第五章 三角函数（暑假单元自测）新高一年级数学人教A版

**基本信息** 聚焦高中数学三角函数单元，覆盖重难点题型，适配暑假自测，检测学习成果。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角函数值、图像变换、扇形面积|基础巩固，图像分析（数学眼光）| |多选|3/18|单调性、平移伸缩|能力提升，多选项辨析（数学思维）| |填空|3/15|三角恒等变换、单调区间|综合应用，概念辨析| |解答|5/77|解析式求解、实际建模（白昼时间/物理现象）|创新应用，数学语言表达现实问题|

第4章 三角函数 单元自测卷 答案与解析 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟. 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．将改写成的形式是（   ） A． B． C． D． 3．已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 5．若函数的部分图象如图，则（ ） A． B． C． D． 6．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 7．函数，的图像可能是下列图形中的 A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，且，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ） A． B．2 C． D． 10．要得到函数的图象，不能将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍 B．向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的 C．向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍 D．向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的. 11．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数关于直线对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数 D．不等式的解集为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．的值为______． 13．已知函数，，则函数的单调递增区间为_____________；函数的值域为_____________． 14．若函数在区间上单调递增，则的最大值为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知f (α)＝. （1）化简f(α)； （2）若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； （3）若α＝－，求f(α)的值． 16．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间． 17．在某地，估计某一天的白昼时间的小时数的表达式是，其中表示某天的序号，表示1月1日，依此类推． (1)问哪一天白昼时间最长？哪一天最短？ (2)估计在该地一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？ 18．已知某物理现象符合函数的关系式，试求： (1)该物理现象重复一次出现的周期以及最大值； (2)求该函数的零点的集合； (3)若对于恒成立，求的最小值． 19．已知函数，且的最小正周期为． (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 三角函数 单元自测卷 答案与解析 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟. 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数诱导公式即可求解. 【详解】解：． 故选：A． 2．将改写成的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得． 故选：D. 3．已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，得，解出,利用扇形的面积公式求解即可. 【详解】由题意，得，解得 故． 故选：A 4．若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正余弦函数的图象及性质判断即可. 【详解】结合正余弦函数的图象可知， 的对称中心和的对称轴在一条直线上， 所以若的对称中心为， 则函数的一条对称轴为． 故选：B. 5．若函数的部分图象如图，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵由题中图象可知.∴.∴.∴. 故选B. 6．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 【答案】A 【详解】由＝5，得＝5，即tanα＝2. 所以sin2α－sinαcosα＝＝＝. 故选：A． 7．函数，的图像可能是下列图形中的 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 可得函数为偶函数，排除A选项； 且 ，排除D选项； ，排除B选项； 故选：C. 8．已知函数的部分图象如图所示，且，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的图像和性质求出，再根据，求出，再利用平方关系求出. 【详解】由题得A=3, 由题得. 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，即可根据函数图像的平移求解. 【详解】当，时，， 由于在上单调递减，故应有， 故，且， 解得，故只能为0，则． 故选：ACD 10．要得到函数的图象，不能将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍 B．向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的 C．向右平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍 D．向左平移个单位长度，再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的. 【答案】ABC 【分析】先利用辅助角公式，把化成，再结合三角函数的图象变换进行判断即可. 【详解】因为. 对A：将的图象向左平移个单位，得， 再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得，得不到. 对B：将的图象向右平移个单位，得， 再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的，得，得不到. 对C：将的图象向右平移个单位，得， 再把图象上的各个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得，得不到. 对D：将的图象向左平移个单位，得， 再把图象上的各个点的纵坐标缩小到原来的，得. 故选：ABC 11．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数关于直线对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可知，最小正周期， 由，，得，故A正确； 对于B，由题意可知，当，时， 解得函数的对称轴为，， 当，解得，不成立， 所以函数不关于直线对称，故B错误； 对于C，由题意可知，将的图象向左平移个单位长度得到，， 此时函数是奇函数，故C正确； 对于D，由，得，， 所以的解集为，故D正确． 故选：ACD． 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．的值为______． 【答案】－1 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 13．已知函数，，则函数的单调递增区间为_____________；函数的值域为_____________． 【答案】 【分析】利用整体代入法求函数的单调递增区间；由，有，结合正弦函数的性质求的值域. 【详解】令，解得， 故，令，解得， 故函数的单调递增区间为． 因为，所以， 所以，故函数的值域为． 故答案为：； 14．若函数在区间上单调递增，则的最大值为________________. 【答案】9 【分析】根据正弦函数的单调性，建立不等式关系即可求解的最大值. 【详解】函数在区间上单调递增， 则 ，解得， 由，得，故当时，， 又，所以的最大值为9. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知f (α)＝. （1）化简f(α)； （2）若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； （3）若α＝－，求f(α)的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用诱导公式化简即可. （2）由（1）可得，再利用同角三角函数的基本关系：将式子平方即可求解. （3）由（1）利用诱导公式化简即可求解. 【详解】（1）由三角函数的诱导公式，可得 . （2）由，即， 又由， 因为，可得，所以. （3）由， 可得 . 16．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1）．（2）函数的减区间为． 【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． （2）利用正弦函数的减区间求得函数的单调递减区间． 【详解】（1）已知函数， 在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值. 故，函数的周期，则， 由，由五点法作图得，而，则， 所以函数的解析式是. （2）由（1），令，解得， 所以函数的单调递减区间是. 17．在某地，估计某一天的白昼时间的小时数的表达式是，其中表示某天的序号，表示1月1日，依此类推． (1)问哪一天白昼时间最长？哪一天最短？ (2)估计在该地一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？ 【答案】(1)6月20日最长，12月20日最短 (2)243天 【分析】（1）易知，对应的是6月20日；时，取得最小值； （2）解不等式即可. 【详解】（1）白昼时间最长的一天，即取得最大值的一天， 此时，对应的是6月20日（闰年除外）． 类似地，时，取得最小值，即12月20日白昼最短． （2），即， ， ． 该地一年中约有243天的白昼时间超过10.5小时． 18．已知某物理现象符合函数的关系式，试求： (1)该物理现象重复一次出现的周期以及最大值； (2)求该函数的零点的集合； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1)，最大值为1． (2)或 (3) 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式以及正弦函数的最值即可求得答案； （2）令，结合正弦函数的零点，即可求得答案； （3）由，确定，进而求出，结合题意可确定的范围，即可求得答案. 【详解】（1）由， 可得其最小正周期， 当，即时，函数的最大值为1． （2）由，得，所以或， 即或， 故函数的零点的集合为或． （3）因为，所以，所以，则， 因为对于恒成立，所以且， 若使最小，则当且时，为的最小值． 19．已知函数，且的最小正周期为． (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据周期求出，结合正弦函数的性质求出对称中心； （2）利用参变分离，以及令，求出的最小值即可. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，得， ． 令，得，故其图象对称中心为． （2）， 所以可化为． 若，则，则， 由题意可得，对任意恒成立， 设，则， 则， 因为在上是增函数，所以当时，． 则， 故实数的取值范围是． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $