双曲线定义得， 所以，② 因为，即，③ 所以由②③得， 代入①得，即， 所以， 故选：D 【变式训练2-3】已知双曲线的左右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A． B. C. 2 D. 【答案】B 【分析】由双曲线的定义可得，再根据点在双曲线的右支上，，从而求得此双曲线的离心率的范围． 【详解】解：由双曲线的定义可得， 又， ∴，， ∵点在双曲线的右支上， ∴，即， ∴离心率， 又双曲线的离心率， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 【变式训练2-4】已知双曲线的两个焦点分别为，点为其上一点，且，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A.(1，3) B.(1，3] C.(3，+∞) D.[3，+∞) 【答案】 【分析】首先结合双曲线的性质求得，再根据双曲线右支上的点到焦点的距离的范围，即可求解. 【详解】由题意知在双曲线上存在一点， 使得，如图所示.    又， 即在双曲线右支上恒存在点使得， 即， ，. 又，，，即， 所以双曲线离心率的取值范围为. 【变式训练2-5】设双曲线 的左、右两个焦点分别为，，若点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【解析】即，≥a+c,e≤，选A。 【变式训练2-6】双曲线 的两个焦点为，，若双曲线上存在点，使，求双曲线离心率的取值范围. 【解析】即，≥a+c,e≤，选B。 【变式训练2-7】已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】在中，由正弦定理可得，再结合双曲线的定义和“三角形的两边之和大于第三边”，即可得解. 【详解】在中，，由正弦定理得， ，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以， 所以，在中，由， 得，即，所以，又，所以， 故答案为： 【变式训练2-8】已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据,且双曲线上的点到焦点的最小距离为，得到，进而求得离心率的范围. 【详解】因为分别为的中点，所以. 又双曲线上的点到焦点的最小距离为， 所以，解得， 因此双曲线的离心率e的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练2-9】已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围. 【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，所以. 因为点在双曲线右支上，所以， 所以，得. 由双曲线的性质可得， 所以，化简得， 所以，解得. 因为， 所以. 即双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 题型03：根据直线与双曲线的关系求取值范围 【方法总结】 方法：与渐近线的斜率比较，则 （1）当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为 （2）当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足 （3）当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足 （一）利用渐近线的斜率 【典型例题1】已知点为双曲线的对称中心，过点的两条直线 与的夹角为，直线与双曲线相交于点，直线与双曲线相交于点，若使成立的直线与有且只有一对，则双曲线离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线以及夹角关系列不等式，解得结果 【详解】不妨设双曲线方程为，则渐近线方程为 因为使成立的直线与有且只有一对， 所以 从而离心率，选A. 【点睛】本题考查求双曲线离心率取值范围，考查综合分析求解能力，属较难题. 【典型例题2】已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率即可求解. 【详解】 依题意，可得，则， 又因为直线l垂直平分线段，所以， 因为直线l与C存在公共点， 所以，即， 则，即，解得， 所以双曲线C的离心率的取值范围是. 故选：B 【典型例题3】已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于的不等关系，即可求得离心率范围. 【详解】因为双曲线（，）的渐近线为， 因为，要使直线与E无公共点，则， 所以，，所以双曲线的离心率的范围 所以满足条件的离心率的范围是， 故答案为： 【典型例题4】经过原点且斜率为的直线l与双曲线C：恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 . 【答案】 【分析】直线l与双曲线C：恒有两个公共点，则有直线l的斜率大于渐近线的斜率，即可求解. 【详解】双曲线：的焦点在轴上， 渐近线方程是， 结合该双曲线的图象，由直线与双曲线恒有两个公共点， 可得出：，即， 所以离心率， 即离心率的取值范围是． 故答案为： ． 【变式训练3-1-1】已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得切线斜率，由此可得切线方程；根据直线与双曲线交点个数可得，根据可求得离心率的取值范围. 【详解】错解： 选B，圆心到切线的距离，解得：， 切线方程为； 与双曲线有两个交点，，. 错因： 求离心率时忘记开方，注意双曲线中， 正解： 由圆的方程知：圆心，半径， 则圆心到切线的距离，解得：， 切线方程为； 与双曲线有两个交点，，， 即双曲线的离心率的取值范围为. 故选：D. 【变式训练3-1-2】过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的性质求解， 【详解】双曲线的渐近线为，由题意得， 则， 故答案为： 【变式训练3-1-3】若双曲线的右支上存在两点，，使为正三角形（其中为双曲线右顶点），则离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质以及双曲线图像的对称性，可得，进而即得. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x， 要使该双曲线右支上存在两点，，使为正三角形， 则需过右顶点，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点， 也只需其斜率大于渐近线的斜率． ∴，即， 即， ∴， 即，又， 所以． 故答案为：. . 【变式训练3-1-4】已知双曲线1（）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】(2，+∞) 【分析】由一三象限的渐近线的斜率大于可得离心率的范围． 【详解】依题意，斜率为的直线l过双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F且与双曲线的左右两支分别相交，双曲线的一条渐近线的斜率必大于，即，因此该双曲线的离心率e2． 故答案为：(2，+∞)． 【变式训练3-1-5】已知P是双曲线上一点，，分别是左、右焦点，焦距为2c，的内切圆的周长是，则离心率e的取值范围是_________. 【答案】 【分析】由双曲线的性质得内切圆圆心坐标，再列式求解， 【详解】设在第一象限，作图如下，切点，由题意得，即，所以，而内切圆半径为，所以圆心坐标为，由于，即，得：，， 故答案为： 【变式训练3-1-6】若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线与直线无交点，所以由题意可得，， 所以，又因为，所以离心率的取值范围是． 【变式训练3-1-7】已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________________． 【答案】[2，+∞) 【解析】当渐近线与直线l平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，所以，即，所以． 【变式训练3-1-8】已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 。 【答案】 【解析】过点F且倾斜角为45°的直线的斜率为1，一条渐近线方程为，由题意可得，即，结合及，解得．故选C （二）联立法 【方法总结】 方法：联立法： (1)当直线与双曲线只有一个交点时，有或 (2)当直线与双曲线有两个交点时，有 (3)当直线与双曲线的左右两支都有交点时，有 (4)当直线与双曲线的左支有两个交点时，有 (5)当直线与双曲线的右支有两个交点时，有 【典型例题1】已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到的范围，再由双曲线的离心率的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，，则， 即，解得，故， 则，故. 故选：D 【变式训练3-2-1】设双曲线与直线相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线的方程消元，利用求出的范围，然后可算出离心率的范围. 【详解】 ， 所以 ， 故选：B 【变式训练3-2-2】过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线方程为，将切线方程与双曲线的方程联立，由可得出关于的方程，可知方程有两个不等的实数根，求出的取值范围，即可求得该双曲线的离心率的取值范围. 【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意； 当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 联立可得， 因为过点能作双曲线的两条切线， 则，可得， 由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根， 所以，，可得， 又因为，即，因此，关于的方程没有的实根， 所以，且，解得，即， 当时，， 当时，， 综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练3-2-3】已知直线与双曲线相交于两个不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】利用焦点到渐近线距离求出，联立直线与双曲线，利用判别式得到离心率的范围，注意直线不可与渐近线平行，据此计算，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线为，取其中一条渐近线，取双曲线的右焦点为，故双曲线的一个焦点到它一条渐近线的距离为， 故，所以，双曲线变为，联立直线方程得到，整理得，，则，得到，所以， ，故，又因为直线不与渐近线平行，，得到，解得，故双曲线的离心率的取值范围是且. 故答案为：且 题型04：双曲线的有界性 【方法总结】 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 【典型例题1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据确定点的横坐标满足的关系式，再根据点在双曲线的右支上得到点的横坐标满足的不等式，解不等式即可. 【详解】设点的横坐标为，，，即， 由题可知，，得． 故选：D. 【典型例题2】如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性即可得，由离心率的公式即可求解. 【详解】如图，因为，F点坐标为， 所以，又A在右支上且不在顶点处， 所以，所以. 故答案为： 【变式训练4-1】是双曲线（，）的右焦点，直线交该双曲线于点，（在第一象限），点、分别是该双曲线的左、右顶点，是延长线上的点，．该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得坐标，设，利用求得，根据得关于的不等式，变形后可求得离心率的范围． 【详解】设由条件知，，设，则， ∴，∵，∴，化简得，，∴，即， 因此双曲线离心率的取值范围为． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的范围，解题关键是找到关于的不等关系，题中有一个不等关系是是延长线上的点，因此设，有，因此只要用表示出即可求解． 【变式训练4-2】已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围. 【详解】如下图所示，根据题意可得， 设，则直线的方程为， 所以直线与轴的交点， 由可得，即， 整理得，即； 又因为P为双曲线右支上一点，所以， 当时，共线与题意不符，即； 可得，整理得，即， 解得或（舍）； 即双曲线E的离心率的取值范围为. 故答案为： 【变式训练4-3】已知，分别是双曲线：的左、右焦点.若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据双曲线中，从而可得，即可求离心率范围. 【详解】 如图所示，，所以，所以， 又因为，即，即， 所以离心率， 所以双曲线的离心率的取值范围为， 故答案为: . 【变式训练4-4】已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上一点，，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义结合，得到，从而得到点的横坐标为，由求解. 【详解】设双曲线的右焦点为， 由双曲线的定义可知， 又， 所以， 设，则点的横坐标为， 因为点在双曲线上，显然有，即， 所以离心率的取值范围是． 故答案为： 题型05：和差最值相关 【典型例题1】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故选：A.    【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】的周长不小于18，可得的最小值不小于13，设为双曲线的左焦点，则的最小值不小于13，分析可得三点共线时，取最小值，从而可求的范围，根据离心率公式即可求解. 【详解】由右焦点为，点A坐标为，可得. 因为的周长不小于18，所以的最小值不小于13. 设为双曲线的左焦点，可得， 故， 当三点共线时，取最小值,即， 所以,即. 因为,所以. 又,所以. 故答案为:. 【变式训练5-1】双曲线的左焦点为，，为双曲线右支上一点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】双曲线的右焦点，等价于，所以，由不等式可求双曲线离心率的取值范围. 【详解】取双曲线的右焦点，由双曲线定义，如图所示， 故存在点使得等价为存在点使得，所以，当且仅当三点共线时等号成立， 则，由，解得，而，故离心率. 故选：B 【变式训练5-2】已知双曲线： 的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义可得，，即，进而推得，得到不等式，求解即可得到的取值范围，进而求得离心率的范围. 【详解】 设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，所以有， 即. 由已知得，存在点，使得，即，显然，所以. 又，即当点位于图中位置时，等号成立， 所以，又， 所以，整理可得，，解得或（舍去）， 所以，则，则，所以， 所以. 故选：C. 【变式训练5-3】若双曲线的左、右焦点为，若在其渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设点在第一象限，则，设线段交双曲线的右支于点，根据双曲线的定义得到，再结合离心率公式计算可得. 【详解】不妨设点在第一象限，则，设线段交双曲线的右支于点，    则， 即， 故. 故答案为：. 【变式训练5-4】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若A为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用定义化简条件可得，根据建立不等关系，化简可得a，c关系，由此可求离心率范围. 【详解】设双曲线的半焦距为， 对于直线，令，解得，即， ∵A为右支上的一点，则，即， 则，整理得， 注意到，可得，整理得， 由双曲线可知，所以的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练5-5】已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与y轴交于点A，若P为左支上的一点，且，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用定义化简条件，根据两点距离公式建立不等式，化简可得关系，由此可求离心率范围. 【详解】因为， 所以. 因为直线与y轴交于点A，所以，连接， 易知，当且仅当A，P，三点共线时取等号. 所以，即， 所以，又， 所以的离心率的取值范围为. 故答案为：. 题型06：点差法的运用 【方法总结】 双曲线中点弦的斜率公式： 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以= 【典型例题1】已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率可得由题意可得，由斜率，即可得斜率的取值范围. 【详解】设双曲线的方程为 为上一动点，上顶点下顶点离心率为，即可得 直线为直线PA, 直线为直线PB, 则， ，又，，可得， 故选：C 【典型例题2】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】，，设，计算，根据均值不等式计算得到，得到离心率范围. 【详解】，，设， ， ，故，，， ，故等号不成立，故，，即. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部；若存在(2a，a)为中点的弦，根据点差法可得弦的斜率为，要使弦不存在，则弦与双曲线无交点，则弦的斜率大于渐近线斜率，如此即可得到的取值范围，进而求出离心率的范围﹒ 【详解】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部，则，得； 假设以(2a，a)为中点存在弦，设弦与双曲线交于， 则，两式作差得， 即， ∵不存在该中点弦，∴直线AB与双曲线无交点，则，得； 综上，可得； 又∵离心率e＝，∴≤e≤，即， 故选：B 【变式训练6-2】设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点为的中点，根据为的重心，求得，由直线与的右支交于两点，得到，求得，再由时，证得四点共线不满足题意，即可求得双曲线 的离心率的取值范围. 【详解】由题意，双曲线的右焦点为，且， 设点为的中点，因为为的重心，所以， 即，解得，即， 因为直线与的右支交于两点，则满足， 整理得，解得或（舍去）， 当离心率为时，即时，可得，此时， 设，可得， 又由，两式相减可得， 即直线的斜率为， 又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意， 综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为. 故选：A. 【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题. 【变式训练6-3】已知双曲线C：上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为，，且，则离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用点差法求得，由此化简求得离心率的取值范围. 【详解】设，，因为A，B关于原点对称，所以， ∴，，∴． 又因为点P，A都在双曲线上，所以，， 两式相减得：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 题型07：焦点三角形的运用 【典型例题1】已知点､是双曲线的左､右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，根据双曲线的定义及可得，则，然后得出的取值范围. 【详解】若点在双曲线的右支上，且满足，则，则， 又因为，所以，即， 所以， 得，故，又， 所以双曲线离心率的取值范围是. 故选：C. 【点睛】求解双曲线的离心率及离心率的取值范围时，先要根据题目条件找出等量关系，构造出关于，的齐次式，然后求解的值；解答离心率的取值范围问题时，也可以通过取特殊位置或特殊点求解，然后确定离心率的取值范围. 【典型例题2】双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，则，然后在中利用余弦定理列方程可表示出，再由可求出离心率的范围 【详解】设，则， 因为直线的倾斜角为，所以， 在中，由余弦定理得， ， 得， 因为，所以 得，， 所以， 所以， 解得， 即双曲线的离心率的取值范围为 故答案为： 【点睛】关键点睛：此题考查求双曲线的离心率的范围，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是根据题意在中利用余弦定理表示出，然后代入已知条件中可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题. 【变式训练7-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义可得，结合余弦定理及双曲线性质可得，化简求范围即可. 【详解】 由题意易得：，所以 设，，由余弦定理可得 ， 则 设点，则， 即 所以，故. 故选：C 【变式训练7-2】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义和，得到,进而得到，然后在中，设，，由余弦定理求解. 【详解】由双曲线的定义得：， 因为， 所以， 所以,又， 所以， 在中，，设， 因为，所以， 由余弦定理得：， 即， 所以， 解得， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是由，确定的范围. 【变式训练7-3】已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，知 为直角三角形，利用双曲线的定义及勾股定理，以及题中所给的条件建立关于离心率的不等式解出即可. 【详解】因为，故， 由双曲线定义可得， 由勾股定理知：， 整理得，， 又，，， 故，， 解得， 直线：与双曲线的左、右两支各交于一点， 则直线的斜率， 所以， 所以. 故答案为：. 题型08：双曲线对称性的运用 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为第一象限内双曲线上的点，点为点关于原点的对称点.若，，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：设，，易知四边形为矩形，结合已知不等式可求得；利用双曲线定义和勾股定理可得，即，集合对勾函数单调性可求得，解不等式即可求得离心率的范围； 方法二：易知四边形为矩形，结合已知不等式可求得，设，可得；利用双曲线定义知，由此可得离心率，根据范围可确定关于单调递减，则可在时取得最大值，时取得最小值，结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】方法一：设，， 由题意知：，四边形为矩形，， 由得：，即，； 由双曲线定义知：…①；由勾股定理可得：…②； ①式平方与②式相减得：，即…③； 由②③得：，即； 令，， 在上单调递增，，即， 解得：，又，， 即双曲线离心率的取值范围为； 方法二：如图所示， 由对称性可知：四边形为平行四边形， ，，四边形为矩形； ，由得：， ； 设，则， ，， ，； ，，， 单调递增且恒为正，关于单调递减， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【变式训练8-1】已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，根据双曲线的对称性得到点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，从而得到，再为直线的倾斜角，且，在中，由求解. 【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形， 所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限， 因为，所以，则， 因为为直线的倾斜角，且， 所以在中，，且， 则，即，即， 即，解得， 所以该双曲线离心率的取值范围是， 故答案为： 【变式训练8-2】设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，再结合得为直角三角形，设直线倾斜角为，从而求得离心率，求解函数的值域即可得范围. 【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则. 因为直线过原点，由对称性，原点平分线段， 又原点平分线段，所以四边形为平行四边形. 在和中，分别有中位线，，， 因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形. 不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且， 在Rt中可得：， 所以， 因为，所以， 又在上为增函数， 所以. 故答案为：   【变式训练8-3】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】与轴交点，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有 且，可求离心率的取值范围. 【详解】设与轴交点，连接， 由对称性可知，，如图所示， 又∵，∴，∴． 又∵，∴， 在中， ，∴，∴ ， 由，且三角形的内角和为， ，即，则 综上， ． 故答案为： ． 题型09：通径相关 【典型例题1】过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A,B两点,使得,若这样的直线有且仅有两条,则离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与双曲线相交的情形,分两种情况讨论: 直线l与双曲线两支或者左支交于A,B两点,分别分析弦长与和通径的大小关系,列出不等式,再将代为进而解出离心率范围即可. 【详解】解:由题知过做轴垂线交双曲线于两点,如图所示: 将代入可得: , , 由图可知是直线与双曲线左支相交时最短的弦长, 当过左焦点的直线绕左焦点旋转至与双曲线两支交于A,B两点时,如图所示 若满足直线有且仅有两条, 只需小于,且大于即可, 即, 即, 两边同时平方,将代替, 即可得, 故; 将过左焦点的直线继续绕左焦点旋转至与双曲线左支交于A,B两点时如图所示, 此时只需大于,且小于即可, 即, 即, 两边同时平方,将代替, 即可得, , 故, 综上,或. 故答案为: 【变式训练9-1】过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质求出的坐标，写出向量，根据∠ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为， 令，得， 可设 由对称性，不妨设，可得，， 由题意知三点不共线， 所以∠ADB为钝角， 即为， 将代入化简得， 由，可得， 又，解得，则， 综上，离心率的取值范围为． 故选：D. 【变式训练9-2】双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，．因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以，结合的关系求解即可． 【详解】当时，． 因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以， 即，所以，结合，解得． 故选：B. 【变式训练9-3】双曲线（，）的左顶点为，右焦点为，过点的直线交双曲线于另一点，当时满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c，再根据给定条件求出|BF|长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c，因，则由得，而， 于是得，即，整理得，从而有，又， 所以双曲线离心率的取值范围是. 故选：B 【变式训练9-4】过双曲线（）的左焦点作直线与双曲线交两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线垂直于x轴时线段AB长，再根据这样的直线有且仅有两条列出不等式，求出的范围作答. 【详解】令双曲线半焦距为c，则，由解得，即双曲线的通径长为，而双曲线实轴长为， 由于过左焦点作直线与双曲线交两点，使得的直线有且仅有两条， 则当直线与双曲线两支相交时，，解得，， 当直线与双曲线左支相交于两点时，，解得，， 所以离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 题型10：由题目条件确定离心率取值范围 【典型例题1】已知为双曲线的左焦点，直线过点与双曲线交于两点，且最小值为，则双曲线离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别讨论经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上和 直线与双曲线的交点在两支上这两种情况,列出不等式,计算即可得到范围． 【详解】①当经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上,可得双曲线的通径最小, 设双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线左支相交于， 当直线斜率不存在时，直线的方程为可得,即有 ， 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， ， 由，解得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为 ②当直线与双曲线的交点在两支上,可得当直线的斜率为0时, 最小为 由①②及题意可得,即为,即有,则离心率. 故选: . 【典型例题2】已知双曲线的实轴为，对上任意一点，在上都存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到的关系式，然后由双曲线离心率的公式以及范围即可得到结果. 【详解】依题意，， 当在轴左侧，则在上任一点，都有； 当在轴右侧，则在上任一点，都有； 当在轴上，则在上任一点，都有； 因为对上任意一点P，在上都存在点Q，使得， 所以，即，即， 所以. 即. 故选；C. 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别是、，P为双曲线左支上任意一点，当最大值为时，该双曲线的离心率的取值范围是__________. 【答案】] 【解析】由已知，，因为，当时， ，当且仅当时，取最大值， 由，所以e3；当时，的最大值小于，所以不合题意. 因为b>a，所以，所以，所以 故答案为：] 【典型例题4】过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A、B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题可设为，，，联立l与双曲线的方程可得、；根据得，将、代入可得关于m的表达式，根据m范围和可求离心率范围﹒ 【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立，消去，得， 设，，则由知，，， 由得， 故，即， 整理得， 将、代入整理得，， 则，∴，故， ∴，两边除以，得，解得， 又∵，∴，故， 又A、B在左支且过，∴，即，故， ∴，∴， 即，则，故，即， 综上：，即． 【点睛】本题的关键在于根据直线l方程里面m的范围，得到关于a、b、c的不等式，从而求得离心率的范围． 【变式训练10-1】已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，交轴于点，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与渐近线平行的直线方程为,则，．与渐近线平行的直线方程为,则，，，所以，要使恒成立，则．所以双曲线离心率， 故选：D． 【变式训练10-2】设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，由双曲线的对称性知在轴上，设，则由得，所以，因为到直线的距离小于， 所以，所以，所以， 所以双曲线的离心率率的取值范围是． 故选：A． 【变式训练10-3】双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先表示出直线的方程，利用距离公式表示出，，依题意可得，再根据、、的关系得到关于的不等式，解得即可. 【详解】依题意直线：，即，又， 所以，， 所以，所以， 即，即，解得， 又，所以. 故选：B 【变式训练10-4】设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C： 的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得出直线的方程，与双曲线方程联立得出点和的坐标，并得出不等式关系，再表示出，根据大于列出不等式，求解即可． 【详解】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为， 由，得，且， 所以，， 因为，且大于， 所以， 所以，解得， 又因为，解得， 所以， 故选：D． 【变式训练10-5】已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设，， 由，代入不等式中， 化简，得恒成立， 则有， 解得，而，所以 故选：A 【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可. 【变式训练10-6】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，推出，，，在中利用余弦定理可得，即可得出，由，得，即可得到不等式组，从而求出离心率的取值范围． 【详解】解：连接，， 设 为双曲线的半焦距）， 在直角三角形中，，， 则，，， 所以， 在中，， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即 故选：D． 【变式训练10-7】已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．因此．，．可得，结合余弦函数运算求解． 【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，， 因为，则四边形为矩形，所以， 则，．．．即， 则，因为，则， 可得，即，所以， 即双曲线离心率的取值范围是，故选：C． 【变式训练10-8】过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质求出的坐标，写出向量，根据∠ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，令，得， 可设由对称性，不妨设，可得，， 由题意知三点不共线，所以∠ADB为钝角，即为， 将代入化简得，由，可得， 又，解得，则，综上，离心率的取值范围为．故选：D. 【变式训练10-9】已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得. 【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，，， 于是， 因此， 当且仅当时取等号，则，即，离心率， 所以双曲线离心率的最小值为. 故选：D 【变式训练10-10】已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断P点在双曲线右支上，推出，可得，从而利用在中求出，再结合三角形内角和推出，继而推出，由此可得答案. 【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，   因为，故P点在双曲线右支上，且， 故，而，故，在中，，即， 故，由，且三角形内角和为，故，则， 即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A 【变式训练10-11】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故选：A.    【变式训练10-12】如图，已知梯形中，，点在线段上且，双曲线过三点，且以为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是_________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，根据点满足双曲线方程，建立双曲线离心率与参数之间的函数关系，进而求其值域即可. 【详解】以所在直线为轴、线段的中点为原点建立平面直角坐标系，如下所示： 设过点三点的双曲线方程为：， 根据题意可得：，设两点坐标分别为， 则， 由可得：，解得， 因为点的坐标都满足双曲线方程，故可得： ，则，将其代入， 整理化简可得：，即， 整理得：，又因为， 故可得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解决问题的关键是根据题意，建立离心率与参数之间的关系，同时要注意计算的准确度，属中档题. ． 题型11：联立求点坐标型 【典型例题1】过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞) 【答案】A 【分析】依题意求出双曲线的渐近线方程与右焦点坐标，不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为，与另一焦点联立求交点坐标，根据交点在第二象限，即可得到、的关系，即可得解； 【详解】解：由题意双曲线C：的渐近线，右焦点， 不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为 与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即 故选：A 【典型例题2】已知曲线C1方程：，曲线C2方程：，曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，且它的渐近线过C1与C2的交点，则曲线C3的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可得C1与C2的交点均在，即，进而根据题中取值范围可求离心率的取值范围. 【详解】联立的方程，整理可得， ∵，则， ∴，故C1与C2的交点均在， 又∵曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，设双曲线的渐近线为，则， 故双曲线的离心率， ∵，则，可得， ∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法： 双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． 【变式训练11-1】已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围. 【详解】由题意可知，，不妨记，， 由且经过的右焦点可得的方程为， 与的方程联立可解得， 与的方程联立得， 所以， 解得，. 故选：B. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）. 【变式训练11-2】过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A、B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可设为，，，联立l与双曲线的方程可得、；根据得，将、代入可得关于m的表达式，根据m范围和可求离心率范围﹒ 【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立，消去，得， 设，，则由知，，， 由得， 故，即， 整理得， 将、代入整理得，， 则，∴，故， ∴，两边除以，得，解得， 又∵，∴，故， 又A、B在左支且过，∴，即，故， ∴，∴， 即，则，故，即， 综上：，即． 故答案为：. 【点睛】本题的关键在于根据直线l方程里面m的范围，得到关于a、b、c的不等式，从而求得离心率的范围． 【变式训练11-3】已知双曲线，若在直线上存在点满足：过点能向双曲线引两条互相垂直的切线，则双曲线的离心率取值范围是 ． 【答案】． 【分析】由题意，设切线方程，然后与双曲线方程联立，得关于的一元二次方程，根据，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理得，化简以后得关于的方程，利用得的范围，代入即可求解离心率的取值范围. 【详解】设过点且与双曲线相切的直线方程为， 由，可得， 即为， ， 化简可得， 即，两根设为，， 即为，即为，看成关于的方程，，可得， 所以双曲线的离心率 ]． 故答案为：． 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）． 题型12：向量相关 【典型例题1】已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围． 【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为， 抛物线的焦点为， 设，则，， 由可得：， 整理可得：， ， ， ， 则：， 由可得：. 故选：B. 【典型例题2】过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设点，分别联立两组直线方程，求出的坐标，然后利用向量的数量积，推出离心率的范围即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为：， 即，设点，可得：， 联立方程组，解得：， 同理可得：， 所以， 因为，所以， 所以，由题意可得：， 所以，故离心率，又因为双曲线的离心率， 所以双曲线离心率的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练12-1】已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据列式，根据的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限， 到渐近线的距离为， 即，设，则，， 由得， 故，， . 故选:C 【变式训练12-2】已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设， 利用向量加法法则知，则 即， 故①， 设， 则， ②， 由①②得，即， 又，所以，即，即， 而双曲线离心率的值大于1， 故选：B 【点睛】关键点睛：利用平面向量加法的几何意义是解题的关键 【变式训练12-3】已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】先联立方程根据交点个数可得，再根据题意结合双曲线的对称性分析可得，运算求解即可. 【详解】联立方程，消去x得： 所以，即，解得， 设，则可得， 取双曲线的左焦点为，连结，由对称性知四边形为平行四边形， 由可得， ∵，则， ∴，则 即，整理得，解得， 综上可得：. 故双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练12-4】已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设和的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据向量的减法运算得出，从而得出，利用椭圆、双曲线的定义以及离心率的公式，求得与的关系式，根据，从而求出的取值范围. 【详解】设椭圆：，双曲线：， ，为与的公共焦点，则，， 由得，所以，即， 所以，得， 为两曲线的一个公共点，设，， 则，①  ，②  ，③ ②2+③2得，代入①得，， 所以，所以，④， 又因为，，则，， 所以④化为，即， 因为，所以，所以， 又因为， 所以，即， 所以，得，所以的取值范围, 故答案为： 题型13：双曲线与圆相关 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题知，，，，进而结合双曲线的性质，余弦定理得，故且，进而得，再根据离心率公式求解即可. 【详解】解：如图，因为过作圆的切线，切点为， 所以，， 所以，在中，，，，， 因为，延长交双曲线的左支于点， 所以，即， 所以，在中，，整理得， 所以，即，所以 因为，即，整理得，即 所以， 综上，双曲线离心率的取值范围是 故答案为： 【变式训练13-1】已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d，则由题意可得，从而可求出离心率的范围 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即， 则直线与直线的距离为 ， 因为点是直线上任意一点， 且圆与双曲线的右支没有公共点， 所以，即，得离心率， 因为，所以双曲线的离心率的取值范围为， 故选：A. 【变式训练13-2】已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可推出，设，由勾股定理可得，结合直线与以线段为直径的圆相交可得，由此结合的根的分布，列不等式即可求得答案. 【详解】设双曲线的右焦点为，则， 则，    为右支上的点，取的中点为B，连接，则， 设，则，则， 在中，， 即， 又直线与以线段为直径的圆相交，故， 设，则， 则需使，解得， 即双曲线离心率的范围为， 即的离心率的取值范围为， 故选：D 【变式训练13-3】已知P为双曲线上的动点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线C的两条渐近线交于，两点（A，B异于点O），若恒成立，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，进而可得，然后根据离心率的概念结合条件即得. 【详解】双曲线C的两条渐近线方程为，若恒成立， 则A，B两点始终位于x轴同侧，则，故，即，即，得，又， 所以双曲线离心率的取值范围为． 故选：A． 【变式训练13-4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，点P异于坐标原点O，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得到的距离为及，根据，结合题意转化为的不等式，即可求解离心率的范围. 【详解】由题意，双曲线， 则其中一条渐近线方程为，即 可得到渐近线的距离为，即，则， 设，即，其中， 因为，可得， 整理得，所以， 解得：， 又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：A． 【变式训练13-5】已知分别是双曲线的左，右焦点，直线l是双曲线C的一条渐近线，关于直线l对称的点为，以为直径的圆与直线l有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得关于的不等关系式，由此求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】根据对称性，不妨设直线l的方程为， 则到直线l的距高． 设与直线l交于点M，则M是线段的中点，且． 又O是线段的中点，所以，且． 因为以为直径的圆与直线l有公共点，与直线l之间的距离为b，所以， 故，即，故双曲线C的离心率的取值范围为． 故选：C 【变式训练13-6】已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，以线段AF为直径的圆M与双曲线的一条渐近线相交于B，D两点，且满足（O为坐标原点），若圆M的面积S满足，则双曲线C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合圆的相交弦定理得，由圆M的面积S满足，即可求出双曲线C的离心率e的取值范围. 【详解】设双曲线C的半焦距为c，∵，∴. 由圆的相交弦定理知，. 又圆M的半径，∴， ∴，∴，∴， ∴.又，∴，∴. 故选:B. 【变式训练13-7】已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出图象，根据列不等式，化简后求得离心率的取值范围. 【详解】设是线段的中点，则， 右焦点到渐近线的距离是， ，由于，所以， 所以，即， 所以. 故答案为： 题型14：双曲线与内切圆相关 【典型例题1】已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d，则由题意可得，从而可求出离心率的范围 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即， 则直线与直线的距离为 ， 因为点是直线上任意一点， 且圆与双曲线的右支没有公共点， 所以，即，得离心率， 因为，所以双曲线的离心率的取值范围为， 故选：A. 【典型例题2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，与的内切圆圆心均在直线上，且，则此双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】设、的内切圆圆心分别为、， 设圆切、、分别于点、、， 过的直线与双曲线的右支交于、两点， 由切线长定理可得，，， 所以， ，则，所以点的横坐标为. 故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切. 在中，，， ，，所以，， 所以，，则， 所以， 即，所以，，可得，可得，则， 因此，. 故答案为：. . 【变式训练14-1】已知P是双曲线上一点，，分别是左、右焦点，焦距为2c，的内切圆的周长是，则离心率e的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线的性质得内切圆圆心坐标，再列式求解， 【详解】设在第一象限，作图如下，切点， 由题意得， 即，所以，而内切圆半径为，所以圆心坐标为， 由于，即，得：，， 故答案为： 【变式训练14-2】已知点P为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件和面积公式得出，的关系，从而得出离心率的范围. 【详解】设的内切圆的半径为r， 则， 因为， 所以， 由双曲线的定义可知， 所以，即，又由， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：D 【变式训练14-3】双曲线其左、右焦点分别为，倾斜角为的直线与双曲线H在第一象限交于点P，设内切圆半径为r，若，则双曲线H的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设内切圆与分别相切于点，由题意结合双曲线的定义可得，再由双曲线的焦半径公式即可求出，代入，解方程即可得出答案. 【详解】设内切圆与分别相切于点，则， 且， 所以，因为直线的倾斜角为， 所以，所以， 因为， 由双曲线的定义可知，，所以， 即，所以， 过点作轴于点，设， 则， 由双曲线的焦半径公式可得：， 则，因为，所以， 则，即，化简可得：， 则双曲线H的离心率的取值范围为， 故答案为：. . 【变式训练14-4】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，，则此双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】设、的内切圆圆心分别为、， 设圆切、、分别于点、、， 过的直线与双曲线的右支交于、两点， 由切线长定理可得，，， 所以， ，则，所以点的横坐标为. 故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切. 在中，，， ，，所以，， 所以，，则， 所以， 即，所以，，可得，可得，则， 因此，. 故答案为：. 题型15：双曲线与角平分线相关 【典型例题1】已知双曲线在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若 的取值范围是则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件得：，进而得到：，进一步得到答案. 【详解】∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线离心率的知识点，属于常见的基础题型. 【典型例题2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点是双曲线上的任意一点，满足，的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比 . 【答案】或 【分析】由题可得，对点的位置进行分类讨论，利用勾股定理以及双曲线的定义可求得，利用角平分线的性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为双曲线的离心率为，则，所以，， 若点在右支上，且，则，解得， 因为的平分线与相交于点，由角平分线的性质可知，点到直线、的距离相等， 此时，； 若点在左支上，同理可求得，则. 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式训练15-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】B 【分析】延长交于点，根据题中的条件求出，在中根据三角形两边之和大于第三边得到，再根据，得到，即可求出离心率的取值范围. 【详解】解：如图所示： ，是双曲线的左右焦点，延长交于点， 由直角与全等，则,所以是的中点， 是的角平分线，， 又点在双曲线上，则，则， 又 是的中点， 是的中位线， ，即， 在中，，，， 由三角形两边之和大于第三边得：， 两边平方得：，即， 两边同除以并化简得：，解得：， 又，， 在中，由余弦定理可知，， 在中，， 即， 又， 解得：， 又 ，, 即， ， 综上所述：. 故选：B. 【变式训练15-2】已知点分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若,则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图根据题意可得，在中利用余弦定理可得，再根据的范围，从而求得的范围. 【详解】如图所示，由已知可知是的角平分线，    且，延长交于， 易知， 由， 所以， 又，， 所以， 在中， 由的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以， 所以， 解得. 故选：D 【变式训练15-3】已知直线与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得的坐标，根据三角形的内心以及角平分线定理以及的内心到轴的距离的范围，求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上， 所以，，则. 因为A是线段BD的中点，又轴， 所以，， 所以的内心G在线段EA上. 因为DG平分，所以在中所以， 设，所以， 因为G到y轴的距离不小于，∴， ∴. ∴，故. 故答案为： 题型16：椭圆与双曲线结合 【典型例题1】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范围. 【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为， 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义， 可得，， 又，由余弦定理得， 可得， 得，即， 可得，即， 又时，可得， 即，亦即， 得. 故选：B 【典型例题2】已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用函数求解. 【详解】设 因为点在椭圆上，所以① 又因为点在双曲线上，所以② 则①②得；①② 在中由余弦定理得： 即 即，即即 所以， 令，则 所以. 故答案：. 【变式训练16-1】设椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意先求出椭圆与双曲线的离心率，表示出，然后根据椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长建立不等式，结合题意求出的范围，进而求出的取值范围. 【详解】由椭圆知：， 所以， 又双曲线知：， 所以， 所以， 因为椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长， 所以， 所以， 所以，即， 所以 故选：B. 【变式训练16-2】已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出用表示，在中，根据余弦定理可得找到的关系，然后整理成离心率解决. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点， 则，，解得，，如图： 在中，根据余弦定理可得， 整理得，即， 设，，则有，， 所以，即有，所以， 所以， 设，则，且， 所以，因为在上单调递减， 所以，所以. 故答案为： 【变式训练16-3】设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围． 【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的， 则椭圆与双曲线共焦点，设，则，， ，， ， ， 设，则， 解得，即， 又，且， ， 故的取值范围是． 故答案为： 【变式训练16-4】已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且 ，设与的离心率分别为，，求的取值范围. 【答案】 【分析】设，，，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由可得，由，可得，设，则，再利用函数在上的单调性可得答案. 【详解】设，，，由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得，解得，， 由，可得，即， 由，，可得， 由，可得，可得，即， 则， 设， 则， 由于函数在上递增， 所以， 即的取值范围为. 题型17：离心率求参数及离心率表达式范围 【典型例题1】设双曲线的上、下焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的离心率为可得①，又因为．若的面积为4，设在双曲线的上半支，，则有，整理化简得，结合①，即可求得的值. 【详解】解：因为双曲线的离心率为，所以，即有①， 又因为，的面积为4，由对称性，设在双曲线的上半支，， 则有，所以，即由①可得， 所以，解得.故选：D. 【典型例题2】已知椭圆与双曲线的焦点相同，右焦点为.若与的离心率分别为和，点为的右支与的一个交点，且，则的值为 A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【解析】因为两曲线的焦点相同，所以再根据已知得到，再利用椭圆和双曲线的定义得到即得解. 【详解】因为两曲线的焦点相同，所以 因为与的离心率分别为和，所以，， 设，则， 设它们的左焦点为,所以， 所以，所以.故选：C 【典型例题3】已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据焦点三角形面积相等，即可求得之间的等量关系，再用均值不等式即可求得结果. 【详解】因为椭圆和双曲线有相同的交点，且， 则可得，解得，则， 整理得，则， 故可得， 当且仅当且时，即时取得最小值. 故选：B. 【变式训练17-1】已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即,解得或,又因为,即. 故选：A 【变式训练17-2】已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的离心率可求得的值，分析可知两双曲线的渐近线重合，再结合两双曲线的焦点位置可得出的值. 【详解】由题意可知，双曲线的离心率为，可得， 因为双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 所以，双曲线、的渐近线重合，且双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上， 因为直线与双曲线、都无交点，则. 故选：B. 【变式训练17-3】已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，，知，，，，再由双曲线第二定义知，结合，由此能够得出的值． 【详解】，，，，，，， 由双曲线第二定义，知，由于以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于， 故，，，，，故选：． 【变式训练17-4】已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】由椭圆与双曲线的定义可得,由,则,两边同除可得,即,则,进而利用单调性求解即可. 【详解】由椭圆定义可得,由双曲线定义可得,则, 因为,所以,两边同除,则,则, 所以, 因为,所以, 易得单调递增,所以,故选:B 【变式训练17-5】已知离心率为的椭圆：（）和离心率为的双曲线：（，）有公共的焦点，，P是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理得出，最后由离心率公式以及基本不等式求解即可. 【详解】由题意设焦距为，椭圆的长轴为，双曲线的实轴为 在双曲线的右支上，且在椭圆上则由椭圆的定义知由双曲线的定义知 由余弦定理可得 整理得 当且仅当时等号成立故选：C 【变式训练17-6】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【解析】由在上的投影等于可知PF1⊥PF2， 利用椭圆与双曲线的 焦距相同找到和的关系，最后构建函数利用导数求出的最小值. 【详解】如图，设半焦距为．∵点是两曲线在第一象限的交点，且在上 的投影等于，∴PF1⊥PF2．设，，则， ．∴＝﹣．在中， 由勾股定理可得：. ∴．两边同除以c2，得2＝， 所以， 当即时取等号，因此9e12+e22的最小值是8． 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 双曲线离心率取值及范围 目 录 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 5 题型归纳 10 一：求双曲线离心率的值 10 题型01：直接法 10 题型02：定义法求离心率 12 题型03：建立关于和的一次或二次方程与不等式（齐次方程） 13 题型04：通径法 20 题型04：运用渐近线求离心率 错误！未定义书签。 题型05：坐标法 27 题型06：焦点弦求离心率 30 （一） 焦点弦已知底角 30 （二）焦点弦定比点差 31 题型07：焦点三角形 33 （一）焦点三角形定义法 33 （二）双曲线的焦点三角形模型 35 （三）焦点三角形已知顶角 36 （四）焦点双曲线双余弦定理 38 （五）焦点三角形面积相关 39 （六）焦点三角形内心型求离心率 40 题型08：双曲线第三定义点差法 42 题型09：中点弦（点差法） 47 题型10:由题目条件和不等式关系求离心率 49 题型11：几何图形法 51 题型12:双曲线的对称性 54 题型13:角平分线相关 57 题型14：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 59 题型15：共焦点共渐近线求离心率 62 题型16：向量相关 64 题型17双曲线与圆相关 66 题型18内切圆相关 69 题型19：双曲线与和差最值 71 二：双曲线离心率取值范围 72 题型01：根据a,b,c的不等关系求离心率的取值范围 72 题型02：焦半径范围的应用 73 题型03：根据直线与双曲线的关系求取值范围 76 题型04：双曲线的有界性 81 题型05：和差最值相关 82 题型06：点差法的运用 84 题型07：焦点三角形的运用 86 题型08：双曲线对称性的运用 88 题型09：通径相关 90 题型10：由题目条件确定离心率取值范围 93 题型11：联立求点坐标型 98 题型12：向量相关 100 题型13：双曲线与圆相关 102 题型14：双曲线与内切圆相关 103 题型15：双曲线与角平分线相关 106 题型16：椭圆与双曲线结合 108 题型17：离心率求参数及离心率表达式范围 110 一. 考查题型 1.小题：选择、填空高频必考，常作为单选压轴、多选考点 2.大题：解答题第1问常规设问，也会结合焦点三角形、弦问题、渐近线综合求解 3.分值占比高，属于双曲线核心必考知识点 二. 常见命题角度 1.基础求值：已知方程、渐近线、焦距、顶点边长，直接计算离心率数值 2.范围求解：结合焦点三角形、几何约束、位置关系、不等式求离心率取值区间 3.最值问题：求离心率最大值、最小值 4.综合联动：和焦点三角形、中点弦、直线与双曲线位置、向量、角度条件结合出题 5.轨迹类：根据动点满足的几何关系，推导离心率大小或范围 三. 难度层级 1.基础档：套用公式换算参数，难度低，属于必拿分题型 2.中档档：结合几何条件列式化简求离心率，常规高频考题 3.拔高档：多约束条件嵌套、范围临界判断、最值推导，易出现边界取值失误 四. 核心易错点 1. 混淆双曲线与椭圆离心率取值范围，记错基础区间 2. 参数换算出错，分不清a、b、c对应几何量，误用关系式c^2=a^2+b^2 3. 几何条件转化等式/不等式时遗漏限制条件 4. 求范围时忽略双曲线固有属性e>1，最终取值区间判定出错 5. 渐近线、夹角、距离类条件无法快速转化为参数方程 五. 命题趋势 侧重数形结合思想，弱化纯公式计算，强化几何条件翻译；常融合三角形、直线位置关系出题，范围类考题占比逐年提升，也常作为多选选项判断考点。 1. 熟记核心定义与取值范围 掌握离心率公式，牢记双曲线固有范围，区分椭圆离心率区间，杜绝概念混淆。 2. 熟练基础参数换算 能根据双曲线标准方程、渐近线方程、顶点、实虚轴长，快速推导a、b、c三者数值，精准计算离心率具体值。 3. 掌握条件转化能力 可将角度、边长、向量、焦点三角形、直线相交相切等几何条件，转化为含a、c的等式或不等式。 4. 攻克两大核心题型 ①定值型：规范步骤求出唯一离心率数值 ②范围最值型：合理建立不等关系，结合边界约束算出准确取值区间、极值 5. 具备综合解题能力 能联动焦点三角形、渐近线、位置关系等考点，解决复合型离心率考题；小题可活用二级结论提速，大题规范列式推导步骤。 6. 养成纠错复盘习惯 规避参数混淆、范围漏限、公式误用等常见错误，能自主检验答案合理性。 知识点一：求双曲线离心率常用公式 1.双曲线离心率公式1：e= 2.双曲线离心率公式2：e= 3.双曲线离心率公式3： 已知双曲线方程为两焦点分别为为双曲线上一点，设焦点三角形，则. 证明： 由正弦定理得： 由等比定理得：即，∴。 4.双曲线离心率公式4： 以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，=，=β，则离心率 （） 证明：由正弦定理，有 ， 即 又， 5.双曲线离心率公式5：或者 点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,，k为直线AB斜 率，，(注：而不是)则 (1) 当曲线焦点在x轴上时，e= (2) 当曲线焦点在y轴上时，e= 知识点二：双曲线的定义 以焦点在轴上的双曲线为例，, 分别为双曲线的左、右焦点， 为左、右顶点，为虚轴的下、上端点，点为椭圆上任意一点，是坐标原点， 1.第一定义： 2.第二定义:，其中，为到对应准线的距离 3.第三定义：设点 , N 为双曲线上关于原点对称的两点，点 是双曲线上异于, N 的任意一点，若直线PM, PN 的斜率存在，则必有【焦点在y 轴上时为】, 证明：设点 点M,P在双曲线上 两式相减得：, 亦即 证毕。 若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有： 1　 ； 2　 . 知识点三：与双曲线离心率有关的二级结论： 1.渐近线类 若直线恒过双曲线两支之内一定点, 则有 (1)直线与双曲线仅一交点时, 直线斜率 (2)直线与双曲线两支都有交点时, 直线斜率 (3)直线与双曲线单支有两交点时, 直线斜率 2.焦点弦定理 为圆双曲线上任意焦点，、为圆双曲线上不同两点，直线的斜率记为，倾斜角记为，，则有 （1）若焦点在轴上，， （2）若焦点在轴上，， 知识点四：离心率取值范围 1.根据渐近线求离心率的取值范围 （1）若直线恒过的定点落在双曲线两支之内 ①当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率k= ②当直线与双曲线两支都有交点时，该直线的斜率k ③当直线与双曲线单支有两个交点时，该直线的斜率k; （2）若直线恒过的定点不落在双曲线两支之内 ①当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率k=或△=0 ②当直线与双曲线有两个交点时， △>0 ③当直线与双曲线左右两支都有交点时， x1x2<0; ④当直线与双曲线左支有两个交点时， 有 ⑤当直线与双曲线右支有两个交点时， 有 2.根据焦半径范围求离心率范围 （1）F是椭圆的一个焦点，P是椭圆上的任意一点，则a-c≤≤a+c； （2）F是双曲线的右焦点，若P是双曲线右支上的任意一点，则c-a≤； 若P是双曲线左支上的任意一点，则，根据题给等式确定P位置。 （3）P是椭圆上的任意一点，则-a<xp<a, -b<yp<b. 3.切线类 点为圆双曲线上异于顶点的任一点, 过点作圆双曲线的切线, 则有 4.共焦点问题 若椭圆和双曲线共焦点：（为焦点三角形顶角 5.长度范围 若为的右焦点，为右支上一动点，则有；为左支上一动点，则有 6.点差法求双曲线的离心率 若为圆双曲线上任意两点, 为的中点, 为坐标原点, 则有: ， 四：双曲线必明4个易误点 1． 双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件． 若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线， 若2a>|F1F2|则轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同． 若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，)； 若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝； 若0<a<b，则双曲线的离心率e>. 3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. 4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±. 一：求双曲线离心率的值 题型01：直接法 【典型例题1】双曲线的离心率是 . 【答案】/ 【分析】直接利用双曲线方程求出，然后求解离心率． 【详解】由双曲线可知：， 所以， 所以双曲线的离心率为：. 故答案为：. 【典型例题2】双曲线的离心率用来表示，则（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数，在上是减函数 D．是常数 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线为坐标轴，结合等轴双曲线的离心率为定值，即可求解. 【详解】由题意，双曲线的渐近线为轴和轴，即坐标轴， 其中坐标轴互相垂直，即该双曲线为等轴双曲线， 所以双曲线的离心率为，即（常数）. 故选：D. 【变式训练1-1】已双曲线C：，双曲线C的离心率为 【变式训练1-2】已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练1-3】已知双曲线，下列结论正确的是（    ） A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为 C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为 【变式训练1-4】设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或2 D．2 【变式训练1-5】已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练1-6】（多选）关于双曲线，下列说法正确的有（    ） A．实轴长为4 B．焦点为 C．右焦点到一条渐近线的距离为4 D．离心率为 题型02：定义法求离心率 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴的正半轴交于点，若垂直平分，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，，由双曲线定义和几何性质得到其他边长，由勾股定理得到方程，得到离心率. 【详解】设，，由双曲线定义得， 因为是的中点，所以， 由对称性可知， 又垂直平分，所以，即， 所以，，， 在中，， 即，解得． 因为，所以双曲线的离心率． 故答案为： 【变式训练2-1】已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上一点满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知，为双曲线C：（，）的两个焦点，以为直径的圆与C在第一象限的交点为P，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知双曲线的左､右焦点分别为､，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的离心率为___________. 题型03：建立关于和的一次或二次方程与不等式（齐次方程） 【典型例题1】双曲线的左，右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线的右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将代入双曲线方程求出点的坐标，通过解直角三角形列出三参数，，的关系，求出离心率的值． 【详解】由于轴，且在第一象限，设 所以将代入双曲线的方程得即， 在△中，，即,解得, 故选：B 【典型例题2】已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出，写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出点坐标，利用，即可求出结果． 【详解】解：记右焦点为，由题意知，，且为等腰三角形，则只能是， 所以，，所以直线的方程为，由，得所以，整理，得， 即，解得或（舍去），所以． 故选：C 【典型例题3】双曲线的左、右焦点分别是，过作斜率为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数关系得到，再进行齐次化化简即可. 【详解】令，则，解得，则，因为， 则，所以， 所以，解得或(舍去). 故选：B. 【典型例题4】是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长度关系可得，利用双曲线定义可用表示出，利用勾股定理可构造关于的齐次方程求得离心率. 【详解】设，则，，，；由双曲线定义可知：，， ，， ，，，，则. 故选：D. 【典型例题5】已知双线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，的内心为I，若，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别相切于点P、Q、N，根据双曲线的概念得到，从而得到A与N重合，再结合题意得到，即可得到答案. 【详解】设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别 相切于点P、Q、N，如图所示：所以，，， 则， 而，所以，即A与N重合， 即内切圆I与相切于点A，所以，又，所以A为的中点， 所以，故. 故选：A. 【典型例题6】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 【变式训练3-1】已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练3-2】已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练3-3】设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（    ） A． B．2 C． D．3 【变式训练3-5】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练3-6】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的左、右半支分别于点．若为线段的中点，且是等腰三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支分别交于两点，且，若点为的中点，，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D．3 【变式训练3-8】设为双曲线T：（a＞0，b＞0）的右焦点，P是双曲线T右支上一点，且满足，线段的垂直平分线经过坐标原点，设M是线段的中点，若，则双曲线T的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得OM是的中位线，由此求出，并证明，结合双曲线定义可求，再根据勾股定理求，由此可得离心率. 【详解】如图，设F1为双曲线T：的左焦点， 依题意可得OM是的中位线，又，所以且，所以，又，故．，，则双曲线T的离心率为． 故选：C. 【变式训练3-9】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A，B分别在其左、右两支上，，M为线段AB的中点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型04：通径法和运用渐近线求离心率 【典型例题1】设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，利用双曲线的定义求出，进而可求得，利用勾股定理可求出的值，由此可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，    因为为等边三角形，则，所以，， 所以，，则， 所以，，则， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：D. 【典型例题2】已知为双曲线的右焦点，为双曲线的一条渐近线，到直线的距离为，过且垂直于轴的直线交双曲线于两点，若长为10，则的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为. 由令得， 所以，所以， 所以， 所以离心率. 故选：B 【变式训练4-1】已知双曲线的右顶点为，左焦点为，动点在上.当时，有，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练4-4】已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练4-5】已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ． 【典型例题1】已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为40°，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】双曲线C的一条渐近线的倾斜角为40°，所以，再由从而可求出即求出. 【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为40°， 所以（直线倾斜角的正切值即该直线的斜率）， 记双曲线C的离心率为e，则， 所以， 所以． 故选：C． 【典型例题2】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合离心率定义推得，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线的一条渐近线与直线垂直， 得，即，则.， 故选：B. 【典型例题3】设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据双曲线焦点的位置，结合双曲线方程与离心率公式分类讨论进行求解即可. 【详解】当该双曲线焦点位于横轴时，则有， 因为该双曲线一条渐近线为， 所以有， 即此时双曲线的离心率为； 当该双曲线焦点位于纵轴时，则有， 因为该双曲线一条渐近线为， 所以有， 即此时双曲线的离心率为， 故答案为：或 【典型例题4】已知是双曲线的左焦点，点，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由双曲线的性质可得直线与双曲线渐近线平行，结合双曲线离心率的定义求解即可． 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又已知是双曲线的左焦点，， 直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以直线与双曲线的渐近线平行， 则，即，即，即， 即， 即，即， 则双曲线的离心率为． 故答案为：． 【典型例题5】已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段的中点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形中位线得，又M是线段的中点，又可得，则可得渐近线的倾斜角为，从而求得的值，即可得双曲线离心率. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为，    因为O是线段的中点，M是线段的中点，所以 又，所以，所以， 所以 所以渐近线的倾斜角为，则，又， 所以，则离心率. 故选：C. 【变式训练4-1】设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过F作直线的垂线，分别交，于A，B两点．若成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练4-2】双曲线的两条渐近线夹角为，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知双曲线E:（a＞0,b＞0）与抛物线C:有共同的焦点,过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行,则E的离心率为（   ）． A． B． C．3 D．2 【变式训练4-5】若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练4-6】已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练4-7】已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练4-8】若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练4-9】已知双曲线，若直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，O为坐标原点，且，的夹角为，则C的离心率为(    ) A．2 B． C． D． 【变式训练4-10】已知双曲线：，的一条渐近线与圆交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-11】该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式训练4-12】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 【变式训练4-13】已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练4-14】已知双曲线C的方程为，斜率为的直线与圆相切于M，与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练4-15】以双曲线C：的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线的渐近线上，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-16】双曲线的左焦点为F，离心率为e，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若AB的中点为M，若等于半焦距，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练4-17】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点B在直线上，且位于第一象限，直线与直线交于点A，且A是线段的中点，，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练4-18】已知双曲线的一条渐近线为，左､右焦点分别是，过点作轴的垂线与渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为__________. 题型05：坐标法 求出点的坐标代入双曲线方程建立等式求离心率 【典型例题1】已知为双曲线的一个焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与的另外一条渐近线交于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设过右焦点垂直于渐近线的直线为，求出，利用向量关系表示出，再代入另外一条渐近线，整理计算即可. 【详解】因为双曲线的渐近线为， 不妨设过右焦点垂直于渐近线的直线为， 联立，解得， 设，由，可得， 即，解得，即， 因为在另外一条渐近线上， 所以整理得：，即，所以. 故选：C. 【典型例题2】已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】双曲线的右焦点, 设点关于一条渐近线的对称点为， 由题意知，，解得. 又知，解得， 所以，即， 所以双曲线C的离心率是 故选：C. 【典型例题3】已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 . 【答案】 【分析】结合图形，利用垂心的定义，以及两直线垂直与斜率的关系可得，再利用离心率公式求解. 【详解】如图，设的垂心为，则有, 不妨设,则， 因为在渐近线上，所以， 直线与交于，两点， 所以，解得， 所以 又因为, 所以， 整理得，，所以，    故答案为: . 【变式训练5-1】已知坐标平面中，点为双曲线的右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（　　） A． B．3 C． D．5 【变式训练5-2】已知点F是双曲线的右焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 . 【变式训练5-3】已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为 【变式训练5-4】已知双曲线，过其上焦点的直线与圆相切于点A，并与双曲线的一条渐近线交于点不重合）．若，则双曲线的离心率为 ． 【变式训练5-5】已知直线与圆相切于点，直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且为的中点，则双曲线的离心率为 ． 题型06：焦点弦求离心率 （1） 焦点弦已知底角 ， 【典型例题1】已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A． B． C． D． 【解析】===+1，选D 【典型例题2】点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且 ，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可. 【详解】   由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则， ∴，，， ． 故答案为： 【变式训练6-1-1】已知为双曲线的左，右焦点，点在的右支上，为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-2】设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-3】已知F1，F2是双曲线 (a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A．＋1 B．4＋2 C． D．－1 【变式训练6-1-4】已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 . （二）焦点弦定比点差 点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,，k为直线AB斜率，且，则e= 当曲线焦点在y轴上时，e= 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 【解法一】设双曲线的右准线为 过分 别作于,于, , 由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为 由第二定义 又 【解法二】直线AB的斜率k=, 带入公式e==2˙= 【典型例题2】已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点D，直线BM与y轴交于点E，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，然后可得直线、的方程，然后可得点的坐标，然后由可得答案. 【详解】设，因为， 所以直线的方程为，直线的方程为， 所以， 因为，所以，所以 从而可得 故选：D 【变式训练6-2-1】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2-2】已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是 （结果用表示） 【变式训练6-2-3】(多选)如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．与面积之比为 C．与周长之比为 D．与内切圆半径之比为 【变式训练6-2-4】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为 【变式训练6-2-5】设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为 ． 题型07：焦点三角形 （一）焦点三角形定义法 【典型例题1】双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理可得的关系，从而可求出结果. 【详解】由题意知延长则必过点,如图：    由双曲线的定义知， 又因为，所以， 因为，所以， 设，则，因此， 从而由得，所以， 则，，， 又因为，所以， 即，即， 故选：B. 【变式训练7-1-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练7-1-2】已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 ． 【变式训练7-1-3】已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A为双曲线C右支上一点，直线交双曲线的左支于点B，若，且原点O到直线的距离为1，则C的离心率为 . 【变式训练7-1-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，且，则C的离心率为 ． （二）双曲线的焦点三角形模型 【典型例题】已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】∵AB⊥x轴，又已知△ABE是直角三角形，且必有AE＝BE， ∴△ABE是等腰直角三角形，所以∠AEB＝90°，∠AEF＝45°，于是AF＝EF 不妨设A点在x轴上方，则A（－c，），故＝a＋c 即b2＝a（a＋c），得c2－ac－2a2＝0 即e2－e－2＝0，得e＝2（e＝－1舍去） 考点：双曲线标准方程，双曲线的性质，直线与双曲线位置关系 【变式训练7-2-1】已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，，到渐近线的距离为3，过的直线轴，与双曲线C的右支交于A，B两点，则的面积为（    ） A．9 B．24 C．36 D．72 【变式训练7-2-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 . （三）焦点三角形已知顶角 【典型例题1】已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解． 【详解】不妨设， 在△中，由余弦定理知，， 因为， 则， 两式联立得， 因为，， 整理得，化简得， 所以离心率． 故选：．    【典型例题2】已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求. 【详解】如图，因为，所以， 所以， 则， ， ， 解得. 故答案为：      【变式训练7-3-1】已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为 【变式训练7-3-3】已知为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线交的右支于点，且，则双曲线的离心率为 . （四）焦点双曲线双余弦定理 【典型例题】已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用双曲线定义表示出的长，再利用勾股定理可得，在和中，分别利用余弦定理可得，联立两式即可得离心率. 【详解】如下图所示，连接，易知以为圆心，为半径的圆经过点， 即为圆的直径，所以；    不妨设，则， 由双曲线定义可得 所以，即，整理得 在中可得，； 在中可得，； 又易知，可得 联立可得，， 则双曲线的离心率为 故选：B 【变式训练7-4-1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ． 【变式训练7-4-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练7-4-3】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练7-4-4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，Q是双曲线的右支上一点，直线与该双曲线的左支交于点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （五）焦点三角形面积相关 【典型例题】设，是双曲线C:的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且△的面积为9，则C的离心率等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，结合双曲线的简单性质求出，由此可求出双曲线的离心率. 【详解】因为，是双曲线C:的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且△的面积为9， 所以，解得， 所以，得， 故双曲线的离心率为. 故选：C. 【变式训练7-5-1】双曲线的左､右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练7-5-2】已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为 ． （六）焦点三角形内心型求离心率 【典型例题】已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得，即，同理可得，从而可得，再由，可得，设直线的倾斜角为，在和中，分别将,用表示代入即可求出直线的斜率，再结合直线与双曲线右支交于两点，即可求出，进而可求出离心率的取值范围. 【详解】不妨设直线的斜率大于0．如图: 连接．，，设的内切圆与三边分别切于点，，，则 ， 所以，即，同理可得，所以， 设直线的倾斜角为，在中，， 在中，，又，所以， 即，解得， 所以，即直线的斜率为， 由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，所以.故选:D 【变式训练7-6-1】别为双曲线的左、右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-6-2】点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练7-6-3】已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练7-6-4】已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 题型08：双曲线第三定义点差法 【典型例题1】不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率. 【详解】设， 则，两式相减得， 即， 即 ，所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以， 即，化简得，故. 故选：C. 【典型例题2】已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可. 【详解】设，，由的中点为，则， 由，两式相减得：=， 则==，由直线的斜率，∴，则， 双曲线的离心率，∴双曲线的离心率为，故选：B． 【典型例题3】不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率. 【详解】设， 则，两式相减得， 即， 即 ，所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以， 即，化简得，故. 故选：C. 【典型例题4】如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用两角和的正切公式求出，即直线的斜率为，再设，，利用点差法得到，从而求出离心率. 【详解】如图，取的中点，连接，则，所以， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的斜率为， 设，，则， 由，得到， 所以，所以，则. 故选：C 【典型例题5】已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得. 【详解】因为直线，所以， 由题可知的垂直平分线的方程为， 将与联立可得，即的中点坐标为． 设，，则，且，， 两式作差可得， 即，所以， 则双曲线的离心率为． 故选：D 【变式训练8-1】已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练8-6】己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为.求C的离心率； 【变式训练8-7】已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则双曲线的离心率为 ． 【变式训练8-8】双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型09：中点弦（点差法） 【典型例题1】过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率 【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得则，则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率故选：D 【典型例题2】已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法即可． 【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2． 设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得， 即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率． 故选：B． 【变式训练9-1】已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式训练9-2】直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练9-3】已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________. 【变式训练9-4】已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率 . 【变式训练9-5】已知双曲线 与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为 ． 【变式训练9-6】已知斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，，直线与的左、右两支分别交于点，，交于点，若点恒在直线上，则的离心率为 . 【变式训练9-7】过双曲线的左焦点且斜率为的直线交双曲线的左右两支于两点，若线段的垂平分线过双曲线的右焦点.则双曲线的离心率为 . 【变式训练9-8】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（    ） A． B． C． D．或 题型10:由题目条件和不等式关系求离心率 【典型例题1】已知双曲线C的顶点为，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求双曲线C的离心率． 【答案】2 【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】， 由是等边三角形可知，因此， 又因为， 所以，从而． 【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，点Q为双曲线左支上一动点，圆与y轴的一个交点为P，若，则双曲线离心率的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将条件转化为三角形两边之和大于第三边，得到实半轴长的取值范围，进而得到离心率的最大值. 【详解】 设双曲线的左焦点为,则，所以，由题意可得 所以，，，所以. 故选：A. 【变式训练10-1】双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知双曲线C：的右焦点F的坐标为，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式训练10-3】设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知双曲线C的两条渐近线为，，过右焦点作直线∥且交于点B，过点B作且交于点A，若轴，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】已知双曲线C：（，）的右焦点F（，0），点Q是双曲线C的左支上一动点，圆E：与y轴的一个交点为P，若，则双曲线C的离心率的最大值为（       ） A． B． C． D． 题型11：几何图形法 【典型例题1】以双曲线C：焦点F为圆心，a为半径的圆与双曲线一条渐近线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得为上靠近的三等分点，据此列出满足的等量关系，求解即可. 【详解】过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，连接，如下所示：易知，又，故可得，设点，一条渐近线为，则点到渐近线距离，则，则，又， 在△中，勾股定理可得，则，故双曲线的离心率为 . 故选：B. 【典型例题2】如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C，F为焦点的双曲线恰好经过A，B，D，E四点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴建系，令正六边形的边长为2，求出各顶点坐标，由焦点坐标、点在双曲线上求双曲线参数，进而求离心率. 【详解】如下图，以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴， 令正六边形的边长为2，则、、、、，， 令所求双曲线为且，A、B、D、E在双曲线上，所以，解得，故，则. 故选：D 【典型例题3】已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若左焦点，连接，由题意知为矩形，设，则，，，在直角△、直角△中应用勾股定理列方程可得，且得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得离心率. 【详解】如下图，若左焦点，连接，因为A、B关于原点对称且，所以为矩形，设，则，，， 在直角△中，即， 所以，在直角△中，即， 所以. 故选：B 【变式训练11-1】如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是（　　） A．3 B．2 C． D． 【变式训练11-2】已知双曲线的左，右焦点分别为、，A是双曲线C的左顶点，以、为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练11-3】已知是双曲线 的右焦点，是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点.若，则双曲线的离心率为 . 【变式训练11-4】过双曲线：的右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B．或 C． D． 【变式训练11-5】已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 . 【变式训练11-6】双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段的两个三等分点，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 . 【变式训练11-7】已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为，．点A在上，点B在上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称、若，则C的离心率为 ． 题型12:双曲线的对称性 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可得四边形为矩形，根据垂直关系结合双曲线的定义列式求解即可. 【详解】如图，不妨设点A在第一象限， 由题意可得：，则四边形为平行四边形， 因为，即，则，所以四边形为矩形， 设，则， 因为，即，整理得. 故选：A.    【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，    又因为，所以， 所以四边形为矩形， 设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即：， 所以，即. 故选：D. 【变式训练12-1】已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式训练12-3】如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练12-4】古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 【变式训练12-5】已知直线l过双曲线的左焦点F，且与C的左支相交于A，B两点，点D与点A关于原点O对称，若，，则双曲线C的离心率为 ． 题型13:角平分线相关 【方法总结】 1.角平分线“拆”面积： 2.角平分线定理性质： 【典型例题1】设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合双曲线的定义以及角平分线定理可得，，，，，，在，中，由余弦定理结合，计算可得答案. 【详解】   可知，，得 设，则，由双曲线的定义可知：. 因为平分，所以，故， 又， 即有，，，，， 在，中，由余弦定理可得， ，， 由， 可得. 故选：C. 【典型例题2】已知O为坐标原点，双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则b＝（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】延长交于点，由条件结合双曲线的定义求解即可. 【详解】设半焦距为，延长交于点，连接，    由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点. 根据双曲线的定义可知，即， 由于是的中点，所以是的中位线， 所以， 又双曲线的离心率为，故，所以， 所以. 故选：C. 【变式训练13-1】已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ． 【变式训练13-3】双曲线：的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线交的渐近线于点，恰为的角平分线，则的离心率为 ． 题型14：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 【典型例题1】双曲线：的离心率为，实轴长为4，的两个焦点为，.设O为坐标原点，若点P在C上，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，由为的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得. 【详解】由题意可得，所以， 在中，由余弦定理得， ， 由于，所以，故， 由于是的中点，所以 ， 则，即， 即，① 而，两边平方并整理得，，② 联立①②可得 . 故选：B． 【典型例题2】设，分别是双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，余弦定理建立关于的方程，化简即可求出双曲线离心率. 【详解】如图， 由双曲线定义可得，又， 所以，又渐近线方程为， 因为渐近线，所以，所以， 所以， 即，化简可得， 平方可得，即， 解得或（舍去）， 故选：A 【变式训练14-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（       ） A． B．2 C． D． 【变式训练14-2】已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练14-3】已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为 ． 【变式训练14-4】已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（    ） A．若，则的离心率为 B．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切 C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标 D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小 题型15：共焦点共渐近线求离心率 【典型例题1】与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定焦点，根据离心率得到方程组，解得答案. 【详解】椭圆的焦点坐标是，，设双曲线的方程为， 双曲线的离心率，故，解得，. 故双曲线的方程为. 故选：D 【典型例题2】椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，利用余弦定理得到，再根据椭圆和双曲线的定义，得到，代入求解. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 交点到两焦点的距离分别为，焦距为， 则， 又，，故，， 所以， 化简得，即 .故选：B 【变式训练15-1】已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D．4 【变式训练15-2】已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-3】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，双曲线：的离心率为，且椭圆与双曲线的焦点相同.过的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），与双曲线的右支交于点，且点在线段上.若与的周长之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-4】椭圆的左、右焦点也是双曲线的焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练15-5】已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的离心率为（       ）． A． B． C．4 D．2 【变式训练15-6】（多选）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（       ） A．的方程为 B．的离心率为2 C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点 【变式训练15-7】离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为 ． 题型16：向量相关 【典型例题1】如图，已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，且在第一象限，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可构造方程，利用表示出坐标，由可构造齐次方程求得，由可求得结果. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为， ，，， 设，则，，即， ，，又，，， ，，， 双曲线的离心率. 故选：D. 【典型例题2】已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】首先写出直线点斜式方程并求出点，由向量线性运算的坐标表示可以求出，将其代入双曲线方程即可求解. 【详解】由题意知直线的方程为，令，得，所以． 又因为，不妨设，所以有， 解得，所以，将其代入双曲线方程， 化简得，解得或（舍去）， 所以的离心率． 故选：D. 【变式训练16-1】已知是双曲线的一个焦点，为的虚轴的一个端点，（为坐标原点），直线垂直于的一条渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】已知双曲线的两个焦点为，点在上，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型17双曲线与圆相关 【典型例题1】过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，    因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是，即，， 在中，，整理得， 所以双曲线E的离心率. 故选：C 【典型例题2】已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合切线的性质及直角三角形边角关系，列式计算作答. 【详解】显然圆的圆心为，半径为，令直线l与圆相切的切点为，连接， 则，有，而，又，因此，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：A 【典型例题3】已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆过点，圆与双曲线在第一象限交于点，若的面积为9，则该双曲线的离心率 . 【答案】/1.25 【分析】依据题意，求得值，再根据题设得出，利用双曲线的定义，勾股定理和题设条件列出方程组，解出值即得. 【详解】 如图，因以为直径的圆过点，故,即，又圆与双曲线在第一象限交于点，则, 不妨设，则有：消去解得：，故双曲线的离心率. 故答案为：. 【变式训练17-1】设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练17-2】已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练17-3】已知双曲线的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆，与的右支的一个交点为A，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练17-4】已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-5】已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练17-6】若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 题型18内切圆相关 【典型例题1】已知点是双曲线右支上一点，分别是的左、右焦点，若的角平分线与直线交于点，且，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义证明点是的内心，再借助三角形面积公式求解作答. 【详解】作的平分线交的平分线于，过作轴，垂足分别为，如图，      则点为的内心，有，设， ，则， 于是直线与直线重合，而的角平分线与直线交于点，即与重合，则点为的内心， 因此令，由，得， 因此，即有，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 【典型例题2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为 ． 【答案】5 【分析】利用直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义找到与的关系，从而求出离心率. 【详解】设，，点在双曲线的右支上， 由，可知， 又由双曲线的定义有，， 在中，的内切圆的半径，又由，可得，联立解得代入， 有，整理为，可得， 有，故双曲线的离心率． 故答案为：5 【变式训练18-1】如图，已知双曲线的左､右焦点分别是，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D．3 【变式训练18-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C右支上一点，记的重心为G，内心为I．若，则双曲线C的离心率为 ． 【变式训练18-3】双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 【变式训练18-4】已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________. 【变式训练18-5】（多选)在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．三角形的面积为1 C．点的纵坐标绝对值为 D．三角形的内切圆与x轴相切于点 题型19：双曲线与和差最值 【典型例题】已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（    ） A．2或 B．3或 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据双曲线定义将转化为，数形结合即可求解. 【详解】设双曲线的下焦点为，可知， 则，即， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 由题意可得，且， 因为在上单调递增，且， 所以方程，且，解得， 则，所以双曲线E的离心率为. 故选：D.   【变式训练19-1】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-2】已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是 . 二：双曲线离心率取值范围 题型01：根据a,b,c的不等关系求离心率的取值范围 【典型例题1】已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，再解不等式，结合离心力公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，所以，，解得． 因为，所以． 故选：A 【典型例题2】若，则双曲线的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由a>1，得双曲线的离心率为． 故选：C． 【典型例题3】双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】选C. 【变式训练1-1】若双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ． 【变式训练1-4】双曲线 的离心率的取值范围是 ． 【变式训练1-5】已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02：焦半径范围的应用 【方法总结】 利用或 的范围： F为双曲线的右焦点，若P是双曲线右支上的动点，则|PFl≥c-a.若P是双曲线左支上的动点，则|PF|≥c+a. 【典型例题1】已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用双曲线的几何性质和 的几何性质即可求解. 【详解】 如图，由双曲线的几何性质可知 ，由条件可知 ， ，在 中， ，即 ， ； 当点P位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即 ， ，由双曲线的几何性质知 ，所以离心率的取值范围是 ； 故选：C. 【典型例题2】设，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：. 【典型例题3】已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为(－c，0)，(c，0)．若双曲线上存在点P使得，则该双曲线的离心率的取值范围是_______________． 【答案】 由正弦定理可得，即，由e>1可得点P在双曲线的右支上． 又，则，即，边角关系 因为点P不在x轴上，所以，即，即， 结合解得 【变式训练2-1】已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知双曲线的左右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A． B. C. 2 D. 【变式训练2-4】已知双曲线的两个焦点分别为，点为其上一点，且，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A.(1，3) B.(1，3] C.(3，+∞) D.[3，+∞) 【变式训练2-5】设双曲线 的左、右两个焦点分别为，，若点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练2-6】双曲线 的两个焦点为，，若双曲线上存在点，使，求双曲线离心率的取值范围. 【变式训练2-7】已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为 ． 【变式训练2-8】已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ． 【变式训练2-9】已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为 . 题型03：根据直线与双曲线的关系求取值范围 【方法总结】 方法：与渐近线的斜率比较，则 （1）当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为 （2）当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足 （3）当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足 （一）利用渐近线的斜率 【典型例题1】已知点为双曲线的对称中心，过点的两条直线 与的夹角为，直线与双曲线相交于点，直线与双曲线相交于点，若使成立的直线与有且只有一对，则双曲线离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线以及夹角关系列不等式，解得结果 【详解】不妨设双曲线方程为，则渐近线方程为 因为使成立的直线与有且只有一对， 所以 从而离心率，选A. 【点睛】本题考查求双曲线离心率取值范围，考查综合分析求解能力，属较难题. 【典型例题2】已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率即可求解. 【详解】 依题意，可得，则， 又因为直线l垂直平分线段，所以， 因为直线l与C存在公共点， 所以，即， 则，即，解得， 所以双曲线C的离心率的取值范围是. 故选：B 【典型例题3】已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于的不等关系，即可求得离心率范围. 【详解】因为双曲线（，）的渐近线为， 因为，要使直线与E无公共点，则， 所以，，所以双曲线的离心率的范围 所以满足条件的离心率的范围是， 故答案为： 【典型例题4】经过原点且斜率为的直线l与双曲线C：恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 . 【答案】 【分析】直线l与双曲线C：恒有两个公共点，则有直线l的斜率大于渐近线的斜率，即可求解. 【详解】双曲线：的焦点在轴上， 渐近线方程是， 结合该双曲线的图象，由直线与双曲线恒有两个公共点， 可得出：，即， 所以离心率， 即离心率的取值范围是． 故答案为： ． 【变式训练3-1-1】已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1-2】过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为 ． 【变式训练3-1-3】若双曲线的右支上存在两点，，使为正三角形（其中为双曲线右顶点），则离心率的取值范围为 . 【变式训练3-1-4】已知双曲线1（）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是 . 【变式训练3-1-5】已知P是双曲线上一点，，分别是左、右焦点，焦距为2c，的内切圆的周长是，则离心率e的取值范围是_________. 【变式训练3-1-6】若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1-7】已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________________． 【变式训练3-1-8】已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 。 。 （二）联立法 【方法总结】 方法：联立法： (1)当直线与双曲线只有一个交点时，有或 (2)当直线与双曲线有两个交点时，有 (3)当直线与双曲线的左右两支都有交点时，有 (4)当直线与双曲线的左支有两个交点时，有 (5)当直线与双曲线的右支有两个交点时，有 【典型例题1】已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到的范围，再由双曲线的离心率的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，，则， 即，解得，故， 则，故. 故选：D 【变式训练3-2-1】设双曲线与直线相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2-2】过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 . 【变式训练3-2-3】已知直线与双曲线相交于两个不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 题型04：双曲线的有界性 【方法总结】 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 【典型例题1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据确定点的横坐标满足的关系式，再根据点在双曲线的右支上得到点的横坐标满足的不等式，解不等式即可. 【详解】设点的横坐标为，，，即， 由题可知，，得． 故选：D. 【典型例题2】如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性即可得，由离心率的公式即可求解. 【详解】如图，因为，F点坐标为， 所以，又A在右支上且不在顶点处， 所以，所以. 故答案为： 【变式训练4-1】是双曲线（，）的右焦点，直线交该双曲线于点，（在第一象限），点、分别是该双曲线的左、右顶点，是延长线上的点，．该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ． 【变式训练4-3】已知，分别是双曲线：的左、右焦点.若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【变式训练4-4】已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上一点，，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 题型05：和差最值相关 【典型例题1】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故选：A.    【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】的周长不小于18，可得的最小值不小于13，设为双曲线的左焦点，则的最小值不小于13，分析可得三点共线时，取最小值，从而可求的范围，根据离心率公式即可求解. 【详解】由右焦点为，点A坐标为，可得. 因为的周长不小于18，所以的最小值不小于13. 设为双曲线的左焦点，可得， 故， 当三点共线时，取最小值,即， 所以,即. 因为,所以. 又,所以. 故答案为:. 【变式训练5-1】双曲线的左焦点为，，为双曲线右支上一点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知双曲线： 的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】若双曲线的左、右焦点为，若在其渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【变式训练5-4】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若A为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为 ． 【变式训练5-5】已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与y轴交于点A，若P为左支上的一点，且，则的离心率的取值范围为 . 题型06：点差法的运用 【方法总结】 双曲线中点弦的斜率公式： 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以= 【典型例题1】已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率可得由题意可得，由斜率，即可得斜率的取值范围. 【详解】设双曲线的方程为 为上一动点，上顶点下顶点离心率为，即可得 直线为直线PA, 直线为直线PB, 则， ，又，，可得， 故选：C 【典型例题2】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】，，设，计算，根据均值不等式计算得到，得到离心率范围. 【详解】，，设， ， ，故，，， ，故等号不成立，故，，即. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知双曲线C：上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为，，且，则离心率e的取值范围是 ． 题型07：焦点三角形的运用 【典型例题1】已知点､是双曲线的左､右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，根据双曲线的定义及可得，则，然后得出的取值范围. 【详解】若点在双曲线的右支上，且满足，则，则， 又因为，所以，即， 所以， 得，故，又， 所以双曲线离心率的取值范围是. 故选：C. 【点睛】求解双曲线的离心率及离心率的取值范围时，先要根据题目条件找出等量关系，构造出关于，的齐次式，然后求解的值；解答离心率的取值范围问题时，也可以通过取特殊位置或特殊点求解，然后确定离心率的取值范围. 【典型例题2】双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，则，然后在中利用余弦定理列方程可表示出，再由可求出离心率的范围 【详解】设，则， 因为直线的倾斜角为，所以， 在中，由余弦定理得， ， 得， 因为，所以 得，， 所以， 所以， 解得， 即双曲线的离心率的取值范围为 故答案为： 【点睛】关键点睛：此题考查求双曲线的离心率的范围，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是根据题意在中利用余弦定理表示出，然后代入已知条件中可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题. 【变式训练7-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是 . 题型08：双曲线对称性的运用 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为第一象限内双曲线上的点，点为点关于原点的对称点.若，，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：设，，易知四边形为矩形，结合已知不等式可求得；利用双曲线定义和勾股定理可得，即，集合对勾函数单调性可求得，解不等式即可求得离心率的范围； 方法二：易知四边形为矩形，结合已知不等式可求得，设，可得；利用双曲线定义知，由此可得离心率，根据范围可确定关于单调递减，则可在时取得最大值，时取得最小值，结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】方法一：设，， 由题意知：，四边形为矩形，， 由得：，即，； 由双曲线定义知：…①；由勾股定理可得：…②； ①式平方与②式相减得：，即…③； 由②③得：，即； 令，， 在上单调递增，，即， 解得：，又，， 即双曲线离心率的取值范围为； 方法二：如图所示， 由对称性可知：四边形为平行四边形， ，，四边形为矩形； ，由得：， ； 设，则， ，， ，； ，，， 单调递增且恒为正，关于单调递减， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【变式训练8-1】已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 . 【变式训练8-2】设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 . 【变式训练8-3】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为 ． 题型09：通径相关 【典型例题1】过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A,B两点,使得,若这样的直线有且仅有两条,则离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与双曲线相交的情形,分两种情况讨论: 直线l与双曲线两支或者左支交于A,B两点,分别分析弦长与和通径的大小关系,列出不等式,再将代为进而解出离心率范围即可. 【详解】解:由题知过做轴垂线交双曲线于两点,如图所示: 将代入可得: , , 由图可知是直线与双曲线左支相交时最短的弦长, 当过左焦点的直线绕左焦点旋转至与双曲线两支交于A,B两点时,如图所示 若满足直线有且仅有两条, 只需小于,且大于即可, 即, 即, 两边同时平方,将代替, 即可得, 故; 将过左焦点的直线继续绕左焦点旋转至与双曲线左支交于A,B两点时如图所示, 此时只需大于,且小于即可, 即, 即, 两边同时平方,将代替, 即可得, , 故, 综上,或. 故答案为: 【变式训练9-1】过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】双曲线（，）的左顶点为，右焦点为，过点的直线交双曲线于另一点，当时满足，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】过双曲线（）的左焦点作直线与双曲线交两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是 . 题型10：由题目条件确定离心率取值范围 【典型例题1】已知为双曲线的左焦点，直线过点与双曲线交于两点，且最小值为，则双曲线离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别讨论经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上和 直线与双曲线的交点在两支上这两种情况,列出不等式,计算即可得到范围． 【详解】①当经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上,可得双曲线的通径最小, 设双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线左支相交于， 当直线斜率不存在时，直线的方程为可得,即有 ， 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， ， 由，解得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为 ②当直线与双曲线的交点在两支上,可得当直线的斜率为0时, 最小为 由①②及题意可得,即为,即有,则离心率. 故选: . 【典型例题2】已知双曲线的实轴为，对上任意一点，在上都存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到的关系式，然后由双曲线离心率的公式以及范围即可得到结果. 【详解】依题意，， 当在轴左侧，则在上任一点，都有； 当在轴右侧，则在上任一点，都有； 当在轴上，则在上任一点，都有； 因为对上任意一点P，在上都存在点Q，使得， 所以，即，即， 所以. 即. 故选；C. 【典型例题3】已知双曲线的左、右焦点分别是、，P为双曲线左支上任意一点，当最大值为时，该双曲线的离心率的取值范围是__________. 【答案】] 【解析】由已知，，因为，当时， ，当且仅当时，取最大值， 由，所以e3；当时，的最大值小于，所以不合题意. 因为b>a，所以，所以，所以 故答案为：] 【典型例题4】过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A、B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题可设为，，，联立l与双曲线的方程可得、；根据得，将、代入可得关于m的表达式，根据m范围和可求离心率范围﹒ 【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立，消去，得， 设，，则由知，，， 由得， 故，即， 整理得， 将、代入整理得，， 则，∴，故， ∴，两边除以，得，解得， 又∵，∴，故， 又A、B在左支且过，∴，即，故， ∴，∴， 即，则，故，即， 综上：，即． 【点睛】本题的关键在于根据直线l方程里面m的范围，得到关于a、b、c的不等式，从而求得离心率的范围． 【变式训练10-1】已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，交轴于点，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-2】设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-3】双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C： 的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-7】已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-8】过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-9】已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练10-10】已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-11】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D．   【变式训练10-12】如图，已知梯形中，，点在线段上且，双曲线过三点，且以为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是_________． 题型11：联立求点坐标型 【典型例题1】过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞) 【答案】A 【分析】依题意求出双曲线的渐近线方程与右焦点坐标，不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为，与另一焦点联立求交点坐标，根据交点在第二象限，即可得到、的关系，即可得解； 【详解】解：由题意双曲线C：的渐近线，右焦点， 不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为 与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即 故选：A 【典型例题2】已知曲线C1方程：，曲线C2方程：，曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，且它的渐近线过C1与C2的交点，则曲线C3的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可得C1与C2的交点均在，即，进而根据题中取值范围可求离心率的取值范围. 【详解】联立的方程，整理可得， ∵，则， ∴，故C1与C2的交点均在， 又∵曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，设双曲线的渐近线为，则， 故双曲线的离心率， ∵，则，可得， ∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法： 双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． 【变式训练11-1】已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A、B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是 . 【变式训练11-3】已知双曲线，若在直线上存在点满足：过点能向双曲线引两条互相垂直的切线，则双曲线的离心率取值范围是 ． 题型12：向量相关 【典型例题1】已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围． 【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为， 抛物线的焦点为， 设，则，， 由可得：， 整理可得：， ， ， ， 则：， 由可得：. 故选：B. 【典型例题2】过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设点，分别联立两组直线方程，求出的坐标，然后利用向量的数量积，推出离心率的范围即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为：， 即，设点，可得：， 联立方程组，解得：， 同理可得：， 所以， 因为，所以， 所以，由题意可得：， 所以，故离心率，又因为双曲线的离心率， 所以双曲线离心率的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练12-1】已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【变式训练12-4】已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设和的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）.若，则的取值范围是 . 题型13：双曲线与圆相关 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题知，，，，进而结合双曲线的性质，余弦定理得，故且，进而得，再根据离心率公式求解即可. 【详解】解：如图，因为过作圆的切线，切点为， 所以，， 所以，在中，，，，， 因为，延长交双曲线的左支于点， 所以，即， 所以，在中，，整理得， 所以，即，所以 因为，即，整理得，即 所以， 综上，双曲线离心率的取值范围是 故答案为： 【变式训练13-1】已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】已知P为双曲线上的动点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线C的两条渐近线交于，两点（A，B异于点O），若恒成立，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，点P异于坐标原点O，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-5】已知分别是双曲线的左，右焦点，直线l是双曲线C的一条渐近线，关于直线l对称的点为，以为直径的圆与直线l有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-6】已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，以线段AF为直径的圆M与双曲线的一条渐近线相交于B，D两点，且满足（O为坐标原点），若圆M的面积S满足，则双曲线C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-7】已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率的取值范围是 ． 题型14：双曲线与内切圆相关 【典型例题1】已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d，则由题意可得，从而可求出离心率的范围 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即， 则直线与直线的距离为 ， 因为点是直线上任意一点， 且圆与双曲线的右支没有公共点， 所以，即，得离心率， 因为，所以双曲线的离心率的取值范围为， 故选：A. 【典型例题2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，与的内切圆圆心均在直线上，且，则此双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】设、的内切圆圆心分别为、， 设圆切、、分别于点、、， 过的直线与双曲线的右支交于、两点， 由切线长定理可得，，， 所以， ，则，所以点的横坐标为. 故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切. 在中，，， ，，所以，， 所以，，则， 所以， 即，所以，，可得，可得，则， 因此，. 故答案为：. 【变式训练14-1】已知P是双曲线上一点，，分别是左、右焦点，焦距为2c，的内切圆的周长是，则离心率e的取值范围是 . 【变式训练14-2】已知点P为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-3】双曲线其左、右焦点分别为，倾斜角为的直线与双曲线H在第一象限交于点P，设内切圆半径为r，若，则双曲线H的离心率的取值范围为 . 【变式训练14-4】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，，则此双曲线离心率的取值范围为 ． ． 题型15：双曲线与角平分线相关 【典型例题1】已知双曲线在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为，若 的取值范围是则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件得：，进而得到：，进一步得到答案. 【详解】∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线离心率的知识点，属于常见的基础题型. 【典型例题2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点是双曲线上的任意一点，满足，的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比 . 【答案】或 【分析】由题可得，对点的位置进行分类讨论，利用勾股定理以及双曲线的定义可求得，利用角平分线的性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为双曲线的离心率为，则，所以，， 若点在右支上，且，则，解得， 因为的平分线与相交于点，由角平分线的性质可知，点到直线、的距离相等， 此时，； 若点在左支上，同理可求得，则. 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式训练15-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D．以上均不对 【变式训练15-2】已知点分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若,则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-3】已知直线与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是 . . 题型16：椭圆与双曲线结合 【典型例题1】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范围. 【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为， 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义， 可得，， 又，由余弦定理得， 可得， 得，即， 可得，即， 又时，可得， 即，亦即， 得. 故选：B 【典型例题2】已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用函数求解. 【详解】设 因为点在椭圆上，所以① 又因为点在双曲线上，所以② 则①②得；①② 在中由余弦定理得： 即 即，即即 所以， 令，则 所以. 故答案：. 【变式训练16-1】设椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是 . 【变式训练16-3】设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 【变式训练16-4】已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且 ，设与的离心率分别为，，求的取值范围. 题型17：离心率求参数及离心率表达式范围 【典型例题1】设双曲线的上、下焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的离心率为可得①，又因为．若的面积为4，设在双曲线的上半支，，则有，整理化简得，结合①，即可求得的值. 【详解】解：因为双曲线的离心率为，所以，即有①， 又因为，的面积为4，由对称性，设在双曲线的上半支，， 则有，所以，即由①可得， 所以，解得.故选：D. 【典型例题2】已知椭圆与双曲线的焦点相同，右焦点为.若与的离心率分别为和，点为的右支与的一个交点，且，则的值为 A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【解析】因为两曲线的焦点相同，所以再根据已知得到，再利用椭圆和双曲线的定义得到即得解. 【详解】因为两曲线的焦点相同，所以 因为与的离心率分别为和，所以，， 设，则， 设它们的左焦点为,所以， 所以，所以.故选：C 【典型例题3】已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据焦点三角形面积相等，即可求得之间的等量关系，再用均值不等式即可求得结果. 【详解】因为椭圆和双曲线有相同的交点，且， 则可得，解得，则， 整理得，则， 故可得， 当且仅当且时，即时取得最小值. 故选：B. 【变式训练17-1】已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式训练17-2】已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-3】已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于，则的值为 A． B． C． D． 【变式训练17-4】已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【变式训练17-5】已知离心率为的椭圆：（）和离心率为的双曲线：（，）有公共的焦点，，P是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-6】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（    ） A． B．6 C．8 D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $