第七讲 一元二次方程3- 2023-2024学年全国版数学九年级自招竞赛

第七讲 一元二次方程（三） 【知识概述】 本讲的模块一重点阐述一元二次方程的整数解问题，属于自招中的常见考点．虽然难度较高，题型灵活，但是仍然属于具有固定解题方法的一类问题．同学们在学习时应注意对方法的记忆以及理解，区分对于不同题型使用最适合的方法，高效解题． 本讲的模块二涉及公共根及方程的构造这两类问题，与之相关的知识点主要包括方程组的求解，韦达定理，判别式的应用等，属于综合性较强但做法较为固定的一类问题．在学习时应首先试图理解方法的逻辑，试触类旁通，做到对此类题目的“套路”心中有数． 模块一：一元二次方程的整数解 【知识精要】 在自招考试以及数学竞赛中，经常出现含参数的一个或几个一元二次方程有整数根的问题，这类试题或求整数根的值、或求参数的取值范围，类型繁多，涉及面广，因此解法灵活多样并且技巧性较强． （1）因式分解：利用这一恒等式，依据整数性质先求解出整数根，再确定参数的取值； （2）判别式法：若已知方程有整数根，则利用判别式为完全平方数的性质求解参数，通常分为以下两类， ①当为完全平方式时，可利用十字相乘法因式分解直接求出方程的根，再解不定方程求参数； ②当非完全平方式时，可先利用方程有实数解的隐藏条件，确定参数的取值范围，再进行求解； 注：此两种方法常见于方程参数为整数的问题，即整系数方程存在整数根问题，对于方程的参数为实数的情况，即实系数方程存在整数根问题，将在下一模块介绍相关方法． （3）韦达定理：利用韦达定理，借助两根之和、两根之积的整数性质求解参数，或者消去参数直接求解方程的整数根； （4）反客为主：即主元法，当方程有整数根但参数无限制时，可考虑变换参数为主元，将方程整理成关于参数的一元方程，进行参变量分离或利用，先求出整数根的取值范围，再逐个逆向求解参数． 注：此两种方法常见于实系数一元二次方程的整数根问题． 拓展：形如不定方程的整数解问题 在利用韦达定理消参求解方程整数根的问题时，常会涉及到不定方程的整数解的求法，给出具体的配凑及解题步骤 形如不定方程的整数解问题，基本思路是通过配凑，在等式一边进行因式分解，在等式另一边进行质因数分解，同时利用数的大小以及奇偶性减少分类讨论的可能性，具体配凑步骤如下： ， ， ． 下面通过一个具体的例子应用以上求解不定方程的整数解． 求方程的正整数解． ， ， ， 故，均为正整数，只能是， 得． 【典型例题】 1. 若下列关于的方程的解是非负整数，求整数的值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【解析】（1）显然，则为非负整数，． （2），显然， 则为整数， ，，经检验均符合非负整数解的条件． （3）显然，则为整数，， 经检验符合非负整数解的条件． （4）显然，则为整数， ，，经检验均符合非负整数解的条件． （5）， 则，若，则符合条件； 若，则， 得，，有， 代回检验有均符合条件． 1. 已知方程（其中a是非负整数）至少有一个整数根，那么___________． 【名师点拨】观察本题可发现方程的判别式为完全平方式，因此可以考虑用十字相乘法对方程因式分解，直接求出方程的两根，再依据整数性质确定参数的取值范围． 【答案】1、3、5． 【解析】由题意可知，显然时方程无解，， 原方程为关于的一元二次方程，因式分解为： ， ，， 为了确保原方程至少有一个整数根，则为3或5的约数，由是非负整数， 、3或5，经验证符合题意． 1. 已知关于x的一元二次方程与的根都是整数，则整数m的值为_________． 【名师点拨】本题出现了两个方程有整数根，通过两个方程的判别式非负可以确定m取值范围，由m是整数，可以列举出m的取值，进而检验原方程是否有整数根． 【答案】1． 【解析】方程有整数根， ，得， 又方程有整数根， ，得， ，m取的整数值是，0，1， 当时，方程为没有整数解， 又，且符合题意，． 1. 已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有________个． 【名师点拨】本题的判别式为完全平方数，因此可直接因式分解求出方程的两根，依据整数性质确定整数的取值． 【答案】5． 【解析】由于二次项的系数里存在参数，因此分类讨论： （1）时，原方程转化为：，解得，符合题意； （2）时，原方程为关于的一元二次方程，求根公式为： ， ，，若满足、均为整数，则可以取、0、2、3； 综上所述，可取、0、1、2、3，符合条件的整数有5个． 1. 使得关于的方程有两个整数根的所有正实数是_______________． 【名师点拨】本题已知方程的根为整数，参数不一定是整数，可考虑变换主元，将方程整理成关于的一元二次方程，利用判别式确定整数根的取值范围，再逆向求解． 【答案】、、． 【解析】解法一（主元法）： 原