精品解析：山东省济宁市鱼台县2025-2026学年度第二学期期末八年级数学试题

山东省济宁市鱼台县2025-2026学年度第二学期期末八年级数学试题 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 菱形的两条对角线长分别是和，则此菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 两条对角线互相垂直的菱形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 6. 已知一组数据的唯一众数是，中位数是，则这组数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 7. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若点坐标为则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为．过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点…按照这样的作法继续进行下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是y关于x的正比例函数，则m的值为______． 12. 某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为________． 13. 如图，把一个如图所示的俄罗斯方块图案放到平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，经过原点的一条直线将这个图案分成面积相等的两部分，则该直线的函数关系式为_______． 14. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点．若，，则的长为______． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知关于的一次函数的图象经过原点． （1）求该函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求a的值． 18. 为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析．收集、整理20名男生的体能测试成绩分别为： 50，57，65，76，77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99．成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，其中女生体能测试成绩在C组为73，74，74，74，74，78；在D组的为84，88，89． 根据收集的数据绘制了两组样本数据的平均数、中位数和众数统计表以及不完整的男生体能测试成绩频数分布直方图和女生体能测试成绩扇形统计图． 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 83.6 88 女生 81.8 74 请根据以上信息．回答下列问题： （1）填空： ， ； （2）女生体能测试扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是 ． （3）如果该校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 19. 《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 20. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的面积为________，边上的高为________． （2）解决问题：已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 21. 复习平行四边形的判定与性质时，同学们利用下面条件进行了探究． “如图，已知的对角线，相交于点O，E为边上的一个动点，连接并延长交于点．” 甲同学提出一个问题：如图1，连接，．当点运动到什么位置时，四边形是矩形？ 乙同学发现一个结论：如图2，若，点运动到的中点，则四边形是菱形． （1）请你帮助甲同学解决他的问题，并写出推理过程； （2）你认为乙同学的结论正确吗？请说明理由？ 22. 如图，直线的函数表达式为交轴于点．直线的函数表达式为，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 23. 综合与探究 数学活动课上，同学们一起探讨了特殊四边形中动点问题．请你和他们一起经历探讨过程，并解决下面问题吧！ 【问题背景】 （1）如图1，为的边上一点，连接，，写出的面积与面积的数量关系，并证明； 【尝试应用】 （2）如图2，矩形中，为边上一点，为右侧一点，．若，，，求的长； 【拓展探究】 （3）如图3，中，为边上一点，为边上一点，连接，交于点，连接．若，求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济宁市鱼台县2025-2026学年度第二学期期末八年级数学试题 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后逐项判定即可． 【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意； B．与不能合并，故本选项不符合题意； C．与不能合并，故本选项不符合题意； D．与能合并，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需要根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A、是有理数，​是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，所以​，不符合题意； B、根据二次根式的除法法则（，），则，符合题意； C、根据二次根式的乘法法则，则​，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题关键是掌握同类二次根式才能合并，以及二次根式乘除运算的法则． 3. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 4. 菱形的两条对角线长分别是和，则此菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出菱形的边长是解题的关键． 根据题意画出图形，由菱形的性质求得，，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴此菱形的周长为． 故选：B． 5. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 两条对角线互相垂直的菱形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：菱形的对角线本身互相垂直，对角线相等的菱形才是正方形，故A错误； 对于选项B：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故B错误； 对于选项C：∵四边形内角和为，且四个角都相等， ∴每个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，故C正确； 对于选项D：等腰梯形满足一组对边相等且另一组对边平行，但不是平行四边形，故D错误． 6. 已知一组数据的唯一众数是，中位数是，则这组数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数和平均数，由题意可得这组数据为，，，，，进而即可求解，掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，这组数据为，，，，， ∴这组数据的平均数为， 故选：． 7. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若点坐标为则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，再运用两点之间距离的计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 8. 运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据题意求出该正五边形的每个内角度数为：，即可求解； 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴该正五边形的每个内角度数为：； ∴； ∵三角形为正三角形， ∴； ∴； ∴； 故选：B 9. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明．首先根据已知条件，通过等量代换证明，从而得到，进一步推出，得出，然后利用矩形周长求出和的长度，接着中运用勾股定理求出的长度，最后根据萎形性质计算出萎形的周长。 【详解】解：如图，由题意可知：三点共线， ，长宽 （宽）（长）（宽）， ， ， ， ， ， ， 矩形的周长为，， ， 菱形的周长为：， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为．过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点…按照这样的作法继续进行下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式得到点，再根据勾股定理可知，从而得到点，同理，……，即可解答． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点，即， 在中，， ∴， ∴， ∴点， 同理，……， 即，……， ∴点的坐标是，即． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是y关于x的正比例函数，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键，一般地，形如的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ， 解得：， 故答案为：． 12. 某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据图示，这组数据的下四分位数为102 ． 13. 如图，把一个如图所示的俄罗斯方块图案放到平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，经过原点的一条直线将这个图案分成面积相等的两部分，则该直线的函数关系式为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据经过原点的一条直线将这个图案分成面积相等的两部分，可得，再利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线的解析式． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∵经过原点的一条直线将这个图案分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点， 设直线l的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该直线的函数关系式为． 故答案为： 【点睛】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是利用三角形的面积公式求出的长． 14. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，根据中位线的判定和性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴是的中位线， ∴． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，如图所示，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再去括号合并同类二次根式即可得到结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开后，合并同类项计算即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知关于的一次函数的图象经过原点． （1）求该函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征： （1）将代入求解即可； （2）将点代入（1）中求解的函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于的一次函数的图象经过原点， ∴将代入， 则， 解得 ∴该函数的表达式为； 【小问2详解】 解：若点在该函数图象上， 则， 解得． 18. 为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析．收集、整理20名男生的体能测试成绩分别为： 50，57，65，76，77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99．成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，其中女生体能测试成绩在C组为73，74，74，74，74，78；在D组的为84，88，89． 根据收集的数据绘制了两组样本数据的平均数、中位数和众数统计表以及不完整的男生体能测试成绩频数分布直方图和女生体能测试成绩扇形统计图． 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 83.6 88 女生 81.8 74 请根据以上信息．回答下列问题： （1）填空： ， ； （2）女生体能测试扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是 ． （3）如果该校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1）81；88 （2） （3）542名 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）先求出样本中女生E组人数，从而可求出样本中女生E组人数所占比例，最后乘即可； （3）先求出男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数，再用男生和女生人数分别乘以样本中男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数所占比例，最后相加即可． 【小问1详解】 解：∵在20名男生的体能测试成绩中，88出现的次数最多， ∴20名男生的体能测试成绩的众数为88，即； ， ∴女生的体能测试成绩在A组的有2人，在B组的有2人， 将20名女生的体能测试成绩按照从小到大的顺序排列，第10个数据为78，第11个数据为84， ∴20名女生的体能测试成绩的中位数为，即； 【小问2详解】 解：女生体能测试扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：名， 答：估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为542名． 19. 《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先计算，再计算，最后相减即可得到． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ∴． 20. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的面积为________，边上的高为________． （2）解决问题：已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）见解析，的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，割补法求图形面积，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据网格，运用割补法求解三角形的面积，运用勾股定理得到的值，再根据等面积法即可求解高； （2）运用网格，勾股定理得到图形，运用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：的面积； 设边上的高为， ∵，， ∴， ∴边上的高为； 【小问2详解】 解：如图所示， 的面积． 21. 复习平行四边形的判定与性质时，同学们利用下面条件进行了探究． “如图，已知的对角线，相交于点O，E为边上的一个动点，连接并延长交于点．” 甲同学提出一个问题：如图1，连接，．当点运动到什么位置时，四边形是矩形？ 乙同学发现一个结论：如图2，若，点运动到的中点，则四边形是菱形． （1）请你帮助甲同学解决他的问题，并写出推理过程； （2）你认为乙同学的结论正确吗？请说明理由？ 【答案】（1）解：当时，四边形BEDF是矩形，推理过程如下： 四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴平行四边形是矩形； （2）解：乙同学的结论正确，理由如下： 四边形为平行四边形， ∴，， 由（1）可知， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）当时，四边形BEDF是矩形，由平行四边形的性质得到，，证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进而可证明平行四边形是矩形； （2）可证明，则可证明，进一步证明四边形是平行四边形，得到，则可推出，据此可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，直线的函数表达式为交轴于点．直线的函数表达式为，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与不等式（组）的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解； （2）先求出A，C，D三点的坐标，再由求面积； （3）结合图象，利用一次函数与不等式的关系求解． 【小问1详解】 对于直线： ， 当时，，解得，故； 当时，，即，故； 将点代入，可得，解得， ，． 【小问2详解】 由（1）知，，，直线的函数表达式为， 由解得，故， ， ． 【小问3详解】 直线与直线的交点为， 当时直线的图象在的上方， 当时，即， 不等式的解集． 23. 综合与探究 数学活动课上，同学们一起探讨了特殊四边形中动点问题．请你和他们一起经历探讨过程，并解决下面问题吧！ 【问题背景】 （1）如图1，为的边上一点，连接，，写出的面积与面积的数量关系，并证明； 【尝试应用】 （2）如图2，矩形中，为边上一点，为右侧一点，．若，，，求的长； 【拓展探究】 （3）如图3，中，为边上一点，为边上一点，连接，交于点，连接．若，求证：平分． 【答案】（1）解：，证明如下： 如图，过点E作于点F， ∴，， ∴； （2）12 （3）证明：如图，连接，，过点A作于点M，作于点N， 由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A在的平分线上，即平分． 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论； （2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论； （3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点G，连接， ∴， ∴四边形是矩形． ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $