微专题拓展04 导函数与原函数的构造模型（10大题型）-2027届新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导函数与原函数的构造模型核心考点，按双函数、幂函数、指数型等十大题型系统梳理，通过解题方法总结、重难点题型精讲、课后拓展精练的教学流程，帮助学生构建构造模型的逻辑框架和解题思路。 讲义采用题型分类突破策略，如指数型构造中结合真题引导学生抽象函数关系，培养数学思维和模型意识。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

微专题拓展04 导函数与原函数的构造模型 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 3 题型一：双函数构造 3 题型二：幂函数型构造 5 题型三：指数型构造 8 题型四：正余弦型构造 10 题型五：正切型构造 15 题型六：对数型构造 17 题型七：不可还原原函数 19 题型八：可还原原函数 22 题型九：复杂构造题型 25 题型十：抽象函数构造 28 03 课后拓展精练 32 1、对于，构造， 2、对于，构造 3、对于，构造， 4、对于，构造 5、对于，构造， 6、对于，构造 7、对于，构造， 8、对于，构造 9、对于，构造， 10、对于，构造 11、对于，构造， 12、对于，构造 13、对于，构造 14、对于，构造 15、；；； 16、；． 题型一：双函数构造 【例题1】奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【例题2】设函数，在上的导函数分别为，，且，，则当时，下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，的正负无法判断，所以与0的关系无法判断，故AD错误； 设，，所以在单调递增， 因为，所以，所以当时，， 即，B错误，C正确． 故选：C 【变式1】设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误， 若，则，故B错误； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，即，所以， 由得，则，故C正确； 由得，则，故D错误. 故选：C. 【变式2】对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知函数是奇函数，函数是偶函数， 则为偶函数，为奇函数， 又当时，，则当时，， 对于A选项，与的大小关系无法确定，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，与的大小关系无法确定，故D错误． 故选：B． 【变式3】设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即为奇函数， 当，有，所以在上单调递减， 由奇函数的性质，在上单调递减，且， 由，则，即， 综上，上，上， 所以不等式的解集是. 故选：A 题型二：幂函数型构造 【例题3】已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则， 可知当时，是增函数. 又，所以， 在上，不等式的解集就是的解集， 也即的解集. 【例题4】函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，， 因为，可知函数为的偶函数， 又因为， 当时，， 若，则，即； 若，则，，可得， 可知在内单调递减，则在内单调递增. 对于不等式， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，可得， 即，可得，解得，且； 综上所述：不等式解集为. 【变式4】已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，求导得，因， 则当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递减. 又为偶函数，，则，即函数是偶函数， 又，则， 则（*）， 由可得，则， 将（*）两边同除以，可得，即， 由是偶函数可得，又因函数在上单调递增， 可得且，解得. 【变式5】已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则； 又因为当时，，所以； 因此可得在上单调递减， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 因此也是定义在上的偶函数，且在上单调递增； 则不等式可化为, 因此，可得， 解得或. 即不等式的解集为. 【变式6】已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 题型三：指数型构造 【例题5】（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数，由于， 得，则在上单调递增，， 则，即， 于是，解得． 【例题6】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意，，所以不等式的解集等价于不等式的解集， 令，由，所以， 所以不等式的解集等价于不等式的解集， 又对任意，， 所以， 所以函数在上单调递增，由，则有， 所以不等式的解集为：. 【变式7】已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 【变式8】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，，， 即，即， 故． 故选：C. 题型四：正余弦型构造 【例题7】已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，则 当时，有成立， 此时 所以在上单调递增. 又为奇函数，则，则为奇函数， 又 则在上单调递增， 所以在上单调递增. 当，恒有 可化为， 即， 由在上单调递增， 所以， 故不等式的解集为. 【例题8】已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，因为为定义在上的奇函数， 则， 所以为定义在上的偶函数. 当时，，，由已知， 所以， 则在上单调递减，则对于不等式， 当时，，不等式可化为，即， 又在上单调递减，解得； 当时，，不等式可化为，即， 由为偶函数，则在上单调递增，解得， 所以不等式的解集为． 【变式9】已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，， 因为， 则 ， 所以在上单调递增. 因为，所以关于的不等式， 可化为，即 因为在上单调递增，所以由 可得， 由定义域知，解得. 即不等式的解集为 【变式10】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知为偶函数，为的导函数，当时，满足，则当时，不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】令函数，则， 所以函数在上单调递减， 又因为函数为偶函数，也是偶函数，所以函数为偶函数， 根据偶函数的性质得函数在上单调递增. 而 ， ，因为， 所以， ， 所以不等式等价于或， 因为函数为偶函数， 所以不等式等价于①或②， 先解不等式组①，由及函数在上单调递增. 所以，得，解得， 所以不等式的解集为. 再解不等式，所以或， 在上，则，在上，则； 同理在上，则；在上，则. 所以不等式组在上的解集为； 不等式组在上的解集为. 不等式在上的解集为③. 所以不等式组①的解集为. 再解不等式组②，由及函数在上单调递增. 所以，得，解得， 由③可得不等式在上的解集为. 所以不等式组②的解集为. 综合不等式组①②解集可得原不等式的解集为：. 故原不等式的解集为. 题型五：正切型构造 【例题9】定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，. 由，得， 则，即， 设，则， 可得，则在定义域上单调递减， 对于A，可得，则， 得到，即，故A错误， 对于B，可得，则， 得到，即，故B错误， 对于C，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故C正确， 对于D，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故D错误. 故选：C 【例题10】定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当， 则不等式等价为， 即， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 则，，，， 即，， ，， 则，故A正确； ，得不出，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选：A． 【变式11】（2025·高三·天津·周测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，则 则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数 则是上的偶函数，且在单调递减， 由，可得，则， 则时，不等式 可化为 又由函数在上单调递增，且，， 则有，解之得 故选：D 题型六：对数型构造 【例题11】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，； 令，则当时，； 所以在上单调递增； 因为， 故等价于，即， 因为， 故； 故等价于； 根据单调性可知，解得； 故的解集为． 【例题12】某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度，定义浓度对应的代谢函数，满足代谢变化率，已知原液浓度时，．现经过小时后，发酵液浓度变为，若要求，求实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 因为，所以， 所以在上单调递增. . 由，所以， 即，因为在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围是. 【变式12】已知函数定义域为，为其导函数，且满足对，都有．若，则当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对，都有，即， 构造函数，其中，， 所以函数在上为减函数， 由可得， 又因为，则， 由可得，所以，解得， 故原不等式的解集为. 题型七：不可还原原函数 【例题13】函数满足：，，则当时，（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【答案】D 【解析】因为，所以， 令，则，且， 所以， 令，则， 令，解得：， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值， 则，故在上恒成立， 所以在上单调递减， 则当时，既无极大值，也无极小值. 故选：D 【例题14】定义在上的函数满足，且，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】D 【解析】因为，且， 所以，① 令，则， 又，记， 所以. 当时，，递减；当时，，递增. 结合①当时，，所以的最小值为0，即， 因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值. 故选：D. 【变式13】（2026·高三·辽宁大连·阶段检测）函数满足：， ．则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【答案】D 【解析】因为，所以, 令，则 ， 所以， 令 ，则， 则当时， ，当时， 即函数在为增函数，在为减函数， 所以， 即，即函数在为减函数， 即时，既无极大值，也无极小值， 故选D. 【变式14】设函数满足：，，则时，（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值 【答案】B 【解析】， 令，则， 所以， 令，则， 即， 当时，，单调递增，而， 所以当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 故有极小值，无极大值，故选B. 题型八：可还原原函数 【例题15】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 【答案】C 【解析】令，则， 因为函数在处存在导数，所以为定值，，， 所以， 令，当时，， 构建函数，则有， 所以函数在上单调递增， 当，，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以当时函数必有一解， 令这一解为，，则当时， 当时， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． 【例题16】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值 C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值 【答案】C 【解析】因为，， 所以，所以， 因为函数是连续函数，所以由，可得， 代入，可得， 所以， 当时，， 令，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，取得极小值即最小值， 所以，所以函数在上单调递增， 所以既没有极大值，也没有极小值， 故选C. 【变式15】（多选题）（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，且实数对任意都成立（，），则（    ） A． B．有极小值，无极大值 C．既有极小值，也有极大值 D． 【答案】ABD 【解析】由题设，则， 所以，故，其中为常数，， 又，则，所以，即， 所以，故，则，A对； 由且，令在上递增， ，，故使，即， 上，即，递减； 上，即，递增； 所以有极小值，无极大值，B对，C错； 由题设，上，即， 因为， 所以，D对. 故选：ABD 【变式16】已知定义在上的函数和函数满足，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， 则，， ， 则，所以， 即，． 构造函数， 则， 所以，函数在上单调递减， ，即， 即，因此，. 故选：C． 【变式17】设定义在上的函数满足，，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【答案】D 【解析】因为，故， 故，设，则，则， 故且故， 设，则， 则， 故当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故恒成立，故既无极大值，也无极小值， 故选：D. 题型九：复杂构造题型 【例题17】已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 【答案】 【解析】记，则， 因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即， 所以， 因为， 所以，解得. 所以不等式的解集是. 【例题18】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 即， 令，则， 所以函数是增函数， 对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得， 所以，故B错误； 对于C，由，得， 所以，故C错误； 对于D，由，得， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式18】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C 【变式19】已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 则， 因为定义在上的函数满足，即， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以， 因为，即， 所以，即不等式的解集为. 【变式20】定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得． 设函数，则， 所以在上单调递减，从而， 即，即． 题型十：抽象函数构造 【例题19】（2026·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且是偶函数， 所以， 所以，单调递减， 则不等式化简为， 所以，即， 所以或. 故选：B. 【例题20】函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】定义函数，则， 由题意，当时，，即， 当时，有，故，即在上单调递增， 由于是偶函数，则也是偶函数，因此在上单调递减， 由于，所以， 代入不等式，可化简为， 由的单调性，得，解得或， 即的解集为，故A正确. 【变式21】已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 【变式22】已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知时，， 所以构造函数，则 ， 当时，，所以， 因此在上单调递减， 因为是偶函数，则， 即是奇函数，图象关于原点对称， 所以在上也是单调递减， 因为，则， 由是奇函数可得：， 等价于或， 当时，则，， 当时，，即， 因为在上单调递减且，所以有； 当时，，即， 因为在上单调递减且，所以有， 同时要满足，所以； 当时，，，则，即， 因为在上单调递减且， 所以当时，有， 所以合并得解集：. 1．已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令函数，则. ，所以是减函数. 因为 ， 所以. 因为，所以. 2．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递减， 又因为时， 所以不等式等价于， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为：. 3．已知函数是定义在上的偶函数，为的导函数，且，且当时，，则解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 故当时，，即在上单调递减， 由函数是定义在上的偶函数， 则， 故函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减， 由，则，， 则当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上可得：的解集是. 4．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 5．已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则. 因为对任意，都有恒成立， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为为偶函数，所以为偶函数， 由，得， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以其解集为． 6．定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对任意，， 设，求导得：，即为增函数， ，故， 可化为，即， 因为增函数，所以，解得， 则不等式的解集为. 7．定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A．(−∞,2) B．(2,+∞) C．(−∞,0) D．(0,+∞) 【答案】D 【解析】设，则， 因为，所以，所以是减函数， 又， ，所以． 8．定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知,设，则 所以，函数最小正周期为3， 由可得， 设(C为常数)，则，那么 ，在上单调递增， ， ， 由可得，， 即，又在上单调递增 所以，，故选A. 9．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件，构造函数， 求导得：. 当时，，，故， 因此在上单调递增； 是上的奇函数，故， 因此是上的奇函数，则在上也单调递增. 由得，由奇函数性质得. 当时，，， 故，结合单调性得； 当时，，， 故，结合单调性得； 当时，，不满足， 所以的解集为. 10．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 11．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为等价于， 构造，，原不等式即为， 因为，则， 可知在定义域内单调递增，且， 则不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 12．已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数​，， 求导得： ，​ 由题，且， 因此，即在上单调递减， 又，因此， 则不等式等价于， 两边同除以得： . 因为在上单调递减，所以，解得， 即解集为. 13．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 14．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为，所以，即函数在上单调递增， 由可得，当时，即时，必有， 对于，等价于， 故可得，解得或， 即不等式的解集是. 15．（2026·青海西宁·二模）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 由，可得，又，所以， 则在上单调递增. 将原不等式两边同时除以得：，即，所以， 由在上单调递增，所以，即， 又因为且，所以， 综上，不等式的解集为. 16．已知定义在上的连续函数为奇函数，的导函数为．若对任意，都有，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，因为是奇函数，即， ，是奇函数； 又当时，， 在上单调递增，在上单调递增； 是定义在上的连续函数，所以在上单调递增； 又，， 对于不等式，又，所以， 所以不等式等价于，即， 所以，且，即不等式解集为． 17．若函数满足，，则当时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值 【答案】B 【解析】构建函数，则，利用导数考虑的符号可得的极小值点.， ，则且 ， 当时，，故在上是增函数， 又， 令，则为上的增函数， ，故 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以在上有极小值，无极大值，故选B. 18．设函数满足则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】D 【解析】函数满足， ，令， 则， 由，得，令， 则 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 又在单调递增， 既无极大值也无极小值，故选D. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 19．已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】令，， 故在上单调递增， 已知，则， 不等式等价于，即， 在上单调递增， 故， 解得或，解集为． 20．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】设，则. 因为， 所以，即在上单调递减. 又， 则， 即不等式的解集. 21．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 22．已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】因为对任意的满足，即 ， 令，则， 所以在上是单调递减函数， 因为，， 所以， 所以，即不等式的解集是. 23．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】由条件，构造函数，定义域为. 对求导得： ， 因为，且已知， 所以，即在上单调递增. 由得， 所以原不等式可转化为， 所以，解得， 因此不等式的解集为. 24．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】函数是定义在上的可导函数，且， 所以令，所以， 所以函数是定义在上单调递增，且， 所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为 25．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】构造函数 ，其定义域为， 而， 由，且 ，得 ， 所以 在 上单调递增. 由 ，得 ， 则不等式 等价于， 所以，解得 ， 即不等式的解集为. 26．若函数的定义域为，满足，，都有，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以构造函数，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以不等式，即，所以， 因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为：. 27．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 【答案】 【解析】设，，则其导数， 而当时，所以，即在上为减函数， 又由，为定义在上的奇函数，则， 则， 所以在区间上，，在区间上，， 则在区间上，，在区间上，， 又由是定义在上的奇函数，则， 且在区间上，，在区间上，， 综合可得：不等式的解集为． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题拓展04 导函数与原函数的构造模型 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 3 题型一：双函数构造 3 题型二：幂函数型构造 4 题型三：指数型构造 4 题型四：正余弦型构造 5 题型五：正切型构造 6 题型六：对数型构造 6 题型七：不可还原原函数 7 题型八：可还原原函数 8 题型九：复杂构造题型 8 题型十：抽象函数构造 9 03 课后拓展精练 11 1、对于，构造， 2、对于，构造 3、对于，构造， 4、对于，构造 5、对于，构造， 6、对于，构造 7、对于，构造， 8、对于，构造 9、对于，构造， 10、对于，构造 11、对于，构造， 12、对于，构造 13、对于，构造 14、对于，构造 15、；；； 16、；． 题型一：双函数构造 【例题1】奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例题2】设函数，在上的导函数分别为，，且，，则当时，下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ） A． B． C． D． 【变式2】对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型二：幂函数型构造 【例题3】已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【例题4】函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式5】已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 题型三：指数型构造 【例题5】（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例题6】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7】已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 题型四：正余弦型构造 【例题7】已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例题8】已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9】已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知为偶函数，为的导函数，当时，满足，则当时，不等式的解集是___________． 题型五：正切型构造 【例题9】定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题10】定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（    ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·高三·天津·周测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型六：对数型构造 【例题11】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例题12】某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度，定义浓度对应的代谢函数，满足代谢变化率，已知原液浓度时，．现经过小时后，发酵液浓度变为，若要求，求实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【变式12】已知函数定义域为，为其导函数，且满足对，都有．若，则当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型七：不可还原原函数 【例题13】函数满足：，，则当时，（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【例题14】定义在上的函数满足，且，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【变式13】（2026·高三·辽宁大连·阶段检测）函数满足：， ．则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【变式14】设函数满足：，，则时，（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值 题型八：可还原原函数 【例题15】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 【例题16】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值 C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值 【变式15】（多选题）（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，且实数对任意都成立（，），则（    ） A． B．有极小值，无极大值 C．既有极小值，也有极大值 D． 【变式16】已知定义在上的函数和函数满足，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式17】设定义在上的函数满足，，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 题型九：复杂构造题型 【例题17】已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 【例题18】已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式18】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【变式19】已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式20】定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ） A． B． C． D． 题型十：抽象函数构造 【例题19】（2026·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例题20】函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式21】已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式22】已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 1．已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的偶函数，为的导函数，且，且当时，，则解集是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A．(−∞,2) B．(2,+∞) C．(−∞,0) D．(0,+∞) 8．定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 11．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 13．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 14．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·青海西宁·二模）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16．已知定义在上的连续函数为奇函数，的导函数为．若对任意，都有，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．若函数满足，，则当时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值 18．设函数满足则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 19．已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 20．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 21．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 22．已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________． 23．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 24．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为_________． 25．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 26．若函数的定义域为，满足，，都有，则关于x的不等式的解集为______． 27．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $