专项训练01 四边形综合（6大题型，巩固培优）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“问题本质-通法步骤-易错警示”构建四边形综合突破体系，覆盖中点四边形、折叠、面积等六大专题，实现从知识原理到解题策略的深度转化。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点四边形|3题|对角线决定论+中位线转化法|从任意四边形到特殊四边形的性质递推| |折叠问题|3题|轴对称性质+直角三角形勾股定理|折叠本质→核心模型→分类讨论| |面积问题|3题|公式法+割补法+等积变换|基础公式→特殊结论→复杂图形转化| |动点问题|3题|函数思想+分类讨论+范围控制|变量设定→图形性质→方程求解| |最值问题|3题|将军饮马模型+二次函数法|几何模型→代数转化→端点验证| |旋转问题|3题|旋转变换+全等构造|图形旋转→等量关系→辅助线添加|

专项训练01 四边形综合 【知识点1 二次根式的定义】 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，称为中点四边形。 2. 形状唯一决定因素：中点四边形的形状仅由原四边形的对角线决定 任意四边形→中点四边形是平行四边形（通用结论，证明必用三角形中位线） 对角线相等的四边形→中点四边形是菱形 对角线互相垂直的四边形→中点四边形是矩形 对角线相等且垂直的四边形→中点四边形是正方形 周长结论：中点四边形的周长 = 原四边形两条对角线长度之和 3.解题通法： 连接原四边形的两条对角线，利用三角形中位线定理（中位线平行于第三边且等于第三边的一半）转化边的平行和数量关系。 4. 教材高频易错点： 不要记反：矩形（对角线相等）的中点四边形是菱形；菱形（对角线垂直）的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形仍是正方形 证明题必须先证是平行四边形，再根据对角线条件升级为特殊平行四边形 【知识点2 折叠问题专题】 1. 折叠本质： 轴对称变换：折叠前后的两个图形关于折痕对称，满足： 对应边相等，对应角相等 对应点的连线被折痕垂直平分 折叠前后图形的面积、周长不变 2. 核心考点与标准解题步骤： 求线段长度（90%考题类型） 标准步骤：①找出折叠后所有相等的边和角；②设未知数x；③在直角三角形中利用勾股定理列方程求解 求角度：利用折叠前后角相等，结合平行线性质、三角形内角和计算 3.折叠模型： 矩形折叠：顶点落在对边上、顶点落在对角线上 正方形折叠：一个顶点落在对边上、沿对角线折叠 4. 高频易错点 折叠后点可能落在直线上（而非线段上），存在2种情况，必须分类讨论 折叠后必然形成等腰三角形（折痕是角平分线+平行线→等腰三角形），这是解题关键 求折痕长度时，必须用“对应点连线被折痕垂直平分”这一性质 【知识点3 面积问题专题】 1. 要求掌握的面积公式： 四边形 基础公式 必考特殊公式 平行四边形 S=底×高 - 矩形 S=长×宽 - 菱形 S=底×高 S=对角线乘积的一半 正方形 S=边长² S=对角线乘积的一半 2. 常用解题方法： 割补法：将不规则图形分割成三角形、矩形等规则图形计算 等积变换法：利用“同底等高的三角形面积相等”转化面积 比例法：同高三角形面积比=底之比；同底三角形面积比=高之比 3. 特殊结论： 平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的三角形 矩形内任意一点到四个顶点的连线，将矩形分成四个三角形，相对两个三角形面积之和相等 4. 高频易错点： 菱形面积优先用对角线乘积的一半，比底乘高简便得多 等积变换时，必须找准对应的底和高，不要混淆 【知识点4 动点问题专题】 1.问题本质 函数思想+分类讨论思想，用“化动为静”的方法分析运动过程 2.教材核心考点 动点形成的特殊平行四边形存在性问题（平行四边形、菱形、矩形） 动点形成的面积问题（求面积与时间的函数关系式） 3.标准解题步骤 设变量：设动点运动时间为t，用含t的代数式表示所有相关线段长度 定范围：明确动点的起点、终点、速度，写出t的准确取值范围 分类讨论： 平行四边形存在性：分别以任意两个顶点为对角线端点，共3种情况 菱形/矩形存在性：先证是平行四边形，再添加特殊条件 列方程：根据图形性质列方程求解 检验：检验解是否在t的取值范围内，是否符合图形实际 4.高频易错点 必须先写t的取值范围，舍去不符合的解 平行四边形分类讨论绝对不能漏情况（3种） 用代数式表示线段长度时，结果必须为正数 【知识点5 最值问题专题】 1.2个核心模型 将军饮马模型（最常考） 适用场景：在四边形的边或对角线上找一点P，使PA+PB最小 标准解法：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为所求 垂线段最短模型 适用场景：求点到直线的最短距离、线段的最小值 标准解法：过该点作直线的垂线，垂线段长度即为最小值 2.辅助方法 当几何模型无法直接求解时，先列出关于t的二次函数关系式，再结合t的取值范围求最值。 3.高频易错点 将军饮马模型中，不要找错对称点的位置 二次函数的最值不一定在顶点处取得，必须结合t的取值范围判断 最小值可能出现在动点的运动端点处，不要遗漏 【题型1 中点四边形】 1．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 2．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，从而可得，再证出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定即可得． 【详解】解：由题意得：点分别是的中点， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则需要， 又∵，， ∴要使，则需要， 故选：D． 3．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 【题型2 折叠问题】 4．在矩形中，，点E在边上（不与点A、D重合），将沿翻折得到． (1)如图1，当时，的延长线交于点G． ①求证：； ②若平分，，则点F到的距离为______； (2)如图2，当时，连接，，，若，求的长； (3)如图3，当时，的延长线交于点G，的延长线交于点H，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明：当时，四边形为正方形， ， 将沿翻折得到， ， ， ∵， ， ， ； ②； (2) (3)， 理由如下：在矩形中，当时，设，则， 根据折叠可得，， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， 如图，连接， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ． 【分析】（1）①根据折叠可得，再通过角度转换得到，证明即可解答； ②计算出，利用含角的直角三角形边长关系即可解答； （2）延长交于点，证明，设，利用勾股定理解方程即可； （3）设，则，利用勾股定理求得，求得，再计算，设，则，根据，求得，即可解答． 【详解】（1）①略； ②解：如图，过点作于点， 平分， ， 根据折叠可得，， ， ， ， ，即点F到的距离为； （2）解：如图，延长交于点， ， 在矩形中，当时，， 根据折叠可得，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， （3）略 5．如图，已知矩形纸片，将该矩形纸片的四个角向内折叠，折痕分别为、、、，折叠后点、点落在点处，点、点落在点处，点、在直线上． (1)现有如下判断： ①是的中点； ②； ③四边形是矩形； ④四边形的面积是矩形面积的一半； ⑤四边形的周长是矩形周长的一半． 其中正确的是_________________________；（写出所有正确判断的序号） (2)如果，，求与的长（上述正确结论可直接使用）． 【答案】(1)①②③④ (2) ， 【分析】（1）根据折叠前后对应边相等可判断①正确；根据折叠的性质和矩形的性质证明，，，即可证出，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出，结合，证出，再根据折叠前后对应角相等证出，即可证明四边形是矩形，可判断③正确；根据折叠前后对应图形面积相等可判断④正确；根据折叠的性质和三角形三边关系可判断⑤错误； （2）由勾股定理求出，证明点三点共线，，由（1）可知，则，得出，求得，在中，根据等面积法求出，即可求出． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 根据折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴是中点，①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，③正确； 根据折叠可得， ∴，④正确； ⑤矩形的周长， 矩形的周长， ∴四边形的周长不等于矩形周长的一半，⑤错误； 故正确序号为 ①②③④； （2）解：∵，， 由（1）可知， ∴由勾股定理得：， 由折叠可得，，，，， ∴点三点共线，， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）可知，是中点， ∴． 6．如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，将四边形沿翻折，点B的对应点点G恰好落在上，点A的对应点是点H，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作，证明，得到，则，那么，故当A、G、R共线时，有最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作， 由对称性可得，，，，，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值，最小值为 由对称可得， ∴ ∴ ∴的最小值为． 【题型3 利用特殊四边形性质求面积】 7．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的面积． (3)在复习完“平行四边形”一部分内容后，爱思考的小清画出了下面四个平行四边形并标出了部分阴影，则四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是________． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质、菱形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行线和角平分线的性质得到，证明平行四边形是菱形 、、，根据可求出，再利用菱形面积公式进行计算即可； （3）分别分析每个图形，利用平行四边形的性质，即平行四边形的对角线将其分成面积相等的两部分，以及同底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，判断阴影部分面积是否为平行四边形面积的一半． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， 、、， ， 在中，， 即， ， ， ； （3）解：图（1）：阴影是对角两个小平行四边形，面积和随交点位置变化，不一定等于平行四边形面积一半，不符合； 图（2）：两个阴影三角形的高之和等于平行四边形的高，底等于平行四边形的底，则阴影部分面积和等于平行四边形面积的一半，符合； 图（3）：根据平行四边形的中心对称性，阴影部分面积和恰好为平行四边形面积的一半，符合； 图（4）：三个阴影三角形的底之和等于平行四边形的底，高都等于平行四边形的高，则根据三角形面积等于底高，得到阴影部分面积和等于平行四边形面积的一半，符合， 综上所述，四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是（2）（3）（4）． 8．如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的中位线， ， ， ， ， 矩形的面积． 9．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 【题型4 动点问题】 10．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形时，，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∴， 当四边形是矩形时，， 即， 解得：． 11．如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)或18 (4)的值为4，8，12 【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案； （2）分三种情况：当时，当时，当时，根据三角形面积公式，求出函数解析式即可； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）分三种情况：当点P运动到的中点处时，当点P运动到的中点处时，当点P运动到点处时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，； 当时，点P在上，； 综上，与的函数关系式为：； （3）解： 根据解析（2）可得：只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时，把代入得：， 解得：； 当点P在边上运动时，把代入得： ， 解得：； 综上所述，当时，或18； （4）解：当点P运动到的中点处时，延长，交于点Q，如图所示： ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴此时将放在的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P运动到的中点处时，延长，交于点Q，如图所示： ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴此时将放在的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P在点处时，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴将的顶点P与的顶点D重合， 将的顶点C与的顶点A重合，如图所示： ∵， ∴、、B在同一直线上， ∴此时剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 综上，将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，的值为4，8，12． 12．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 【题型5 最值问题】 13．边长为4的正方形中，点E，F分别是，边上的动点，且，与相交于点G，当长最小时，的长是______ 【答案】 【分析】根据题意可证得，则 ，从而可以确定在以的直径的圆上运动，取的中点，连接，则当 共线时，的值最小，据此可求得，进一步即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则在以的直径的圆上运动， 如图，以的直径画，连接，与圆交于点，延长交于，连接并延长，交于点， 当共线时，长度最小，此时即为所求， ，， ∴， 又∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，，点、点在轴上（点在点的右侧），且，求四边形周长的最小值等于_____． 【答案】 【分析】四边形的周长，其中、为定值，因此周长最小等价于的值最小，将向左平移2个单位得到，再作关于轴的对称点，则，当、、三点共线时取得最小值． 【详解】由两点间距离公式： ， 已知，所以四边形周长的定值部分为， 将点向左平移2个单位，得到， 因为 且， 则四边形是平行四边形，则， 因此， 作点关于轴的对称点， 则 ， 所以， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值， ， 因此的最小值为， 所以四边形周长的最小值等于． 15．如图，正方形的边长为，点E是线段上一动点（不与点B，C重合），设（），过点E在右侧作，且，连接，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】过点作，交的延长线于点，连接，过作定直线的垂线，垂足为，根据正方形的性质先证得，可以得到是等腰直角三角形，得，，根据垂线段最短即可求出 ． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，连接， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵，， ∴， ∴ ，， 设，则， ∴， ∴是等腰直角三角形，得， ∵正方形中， ∴， 根据点到直线的距离中垂线段最短，过作定直线的垂线，垂足为，则的最小值即为垂线段的长度; 在中，，， ∴ ， 即的最小值为1 ． 【点睛】 【题型6 旋转问题】 16．请依次完成以下三个问题： (1)如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和 全等，线段，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长； (3)如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，，由可得，通过“”证明，即可得到，即可得到答案； （2）同（1）的方法，将绕点顺时针旋转得到，进而证明，得出在中，勾股定理求得，即可求解． （3）取中点，连接,根据含度角的直角三角形的性质得出，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，作交的延长线于点，求得，设，则，，,再由直角三角形的性质和勾股定理可得，最后在中，，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，， 又∵在等腰直角中，， ∴ ∴ ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 在中， ∴ （3）直角中，，， ∴， 取中点，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， ， ，， ， ， 作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴ 设，则，， ∴， ，， 在中， ∴ 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 17．综合与实践 如图，在边长为4的正方形中，M是正方形内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：． 问题探究 （2）如图1，若点M是正方形的中心，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图2，O是的中点，连接，，且（，当的长最小时，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，证明，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点．证明是等腰直角三角形．结合勾股定理可得，即可得解； （3）以点为圆心，1为半径作半圆，连接，交半圆于点，当、、三点共线时，的长最小，即点在点的位置时，的长最小．求出的最小值，再由三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ∴，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ， ， ∴， ∴． （2）如图1，过点作，交的延长线于点． 点是正方形的中心， ∴是等腰直角三角形， 由（1）可知， ∴是等腰直角三角形． 在中，， ． ， ， ， ， ． （3）如图2，以点为圆心，1为半径作半圆，连接，交半圆于点， ， 当、、三点共线时，的长最小，即点在点的位置时，的长最小． ， ， ． 综上所述，当的长最小时，的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18．如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，求正方形的边长； (3)如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可得： ∴，，，， ∴， ∴点，，三点共线； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)正方形的边长为． (3)．理由如下： 将绕点顺时针旋转，点于点重合，得到，连接， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【分析】（1）由旋转可得，得出点，，三点共线；根据，，推出，根据全等三角形的判定和性质，得到，则，等量代换，即可； （2）由正方形的性质，可得，，根据勾股定理求出，推出，根据线段的数量关系，可得，求出，即可； （3）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，推出，，，，由全等三角形的判定和性质，可得，根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，推出，最后根据勾股定理，求出，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴正方形的边长为． （3）略 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 2．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在矩形的边AD上的点N处，点A落在点G处，有以下列结论：①△ABE≌△GNE，②四边形BFNE是菱形，③当点N与点D重合时，EF=2，④四边形BFNE的面积S的取值范围是：.其中正确的是(   )    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①由矩形的性质，折叠可知：∠A=∠G=90°AB=GN，BE=EN，可以证明Rt△ABE≌Rt△GNE（HL），故①正确； ②由矩形的性质，折叠可知：EN∥BF，BF=FN，所以得到∠NEF=∠BFE，可以证EN=BF，又因为EN∥BF，所以四边形EBFN为平行四边形；又因为BF=NF，即可证明四边形EBFN为菱形；故②正确； ③当点N与点D重合时，如图所示：可得AB=CD= ，BC=3，在Rt∆BCN中，由勾股定理可得BN ，求出NO=NC=，证明Rt∆NOF≅Rt∆NCF（HL），得到FC=FO，在Rt∆NFC中，设FC=x，则NF=3-x，由勾股定理可得 ，解得：FC=FO=1，所以EF=2FO=2，故③正确； ④当N和D重合时，菱形BFNE面积最大，S最大= ；当N和A重合时，菱形BFNE面积最小，S最小= ，可以四边形BFNE的面积S的取值范围得④正确； 【详解】①由矩形的性质，折叠可知：∠A=∠G=90°AB=GN，BE=EN 在Rt△ABE和Rt△GNE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△GNE（HL），故①正确； ②由矩形的性质，折叠可知：EN∥BF，BF=FN ∵EN∥BF ∴∠NEF=∠BFE， 又因为∠BFE=∠NFE， ∴∠NEF=∠NFE ∴EN=FN， ∴EN=BF 又因为EN∥BF ∴四边形EBFN为平行四边形； 又因为BF=NF ∴四边形EBFN为菱形；故②正确； ③当点N与点D重合时，如图所示： AB=CD= ，BC=3， 在Rt∆BCN中，由勾股定理 BN= ， ， ∴N0=NC= ， 在Rt∆NOF和Rt∆NCF中， ∴Rt∆NOF≅Rt∆NCF（HL）， ∴FC=FO 在Rt∆NFC中，设FC=x，则NF=3-x，由勾股定理可得， ∴ 解得：x=1 ∴FC=FO=1， ∴EF=2FO=2，故③正确； 当N和D重合时， 菱形BFNE面积最大，S最大= ； 当N和A重合时， 菱形BFNE面积最小，S最小= ， 四边形BFNE的面积S的取值范围是： 故④正确； 故正确的序号是：①②③④； 故选：D 【点睛】本题考查了矩形折叠问题，此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键； 3．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 4．下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】设，则，求出，，分别求出比值，作出判断． 【详解】解：设， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴ ， 又∵， ∴， ， ，， ， ∴比值为的是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE＝1，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接 BE．有下列结论：① AB＝BE；②BG平分∠EBF；③△BFG的面积是四边形EFBC面积的；④BE＝＋2．其中结论正确的是（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】由角的数量关系可求∠AEB=67.5°=∠EAF，可得AB=BE，故①正确；计算出∠EBG=22.5°，得出∠EBG=∠FBG，故②正确；过点G作GM⊥BE于点M，由角平分线的性质可得GF=GM，根据直角三角形的斜边大于直角边得出GE＞GM=GF，从而根据三角形的面积公式得出结论，得到③错误；连接AG，根据等腰直角三角形的性质可知AG=，推导得出AG=EG=，从而EF=EG+FG=+1，再由BE=BF+AF，判断出④正确． 【详解】解：由旋转的性质可得：EF=FB，∠EFB=90°， ∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AB， ∴∠ABC=∠C=∠EFB=90°， ∴四边形EFBC是矩形， 又∵EF=BF， ∴矩形EFBC是正方形， ∴∠BEF=∠EBF=45°， ∵∠DAE=∠AEF=22.5°， ∴∠AEB=∠FEB+∠AEF=67.5°=90°-22.5°=∠EAF， ∴AB=BE，故①正确； ∵∠EBF=45°，∠FBG=∠AEF=∠DAE=22.5°， ∴∠EBG=45°-22.5°=22.5°， ∴∠EBG=∠FBG， ∴BG平分∠EBF，故②正确； 过点G作GM⊥BE于点M，如图1， ∵BG平分∠EBF， ∴GF=GM， 在Rt△GME中，GE＞GM=GF， ∴S△BFG≠S△BFE， ∵S△BFE＝S四边形EFBC， ∴S△BFG≠S四边形的EFBC，故③错误； 连接AG，如图1， ∵∠AFG=90°，DE=AF=FG=1， ∴∠GAF=45°，AG=， ∴∠EAG=67.5°-45°=22.5°， ∴∠AEG=∠GAE， ∴EG=AG=， ∴EF=EG+FG=+1， 又∵EF=BF，AB=BE， ∴BE=BF+AF=+1+1=+2，故④正确， ∴正确的是：①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，正方形的判定与性质及角平分线的性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键． 6．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，用含的代数式表示出的长，利用矩形及平行四边形、梯形的性质逐一判断即可. 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当四边形为矩形时， ∴， 即：， 解得：， ∴不正确； 当四边形是平行四边形时， ∴， 即：， 解得：， ∴②不正确； 当时，若四边形是平行四边形，； 若四边形是梯形，分别过点作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：当时，或， ∴③正确； 由题意得：， 若， 则， ∵， ∴点，在运动中不存在一个时刻，使得， ∴④不正确． 综上：①②④不正确. 7．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 8．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则线段的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，交于点O，根据E、F、G、H分别是四边形边的中点，利用三角形中位线定理，证明四边形是菱形，根据四边形面积，可求得，进而求得，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图：连接，交于点O， ∵E、F、G、H分别是四边形边的中点， ∴，，，，，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵四边形面积为24，， ∴， 解得． 9．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 10．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线段的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 11．中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过论证中点四边形是矩形来求面积即可. 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形， ∴. 12．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 【答案】B 【分析】根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形 各边、 、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，，即两条对角线互相垂直且相等． 13．如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、，再由菱形的判定得出四边形为菱形，连接，交于点O，利用勾股定理得出，确定，再由菱形的性质求面积即可． 【详解】解：，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵， ， ∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形的面积为：． 14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为C，E，将线段绕着点B顺时针旋转得到线段，点D的对应点是F，连接，．当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（　　） A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形 C．菱形→平行四边形→矩形 D．矩形→平行四边形→菱形 【答案】D 【分析】分逐渐变大，B、D、E三点共线之前；B、D、E三点共线时；B、D、E三点共线后，之前；时；后，讨论即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，线段绕着点B顺时针旋转得到线段， ，，， ，， ①当逐渐变大，B、D、E三点共线之前时， ， ， 又， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； ②当B、D、E三点共线且D在B、E之间， ，， ， ， ， 又， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； ③当逐渐变大，B、D、E三点共线之后， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ④当时， ， 又， ， ， 由③同理可证， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； 当后时， 由③同理可证， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 当的度数从逐渐增大到的过程中，四边形的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 15．Rt的两直角边长分别为为斜边的中点，长为定值的线段过点，当的面积最大时，两点到直线的距离之和为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、梯形的中位线的性质．作出图象，由的长为定值知：当M到的距离最大时，的面积最大．再根据直角三角形直角边小于斜边可求M到的最大距离，最后根据梯形的中位线的性质即可求解． 【详解】解：设M到的距离为h，则， ∵的长为定值， ∴当h最大时，的面积最大，如图： ∵，当且仅当时，等号成立， ∴， 过A、B作的垂线，垂足分别为E、F， 则四边形为直角梯形，为其中位线， ∴的面积最大时，两点到直线的距离之和为， 故选：B． 16．如图，在矩形中，，点是边上的动点，点是边上的动点，且，则的最小值是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在延长线上截取，连接，在的延长线上截取，连接、，与交于点，可得，，根据垂直平分，可得的最小值，即为线段的长，通过证明，利用勾股定理得到． 【详解】解：如图，在延长线上截取，连接，在的延长线上截取，连接、，与交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∵，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的最小值，即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∴． 17．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当F在M的右侧时，当F在M的左侧时，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 18．如图，在内部有一点，为边上一点，连接，，，当，，时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，连接，过作于，证明三点共线，当共线且重合时，可得，此时最小． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接，过作于， ∴，，，， ∴都为等边三角形， ∴，，， ∵平行四边形，， ∴，， ∴，，， ∴三点共线， ∴，， ∴， 当共线且重合时， ，此时最小， ∴的最小值为． 19．如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别表示出， 等线段长，根据平行线的判定判断①；根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求最值判断②；分段讨论Q的位置，列方程求解判断③． 【详解】解：∵正方形边长为， ，P的速度为，Q的速度为， ∴ ，， 当时，Q在上，； 当时，Q在上，； ①如图：当时，P在上，，则 ，Q走过的路程为，此时Q在上，， ∵， ∴不垂直于，即不平行于，故①错误； ②如图：当时，Q在上，； ∵， ∴，即P在E右侧； ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，故②正确； ③当时，由②可得， 令，解得或（不符合题意舍去）； 当时，Q在上，的高为8，， ∴， 令，解得或． ∴满足条件的t值有，5，7，共3个，故③错误． 综上，正确的结论只有②，个数为1． 20．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【分析】如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 21．已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在射线上以每秒1个单位长度的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当________时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】5或15 【分析】根据点的坐标得出相关线段的长度，利用矩形的性质得出相等线段，最后利用平行四边形的判定和性质列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴,， 当时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， 解得或． 22．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度匀速运动，当点运动到点时，点、点同时停止运动．过点作交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为_____． 【答案】或 【分析】先设时间为，结合题意得出，，根据点运动到点时，点、点同时停止运动，推出，再根据和，，推出 ，然后根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，推出，最后分类讨论①在线段上，②在线段的延长线上，根据即可求出的值． 【详解】解：设时间为， ∵点从点出发沿方向以的速度匀速运动，点从点出发沿方向以的速度匀速运动， ∴，， ∵当点运动到点时，点、点同时停止运动，， ∴，即， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 分类讨论： ①在线段上，即，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； ②如图，在线段的延长线上，即，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为或． 23．如图，在菱形中，，，是边的中点，点为对角线上一动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，交于点，连接，则，由两点之间直线最短，可得，由四边形为菱形，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可得的长，即的最小值． 【详解】解：连接，，交于点，连接，如图， 点与点关于菱形的对角线对称， ． ． 即当点与点重合时，的值最小，最小值为的长． 四边形为菱形， ，，． 是等边三角形． 是的中点， ． ． ， ． ． ， ． 的最小值为． 24．如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分，利用中心对称性质可知阴影部分面积等于平行四边形面积的一半． 【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于点． 因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．又因为图中分割线均经过点， 所以根据中心对称的性质，阴影部分与空白部分关于点对称，即阴影部分的面积等于空白部分的面积． 所以阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半． 因为平行四边形的面积是， 所以阴影部分的面积为． 25．如图，四边形是菱形，，且，P为对角线上任意一点（不与C重合），则的最小值为____________． 【答案】 【分析】结合菱形性质得到，过点作于，过作于，根据30度角的性质得到，可知，根据三角函数求出的值即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，过作于， 则， 即， 在中，，， ∴， 即的最小值为． 26．如图，在矩形中，，，点为中点，点为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，则当点沿边从点运动到点时，点的运动路径长为________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，从而判断点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆弧，当点运动到点时，利用锐角三角函数求出的度数，进而得到圆心角的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，点为中点， ， 由折叠的性质可知，，， 点在以点为圆心，长为半径的圆弧上运动，当点与点重合时，点运动的路径为，如图所示， 在中，，， ， ， ， ， 点的运动路径长为． 27．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的两条对角线长之和为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是判断中点四边形的形状，利用相关定理计算对角线长度． 【详解】解：如图所示， ∵菱形的对角线，， 且分别为的中点， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴两条对角线长之和为． 28．如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据，得到，进而得出点A和点H关于对称，从而确定，其最小值为线段长，根据勾股定理求出最小值． 【详解】解：设，则， 过点E作，连接，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 又∵， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴点M与点H重合，即点H与点A关于直线对称， ∴， 当点P在与的交点时，最小，最小值为线段长， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 29．如图，在平行四边形纸片中，，E是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是____________． 【答案】 【分析】如图：先作交的延长线于点G，连接，根据平行四边形的性质，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图：先作交的延长线于点G，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，E是线段的中点， ∴， 根据折叠的性质得． 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点共线时最小， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 根据勾股定理，得， ∴最小值是． 30．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ； (2)如图（1），已知格点(小正方形的顶点) ，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连结，若．四边形是勾股四边形吗？为什么？ 【答案】(1)矩形，正方形 (2)见详解 (3)四边形是勾股四边形， 理由见详解． 【分析】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）首先证明，得出，连接，进一步得出为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出是直角三角形，问题得解． 【详解】（1）解：学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形； 故答案为：矩形，正方形； （2）解：如图， （3）解：四边形是勾股四边形． 证明：如图2，连接， 由旋转得：， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是勾股四边形． 31．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 32．综合与实践 【主题】筝形 【素材】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．数学兴趣小组成员以“筝形”为主题开展实践探究活动． 【概念理解】 如图1，兴趣小组成员将一张长方形卡纸对折后压平，按图中的方法剪出一个三角形，把纸展平，得到四边形，则四边形是筝形． 【性质探究】 (1)在探究“筝形”性质的过程中，连接，，并猜想“垂直平分”．你认为该猜想是否成立？请说明理由； (2)如图2，在中，，，，分别是边，上的动点．当四边形为“筝形”时，求的度数？请直接写出答案． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角，进行解答，即可． （1）方法一：由折叠的性质可得，，可得点，在线段的垂直平分线上，即可证明；方法二：与相交于点，由折叠性质，可得，，再根据是公共边，全等三角形的判定，可得 ，推出，进而可以解决问题； （2）根据四边形为“筝形”，得到，或，，分类讨论，根据全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 方法一：由题意可得，，， ∴点，在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； 方法二：与相交于点， 由折叠可得，，， ∵， ， ∴，， ∴垂直平分． （2）解：或，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形为“筝形”， ∴，或，， ①当，时，连接，，如图2， ∵四边形为“筝形”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当，时，连接，，如图3， ∵四边形为“筝形”， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 33．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 34．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 35．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【答案】（）详见解析；（）． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 36．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 37．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，菱形，矩形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 (4)四边形是同形中点四边形．见解析 【分析】（1）连接，根据中位线的性质得出，．即可证明四边形是平行四边形． （2）根据平行四边形的判定，菱形、矩形的判定，结合中位线的性质，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． （4）连接，，根据正方形的性质结合中位线的性质得出，，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． （2）解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； （3）解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． （4）解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 38．如图，的各顶点坐标分别为． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将和分别按顺时针方向旋转90°后的和； (2)y轴上有C，D两点，点C在点D下方，且，则四边形周长最小值为 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了作中心对称图形、旋转图形、平面直角坐标系等知识点，掌握基本的作图方法是解题的关键． （1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点、，再与点O首尾顺次连接即可得；同样方法可以得到的对应图象； （2）根据题意、长度固定，四边形周长最小值，就是求的最小值，作点A关于y轴的对称点，有，作轴，且，连接交y轴于点，两点之间线段最短，的长度就是的最小值，运用勾股定理，即可求出周长最小值． 【详解】（1）解：步骤一，关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数，的对称点，的对称点，的对称点还是点，坐标系中描点连线，得到，如下图 步骤二，过旋转中心点O，顺时针方向作垂线，且，点就是点绕旋转中心点O，顺时针旋转得到的对应点， 同理，作出其他对应点连接，最终结果如下图所示 （2）解：作点A关于y轴的对称点，作轴，且，连接交y轴于点，连接，，如下图，当三点共线时，此时四边形的周长最小； ， 四边形是平行四边形， ， ，关于y轴对称， ， 四边形的周长最小值， ，， 四边形的周长最小值． 39．四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2)①菱；②矩 (3)菱 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理推导出，，然后利用平行四边形的判定可得结论； （2）①连接，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （3）分别延长、相交于点M，连接、，证明，得到，根据（2）①证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：①连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （3）解：四边形的中点四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点M，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①知，四边形的中点四边形是菱形． 40．【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴． (1)【操作】如图①，点和点关于直线l对称，请利用直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线l上取一点P（点P不与点、点共线）、连结线段和线段，直接写出和的数量关系：______； (2)【探究】如图②，在矩形中，，，分别为边上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接．交于点G，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值． 【答案】(1)，图见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质知对称轴是线段的垂直平分线，画垂直平分线即可，利用垂直平分线的性质得； （2）根据矩形的性质可证，利用相似比求出答案； （3）根据相似的性质可得点是定点，则的长度是定值，通过轴对称的性质可知，，也是定值，所以点是在以点为圆心，长度为半径的圆上，利用点到圆上的最短距离求出答案． 【详解】（1）解：作图如下图所示，直线是所求直线． ∵点和点关于直线对称， ∴点和点到直线的距离相等，直线是线段的垂直平分线， 点是垂直平分线上的点， ∴． （2）解：，理由如下： 如下图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：由（2）知， 在矩形中，， ∴在中，， 则， 则点为定点，如图所示，连接，过点作， 分别交于点； ∴， 同理可证，， ∴； 在和中， ， ∵点与点关于对称，点是上的点， ∴，点是在以点为圆心，半径为3的圆上， ∵， ∴的最小值为． 41．根据所学知识，解答以下问题 (1)如图①，在正方形中，E是边上一点，F是边上一点，连接，，若，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，若四边形为矩形，且，，则（1）中的结论是否依然成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究与的数量关系； (3)如图③，在矩形中，，，E是边的中点，F，G分别是边，上的动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立， (3) 【分析】（1）根据正方形性质得到边相等、角为直角，由 推导角相等，证明与全等，得到与的数量关系． （2）根据矩形性质得到角为直角，由 推导角相等，证明与相似，结合矩形边长、得到与的比值． （3）过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接，可得四边形是平行四边形，可得 ，所以最小值为的长．利用勾股定理求出的长，结合 证明相关三角形相似，得到与的数量关系；最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ∴（）， ∴． （2）不成立，，理由如下： 在矩形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当D，G，H三点共线时， 的值最小，最小值为的长． ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵，易得 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 42．综合与探究 新定义：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，这个四边形叫做三等角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”． (1)如图①，在中，，点E、F分别为边上的动点，若四边形为三等角四边形，求的度数； (2)如图②，折叠平行四边形纸片，使顶点A，C分别落在边上的点E，F处，折痕分别为．求证：四边形是三等角四边形； (3)如图③，在三等角四边形ABCD中，且为锐角，，求长的最大值． 【答案】(1) (2)证明：如图②，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴； 同理，， ∴， ∴四边形是三等角四边形． (3)10 【分析】（1）先根据平行四边形性质求出其余内角的度数，再结合三等角四边形的定义，分类讨论三个相等的“同角”是否包含已知的，利用四边形内角和为列等式求解． （2）根据折叠的性质得到对应角相等，结合平行四边形邻角互补、对角相等的性质，推导四边形中有三个内角相等，即可证明结论． （3）先利用四边形内角和推导“异角”与“同角”的数量关系，再通过作辅助线构造等腰三角形或全等三角形，结合的条件得到边的等量关系，最后利用二次函数最值原理求出的最大值． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形为三等角四边形，，四边形的内角和为 ∴当为异角， ； 当或或为异角， ，不合题意． 故的度数为． （2）略 （3）解：如图，过点D作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， 设， ∴， ∴ ∴当时，y有最大值10， ∴长的最大值为10． 43．探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． (4)结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)成立，理由如下： 在上取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，． ， ，是等腰直角三角形， ， ． 是的外角平分线， ， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ； (3) (4) 【分析】（1）通过构造中点，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明； （2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论在上什么位置，都成立； （3）将绕点逆时针旋转得到，借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将与，转化到一条线段上找关系即可； （4）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况． 【详解】（1）解：点、点分别为、中点， ，， 四边形为正方形， ，则， ， ， ， ， ，， ，则， 为正方形外角的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，， 则点、、三点共线， 在和中， ， ， ， 即， 故答案为：； （4）如图3，延长至，使，连接，，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值是的长， ，，， ， ． 1．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此得出面积变化的规律，代入求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、， 顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ， 四边形是菱形， ， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ， ， 当时，． 2．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 【答案】D 【分析】根据，求出和的值，根据勾股定理求出的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形为正方形，根据边的关系可以求出且四个角都是直角，即可判断乙是否正确． 【详解】解：四边形是边长为1的正方形， ，， ，，， ， ， 同理， 四边形是菱形， 在和中， ， ， ， ， ， ， 则四边形必是正方形； 甲正确； 若四边形为正方形，则， 且， 在和中， ， ， ， 同理， 又， ， ， 同理， 即四边形为菱形， ， 则四边形必是边长为1的正方形， 乙正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．在中，若，的周长为y，则定义为这个平行四边形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域．现有如下四个结论： ①对于任意平行四边形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意矩形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③对于任意菱形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ④对于任意正方形，其坐标一定位于区域Ⅲ中． 其中，正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，不等式的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，难度适中．理解坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．根据利用不等式的性质得出，即可判断①；根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，利用三角形任意两边之和大于第三边，勾股定理得到的取值范围，即可判断． 【详解】解：如图，中，， 设，则，， ∵ ， ∴对于任意平行四边形，坐标位于直线的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确，符合题意； 如图，矩形中，， 设，则，， 当时， ∵， ∴， ， ， ∴对于任意矩形，坐标位于直线的上方，可能位于区域Ⅳ中，故结论②正确，符合题意； 如图，菱形中，， 则， 设，则，， ∵， ∴， ， ∴对于任意菱形，坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论③错误，不符合题意； 如图，正方形中，， 则，， ∴， ∵， ， ∴对于任意正方形，坐标位于直线的下方，直线的上方，一定位于区域Ⅲ中，故结论④正确，符合题意； 故选：B． 4．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG．则下列结论：①EF＝EC；②△AEG的周长为；③BE2＋DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是；⑤当时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】①正确，在BC上截取BH＝BE，连接EH，根据“SAS”证明△FAE≌△EHC，即可解决问题；②③错误，延长AD到H，使得DH＝BE，根据“SAS”证明△CBE≌△CDH，再证明△GCE≌△GCH即可解决问题；④正确，设BE＝x，则AE＝2﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确，当BE＝时，设DG＝x，则EG＝x+，利用勾股定理构建方程可得x＝1即可解决问题． 【详解】解：在BC上截取BH＝BE，连接EH，如图1所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴，AB=BC， ∵BE＝BH， 为等腰直角三角形， ∴EH＝BE， ∵AF＝BE， ∴AF＝EH， ∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH， ∴AE＝HC， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，故①正确， 延长AD到H，使得DH＝BE，如图2所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD，， ∴△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH， ∴∠ECH＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG＝GH， ∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③错误； ∴C△AEG＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝4，故②错误； 设BE＝x，则AE＝2﹣x，AF＝x， ∴S△AEF＝•（2﹣x）x＝﹣x2+×2x＝﹣（x﹣1）2+， ∵﹣＜0， ∴x＝1时，△AEF的面积的最大值为，故④正确， 当BE＝时，设DG＝x，则EG＝x+， 在Rt△AEG中，则有（x+）2＝（2﹣x）2+（）2， 解得x＝1， ∴AG＝GD，故⑤正确； 综上分析可知①④⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它由四个全等的直角三角形拼接而成．点E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，点M，N，P，Q分别是HE，EF，FG，GH上的中点，且四边形MNPQ是正方形，已知正方形ABCD的面积为20，则正方形MNPQ的面积是（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由E为AF的中点，得到AE为AF的一半，由题意得到AE为DE的一半，根据正方形ABCD的面积求出边长，在直角三角形AED中，设AE=x，则DE=2x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出正方形EFGH的边长，进而求出它的面积，根据正方形MNQP为正方形EFGH的中点四边形，面积为正方形EFGH的一半，求出即可． 【详解】∵E为AF的中点，DE=AF， ∴AE=DE， ∵正方形ABCD面积为20，∴AD=2， 在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=2x， 根据勾股定理得：AD2=AE2+DE2，即20=x2+4x2， 解得：x=2， ∴AE=EF=2， ∴正方形EFGH的面积为4， ∵正方形MNQP为正方形EFGH的中点四边形， ∴正方形MNQP的面积为2． 故选：A 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，涉及的知识有：勾股定理，中点四边形的性质，以及正方形面积公式的应用，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 6．在一次活动课中，对如图所示的平行四边形（AD＞AB）进行折叠，第一次沿着AE折叠，点B落在点F处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合；组2：若沿着DF折叠，AD与DC所在的直线重合，且点A的对应点仍落在直线AF上，则＝（　　） A．组1判断正确，组2判断正确 B．组1判断正确，组2判断错误 C．组1判断错误，组2判断正确 D．组1判断错误，组2判断错误 【答案】A 【分析】组1：过线段的中点N作并分别延长交于点O，证明 ，得，再证明，得AM=DM，结合，得，得证组1判断正确； 组2：分别延长AF，DC交于点G，由题意知： ，得AF=GF，由四边形ABCD是平行四边形，得AB=CD，AB//CD，进而证的 ，那么AB=GC，故GC=CD，所以FC是的中位线，则，进而推出 【详解】组1：如图， 过线段的中点N作并分别延长交于点O， ∴直线MN是线段CF的垂直平分线 ∴NF=CF 由题意得： ∴ ∵与是对顶角 ∴= 又∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∴ ∴ ∴ ∴在线段CF的垂直平分线MN上 ∴OA=OD 在和中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合 故组1判断正确． 组2：如图，分别延长AF，DC交于点G 由题意知： ∴AF=GF， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∴ ∵与是对顶角 ∴= 在和中 ∴ ∴AB=GC， ∴GC=CD ∵AF=FG，GC=CD ∴FC是的中位线 ∴ ∴ ∴ 故组2判断正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查图形折叠的性质，全等三角形的判断与性质，平行四边形的性质，垂直平分线的性质与判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键． 7．如图，在矩形中，分别为边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，下列说法错误的是（   ） A．线段最小值为 B．的最小值 C．四边形面积的最小值为6 D．线段长度的最大值为 【答案】C 【分析】作点D关于的对称点R，连接，则，当点R，E，C三点共线时，最小，最小值为的值，可判断A选项；连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小，可判断B选项；设，则，，再由四边形的面积为，可得四边形的面积随t的增大而减小，当点P，A重合时，t取得最大值，此时，则，可判断C选项；过点P作于点K，则，，可得，可判断D选项． 【详解】解：∵矩形，，E，F分别为，边的中点， ∴，，，，， 如图，作点D关于的对称点R，连接，则， ∴， ∴当点R，E，C三点共线时，最小，最小值为的值， 在中，， 即线段最小值为，故A选项正确，不符合题意； 连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，连接，则， ∴四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由于M和B点都是定点， 所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小， ∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意； 设，则， ∴， ∴四边形的面积为， ∴四边形的面积随t的增大而减小， 当t最大时，四边形的面积取得最大值， 当点P，A重合时，t取得最大值，此时，则， ∴四边形的面积的最小值为，故C选项错误，符合题意； 如图，过点P作于点K，则，， ∴，， ∴， 当t最大时，取得最大值， ∴的最大值为，故D选项正确，不符合题意． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，A（0，2），∠ABC=60°．把一条长为2013个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C－D—A—…的规律紧绕在菱形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) 【答案】C 【详解】试题分析：由图可知，在菱形ABCD中，OA=OC=2，因为∠ABC=60°，所以∠ABO=30°，所以AB=BC=CD=DA=4，OD=OB=，即B（，0）,D(-,0),C(-2,0),由题意，用2013个单位长度的长线绕该菱形则，最后端点落在距D点1一个单位长度的点上，因为∠ADB=30°，而且该点在第二象限上，所以该点的纵坐标为，横坐标为--（-）=，故选择C. 考点：直角坐标系与三角函数值 点评：该题分析上较为复杂，要求学生在掌握菱形的基本性质时，结合特殊角的三角函数值分析直角坐标系，建议用图辅助解决问题． 9．如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使点B，D两点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断： ①当x=1时，点P是菱形ABCD的中心；②当x= 时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 ；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确结论是________．（填序号） 【答案】①④ 【分析】先确定出△ABC是等边三角形，进而判断出△BEF是等边三角形，当x=1时，求出，即可判断出①正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x赋予的值，即可求出EF，GH，判断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③错误，利用周长的计算方法即可判定出④正确． 【详解】∵菱形ABCD的边长为2， ∴AB=BC=2， ∵ ∴ 由折叠知，△BEF是等边三角形， 当x=1时，则AE=1， ∴BE=AB−AE=1， 由折叠知,   ∴点P是菱形ABCD的对角线的交点， 即：点P是菱形ABCD的中心，所以①正确， 如图， ∵AE=x， ∴BE=AB−AE=2−x， ∵△BEF是等边三角形， ∴EF=BE=2−x， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时,   ∴ ∵△BEF是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴EF+GH=2=AC，所以②错误； 当0<x<2时， ∵AE=x， ∴BE=2−x， ∴EF=2−x， ∴ ∴ ∴ ∴六边形AEFCHG面积=S菱形ABCD−S△BEF−S△DGH ∴当x=1时,六边形AEFCHG面积最大为，所以③错误， 六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=x+2−x+x+2−x+x+2−x=6是定值， 所以④正确，即：正确的有①④， 故答案为:①④. 【点睛】考查菱形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，综合性比较强，对学生要求较高. 10．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 __________________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据正方形的性质可得，，可得四边形是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得，再由在中，，可得，从而判断②；根据三角形中位线定理可得，从而得到不平行，从而判断③；证明，可得，从而判断④，即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴点M是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故②错误； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴点M是的中点， ∵N为的中点， ∴， ∵G为上一动点（不与端点B，C重合）， ∴点D，F，G不可能共线， ∴不平行， 即四边形不可能是正方形，故③正确； 如图，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵G为中点，点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题主要查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 11．四边形的对角线交点，点分别为边的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形都是平行四边形； ②若四边形是平行四边形，则与交于点； ③若四边形是矩形，则四边形也是矩形； ④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形． 所有正确推断的序号是_____________． 【答案】①② 【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可． 【详解】①如图所示： ∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点 ∴且，且 ∴且 ∴MNPQ是平行四边形 故①正确； ②如图所示： ∵ABCD是平行四边形，且N，Q分别是BC，AD中点 ∴ ∵O为AC中点， ∴ ∴N，O，Q三点共线 同理可得：M，O，P三点共线， 故MP与NQ交于点O 故②正确 ③如图所示： ∵ABCD为矩形 ∴AC=BD ∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点 ∴且，且，且 ∴且 ∴MNPQ是平行四边形 ∵AC=BD， ∴MN=PN ∴MNPQ为菱形 故③错误； ④如图所示： ∵MNPQ为正方形 ∴MN=PN，且 ∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD ,DA中点 ∴且，且 ∴AC=BD，且 ∴ABCD可为正方形，也可为对角线垂直的等腰梯形 故④错误， 故答案为：①②． 【点睛】熟练使用中位线的性质，及各个四边形对角线的性质是解题的关键． 12．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论： ①BE=CD； ②∠DGF=135°； ③∠ABG+∠ADG=180°； ④若，则． 其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④． 【分析】先求出∠BAE=45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE，∠AEB=45°，从而得到BE=CD，故①正确； 再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“边角边”证明△DCG≌△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE<∠AEB，得到∠DGC=∠BGE<45°，∠DGF<135°，故②错误； 由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC-∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确； 由△BGD是等腰直角三角形得到BD==，求得S△BDG，过G作GM⊥CF于M，求得S△DGF，进而得出答案． 【详解】∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB=BE，∠AEB=45°， ∵AB=CD， ∴BE=CD，故①正确； ∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∵点G为EF的中点， ∴CG=EG，∠FCG=45°， ∴∠BEG=∠DCG=135°， 在△DCG和△BEG中， ∵BE=CD，∠BEG=∠DCG，CG=EG， ∴△DCG≌△BEG（SAS）． ∴∠BGE=∠DGC， ∵∠BGE＜∠AEB， ∴∠DGC=∠BGE＜45°， ∵∠CGF=90°， ∴∠DGF＜135°，故②错误； ∵∠BGE=∠DGC， ∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确； ∵△DCG≌△BEG， ∵∠BGE=∠DGC，BG=DG， ∵∠EGC=90°， ∴∠BGD=90°， ∵BD==， ∴BG=DG=， ∴S△BDG==， ∴3S△BDG=，过G作GM⊥CF于M， ∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=1， ∴GM=CF=， ∴S△DGF=•DF•GM==， ∴13S△DGF=， ∴，故④正确． 故答案为①③④． 考点：1．四边形综合题；2．综合题；3．压轴题． 13．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点P作于点P， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H依次是边，，，上的点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为S（图中阴影），则S的最大值为_________． 【答案】 【分析】利用矩形的面积减去四个直角三角形的面积就是四边形的面积，得到四边形面积的二次函数表达式，利用二次函数的性质即可求解 【详解】解：∵在矩形中，，，， 又∵， ∴，， ∴，， 设， ∴ ∴当时，有最大值， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用、全等三角形的判定和性质及三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 15．探究证明： (1)如图1，在△ABC中，AB=AC，点E是BC上的一个动点，EG⊥ AB，EF⊥ AC，CD⊥ AB，点G，F，D分别是垂足．求证：CD=EG+EF； 猜想探究： (2)如图2，在△ABC中，AB=AC，点E是BC的延长线上的一个动点，EG⊥  AB于G，EF⊥ AC交AC延长线于F，CD⊥ AB于D，直接猜想CD、EG、EF之间的关系为________； (3)如图3，边长为10的正方形ABCD的对角线相交于点O、H在BD上，且BH=BC，连接CH，点E是CH上一点，EF⊥ BD于点F，EG⊥ BC于点G，则EF+EG=________． 【答案】（1）证明见解析（2）CD=EG﹣EF（3）5 【详解】试题分析：（1）根据S△ABC=S△ABE+S△ACE，得到AB•CD=AB•EG+AC•EF，根据等式的性质即可得到结论； （2）由于S△ABC=S△ABE﹣S△ACE，于是得到AB•CD=AB•EG﹣AC•EF，根据等式的性质即可得到结论； （3）根据正方形的性质得到AB=BC=10，∠ABC=90°，AC⊥BD，根据勾股定理得到AC=10，由于S△BCH=S△BCE+S△BHE，得到BH•OC=BC•EG+BH•EF，根据等式的性质即可得到结论． 试题解析：（1）如图1，连接AE， ∵EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB， ∵S△ABC=S△ABE+S△ACE， ∴AB•CD=AB•EG+AC•EF， ∵AB=AC， ∴CD=EG+EF； （2）CD=EG﹣EF， 理由：连接AE， ∵EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB， ∵S△ABC=S△ABE﹣S△ACE， ∴AB•CD=AB•EG﹣AC•EF， ∵AB=AC， ∴CD=EG﹣EF； 故答案为CD=EG﹣EF； （3）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=10，∠ABC=90°，AC⊥BD， ∴AC=10， ∴OC=AC=5， 连接BE． ∵EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G， ∵S△BCH=S△BCE+S△BHE， ∴BH•OC=BC•EG+BH•EF， ∴OC=EG+EF=5， 故答案为5． 考点：四边形综合题． 16．已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF， （1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是 ； （2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明； （3）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转30°时，CF边恰好平分线段AE，请直接写出的值． 【答案】（1）MD=MF，MD⊥MF；（2）成立，理由详见解析；（3） 【详解】试题分析：（1）延长DM交EF于点P，易证AM=EM，即可证明△ADM≌△EPM，可得DM=PM，根据△DFP是直角三角形即可解题； （2）延长DM交CE于点N，连接FN、DF，易证∠DAM=∠NEM，即可证明△ADM≌△ENM，可得EN=AD，DM=MN，可证CD=EN，即可证明△CDF≌△ENF，可得DF=NF，即可解题； （3）根据（1）可得MD=MF，MD⊥MF，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M，最后根据Rt△CDM中，∠DCF=30°，即可求得的值． 试题解析：（1）线段MD、MF的数量及位置关系是MD=MF，MD⊥MF， 理由：如图1，延长DM交EF于点P， ∵四边形ABCD和四边形FCGE是正方形， ∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP，∠CFE=90°． ∴△DFP是直角三角形． ∵M为AE的中点， ∴AM=EM． 在△ADM和△EPM中， ∠MAD=∠MEP，AM=EM，∠AMD=∠EMP， ∴△ADM≌△EPM（ASA）， ∴DM=PM，AD=PE， ∴M是DP的中点． ∴MF=DP=MD， ∵AD=CD， ∴CD=PE， ∵FC=FE， ∴FD=FP， ∴△DFP是等腰直角三角形， ∴FM⊥DP，即FM⊥DM． 故答案为MD=MF，MD⊥MF； （2）MD=MF，MD⊥MF仍成立． 证明：如图2，延长DM交CE于点N，连接FN、DF， ∵CE是正方形CFEG对角线， ∴∠FCN=∠CEF=45°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAM=∠NEM， 在△ADM和△ENM中，∠MAD=∠NEM，AM=EM，∠AMD=∠EMN， ∴△ADM≌△ENM（ASA）， ∴EN=AD，DM=MN， ∵AD=CD， ∴CD=EN， 在△CDF和△ENF中， CD=EN，∠DCF=∠CEF=45°，CF=EF， ∴△CDF≌△ENF，（SAS） ∴DF=NF， ∴FM=DM，FM⊥DM． （3）如图所示，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M， 由（1）可得FM=DM，FM⊥DM， 设FM=DM=1， ∵∠DCF=30°， ∴Rt△DCM中，CM=，CD=2=CB， ∴CF=+1=CG， ∴=． 考点：四边形综合题；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；正方形的性质． 17．我们知道圆内任意直径即可将圆面积二等分．受此启发，我们也可以在如图②中，作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，其中点M是正方形ABCD内一定点．请探究：如图③，在四边形ABCD中，ABCD，点P是AD的中点，如果，，，且a＞b，那么在边BC上一定存在点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．此时，BQ的长度是______． 【答案】 【分析】当BQ＝CD＝时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，连接BP并延长交CD的延长线于点E，证△ABP≌△DEP求出BP＝EP，连接CP，求出S△BPC＝S△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC＝AB+CD＝DE+CD＝CE，求出S△BPC﹣S△CQP+S△ABP＝S△CPE﹣S△DEP+S△CQP，即可得出S四边形ABQP＝S四边形CDPQ即可． 【详解】解：存在，当BQ＝CD＝时，PQ将四边形ABCD的面积二等份， 理由是：如图 ④，连接BP并延长交CD的延长线于点E，       ∵ABCD， ∴∠A＝∠EDP， 在△ABP和△DEP中， ， ∴△ABP≌△DEP（ASA）， ∴BP＝EP， 连接CP， ∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等， 又∵BP＝EP， ∴S△BPC＝S△EPC， 作PF⊥CD于点F，PG⊥BC于点G，则BC＝AB+CD＝DE+CD＝CE， 由三角形面积公式得： ∴PF＝PG， 设x＝，，y=，且a＞b， 在CB上截取CQ＝DE＝AB＝x，则S△CQP＝S△DEP＝S△ABP ∴S△BPC﹣S△CQP+S△ABP＝S△CPE﹣S△DEP+S△CQP 即：S四边形ABQP＝S四边形CDPQ， ∵BC＝AB+CD＝x+y， ∴BQ＝y＝， ∴当BQ＝时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，解决本题的关键是掌握等底等高的三角形的面积相等． 18．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究： 的大小为__________； 当四边形是平行四边形时的值为__________． 【答案】 30 【分析】（1）根据折叠得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，进而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折叠，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可； （2）根据题意得到DC∥AP，从而证明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，结合（1）中结论，设QR=a，则AP=2a，由勾股定理表达出AB=AQ=即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知，∠D+∠C=180°， ∴AD∥BC， 由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR， ∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°， ∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°， 由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ， ∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°， 故答案为：30； （2）若四边形APCD为平行四边形，则DC∥AP， ∴∠CQP=∠APQ， 由折叠可知：∠CQP=∠PQR， ∴∠APQ=∠PQR， ∴QR=PR， 同理可得：QR=AR，即R为AP的中点， 由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ， 设QR=a，则AP=2a， ∴QP=， ∴AB=AQ=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是读懂题意，熟悉折叠的性质． 19．解题方法回顾： 在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”． 解题方法应用： (1)已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE＋PF的值． 小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2） 解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12， ∴，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴， ∴，， ∴ ， ∴PE＋PF＝______．（请你填上小陈计算的正确答案） (2)如图，正方形ABCD的边长为2，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是，，． ①设AP＝x，，求y与x的函数关系式，并求出x取值范围； ②直接写出y的最大值为______，最小值为______． 【答案】(1) (2)①y＝，其中2≤x≤；②4，． 【分析】（1）根据解题过程即可求出答案； （2）①连接AC、DP，根据三角形的面积公式得出S△DPC＝S△APC＝×AP×CC′，根据S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP，推出BB′+CC′+DD′＝，即可得解；②根据已知得出2≤AP≤，代入①即可得解． 【详解】（1）解：由（1）的解题过程可知： ， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：如图，连接AC、DP， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴S正方形ABCD＝2×2＝4， 由勾股定理得：AC＝， ∵AB＝2， ∴2≤AP≤， ∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB， ∴S△DPC＝S△APC＝×AP×CC′， ∵4＝S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP＝×AP×（BB′+CC′+DD′）， ∴BB′+CC′+DD′＝， ∴y＝，其中2≤x≤； ②由①知，y＝， ∴ 当2≤x≤时，y随着x的增大而减小， ∵当x＝2时，y＝4， 当x＝时，y＝， ∴≤y≤4， 即y的最大值为4，最小值为， 故答案为：4，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形性质、勾股定理、三角形的面积、函数关系式等知识，根据题意得出S正方形ABCD＝S△ABP +S△DPC+S△ADP是解题的关键． 20．阅读下列材料： 对于任意的正实数，，总有成立（当且仅当时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值． 例如：若，求式子的最小值． 解：∵，∴，∴的最小值为2． （1）若，求的最小值； （2）已知，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6；（2）4；（3）25． 【分析】（1）将原式变形为后即可确定最小值； （2）结合阅读材料将原式变形为后即可确定最小值； （3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，则由等高三角形可知：，用含x的式子表示出，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 又∵， ∴ ∴的最小值为6； （2）∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为4． （3）设， 则由等高三角形可知： ∴，即， ∴四边形面积， ∵，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大． 21．【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形是垂美四边形． 【概念理解】 ①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是______；(填序号) 【性质探究】 小明说：在如图①的垂美四边形中，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； 【问题解决】 如图②，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点，连接．已知，求的长．    【答案】【概念理解】①②； 【性质探究】说法正确，证明如下： 如图1，设交于点，    ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； 【问题解决】． 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识 （1）根据垂美四边形的定义即可判断； （2）利用勾股定理即可证明； （3）只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：①②； （2）略 （3）∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴四边形是垂美四边形， 由（2）可知， ∵， 由勾股定理，得， ∴， ∴． 22．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________ （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）13；（2）5；（3） 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，，， ，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （2）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （3）如图所示，，，，， ， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质与判定，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 23．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D； （2）①，②； （3），； （4）解：，理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 24．综合与探究 问题背景： (1)①如图1，在正方形中，E，N分别是，上的两点，连接，．若，则的值为____________． ②如图2，在矩形中，E是上的一点，N是上一点，连接．若，且，则的值为____________． 问题探究： (2)如图3，在矩形中，E为边上的动点，F为边上的动点，M为边上的动点，连接，过点M作于点O，交边于点N．若，求的值． 问题拓展： (3)如图4，把（2）中的条件改为“在四边形中，，点F与点C重合，点M与点B重合，”，请直接写出的值． 【答案】(1)①1．②． (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质即可得出结果； ②根据矩形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可； （2）过点A作交于点Q，过点B作交于点K．根据平行四边形的判定得出四边形和四边形是平行四边形，再由相似三角形的判定和性质即可求解； （3）连接，过点B作于点H．由等边三角形的判定和性质得出，再由正弦函数及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵正方形， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：1； ②∵矩形， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； （2）如图，过点A作交于点Q，过点B作交于点K． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）． 如图，连接，过点B作于点H． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及正弦函数的定义，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 25．综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，连接翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线． 观察发现： （1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则______， ； 问题探究： （2）如图2，若，，则点G_____边上（填“在或不在”），并求出的长； 拓展延伸： （3），若F为靠近A的三等分点，请求出的长． 【答案】观察发现：（1）45；；问题探究：（2）在；；拓展延伸：（3）的长为15 【分析】（1）四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案； （2）延长交于点M，证明和均为等腰直角三角形，得出，，即可求解； （3）当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，设，，根据，即可求解． 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵F为边的中点， ∴， 将和沿翻折，D，B的对应点分别为G，H， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将和沿翻折，D，B的对应点分别为G，H， ∴， ∵， ∴； 故答案为：45；； （2）延长交于点M，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴； ∵， ∴， 由折叠性质得：， ∴点G在边上； 故答案为：在； （3）当时， 过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设, ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为15． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练01 四边形综合 【知识点1 二次根式的定义】 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，称为中点四边形。 2. 形状唯一决定因素：中点四边形的形状仅由原四边形的对角线决定 任意四边形→中点四边形是平行四边形（通用结论，证明必用三角形中位线） 对角线相等的四边形→中点四边形是菱形 对角线互相垂直的四边形→中点四边形是矩形 对角线相等且垂直的四边形→中点四边形是正方形 周长结论：中点四边形的周长 = 原四边形两条对角线长度之和 3.解题通法： 连接原四边形的两条对角线，利用三角形中位线定理（中位线平行于第三边且等于第三边的一半）转化边的平行和数量关系。 4. 教材高频易错点： 不要记反：矩形（对角线相等）的中点四边形是菱形；菱形（对角线垂直）的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形仍是正方形 证明题必须先证是平行四边形，再根据对角线条件升级为特殊平行四边形 【知识点2 折叠问题专题】 1. 折叠本质： 轴对称变换：折叠前后的两个图形关于折痕对称，满足： 对应边相等，对应角相等 对应点的连线被折痕垂直平分 折叠前后图形的面积、周长不变 2. 核心考点与标准解题步骤： 求线段长度（90%考题类型） 标准步骤：①找出折叠后所有相等的边和角；②设未知数x；③在直角三角形中利用勾股定理列方程求解 求角度：利用折叠前后角相等，结合平行线性质、三角形内角和计算 3.折叠模型： 矩形折叠：顶点落在对边上、顶点落在对角线上 正方形折叠：一个顶点落在对边上、沿对角线折叠 4. 高频易错点 折叠后点可能落在直线上（而非线段上），存在2种情况，必须分类讨论 折叠后必然形成等腰三角形（折痕是角平分线+平行线→等腰三角形），这是解题关键 求折痕长度时，必须用“对应点连线被折痕垂直平分”这一性质 【知识点3 面积问题专题】 1. 要求掌握的面积公式： 四边形 基础公式 必考特殊公式 平行四边形 S=底×高 - 矩形 S=长×宽 - 菱形 S=底×高 S=对角线乘积的一半 正方形 S=边长² S=对角线乘积的一半 2. 常用解题方法： 割补法：将不规则图形分割成三角形、矩形等规则图形计算 等积变换法：利用“同底等高的三角形面积相等”转化面积 比例法：同高三角形面积比=底之比；同底三角形面积比=高之比 3. 特殊结论： 平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的三角形 矩形内任意一点到四个顶点的连线，将矩形分成四个三角形，相对两个三角形面积之和相等 4. 高频易错点： 菱形面积优先用对角线乘积的一半，比底乘高简便得多 等积变换时，必须找准对应的底和高，不要混淆 【知识点4 动点问题专题】 1.问题本质 函数思想+分类讨论思想，用“化动为静”的方法分析运动过程 2.教材核心考点 动点形成的特殊平行四边形存在性问题（平行四边形、菱形、矩形） 动点形成的面积问题（求面积与时间的函数关系式） 3.标准解题步骤 设变量：设动点运动时间为t，用含t的代数式表示所有相关线段长度 定范围：明确动点的起点、终点、速度，写出t的准确取值范围 平行四边形存在性：分别以任意两个顶点为对角线端点，共3种情况 菱形/矩形存在性：先证是平行四边形，再添加特殊条件 列方程：根据图形性质列方程求解 检验：检验解是否在t的取值范围内，是否符合图形实际 4.高频易错点 必须先写t的取值范围，舍去不符合的解 平行四边形分类讨论绝对不能漏情况（3种） 用代数式表示线段长度时，结果必须为正数 【知识点5 最值问题专题】 1.2个核心模型 将军饮马模型（最常考） 适用场景：在四边形的边或对角线上找一点P，使PA+PB最小 标准解法：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为所求 适用场景：求点到直线的最短距离、线段的最小值 标准解法：过该点作直线的垂线，垂线段长度即为最小值 2.辅助方法 当几何模型无法直接求解时，先列出关于t的二次函数关系式，再结合t的取值范围求最值。 3.高频易错点 将军饮马模型中，不要找错对称点的位置 二次函数的最值不一定在顶点处取得，必须结合t的取值范围判断 最小值可能出现在动点的运动端点处，不要遗漏 【题型1 中点四边形】 1．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 3．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【题型2 折叠问题】 4．在矩形中，，点E在边上（不与点A、D重合），将沿翻折得到． (1)如图1，当时，的延长线交于点G． ①求证：； ②若平分，，则点F到的距离为______； (2)如图2，当时，连接，，，若，求的长； (3)如图3，当时，的延长线交于点G，的延长线交于点H，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，已知矩形纸片，将该矩形纸片的四个角向内折叠，折痕分别为、、、，折叠后点、点落在点处，点、点落在点处，点、在直线上． (1)现有如下判断： ①是的中点； ②； ③四边形是矩形； ④四边形的面积是矩形面积的一半； ⑤四边形的周长是矩形周长的一半． 其中正确的是_________________________；（写出所有正确判断的序号） (2)如果，，求与的长（上述正确结论可直接使用）． 6．如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，将四边形沿翻折，点B的对应点点G恰好落在上，点A的对应点是点H，则的最小值为________． 【题型3 利用特殊四边形性质求面积】 7．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的面积． (3)在复习完“平行四边形”一部分内容后，爱思考的小清画出了下面四个平行四边形并标出了部分阴影，则四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是________． 8．如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 9．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【题型4 动点问题】 10．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 11．如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 12．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【题型5 最值问题】 13．边长为4的正方形中，点E，F分别是，边上的动点，且，与相交于点G，当长最小时，的长是______ 14．如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，，点、点在轴上（点在点的右侧），且，求四边形周长的最小值等于_____． 15．如图，正方形的边长为，点E是线段上一动点（不与点B，C重合），设（），过点E在右侧作，且，连接，则的最小值为________． 【题型6 旋转问题】 16．请依次完成以下三个问题： (1)如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和 全等，线段，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长； (3)如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接 17．综合与实践 如图，在边长为4的正方形中，M是正方形内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：． 问题探究 （2）如图1，若点M是正方形的中心，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图2，O是的中点，连接，，且（，当的长最小时，求的面积． 18．如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，求正方形的边长； (3)如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 2．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在矩形的边AD上的点N处，点A落在点G处，有以下列结论：①△ABE≌△GNE，②四边形BFNE是菱形，③当点N与点D重合时，EF=2，④四边形BFNE的面积S的取值范围是：.其中正确的是(   )    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 4．下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 5．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE＝1，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接 BE．有下列结论：① AB＝BE；②BG平分∠EBF；③△BFG的面积是四边形EFBC面积的；④BE＝＋2．其中结论正确的是（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 6．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则线段的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 9．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 10．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 11．中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 12．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 13．如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为C，E，将线段绕着点B顺时针旋转得到线段，点D的对应点是F，连接，．当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（　　） A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形 C．菱形→平行四边形→矩形 D．矩形→平行四边形→菱形 15．Rt的两直角边长分别为为斜边的中点，长为定值的线段过点，当的面积最大时，两点到直线的距离之和为（    ） A． B．5 C． D． 16．如图，在矩形中，，点是边上的动点，点是边上的动点，且，则的最小值是（     ）． A． B． C． D． 17．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 18．如图，在内部有一点，为边上一点，连接，，，当，，时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 19．如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 21．已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在射线上以每秒1个单位长度的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当________时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 22．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度匀速运动，当点运动到点时，点、点同时停止运动．过点作交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为_____． 23．如图，在菱形中，，，是边的中点，点为对角线上一动点，连接，，则的最小值为________． 24．如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 25．如图，四边形是菱形，，且，P为对角线上任意一点（不与C重合），则的最小值为____________． 26．如图，在矩形中，，，点为中点，点为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，则当点沿边从点运动到点时，点的运动路径长为________． 27．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的两条对角线长之和为______． 28．如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 29．如图，在平行四边形纸片中，，E是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是____________． 30．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ； (2)如图（1），已知格点(小正方形的顶点) ，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连结，若．四边形是勾股四边形吗？为什么？ 31．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 32．综合与实践 【主题】筝形 【素材】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．数学兴趣小组成员以“筝形”为主题开展实践探究活动． 【概念理解】 如图1，兴趣小组成员将一张长方形卡纸对折后压平，按图中的方法剪出一个三角形，把纸展平，得到四边形，则四边形是筝形． 【性质探究】 (1)在探究“筝形”性质的过程中，连接，，并猜想“垂直平分”．你认为该猜想是否成立？请说明理由； (2)如图2，在中，，，，分别是边，上的动点．当四边形为“筝形”时，求的度数？请直接写出答案． 33．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 34．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 35．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            36．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 37．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 38．如图，的各顶点坐标分别为． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将和分别按顺时针方向旋转90°后的和； (2)y轴上有C，D两点，点C在点D下方，且，则四边形周长最小值为 ． 39．四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 40．【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴． (1)【操作】如图①，点和点关于直线l对称，请利用直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线l上取一点P（点P不与点、点共线）、连结线段和线段，直接写出和的数量关系：______； (2)【探究】如图②，在矩形中，，，分别为边上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接．交于点G，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值． 41．根据所学知识，解答以下问题 (1)如图①，在正方形中，E是边上一点，F是边上一点，连接，，若，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，若四边形为矩形，且，，则（1）中的结论是否依然成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究与的数量关系； (3)如图③，在矩形中，，，E是边的中点，F，G分别是边，上的动点，且，连接，，求的最小值． 42．综合与探究 新定义：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，这个四边形叫做三等角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”． (1)如图①，在中，，点E、F分别为边上的动点，若四边形为三等角四边形，求的度数； (2)如图②，折叠平行四边形纸片，使顶点A，C分别落在边上的点E，F处，折痕分别为．求证：四边形是三等角四边形； (3)如图③，在三等角四边形ABCD中，且为锐角，，求长的最大值． 43．探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． (4)结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 1．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 3．在中，若，的周长为y，则定义为这个平行四边形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域．现有如下四个结论： ①对于任意平行四边形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意矩形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③对于任意菱形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ④对于任意正方形，其坐标一定位于区域Ⅲ中． 其中，正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG．则下列结论：①EF＝EC；②△AEG的周长为；③BE2＋DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是；⑤当时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它由四个全等的直角三角形拼接而成．点E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，点M，N，P，Q分别是HE，EF，FG，GH上的中点，且四边形MNPQ是正方形，已知正方形ABCD的面积为20，则正方形MNPQ的面积是（    ）． A．2 B．1 C． D． 6．在一次活动课中，对如图所示的平行四边形（AD＞AB）进行折叠，第一次沿着AE折叠，点B落在点F处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合；组2：若沿着DF折叠，AD与DC所在的直线重合，且点A的对应点仍落在直线AF上，则＝（　　） A．组1判断正确，组2判断正确 B．组1判断正确，组2判断错误 C．组1判断错误，组2判断正确 D．组1判断错误，组2判断错误 7．如图，在矩形中，分别为边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，下列说法错误的是（   ） A．线段最小值为 B．的最小值 C．四边形面积的最小值为6 D．线段长度的最大值为 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，A（0，2），∠ABC=60°．把一条长为2013个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C－D—A—…的规律紧绕在菱形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) 9．如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使点B，D两点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断： ①当x=1时，点P是菱形ABCD的中心；②当x= 时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 ；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确结论是________．（填序号） 10．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 __________________．（写出所有正确结论的序号） 11．四边形的对角线交点，点分别为边的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形都是平行四边形； ②若四边形是平行四边形，则与交于点； ③若四边形是矩形，则四边形也是矩形； ④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形． 所有正确推断的序号是_____________． 12．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论： ①BE=CD； ②∠DGF=135°； ③∠ABG+∠ADG=180°； ④若，则． 其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 13．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 14．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H依次是边，，，上的点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为S（图中阴影），则S的最大值为_________． 15．探究证明： (1)如图1，在△ABC中，AB=AC，点E是BC上的一个动点，EG⊥ AB，EF⊥ AC，CD⊥ AB，点G，F，D分别是垂足．求证：CD=EG+EF； 猜想探究： (2)如图2，在△ABC中，AB=AC，点E是BC的延长线上的一个动点，EG⊥  AB于G，EF⊥ AC交AC延长线于F，CD⊥ AB于D，直接猜想CD、EG、EF之间的关系为________； (3)如图3，边长为10的正方形ABCD的对角线相交于点O、H在BD上，且BH=BC，连接CH，点E是CH上一点，EF⊥ BD于点F，EG⊥ BC于点G，则EF+EG=________． 16．已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF， （1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是 ； （2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明； （3）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转30°时，CF边恰好平分线段AE，请直接写出的值． 17．我们知道圆内任意直径即可将圆面积二等分．受此启发，我们也可以在如图②中，作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，其中点M是正方形ABCD内一定点．请探究：如图③，在四边形ABCD中，ABCD，点P是AD的中点，如果，，，且a＞b，那么在边BC上一定存在点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．此时，BQ的长度是______． 18．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究： 的大小为__________； 当四边形是平行四边形时的值为__________． 19．解题方法回顾： 在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”． 解题方法应用： (1)已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE＋PF的值． 小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2） 解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12， ∴，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴， ∴，， ∴ ， ∴PE＋PF＝______．（请你填上小陈计算的正确答案） (2)如图，正方形ABCD的边长为2，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是，，． ①设AP＝x，，求y与x的函数关系式，并求出x取值范围； ②直接写出y的最大值为______，最小值为______． 20．阅读下列材料： 对于任意的正实数，，总有成立（当且仅当时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值． 例如：若，求式子的最小值． 解：∵，∴，∴的最小值为2． （1）若，求的最小值； （2）已知，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 21．【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形是垂美四边形． 【概念理解】 ①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是______；(填序号) 【性质探究】 小明说：在如图①的垂美四边形中，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； 【问题解决】 如图②，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点，连接．已知，求的长．    22．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________ （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 23．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 24．综合与探究 问题背景： (1)①如图1，在正方形中，E，N分别是，上的两点，连接，．若，则的值为____________． ②如图2，在矩形中，E是上的一点，N是上一点，连接．若，且，则的值为____________． 问题探究： (2)如图3，在矩形中，E为边上的动点，F为边上的动点，M为边上的动点，连接，过点M作于点O，交边于点N．若，求的值． 问题拓展： (3)如图4，把（2）中的条件改为“在四边形中，，点F与点C重合，点M与点B重合，”，请直接写出的值． 25．综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，连接翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线． 观察发现： （1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则______， ； 问题探究： （2）如图2，若，，则点G_____边上（填“在或不在”），并求出的长； 拓展延伸： （3），若F为靠近A的三等分点，请求出的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $