第3章《实数》测试2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 以华罗庚数学史素材和实际问题为情境，覆盖实数核心知识，通过辨析、推理、探究题设计，培养抽象能力与推理意识，适配七年级单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平方根、实数分类、数轴表示|第4题判断题辨析概念，第10题类比推理立方根，强化数学思维| |填空题|6/18|立方根、估算、规律探究|第15题结合华罗庚方法求立方根，渗透文化传承| |解答题|8/72|运算、分类、综合应用|第24题探究整数部分规律，第23题根整数概念应用，体现问题层次性与创新意识|

第3章《实数》测试2026-2027学年上学期浙教版七年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．9的平方根是（   ） A． B．3 C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 4．下面是小洋同学完成的课堂基础检测、他的得分是（   ） 判断题（每小题2分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②负数没有立方根．（×） ③0没有算术平方根．（√） ④两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数．（×） ⑤任意一个无理数的绝对值都是正数．（√） A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 5．若实数、、满足，则的算术平方根是（   ） A ． 36 B ． C ． 6 D ． 6． 球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式， 若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 7． 如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积， 使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（   ） A． B． C． D． 8．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．5 D． 9. 已知，，，…， 设（为正整数），则值是（   ） A． B． C． D． 10. 据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（   ） A．72 B．78 C．88 D．92 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若，则 ． 12．若两个连续整数a、b满足，则的值为 13．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______． 14．请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是______． 15．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题；一个数是59319， 希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39、邻座的乘客十分惊奇， 忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则， 可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 按这种方法求立方根，请求出21952的立方根是______． 16．观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： 18．把下列各数分别填入相应的圈内： ，0，15，，，，，，，． 19．解方程： (1) (2) 20．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1) 求、的值； (2) 求的算术平方根． 21.【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1) 计算：　　　　；　　　　； (2) 若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (2) 根据上述等式规律，化简：． 22．阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题， 求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1) 请你帮东东补充完整上述探究过程； (2) 已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 23 .对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，=3． (1) 仿照以上方法计算：=_______；=_____． (2) 若，写出满足题意的x的整数值_____________． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止． 例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1． (3) 对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程． (4) 只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 24．我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1) 的整数部分是______，的整数部分是______． (2) 若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3) 已知正整数n满足与的整数部分相同． ① 如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ② 如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ③ 如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④ 观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时， 请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章《实数》测试2026-2027学年上学期浙教版七年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．9的平方根是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】正数有两个互为相反数的平方根 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义：一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，逐项判断即可得到答案． 【详解】A、，计算错误，故A选项不符合题意； B、，计算错误，故B选项不符合题意； C、，计算正确，故C选项符合题意； D、，计算错误，故D选项不符合题意； 故选：C 3．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】根据实数的估算，由平方数估算出近似值，表示在数轴上即可. 【详解】∵9＜10＜16 ∴ ∴3＜＜4 故选C. 4．下面是小洋同学完成的课堂基础检测、他的得分是（   ） 判断题（每小题2分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②负数没有立方根．（×） ③0没有算术平方根．（√） ④两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数．（×） ⑤任意一个无理数的绝对值都是正数．（√） A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 【答案】C 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，以及绝对值，掌握相关知识点是解题关键．根据实数的分类，立方根，算术平方根，无理数，以及绝对值的意义逐一判断对错即可． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，则“任意一个实数不是有理数就是无理数”是对的．小洋同学判断正确； ②任何实数都有立方根，则“负数没有立方根”是错的．小洋同学判断正确； ③的算术平方根是0，则“0没有算术平方根”是错的．小洋同学判断错误； ④两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果可能是无限循环小数，而无限循环小数是有理数，则“结果一定是一个无理数”是错的．小洋同学判断正确； ⑤正无理数的绝对值是它本身，负无理数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，但0不是无理数，则“任意一个无理数的绝对值都是正数”是对的．小洋同学判断正确； 综上可知，小洋同学对了4道题，得分为分， 故选：C． 5．若实数、、满足，则的算术平方根是（   ） A ． 36 B ． C ． 6 D ． 【答案】． 【解析】 由题意得，，，， 解得，，， 所以，， 所以，的算术平方根是 6 ． 故选． 6． 球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式， 若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算的方法是解决问题的关键．将代入公式计算，然后用平方法估算即可． 【详解】解：将代入得：， ∵， ∴， ∴所用时间与4秒最接近． 故选：B． 7． 如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积， 使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设边长应扩大x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x＋8）米，则其面积为（64＋80）平方米，然后根据正方形的面积（x＋8）2＝（64＋80）平方米可得到答案． 【详解】设边长应扩大x米，根据题意，得： （x＋8）2＝64＋80 （x＋8）2＝144 ∴x＋8＝＝12（负值舍去）， ∴x＝4． 故选：C． 8．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 9. 已知，，，…， 设（为正整数），则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 10. 据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（   ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若，则 ． 【答案】 【分析】利用平方根的定义解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．若两个连续整数a、b满足，则的值为 【答案】5 【分析】先估算出的范围，求出a、b的值，即可求出答案． 【详解】解：∵23 ∴a=2，b=3 ∴a+b=5 故答案为5． 13．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______． 【答案】 【分析】根据已知得出方程即可求出．本题考查了平方根，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【详解】根据题意知， 解得：， 故答案为：． 14．请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得，然后代入求解即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， 故答案为：． 15．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题；一个数是59319， 希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39、邻座的乘客十分惊奇， 忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则， 可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 按这种方法求立方根，请求出21952的立方根是______． 【答案】28 【分析】先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】解：， ， ， 能确定21952的立方根是个两位数． ∵21952的个位数是2， 又∵， 能确定21952的立方根的个位数是8． 如果划去21952后面的三位952得到数21， 而， 则， 可得， 由此能确定21952的立方根的十位数是2， 因此21952的立方根是28． 16．观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【答案】 【分析】根据已知等式总结规律，将所求算式各项展开后，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：由已知各式可得规律：， 因此 ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： 【答案】 【详解】解： ． 18．把下列各数分别填入相应的圈内： ，0，15，，，，，，，． 【答案】见详解 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，实数的分类，根据整数和分数统称为有理数，无限不循环小数即为无理数，大于的实数为正实数，小于的实数为负实数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：，， 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∵， ∴， 解得：； （2）解： ∵， ∴． 20．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1) 求、的值； (2) 求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算术平方根的区分． （1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为；由的立方根为得，即可求出答案． （2）根据第一问求出的值代入得，再由算术平方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得， ， ， ， 由于的立方根为， ， ； （2）当时，    ∴的算术平方根是 21.【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1) 计算：　　　　；　　　　； (2) 若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (2) 根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 22．阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题， 求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1) 请你帮东东补充完整上述探究过程； (2) 已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【答案】(1)两，，， (2)26 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方． （1）根据题中所给的过程方法，即可解答； （2）先求出的立方根是两位数，然后根据示例分别求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是9 ∵ ∴ ∴的十位数是3 ∴． 故答案为：两，，，； （2）∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵只有个位数是的立方数的个位数依然是 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是2 ∴ 23 .对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，=3． (1) 仿照以上方法计算：=_______；=_____． (2) 若，写出满足题意的x的整数值_____________． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止． 例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1． (3) 对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程． (4) 只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2；5 (2)1，2，3 (3)3次，过程见解析 (4)255 【分析】（1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，5． （2）解：∵，，， ∴或或， 故答案为：1，2，3． （3）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴第3次之后结果为1． （4）最大的是255，理由如下， 解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， ∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255． 24．我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1) 的整数部分是______，的整数部分是______． (2) 若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3) 已知正整数n满足与的整数部分相同． ① 如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ② 如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ③ 如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④ 观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时， 请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 【答案】(1)3；4 (2)30 (3)①1②4，5，6③9，10，11，12，13④ 【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （2）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （3）①直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；②直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；③直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；④直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3； ∵， ∴， ∴的整数部分是4； （2）解：∵的整数部分是5， ∴， ∴， ∴可以取30； （3）解：①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2， 所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到，5，6． ③因为的整数部分是3， ∴， ∴； 又的整数部分是3， ∴， ∴， ∴， 所以同时满足两个条件的正整数； ④当与的整数部分为k时， 由当的整数部分为k时，得； 由的整数部分为k时，得，即， 取两者的公共部分可得，正整数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $