第12讲 函数与方程·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程核心考点，涵盖函数零点、方程根与零点关系、零点存在性定理及二分法，按考情分析、知识清单、典题精练、高考真题逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建从概念理解到综合应用的解题框架，体现复习教学的系统性和针对性。 讲义以数形结合和逻辑推理为特色，如在判断零点个数时引导学生转化为函数图象交点问题，培养数学思维与几何直观能力。典题精练按考点分层设计不同考法，配合高考真题演练，确保学生高效突破参数范围、复合函数零点等难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第12讲 函数与方程 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 一、函数的零点 2 二、方程的根与函数零点的关系 2 三、零点存在性定理 2 四、二分法 2 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 2 三、典题精讲 3 考点一：函数零点所在区间的判断与二分法 3 考点二：判断函数零点或方程根的个数 4 考点三：已知零点个数求参数范围 6 考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题 9 考点五：函数零点的综合应用 10 四、高考真题 12 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2026 6题 单选题 5分 间接 考察函数最值问题中的方程思想，通过极值点与最值构建方程组，求解超越方程得出参数值 2025 8题 单选题 5分 间接 考察对数方程根的大小比较，需构造指数函数图象，通过交点位置判断根的大小关系 2024 7题 单选题 5分 直接 考察三角函数图象交点个数，将方程根的个数转化为两函数图象的交点个数 近三年全国一卷中，函数与方程思想的考查频次较为稳定，常以单选题形式出现.考查方式既有直接判断图象交点个数，也常作为核心解题工具隐藏在导数或对数综合题中. 2. 命题角度与特色 核心考点：重点考查函数图象交点个数的判断，以及利用函数图象交点位置分析方程根的大小关系. 命题趋势：常与三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数结合，呈现跨模块交汇考查的趋势. 试题特点：题目灵活性强，对代数变形能力和空间想象（画图）能力要求高，往往需要精准绘制函数草图. 3. 备考策略 · 熟练掌握各类基本初等函数的图象特征，做到能快速、准确地绘制函数草图. · 强化数形结合思想的训练，遇到方程根的个数或大小比较问题时，优先考虑转化为函数图象交点问题. · 注意积累三角函数周期性、对称性在图象交点问题中的应用技巧. 二、知识清单 一、函数的零点 对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点. 【防坑警示】 零点是一个实数，即方程的根，而不是坐标系中的一个点（坐标）.表述为“函数的零点为 ”，严禁表述为“函数的零点为 ”. 二、方程的根与函数零点的关系 方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点. 三、零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ， 也就是方程 的根. 【易错提醒】 函数在区间 上连续且 是函数在 内有零点的充分不必要条件.若函数在区间内有零点，不一定有 （例如图像与 轴相切或有偶数个零点的情况）. 四、二分法 对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 · （1）确定区间 ，验证 ，给定精度 . · （2）求区间 的中点 . · （3）计算 .若 ，则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点 ）.若 ，则令 （此时零点 ）. · （4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）-（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 三、典题精讲 考点一：函数零点所在区间的判断与二分法 考法1：利用零点存在性定理判断零点所在区间 例1.已知函数，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】观察方程形式，直接代入函数解析式及其导数，化简得到一个新的超越方程.面对超越方程求解的区间，可构造新函数，利用导数探究其单调性，再结合零点存在性定理，分别计算各区间端点的函数值符号，寻找异号区间即可锁定答案. 【解析】，所以 . 因为 是方程的一个解， 所以 是方程的解，令， 则，当时，恒成立， 所以 单调递增. 又，， 所以 . 考法2：二分法求方程的近似解 例2.用二分法求函数 的一个零点，根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解 (精确到 ) 为 (参考数据：，，，，) A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据二分法的核心原理，零点必定存在于函数值异号的区间内.结合题目提供的参考数据，计算区间端点的函数值，逐步缩小异号区间的范围，最后取该区间的中点作为满足精确度要求的近似解. 【解析】由题意可知：，.又因为函数在 上连续，所以函数在区间 上有零点，约为 . 【考点一 方法总结】 · 判断函数零点所在区间时，先将方程转化为函数零点问题，构造函数并求导确定单调性，再选取合适的整数或特殊值代入，利用零点存在性定理寻找函数值异号的区间端点. · 利用零点存在性定理时需注意：若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点；函数通过零点时函数值不一定变号；在闭区间上有零点，不一定能推出端点函数值异号. · 使用二分法求近似解时，核心在于“不断取中点，判断异号区间”.每次计算中点函数值后，保留与中点函数值异号的端点，舍弃同号端点，直到区间长度小于精确度要求，此时区间内任意一点（通常取中点）均可作为近似解. 考点二：判断函数零点或方程根的个数 考法1：数形结合判断交点个数 例3.（2026·广东佛山·检测）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】面对多个不同类型的曲线交点问题，纯代数求解会非常繁琐.可以借助导数工具，先精确描绘出已知三次函数的图象走势（包括极值点、单调性等），然后分别分析四个选项中曲线的几何特征（如对称性、特殊点），在同一坐标系中画出草图，通过数形结合直观清点交点个数. 【解析】因为 的定义域为 ，且 . 令 ，解得 或 ；令 ，解得 . 可知函数 在 ， 内单调递增，在 内单调递减. 当 时，函数 取到极大值 2；当 时，函数 取到极小值 . 且当 时，函数 ；当 时，函数 . 对于选项 A：分别作出曲线 和曲线 的图象， 由图象可知：曲线 与曲线 有 3 个交点. 对于选项 B：曲线 ， 用 替换 可得 ，即 ，方程不变，曲线 关于 y 轴对称； 用 替换 可得 ，即 ，方程不变，曲线 关于 x 轴对称； 且当 且 时，曲线 即为 . 据此可得曲线 和曲线 的图象，如图所示： 由图象可知：曲线 与曲线 有 6 个交点. 对于选项 C：曲线 即为 ， 由图象可知：曲线 与曲线 有 4 个交点. 对于选项 D：曲线 即为 ， 由图象可知：曲线 与曲线 有 5 个交点. 综上，与曲线 交点个数最多的是 . 考法2：利用函数的性质与导数判断零点个数 例4.已知函数 ，若函数 ，则函数 的零点个数为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据新函数的定义式，先探究其奇偶性，发现具有奇偶性后，可将研究范围缩小至一半区间（如大于零的部分）.在大于零的区间上，写出函数的具体解析式，利用导数分析其单调性与极值，结合零点存在性定理确定该区间的零点个数，最后利用对称性得出总零点个数. 【解析】当 时，，；当 时，，. 所以 ，，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数. 所以求出 时零点个数即可，，，令 ，解得 . 故 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，而 ，故 在 有 个零点，，故 在 上有 个零点. 故 在 上有 个零点，又因为其为奇函数，则其在 上也有 个零点，且 ，故 共 个零点. 【考点二 方法总结】 · 处理曲线交点个数或方程根的个数问题时，首选数形结合法.画图的核心在于找准关键点（极值点、与坐标轴交点）和渐近趋势，对于含有绝对值的方程，可通过对称性快速还原整体图象. · 对于结构对称的新函数，优先考察其奇偶性.若为奇函数或偶函数，只需研究半个周期的零点分布，再通过对称性翻折即可. · 利用导数确定函数的单调性与极值点，结合零点存在性定理，是判断各单调区间内零点个数的核心手段. 考点三：已知零点个数求参数范围 考法1：分离参数法求参数范围 例5.（2026·山东名校联盟·检测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】面对含有参数的函数零点问题，分离参数是首选策略.将方程转化为参数等于一个不含参函数的形式，随后利用导数深入剖析这个新函数的单调性、极值以及趋于无穷时的极限状态，画出其草图，最后通过水平直线与草图的交点个数来锁定参数的范围. 【解析】由，得. 令，则. 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以 在 处取得极大值，也是最大值，. 又当时，；当时，，且. 画出的大致图象，要使有且只有一个零点，即直线与的图象只有一个交点， 结合图象可知，或. 所以实数 的取值范围为 . 考法2：分段函数的零点问题 例6.已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，求 的取值范围. 【答案】 【思路】将零点问题转化为分段函数图象与直线交点的问题.由于分段函数在不同区间有不同的解析式，需要分段列出方程.对于每一段，将其转化为熟悉的一元二次方程，利用判别式、对称轴位置及区间端点值等条件，探讨根的分布情况，通过分类讨论参数的正负，综合得出符合总交点数为三个的参数范围. 【解析】当 时，. 因为 恰有三个不同的零点，函数 在 上恰有三个不同的零点，即 有三个解，而 无解，故 . 当 时，函数 在 上恰有三个不同的零点， 即 ，即 与 的图象有三个交点. 当 时， 与 有交点， 所以 ，即 在 上有根. 令 ，当 时，抛物线开口向下，.此时 ，若 即 ，由两根之和为 ，两根之积为 ，可知方程有两个正根.此时 有两个交点. 而当 时， 与 的交点： . 因为 ，令 . （因为 ）. 所以 在 上有且仅有一个根（因为两根之积 ，一正一负）. 所以当 时， 有 2 个交点， 有 1 个交点，共 3 个交点.符合题意. 若 ，，开口向上，两根之积为 ，所以必有一正一负根. 因此 时，必有且仅有 1 个交点. 要使总共有 3 个交点，则 时， 必须有两个非正根. 所以需满足： 解得 . 综上， 的取值范围是 . 考法3：利用同构或换元法求参数范围 例7.（2026·江西宜春·一模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数解，则正实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】方程结构复杂，含有指数和一次项.尝试通过代数变形，将方程两边整理成结构相同的形式，从而利用同构思想构造出一个单一的新函数.接着，将原方程解的个数问题转化为该新函数与某常数（或含参表达式）的交点问题，借助导数分析新函数的单调性即可破局. 【解析】方程 可化为 ，两边取对数得 . 令 ，则 ，方程化为 ，即 . 令 ，因为 ，若 显然无两解，故 ，，此时 . 代入得 ，即 . 令 ，则方程化为 . 因为 在 上单调递增，在 上单调递减，要使方程有两个不相等的实数解，需满足 ， 即 ，解得 . 综上，正实数 的取值范围是 . 【考点三 方法总结】 · 含参方程零点问题首选分离参数法，将动态的零点问题转化为静态的图象交点问题.在绘制新函数图象时，不仅要找准极值点，还必须关注定义域边界及无穷远处的函数极限趋势. · 处理分段函数的零点问题时，将其拆解到各个子区间内分别讨论.转化为二次方程根的分布问题后，结合判别式、对称轴、区间端点函数值这三大条件构建不等式组即可求解. · 对于结构复杂的超越方程，尝试通过取对数、指数化等代数变形，将等式两边凑成 的形式（同构法），从而将问题转化为研究函数 的单调性与极值. 考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题 考法1：嵌套方程的零点问题 例8.定义在 R 上函数，若函数关于点对称，且，则关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ 　　） A. 2 B. 4 C. 2 或 4 D. 2 或 4 或 6 【答案】B 【思路】首先利用图象平移和对称性，推导出原函数具有奇偶性，从而补全整个定义域上的函数图象.对于嵌套形式的方程，采用换元法，令内层函数为中间变量，先解外层的一元二次方程，再结合原函数的图象，分析每个中间变量对应的原方程实数解的个数. 【解析】因为函数 关于点 对称，所以 是奇函数， 时， 在 上递减，在 上递增. 作出函数 的图象，如图，由图可知 的解的个数是 1，2，3. 或 时， 有一个解， 时， 有两个解， 时， 有三个解. 方程 中设 ，则方程化为 ，其判别式为 恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设 . 若 ，则 ，， 和 都有两个根，原方程有 4 个根； 若 ，则 ，，所以 ，， 有三个根， 有一个根，原方程共有 4 个根； 若 ，则 ，，所以 ，， 有一个根， 有三个根，原方程共有 4 个根. 综上原方程有 4 个根. 【考点四 方法总结】 · 处理嵌套函数方程 时，基本原则是“由外及内”.先解外层方程求出 的所有可能值，再转化为水平直线与 图象的交点问题. · 对于二次嵌套方程，常利用韦达定理判断内外层交点的位置关系（如两根之和、两根之积的正负），进而结合内层函数的图象确定总的实数解个数. 考点五：函数零点的综合应用 考法1：利用对称性求零点之和 例9.（2026·湖南联盟·3月联考）函数 的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】函数解析式中含有绝对值和根号，直接求解零点几乎不可能.观察内部代数式的结构，尝试寻找函数的对称性.一旦确认了对称轴，只需利用导数或复合函数单调性判断函数在对称轴一侧的单调性与值域，确定一侧的零点个数，即可利用对称性直接求出所有零点之和. 【解析】令 ，. 则 . 所以 的图象关于直线 对称. 当 时， 在 上单调递增. 当 时，，则 . 所以 在 上单调递减. 结合 的图象关于直线 对称可得： 在 上单调递增. 又 ， 且当 时，. 所以 有 4 个交点，且关于 对称. 故 有 4 个零点，且关于 对称. 则所有零点的和为 . 考法2：方程多根的代数式求值或范围 例10.已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】面对分段函数多根求值域的问题，画出函数的精确草图是破题的关键.设出公共的函数值，利用图象确定各个根所在的具体区间，将各个根用该公共函数值表示出来，代入目标代数式中，即可将多变量问题转化为单一变量的函数求值域问题. 【解析】画出分段函数 的图象， 令互不相等的实数 ，， 满足 ，， 则 ，，， 则 ， ， 所以 . 又 时，， 所以 ， 又 ，所以 ， 所以 . 【考点五 方法总结】 · 求复杂函数多个零点之和时，往往暗示函数存在对称中心或对称轴.通过代数变形验证 或 ，确定对称性后，零点成对出现，其和即为对称轴横坐标的倍数. · 处理“”类多根求值域问题，核心是“统一变量”.通过解析式反解出各个 关于 的表达式，再代入所求代数式，结合图象确定的 的取值范围，即可顺利求出目标范围. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）当 时，曲线 与 的交点个数为 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】因为函数 的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为 ， 所以在 上函数 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有 6 个交点. 故选：C. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数与方程 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 一、函数的零点 2 二、方程的根与函数零点的关系 2 三、零点存在性定理 2 四、二分法 2 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 3 三、典题精练 3 考点一：函数零点所在区间的判断与二分法 3 考点二：判断函数零点或方程根的个数 4 考点三：已知零点个数求参数范围 4 考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题 5 考点五：函数零点的综合应用 5 四、高考真题 6 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2026 6题 单选题 5分 间接 考察函数最值问题中的方程思想，通过极值点与最值构建方程组，求解超越方程得出参数值 2025 8题 单选题 5分 间接 考察对数方程根的大小比较，需构造指数函数图象，通过交点位置判断根的大小关系 2024 7题 单选题 5分 直接 考察三角函数图象交点个数，将方程根的个数转化为两函数图象的交点个数 近三年全国一卷中，函数与方程思想的考查频次较为稳定，常以单选题形式出现.考查方式既有直接判断图象交点个数，也常作为核心解题工具隐藏在导数或对数综合题中. 2. 命题角度与特色 核心考点：重点考查函数图象交点个数的判断，以及利用函数图象交点位置分析方程根的大小关系. 命题趋势：常与三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数结合，呈现跨模块交汇考查的趋势. 试题特点：题目灵活性强，对代数变形能力和空间想象（画图）能力要求高，往往需要精准绘制函数草图. 3. 备考策略 · 熟练掌握各类基本初等函数的图象特征，做到能快速、准确地绘制函数草图. · 强化数形结合思想的训练，遇到方程根的个数或大小比较问题时，优先考虑转化为函数图象交点问题. · 注意积累三角函数周期性、对称性在图象交点问题中的应用技巧. 二、知识清单 一、函数的零点 对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点. 【防坑警示】 零点是一个实数，即方程的根，而不是坐标系中的一个点（坐标）.表述为“函数的零点为 ”，严禁表述为“函数的零点为 ”. 二、方程的根与函数零点的关系 方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点. 三、零点存在性定理 如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ， 也就是方程 的根. 【易错提醒】 函数在区间 上连续且 是函数在 内有零点的充分不必要条件.若函数在区间内有零点，不一定有 （例如图像与 轴相切或有偶数个零点的情况）. 四、二分法 对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 · （1）确定区间 ，验证 ，给定精度 . · （2）求区间 的中点 . · （3）计算 .若 ，则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点 ）.若 ，则令 （此时零点 ）. · （4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）-（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 三、典题精练 考点一：函数零点所在区间的判断与二分法 考法1：利用零点存在性定理判断零点所在区间 例1.已知函数，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ 　　） A. B. C. D. 考法2：二分法求方程的近似解 例2.用二分法求函数 的一个零点，根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解 (精确到 ) 为 (参考数据：，，，，) A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 · 判断函数零点所在区间时，先将方程转化为函数零点问题，构造函数并求导确定单调性，再选取合适的整数或特殊值代入，利用零点存在性定理寻找函数值异号的区间端点. · 利用零点存在性定理时需注意：若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点；函数通过零点时函数值不一定变号；在闭区间上有零点，不一定能推出端点函数值异号. · 使用二分法求近似解时，核心在于“不断取中点，判断异号区间”.每次计算中点函数值后，保留与中点函数值异号的端点，舍弃同号端点，直到区间长度小于精确度要求，此时区间内任意一点（通常取中点）均可作为近似解. 考点二：判断函数零点或方程根的个数 考法1：数形结合判断交点个数 例3.（2026·广东佛山·检测）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（ 　　） A. B. C. D. 考法2：利用函数的性质与导数判断零点个数 例4.已知函数 ，若函数 ，则函数 的零点个数为 A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 · 处理曲线交点个数或方程根的个数问题时，首选数形结合法.画图的核心在于找准关键点（极值点、与坐标轴交点）和渐近趋势，对于含有绝对值的方程，可通过对称性快速还原整体图象. · 对于结构对称的新函数，优先考察其奇偶性.若为奇函数或偶函数，只需研究半个周期的零点分布，再通过对称性翻折即可. · 利用导数确定函数的单调性与极值点，结合零点存在性定理，是判断各单调区间内零点个数的核心手段. 考点三：已知零点个数求参数范围 考法1：分离参数法求参数范围 例5.（2026·山东名校联盟·检测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法2：分段函数的零点问题 例6.已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，求 的取值范围. 考法3：利用同构或换元法求参数范围 例7.（2026·江西宜春·一模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数解，则正实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【考点三 方法总结】 · 含参方程零点问题首选分离参数法，将动态的零点问题转化为静态的图象交点问题.在绘制新函数图象时，不仅要找准极值点，还必须关注定义域边界及无穷远处的函数极限趋势. · 处理分段函数的零点问题时，将其拆解到各个子区间内分别讨论.转化为二次方程根的分布问题后，结合判别式、对称轴、区间端点函数值这三大条件构建不等式组即可求解. · 对于结构复杂的超越方程，尝试通过取对数、指数化等代数变形，将等式两边凑成 的形式（同构法），从而将问题转化为研究函数 的单调性与极值. 考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题 考法1：嵌套方程的零点问题 例8.定义在 R 上函数，若函数关于点对称，且，则关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ 　　） A. 2 B. 4 C. 2 或 4 D. 2 或 4 或 6 【考点四 方法总结】 · 处理嵌套函数方程 时，基本原则是“由外及内”.先解外层方程求出 的所有可能值，再转化为水平直线与 图象的交点问题. · 对于二次嵌套方程，常利用韦达定理判断内外层交点的位置关系（如两根之和、两根之积的正负），进而结合内层函数的图象确定总的实数解个数. 考点五：函数零点的综合应用 考法1：利用对称性求零点之和 例9.（2026·湖南联盟·3月联考）函数 的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿. 考法2：方程多根的代数式求值或范围 例10.已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【考点五 方法总结】 · 求复杂函数多个零点之和时，往往暗示函数存在对称中心或对称轴.通过代数变形验证 或 ，确定对称性后，零点成对出现，其和即为对称轴横坐标的倍数. · 处理“”类多根求值域问题，核心是“统一变量”.通过解析式反解出各个 关于 的表达式，再代入所求代数式，结合图象确定的 的取值范围，即可顺利求出目标范围. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）当 时，曲线 与 的交点个数为 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $