专题01 实数八大题型必考压轴题（高效培优专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题01 实数八大题型必考压轴题 题型一： 算术平方根的双重非负性 题型二：无理数的估算 题型三：无理数的整数和小数分 题型四： 探究平方根和立方根的规律 题型五：平方根和立方根的综合应用 题型六： 实数与数轴综合 题型七： 实数的实际应用 题型八： 实数中的新定义问题 题型一： 算术平方根的双重非负性 1．已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 3．已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 4．已知：，求代数式的平方根． 题型二：无理数的估算 1．我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A． B． C． D． 2．估计的值是在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．估计 的值在（    ） A． 和之间 B． 和之间 C． 和之间 D．和之间 4．估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 5．且是整数，则符合条件的的个数为 ．   6．若，且为整数，则整数的最大值为 ． 题型三：无理数的整数和小数分 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 2．已知的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根是 ． 3．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 4．阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 5．阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 题型四： 探究平方根和立方根的规律 1．若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 3．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 4．利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 5．有一组按规律排列的数：，则第n个数是 ；这组数的前1000个数中，无理数有 个． 6．学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 7．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 8．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 9．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 题型五：平方根和立方根的综合应用 1．已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 2．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 3．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 4.小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 5．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 题型六： 实数与数轴综合 1．把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　） A． B． C． D． 2．将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 3．如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 4．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 5．阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 6．有两个正方形纸片，它们的面积分别为6和3，将两个正方形的一条边恰好落在数轴上，且两个正方形落在数轴上的这一边有一顶点都与原点重合，另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处（如图所示）． (1)点A，点B在数轴上表示的实数分别为 ， ； (2)小红想用面积为6的正方形纸片裁出一块面积为4的长方形纸片，且长方形的长与宽的比为，小红能裁出符合条件的长方形纸片吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：；；） 题型七： 实数的实际应用 1．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 3．如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 4．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 5．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 6．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 7．如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 题型八： 实数中的新定义问题 1．对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 2．定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 4．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为 ； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 5．设、为有理数，定义一种新的运算．． 例如：． (1)计算：． (2)若，求的值． 6．对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 7．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，满足关系式：，求的“青一区间”． (3)多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分． 在（2）的条件下描述，正确的答案是（    ） A．是有理数        B．        C．        D． (4)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数八大题型必考压轴题 题型一： 算术平方根的双重非负性 题型二：无理数的估算 题型三：无理数的整数和小数分 题型四： 探究平方根和立方根的规律 题型五：平方根和立方根的综合应用 题型六： 实数与数轴综合 题型七： 实数的实际应用 题型八： 实数中的新定义问题 题型一： 算术平方根的双重非负性 1．已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及有意义的条件、求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故选：D． 2．已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a， （2）求出b，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得： ，， . （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 3．已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是相反数的性质，非负数的性质解平方根的含义，由非负数的性质建立方程求解是解本题的关键． （1）由相反数的性质得出，再根据非负数的性质建立方程求解即可； （2）根据（1）中所得、的值得出，再求出平方根即可得答案． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，． （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 4．已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 题型二：无理数的估算 1．我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．先确定，再根据四舍五入法保留一位小数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用四舍五入法把的结果保留一位小数为， 故选：B． 2．估计的值是在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小的应用，关键是能求出的范围． 根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：C． 3．估计 的值在（    ） A． 和之间 B． 和之间 C． 和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 4．估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算． 求出，即可估算的值． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D 5．且是整数，则符合条件的的个数为 ．   【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算．估算出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵且是整数， ∴符合条件的的值有10，11，12，13，14，共5个． 故答案为：5 6．若，且为整数，则整数的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根，熟练掌握估算的方法是解本题的关键． 先确定为整数，且，则可求出整数的最大值，即可求解． 【详解】解：∵为整数，且为整数， ∴为整数，且， ∴整数的最大值为． 故答案为：4． 题型三：无理数的整数和小数分 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．的被开方数是13，可以找到最接近13的两个完全平方数，来确定的整数部分，再用减去整数部分就得到小数部分，然后根据题意计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 故选B． 2．已知的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算，算术平方根，实数的混合运算等知识，由无理数的估算方法得，则有，，得到，，然后代入求出，最后通过算术平方根定义求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 3．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 4．阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，，其中x是整数，且，可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是5， 的小数部分为， 故答案为：； （2）解：，即， 而a是的小数部分 ，∴． 又，即， 而b是的整数部分， ， ∴； （3）解：，其中x是整数，且， ，， 的相反数． 5．阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 【答案】（1）5，；（2）12.21；（3）1；（4）14.93． 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】解：（1）， 的整数部分为5，小数部分为． 故答案为：5，； （2）解：当正方形面积为149，则它的边长为． ， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ． （3）解：， ， ， ，， ，． ∴； （4）， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ， ，，，， ． 故答案为：14.93． 题型四： 探究平方根和立方根的规律 1．若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出的值是解本题的关键． 先计算的值，找到规律，并进行化简即可． 【详解】解：，； ， ， ，， ……， 由此发现，， ∴， ∴ ． 故选：C 2．已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 3．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：，，，…， ， 故选：D． 4．利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 【答案】 【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．有一组按规律排列的数：，则第n个数是 ；这组数的前1000个数中，无理数有 个． 【答案】 994 【分析】本题考查了立方根，数字规律的探索，找到规律是解题的关键；由再结合其它数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，可确定前1000项中的有理数，从而可确定无理数的个数，完成第二空． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵， 即前1000个数中是有理数的有2，4，6，8，10，12共6个，其余的数都是无理数， 而，即无理数有994个； 故答案为：． 6．学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 7．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 8．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 9．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 题型五：平方根和立方根的综合应用 1．已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确立方根、平方根、算术平方根的定义，根据的一个平方根是，可以得到的值，根据的立方根是，可以得到的值，从而可以求得的算术平方根． 【详解】解：∵的一个平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为， 即的算术平方根为． 2．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 3．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 4.小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 5．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型六： 实数与数轴综合 1．把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：∵；，即；；； ∴在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是， 故选：C； 2．将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：D． 3．如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查实数与数轴．先求出圆的周长，再根据这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置即可求出答案． 【详解】解：由题意可得圆的周长为， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是， 故选：B． 4．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，先利用算术平方根的定义求出正方形的边长，进而根据数轴上两点间距离公式解答即可求解，利用算术平方根的定义求出正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴， ∵点在数轴上表示的数为， ∴点表示的数为， 故选：． 5．阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）  （2），  （3），数轴表示见解析 【分析】本题考查了图形的变换、无理数、实数与数轴、绝对值化简、熟练掌握无理数的数轴上表示是关键． （1）根据正方形的面积，求出表示的数即可； （2）根据点在数轴上的位置，直接写出点和点表示的数即可； （3）根据的值代入所求代数式化简后，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， ， 在数轴上表示为点，如图所示： 6．有两个正方形纸片，它们的面积分别为6和3，将两个正方形的一条边恰好落在数轴上，且两个正方形落在数轴上的这一边有一顶点都与原点重合，另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处（如图所示）． (1)点A，点B在数轴上表示的实数分别为 ， ； (2)小红想用面积为6的正方形纸片裁出一块面积为4的长方形纸片，且长方形的长与宽的比为，小红能裁出符合条件的长方形纸片吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：；；） 【答案】(1)， (2)他不能裁出来，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为6和3的正方形纸片，得边长为，，再运用数形结合思想，即可作答； （2）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为6和3的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为6和3的正方形纸片的边长为，， ∴，， ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为4的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， 依题意，面积为6的正方形纸片的边长为， ∴， ∴， ∴他不能裁出来． 题型七： 实数的实际应用 1．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据图形得出纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的，从而得出纸的面积为纸面积的，即可得出答案． 【详解】解：由图得，纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的， ∴纸的面积为纸面积的， 裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是张． 故选：C． 2．小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【答案】(1)长为 ，宽为 (2)不能裁出面积为的正方形，理由见解析 (3)不能裁出面积为的完整圆形，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）设这个纸片的长为，宽为，根据面积的计算方法求出的值，进而确定原长方形的长与宽； （2）根据面积的大小进行判断即可； （3）根据圆面积的计算方法求出圆的半径，进而求出直径，再根据原长方形纸片的长、宽进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个纸片的长为，宽为，由题意得： ， 解得：，负值舍去， 即长为，宽为； （2）解：不能裁出想要的正方形纸片， 原长方形纸片的面积为，而要裁出的正方形的面积为， 不能裁出想要的正方形纸片； （3）解：不能裁出想要的圆形纸片，理由如下： 圆形纸片的面积为，即， 半径，负值舍去， 直径为，即， ∵， 不能裁出想要的圆形纸片． 3．如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用、算术平方根的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意计算即可得解； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意得出，求出，再结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，大正方形的边长为； （2）解：不能，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为． 4．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 5．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10；（2）见解析 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 则作图如下： . 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 6．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 7．如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)2 (2)阴影部分的面积为2，边长为 (3)或． 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 题型八： 实数中的新定义问题 1．对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，立方根的运算，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a和b为两个连续正整数，，， ∴即，， ∴， ∴， 则的立方根为的1， 故选：B． 2．定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)； (3)的值为0或． 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 3．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】(1)是 (2)①证明见解析最小算术平方根是4，最大算术平方根是20，②任意两个数的乘积都是完全平方数 (3)81 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“数”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“数”的定义分别求解算术平方根即可；根据新定义直接写出结论即可 （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∵结果分别为8，10，20，都是整数， ∴4，16，25是“数”， 故答案为：是； （2），，，其结果分别为4，10，20，都是整数， 所以2，8，50三个数是“数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． ②任意两个数的乘积都是完全平方数； （3）解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得． 综上所述，的值为81． 4．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为 ； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，求出，进而得到，两式相减，得，求出m的算术平方根为，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“共同体区间”是． 5．设、为有理数，定义一种新的运算．． 例如：． (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1)15 (2)或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，熟练掌握新定义，有理数混合运算，平方根，是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义进行运算即可； （2）根据题目所给的新定义建立方程，求平方根即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵， 且， ∴， 解得或． 6．对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，及其乘方的逆用，求一个数的算术平方根，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则． （1）根据对数运算法则即可求解． （2）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由得，， ， ． （2）解： ． 7．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，满足关系式：，求的“青一区间”． (3)多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分． 在（2）的条件下描述，正确的答案是（    ） A．是有理数        B．        C．        D． (4)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2)的“青一区间”为； (3)BC (4)或． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可； （3）对进行判断，可判断BC正确； （4）根据题意求得且，推出，求得或，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为； （3）解：∵， ∴，是无理数，选项A说法错误； ∵， ∴，选项B说法正确； ∵， ∴，选项C说法正确； ∵， ∴，选项D说法错误； 故选：BC； （4）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为， ∴， ∵的“青一区间”为， ∴，即， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $