第07讲 函数与方程（13核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程专题，涵盖函数零点与方程的解、二分法等核心考点，按知识归纳梳理、重难核心突破、拔高分层集训逻辑架构，通过考情分析、方法归纳、真题演练等环节，帮助学生构建知识网络，突破零点个数判断、参数求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以高考命题规律为导向，创新采用“换元解套”策略破解复合函数零点问题，结合分层集训（基础演练、能力进阶、真题实战）培养学生数学思维与应用意识。通过典例精讲与方法技巧总结，助力学生高效掌握解题思路，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第07讲 函数与方程 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 函数的零点与方程的解 知识2 二分法 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 求函数的零点或方程的根 考点07 复合（镶嵌）函数零点个数的判断 考点02 判断函数零点所在区间 考点08 根据复合（镶嵌）函数零点个数求参数 考点03 判断函数零点或方程根的个数 方法技巧 嵌套函数的零点问题的解题策略 方法技巧判断函数零点个数的基本方法 考点09 抽象函数的零点问题 考点04 根据函数零点个数求参数 考点10 函数零点的和、差、积、商问题 方法技巧已知函数零点求参数的方法 考点11函数零点大小的比较 考点05 根据零点分布求参数 考点12 二分法求方程的近似解 考点06 二次方程根的分布 考点13函数方程的综合问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用 3.了解用二分法求方程的近似解. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 函数零点所在区间判断 北京卷T7 零点个数判断 全国Ⅰ卷T7全国Ⅱ卷T9 已知零点分布求参数 全国Ⅱ卷T13 天津卷T8 全国Ⅱ卷T6，天津卷T15 零点有关的综合问题 全国Ⅱ卷T18，北京卷T20 考情解读 函数的零点问题是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 备考策略 预测2027 年依旧保持高频考查，命题偏向含参零点讨论、复合型方程实根问题，强化数形结合与等价转化思想，注重与导数、最值问题深度结合，侧重考查综合分析与分类探究能力。 知识・归纳梳理 知识1 函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 必记结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 知识2 二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 重难・核心突破 考点01 求函数的零点或方程的根 典例1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【考法预测1】（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 【考法预测2】函数的零点为______. 【考法预测3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 考点02 判断函数零点所在区间 典例1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 考点03 判断函数零点或方程根的个数 典例1．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数则的图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数则函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考法预测2】（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【考法预测3】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数的零点个数为______. 方法技巧 判断函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 考点04 根据函数零点个数求参数 典例1．（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 方法技巧 已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 考点05 根据零点分布求参数 典例1．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（多选）（2026·河北衡水·一模）若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（   ） A． B．1 C． D．3 考点06 二次方程根的分布 典例1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【考法预测1】已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知方程的两根，满足，，则实数的取值范围为__________. 考点07 复合（镶嵌）函数零点个数的判断 典例1．已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考法预测1】函数，和，的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程恰有一个解 B．方程恰有两个解 C．方程恰有三个解 D．方程恰有四个解 【考法预测2】已知函数，则函数的零点个数为______． 【考法预测3】已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 方法技巧 嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 考点08 根据复合（镶嵌）函数零点个数求参数 典例1．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】为定义在上的偶函数，当时，，，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点09抽象函数的零点问题 典例1．（2026·江西九江·二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考法预测1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考法预测2】已知函数在[0，1]上单调递增，且满足，若对任意，有，则方程在[0，12]上解的个数是（   ） A．1 B．5 C．9 D．11 【考法预测3】若的值域为，则至多有_______个零点. 考点09 函数零点的和、差、积、商问题 典例1．（多选）（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（多选）（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数的图象与直线交于不同的三点，，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【考法预测2】（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 【考法预测3】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______. 考点11 函数零点大小的比较 典例1．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 考点12 二分法求方程的近似解 典例1．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【考法预测3】我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 考点13 函数方程的综合问题 典例1．（2026·北京海淀·二模）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·海南儋州·二模）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）设方程的根为a，方程的根为b，求的值． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高三上·陕西·期末）已知函数，则（    ）． A．， B．在上单调递增 C．是偶函数 D．函数有3个零点 6．（多选）（2027高三·全国·专题练习）（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石．简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南焦作·一模）已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 8．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 能力进阶 1．（2026·湖南怀化·三模）已知函数，若有唯一解，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·北京石景山·二模）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 6．（多选）（25-26高三下·河北·开学考试）若存在，使，称为“xf点”，为“xf函数”，则（    ） A．是“xf函数” B．是“xf函数” C．最多存在4个不同的“xf点” D．存在幂函数，使得对任意， 7．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数，若实数，，满足且，则的取值范围为______． 8．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数且，则__________，当时，曲线与直线恰有一个公共点，写出一个满足条件的值________. 9．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 真题实战 1.（2026年高考Ⅱ卷真题）若函数有两个零点，则m的取值范围是 2．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 3．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 7．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 9．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数与方程 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 函数的零点与方程的解 知识2 二分法 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 求函数的零点或方程的根 考点07 复合（镶嵌）函数零点个数的判断 考点02 判断函数零点所在区间 考点08 根据复合（镶嵌）函数零点个数求参数 考点03 判断函数零点或方程根的个数 方法技巧 嵌套函数的零点问题的解题策略 方法技巧判断函数零点个数的基本方法 考点09 抽象函数的零点问题 考点04 根据函数零点个数求参数 考点10 函数零点的和、差、积、商问题 方法技巧已知函数零点求参数的方法 考点11函数零点大小的比较 考点05 根据零点分布求参数 考点12 二分法求方程的近似解 考点06 二次方程根的分布 考点13函数方程的综合问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用 3.了解用二分法求方程的近似解. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 函数零点所在区间判断 北京卷T7 零点个数判断 全国Ⅰ卷T7全国Ⅱ卷T9 已知零点分布求参数 全国Ⅱ卷T13 天津卷T8 全国Ⅱ卷T6，天津卷T15 零点有关的综合问题 全国Ⅱ卷T18，北京卷T20 考情解读 函数的零点问题是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 备考策略 预测2027 年依旧保持高频考查，命题偏向含参零点讨论、复合型方程实根问题，强化数形结合与等价转化思想，注重与导数、最值问题深度结合，侧重考查综合分析与分类探究能力。 知识・归纳梳理 知识1 函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 必记结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 知识2 二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 重难・核心突破 考点01 求函数的零点或方程的根 典例1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】 27 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． 【考法预测1】（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 【答案】0 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. 【考法预测2】函数的零点为______. 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 【考法预测3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 考点02 判断函数零点所在区间 典例1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 【考法预测1】（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 【考法预测2】（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 【考法预测3】（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 考点03 判断函数零点或方程根的个数 典例1．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数则的图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】设，，利用导数求得函数的单调性与最小值，再由关于原点对称的曲线为，画出与的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设，， 则， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值， 又当时，，当时，， 又由关于原点对称的曲线为， 画出函数与的图象，可得两函数的图象有4个交点. 所以的图象上关于原点对称的点有4对. 故选：D 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数则函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令并结合各段解析式所在的定义域即可求解. 【详解】当时，解得或（舍），此时有1个零点， 当时，解得，此时有1个零点，所以共有2个零点. 【考法预测2】（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，可得答案. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示： 所以曲线与的交点的个数为个. 【考法预测3】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数的零点个数为______. 【答案】1 【分析】先判断函数在上单调递增，再根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，，根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 方法技巧 判断函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 考点04 根据函数零点个数求参数 典例1．（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 【考法预测1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 【考法预测2】已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数零点的意义，将问题转化为曲线与曲线有三个交点，作出函数图象，数形结合求解. 【解答过程】令，得， 依题意，曲线与曲线有三个交点，如图， 当时，曲线与曲线只有一个交点，不符合题意； 当时，若使得曲线与曲线有三个交点， 则，解得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 【考法预测3】（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【分析】将方程有无实数根的问题，转化为函数零点问题，进而转化为两个基本初等函数图象交点的问题，结合函数的单调性及数形结合的方法，对参数和分别取满足条件的不同值，即可对四个命题作出判断. 【详解】令，得，易知恒过点. ①当，则，恒过，图象如下， 对任意负实数，；两个函数图象都有一个交点，即方程恰有一个实数解，①正确； ②易知时，与轴的交点位于轴正半轴，因此， 当时，与在上一定有交点，如图所示， 即方程一定有实数解，所以②错误； ③当，时，当时，方程为，即， 令，则，令，则， 所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 又因为，，， 所以函数在内必有一个零点，在上也必有一个零点， 所以与，在内必有一个交点，在上也必有一个交点， 又因为当时，在上，与无交点， 与的图象如下， 所以，当，时，与有两个交点， 即方程恰有2个实数解，所以③正确； ④方程时，有，此时恒过点， 当，时，与有个不同交点， 即方程恰有3个实数解，所以④正确. 方法技巧 已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 考点05 根据零点分布求参数 典例1．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 【考法预测1】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【考法预测2】）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 【考法预测3】（多选）（2026·河北衡水·一模）若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】BC 【详解】由，知在内存在唯一的解. 当时，，则，即， 因仅有选项B,C中的值在此范围，故B,C正确. 考点06 二次方程根的分布 典例1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【考法预测1】已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 【考法预测2】若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式恰有3个整数解，分析可得实数的取值范围；或分离参数，构造新函数，分析新函数的单调性，解得实数的取值范围. 【详解】解：原不等式等价于， 由题意，知，解得. 又原不等式的解集为，且， 则为原不等式的整数解，所以，解得所以实数的取值范围为. 方法二：对于不等式， 当时，，不成立，所以0不是不等式的整数解； 当时，. 令，则在上均单调递增，其简图如下： 当时，，所以；当,且取整数时，，所以； 所以不等式的整数解是,即不等式解集中恰有3个整数解是，所以，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【考法预测3】已知方程的两根，满足，，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先由判断两根异号，结合韦达定理确定的范围，再将绝对值条件转化为含的不等式求解，最后综合分析即可. 【详解】由，可知两根异号，因此， 由韦达定理得：，， 所以，得：，所以， 又因为，，所以，，则： ，对变形为：， 即，整理得：， 即，解得：或， 综上所述：. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 考点07 复合（镶嵌）函数零点个数的判断 典例1．已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据方程，解得或5，作出，和的图象，根据交点个数，即可得答案. 【详解】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B 【考法预测1】函数，和，的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程恰有一个解 B．方程恰有两个解 C．方程恰有三个解 D．方程恰有四个解 【答案】C 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对A：令，数形结合可知，或； 令，， 又因为，而， 可知无解，故方程无解，A错误； 对B：令，数形结合可知，或； 令，因为， 数形结合可知，方程有三个根，有两个解， 故方程有五个解，故B错误； 对C：令，数形结合可知，或； 令， 由题可知，，数形结合可知，方程有三个根， 方程无解， 故方程有三个解，故C正确； 对D：令，数形结合可知，或； 令，又， 数形结合可知，无解，有两个解， 故方程有两个解，D错误. 故选：C 【考法预测2】已知函数，则函数的零点个数为______． 【答案】3 【分析】先根据的分段函数和对应的定义域，求出的解析式和对应的定义域，然后分别讨论不同定义域下其函数的零点个数即可. 【详解】因为， 所以①当时，，此时， 因为，当，即时，， 当时，时，， 即. ②当时，，此时. 因为，当时，即时，； 当时，即时，； 即. 综上，. 时，令，解得，此时有一个零点； 时，，此时无零点； 时，令，解得，此时有一个零点； 时，令，解得，此时有一个零点. 所以共有3个零点. 故答案为：3. 【考法预测3】已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 方法技巧 嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 考点08 根据复合（镶嵌）函数零点个数求参数 典例1．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助导数确定函数的性质并作出图象，再由函数零点的意义变形，将问题转化为直线与函数图象有4个交点求解. 【详解】当时，在上单调递减，函数值域为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 【考法预测1】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 【考法预测2】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 【考法预测3】为定义在上的偶函数，当时，，，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】画出函数，的图象，数形结合对分类讨论可得结果. 【解答过程】画出函数，的图象，的零点个数即为方程的根的个数，设，则， （1）当时，无实数根，则无实数根； （2）当时，有两个实数根，其中，，有一个实数根，无实数根，所以共有1个实数根； （3）当时，有三个实数根，，，其中，，，有一个实数根，有一个实数根，无实数根，所以共有2个实数根； （4）当时，有四个实数根，，，，其中，，，，有一个实数根，有一个实数根，有两个实数根，无实数根，所以共有4个实数根； （5）当时，有两个实数根，，其中，，有一个实数根，有一个实数根，所以共有两个实数根； （6）当时，无实数根，则无实数根；综上所述，实数的取值范围为. 故选：B． 考点09抽象函数的零点问题 典例1．（2026·江西九江·二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数值为整数可求零点个数. 【详解】的零点即为的解， 而的函数值为整数，故或，其中， 由可得，且， 若为正整数，则， 若，则； 若为负整数，设，则为正整数， 则， 综上，当为整数时，总有，故，故； 由可得，同理可得， 故，所以，故， 而为整数，故与不相等， 故函数的零点个数为. 【考法预测1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 【考法预测2】已知函数在[0，1]上单调递增，且满足，若对任意，有，则方程在[0，12]上解的个数是（   ） A．1 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】先利用对称性和递推关系分析函数在各区间的单调性与函数值，再分段判断的解的个数并汇总. 【详解】由可知函数的图象关于对称，函数在上单调递增，那么函数在上单调递减，因此函数在上的最大值为； 又，则，，，，，，，，，，； 接下来分段分析的解： 在：最大值为，无解； 在：，且函数在递增，递减，故是唯一解； 在：，，且函数在递增，递减，因此在这两个小区间里各有一个解，即共两个； 在：同理，，，函数先增后减，有两个解； 在：同理，，，有两个解； 在：同理，，，有两个解； 将各区间解的个数相加：，因此，在上的解个数为9. 故选：C 【考法预测3】若的值域为，则至多有_______个零点. 【答案】 【分析】根据得到的表示，然后分类讨论的可取值，由此可确定出结果. 【详解】令，则或，且， 若，则， 若，则， 所以的零点只能从集合中选取，故的零点至多有个， 故答案为：. 考点09 函数零点的和、差、积、商问题 典例1．（多选）（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 【考法预测1】（多选）（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数的图象与直线交于不同的三点，，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先通过对称性、导数与极值判断选项A、B的正确性，再利用三次方程韦达定理结合函数根的分布分析选项C、D的取值范围. 【详解】对于A：因为，所以的图象关于点中心对称，A正确； 对于B：，令，得或；令0，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值，极大值为； 当2时，取得极小值，极小值为， 作出函数的大致图象，如图所示， 要使得函数的图象与直线交于不同的三点，则，B正确； 对于C：令，解得或；令，解得或，所以. 令，则的三个根分别为， 则， 所以，由于，所以， 即的取值范围是，C错误； 对于D：. 因为，所以当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 【考法预测2】（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将函数有四个不同的零点，转化为函数和有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程 的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又因为函数有四个不同的零点， 所以函数和有四个不同的交点， 如图所示： 由图知，， 设为方程 的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以， 所以， 令，， 所以在上单调递增， 因为 ， ， 所以的值域为， 即的取值范围为． 【考法预测3】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______. 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类作出函数的图象，数形结合求出的范围；再利用方程根的意义，结合基本不等式求出范围. 【详解】当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 观察图象知，当且仅当且，即时，函数的图象及直线有3个交点， 即方程有三个不相等的实数根，不妨令， 则，由，得，即， 因此，则，所以. 考点11 函数零点大小的比较 典例1．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 【考法预测1】（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 【考法预测3】（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 考点12 二分法求方程的近似解 典例1．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零点所在区间及零点的近似值. 【详解】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 【考法预测1】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 【考法预测2】已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 【考法预测3】我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 【答案】 【分析】由“调日法”的计算方法即可求得答案. 【详解】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 考点13 函数方程的综合问题 典例1．（2026·北京海淀·二模）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知当时，，当时，，进而分，，三种情况，数形结合求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以，当，即，作出函数的图象，如图， 显然，当，都有，且， 所以, 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，都有，且 所以， 当，即时，作出函数的图象，如图， 当时，则需满足，即，解得， 所以， 综上，，即的取值范围为. 【考法预测1】（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数确定相应零点的取值范围，进而可求解. 【详解】对于，满足，函数是R上的增函数， 又，， 因此 ，即， 对于，满足 ，因为，，故， 对于，满足 ，函数 是上的增函数， 又 ， ， 因此 ，即， 综上，大小关系为. 【考法预测2】（2026·海南儋州·二模）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 【答案】 【分析】先设出幂函数的解析式，结合已知条件求其指数，再利用对数运算性质化简得到的解析式，最后通过换元结合指数函数单调性求解方程. 【详解】设幂函数（为常数），由，得， 两边取自然对数得，故， 因此 ， 由 ， 可得， 因为 在定义域上单调， 因此，又， 故 ， 将 代入得： ， 令 ，方程转化为： ， 化简得， 两边同除，得 当时，左边 ，满足等式， 设，由解析式可知其在上单调递减， 因此 有唯一解， 由 ，解得， 即方程的实数解为. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）设方程的根为a，方程的根为b，求的值． 【答案】 【分析】先化简得出，，再结合函数图象应用反函数的对称性解题. 【详解】将方程整理得，． 如图可知，a是指数函数的图像与直线交点A的横坐标， b是对数函数的图像与直线交点B的横坐标． 由于函数与互为反函数，所以它们的图像关于直线对称， 由题意可得出A、B两点也关于直线对称，于是A、B两点的坐标为，． 而A、B都在直线上，所以（A点坐标代入），或（B点坐标代入）， 故． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 2．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 3．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数图象，即可得到判断. 【详解】作出函数图象： 因为 方程化为，方程恰有三个不同的实数解， 等价于的图象有三个不同的交点， 所以由图可得，当，即时符合题意， 故选：C 4．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 5．（多选）（25-26高三上·陕西·期末）已知函数，则（    ）． A．， B．在上单调递增 C．是偶函数 D．函数有3个零点 【答案】BD 【分析】根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性、偶函数的定义、函数零点的定义、数形结合思想逐一判断即可. 【详解】依题意，．作出其函数图像如下: 对于A，，，故A错误； 对于B，在上单调递增，故B正确； 对于C，设，则， 所以是奇函数，故C错误； 对于D，的零点个数即与的图象的交点个数， 在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象，如图，观察可知， 两图象有3个交点，则有3个零点，故D正确． 故选：BD    6．（多选）（2027高三·全国·专题练习）（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石．简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别对每个选项令函数值等于自变量，转化为方程是否有解的问题，通过解方程或构造函数利用图象法判断是否存在实数根，从而确定是否为“不动点”函数. 【详解】选项A，若，则，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数； 选项B，若，则，解得或，故该函数是“不动点”函数； 选项C，若，则，化简可得，且， 解得，故该函数是“不动点”函数； 选项D，若，则，即， 作出与的函数图象，如图， 由图可知，方程有实数根，即存在， 使，故该函数是“不动点”函数． 故选：BCD. 7．（2026·河南焦作·一模）已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 【答案】9 【详解】为上的奇函数，所以，因为函数周期为1， 所以， 又由，且， 可得，即函数关于中心对称，则， 所以函数在区间内至少有9个零点． 8．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 【答案】 140 【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解. 【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数， 如下图： 由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点， 故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是， 若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是， 设4个元素由小到大为， 则，即，得， ，即，得， ，即，得， ，即，得， 所以， 故当时，取得最小值140. 能力进阶 1．（2026·湖南怀化·三模）已知函数，若有唯一解，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】令，根据的单调性得到当时，有唯一解，从而得到当时，有唯一解. 【详解】令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，， 又， 所以当时，有唯一解，此时， 所以当时，有唯一解. 所以实数的值是. 2．（2026·北京石景山·二模）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将存在个零点转化为函数与的图象有2个交点，先讨论与相切的情况，再将平移讨论的范围，数形结合即可求解. 【详解】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解， 即函数与的图象有2个交点. 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 先求与相切的情况： 设切点为，因为，所以，所以，所以切点为， 代入切线方程，得. 当时，直线与相切于点， 同时与有个交点，此时共2个交点； 当时，直线与有个交点， 与有个交点，共2个交点； 当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点； 当时，直线与无交点，与无交点，共个交点； 综上，存在2个零点时，的取值范围是. 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 4．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 5．（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 6．（多选）（25-26高三下·河北·开学考试）若存在，使，称为“xf点”，为“xf函数”，则（    ） A．是“xf函数” B．是“xf函数” C．最多存在4个不同的“xf点” D．存在幂函数，使得对任意， 【答案】BCD 【分析】A：假设是“xf函数”，得出存在，，构造函数研究其零点即可；B：利用零点存在性定理判断；C：化简即可；D：设，根据条件解方程即可. 【详解】A选项，若是“xf函数”， 则存在，使，显然，则有， 令，则，其在上单调递减， 因为，， 所以存在使得，， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 故， 因为在上单调递增， 所以， 则方程无解，故A错误； B选项，若是“xf函数”， 则存在，使， 令， 因为，， 所以由零点存在性定理可知，存在，使，故B正确； C选项，若是“xf函数”， 则存在，使， 即，该四次方程，最多有四个不同的实根， 故最多存在4个不同的“xf点”，故C正确； D选项，假设存在幂函数，使得对任意，， 可设，则对任意，， 则，即，得，故D正确. 7．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数，若实数，，满足且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】分析分段函数的图象与性质，结合已知条件得到，，的范围并求出的值，进而求出的取值范围. 【详解】函数可写为，作出简图如下： 因为且，结合图像可知， ，，，，，. 由可得，，所以. 又，所以，故. 故答案为：. 8．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数且，则__________，当时，曲线与直线恰有一个公共点，写出一个满足条件的值________. 【答案】 1（答案不唯一，写出“或”范围内的任意一个值即可） 【分析】代入，解方程可得空1的答案；令，作出的图象，数形结合可得空2答案. 【详解】由 得 ，即 ，又 ，解得 ； 此时 ， ， 当 时，令，作出的图象， 由题意得：曲线 与直线 恰有一个公共点时， 即曲线 与直线 恰有一个交点，故或. 故答案为：；1（答案不唯一，写出“或”范围内的任意一个值即可） 9．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，根据函数为偶函数求出上的函数解析式即可； （2）令，则只需要即可，易得为偶函数，则只需求出函数在上的最大值即可； （3）易得为偶函数，则函数在上有且仅有2个不同的零点，分离参数可得，构造函数，利用双勾函数的性质作出函数的图象即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； （2）对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为， 所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，， 则， 所以； （3）因为， 所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令， 则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. 真题实战 1.（2026年高考Ⅱ卷真题）若函数有两个零点，则m的取值范围是 【答案】 【详解】由得，令，则函数图像与直线有两个交点，又因为，故函数在上单调递增，在上单调递减，且，又，故. 2．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 3．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 6．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 7．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. (2)（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 9．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $