专题01 一元二次方程（竞赛培优专项训练，6大题型+竞赛真题）九年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦一元二次方程竞赛核心，以“概念辨析-性质应用-综合拓展”为主线，分层设计专项过关与真题冲奖训练，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义求参数|4题|考二次项系数非零及次数条件|概念生成：从定义出发确定参数范围| |解求参数|4题|结合根的代入与方程同根问题|性质推导：利用方程解的定义建立关系| |因式分解法|4题|含参数方程求解及根的范围|技能应用：转化思想解特殊方程| |根与系数关系|4题|韦达定理应用及参数取值范围|原理深化：根与系数的定量关系分析| |简单应用|4题|比赛场次、几何面积等基础模型|模型构建：用方程表示实际数量关系| |复杂应用|4题|利润问题、动态几何等综合场景|综合拓展：多知识点融合的问题解决| |竞赛真题|12题|全国竞赛高频题型|能力拔高：竞赛思维与解题策略训练|

专题01 一元二次方程 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01由一元二次方程的定义求参数 题型02由一元二次方程的解求参数 题型03因式分解法解一元二次方程 题型04一元二次方程的根与系数的关系 题型05一元二次方程的简单应用 题型06一元二次方程的复杂应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 由一元二次方程的定义求参数 1．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 3．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 4．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 考点二 由一元二次方程的解求参数 1．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 2．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 3．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 4．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 考点三 因式分解法解一元二次方程 1．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 3．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 4．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 1．已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程的两根都小于1，则的取值范围是__________． 考点五 一元二次方程的简单应用 1．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 2．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 3．某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 4．阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 考点六 一元二次方程的复杂应用 1．某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 2．若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 3．某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 4．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 1．（2024九年级·全国·竞赛）设是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 2．（2025八年级·全国·竞赛）小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·湖南长沙·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，在轴上找一点使得是直角三角形，则点的坐标为________． 4．（2024九年级·全国·竞赛）已知是关于x的一元二次方程，则_______． 5．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值_____． 6．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是_____． 7．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）方程的解为______． 8．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）已知是一元二次方程的两根，则__________． 9．（九年级上·广东佛山·竞赛）关于x的方程有解，则a的取值范围是______． 10．（2023八年级下·浙江·竞赛）已知，，是整数，，且，则的最大值和最小值分别是______． 11．（2024九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 12．（2023九年级下·福建龙岩·竞赛）已知． (1)试问：的值能否等于2？请说明理由； (2)求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01由一元二次方程的定义求参数 题型02由一元二次方程的解求参数 题型03因式分解法解一元二次方程 题型04一元二次方程的根与系数的关系 题型05一元二次方程的简单应用 题型06一元二次方程的复杂应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 由一元二次方程的定义求参数 1．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 3．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且 解得，且， 故； 故答案为：． 4．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 考点二 由一元二次方程的解求参数 1．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 2．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 3．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 4．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 考点三 因式分解法解一元二次方程 1．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 2．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 【答案】；方程的另一根为 【详解】解：一元二次方程有一个根为， 将代入方程得， 因式分解得， 解得， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为， ，即， ， 将代入原方程得 ， 整理得， 提取公因式得， 解得， 方程的另一根为． 3．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 4．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 1．已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，，则，， 设实数，满足， 由根与系数关系得：、， 故A、B选项错误； ， 故C选项正确； ， 故D选项错误． 2．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 3．若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则，即， ∵， ∴或，不满足题意， 当时，则， ∴， ∵方程有实数根， ∴当时，即， 解得（舍去）或， 把代入， 得，即， 解得：（不是正数，舍去）， 当时，即， 解得或， 设和为的两根， ，， ∴两根不可能同时为正，只有一个正根， ∴，， 解得：， 综上：． 4．已知关于的一元二次方程的两根都小于1，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵，对任意实数恒成立， ∴方程总有两个不相等的实根 ∵两根都小于1，即，， ∴，， ∴ 整理第一个不等式得： 代入得：， 解得 整理第二个不等式得： 代入和得： 解得 ∴的取值范围是． 考点五 一元二次方程的简单应用 1．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 2．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【答案】(1)长增加了，宽增加了；(2) 【详解】（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 3．某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 【答案】(1)A杆的长度为，B杆的长度为；(2)；(3) 【详解】（1）解：设A杆的长度为，B杆的长度为， 根据题意，得， 解得， 答：A杆的长度为，B杆的长度为． （2）解：根据题意，横杆距地面， ∴投影布下边缘距地面： 根据题意，得， 解得， 又，， ∴． （3）解：根据题意，得 整理，得 解得或（舍去）． 即缩放比例因子． 4．阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 【答案】(1)ABC；(2)1；6；(3)原矩形的长和宽分别为6和4 【详解】（1）解：根据题意：方程变形得， A．所用矩形的长为，宽为x，正确，符合题意； B．中间小正方形的边长为，面积为，正确，符合题意； C．外围大正方形的边长为，正确，符合题意；     D．四个矩形的总面积为，选项错误，不符合题意； （2）解：∵中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x， ∴矩形较长边长为：， ∴大正方形的边长为：， ∵大正方形的周长为20， ∴， 解得：， ∴， ∴形如的方程为， 即； （3）解：设矩形较短边长为m，较长边长为n， ∴大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∵大正方形面积与内部小正方形面积之和为104， ∴①， ∵将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24． ∴②， 联立①②， 解得：， ∴原矩形的长和宽分别为6和4． 考点六 一元二次方程的复杂应用 1．某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】(1)；(2)元或元；(3) 【详解】（1）解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； （2）解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； （3）解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 2．若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【答案】(1)；(2)无解；(3)见解析 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∴， 则方程两根均为整数，其“关联值”为． （2）解：∵关于的一元二次方程的“关联值”为1， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时，则， 即， 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去； 当时，则， 即， ∴ 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去 综上：的值是无解的； （3）证明：∵， ∴， ∴ ∵为整数， ∴关于的一元二次方程的两根均为整数， 依题意，， ∵为整数， ∴一元二次方程的“关联值”为， ∴关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 3．某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【答案】(1)；(2)①米；②米；③， 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； （2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 4．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 【答案】(1)；(2)周销售单价定为80元，见解析；(3)这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价为90元 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把，代入可得：， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 即周销售单价定为80元； （3）解：设周销售利润为w元， 则：， 即当周销售单价为90元时，这种绿茶最大周利润为1800元． 1．（2024九年级·全国·竞赛）设是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 【答案】B 【详解】解：是方程的两个实数根， ，即， ， 故选：B． 2．（2025八年级·全国·竞赛）小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得， ∴一元二次方程可化为， 解得， 故选：A． 3．（2024九年级上·湖南长沙·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，在轴上找一点使得是直角三角形，则点的坐标为________． 【答案】或或或 【详解】解：设点，根据题意，得 ，，． 当时，是直角三角形， 即， 解得或， ∴点或； 当时，是直角三角形， 即， 解得， ∴点； 当时，是直角三角形， 即， 解得， ∴点， 所以点C的坐标是点或或或． 4．（2024九年级·全国·竞赛）已知是关于x的一元二次方程，则_______． 【答案】4 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得且，或 故， 故答案为：4． 5．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值_____． 【答案】或/或 【详解】解：∵已知的整系数二次方程有整数根， ∴为完全平方数， 从而，为完全平方数 设，注意到，故，且为整数 ∴, 则，中至少有一个是的倍数，即(为正整数), 因此把代入中得 ∴， 整理得：, 由是质数，， ∴，或 当时，已知方程变为， 解得， 当时，已知方程变为， 解得,, 所以或． 故答案为：或． 6．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是_____． 【答案】 【详解】 = = 因为任何数的平方都大于等于0， 所以 ，那么， 当，时，代数式取得最小值． 此时． 综上，该代数式的最小值是． 故答案为： 7．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）方程的解为______． 【答案】1或 【详解】解：设， ，， ∴和是方程的两个实数根， 解得：， 当，， 解得：， 当，， 解得：， 故答案为：1或． 8．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）已知是一元二次方程的两根，则__________． 【答案】 【详解】解：因为、是一元二次方程的两根， 所以， 所以 ， 故答案为： 2028 ． 9．（九年级上·广东佛山·竞赛）关于x的方程有解，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程有解， ∴当时，方程为，解得，方程有解，符合题意， 当时，方程为一元二次方程， ， 即， 解得． 综上所述：a的取值范围是． 故答案为： 10．（2023八年级下·浙江·竞赛）已知，，是整数，，且，则的最大值和最小值分别是______． 【答案】、 【详解】解： ， ， ， ，且，， ， 整理可得， ， 是整数， ，即， 当时，， ， ，， 因此，不等式的解集为， 是整数，且， ， 当时，，，即或，满足条件； 当时，，，即或，满足条件； 当时，即，此时，不是整数，不满足条件 的最大值和最小值分别是、． 11．（2024九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 【答案】 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 12．（2023九年级下·福建龙岩·竞赛）已知． (1)试问：的值能否等于2？请说明理由； (2)求的值． 【答案】(1)的值不等于2，理由见解析；(2)2或27 【详解】（1）解：的值不等于2，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴或， 把代入，得， 解得，此时，与矛盾， ∴方程中的值不等于2， 综上，方程中的值不等于2． （2）解：当时，， 当时，，即， ∴． 综上，故的值为2或27． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $