第四章 指数函数与对数函数（暑假单元自测）新高一年级数学人教A版

**基本信息** 人教A版高中数学第4章指数函数与对数函数单元卷，120分钟150分，19题覆盖单选、多选、填空、解答，考点全面且重难点突出，通过航天、市场数据等真实情境考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、单调性、大小比较|第5题结合航天火箭速度公式，考查对数运算应用| |多选|3/18|奇偶性、零点、不等式|第11题综合指数对数不等关系，培养推理意识| |填空|3/15|函数求值、零点区间、解不等式|第14题含绝对值对数不等式，提升运算能力| |解答|5/77|函数模型、新定义“无奇函数”|第18题汽车油耗数据建模，第19题新定义探究，体现应用意识与创新思维|

第4章 指数函数与对数函数 单元自测卷 答案与解析 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟. 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 2．函数的定义域为（ ） A．（，1） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1）∪（1，+∞） 3．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 4．设，且，则（    ） A． B． C． D． 5．航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（    ）倍. A． B． C． D． 6．已知函数若，则m的值为（    ） A． B．2 C．9 D．2或9 7．2023年，通过市场调查，得到肉价在8~11四个月的市场平均价(单位：元/斤)与时间 (单位：月)的数据如下： 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：，，，找出你认为最适合的函数模型，并估计2023年12月份的肉市场的平均价为（　　） A．28 B．25 C．23 D．21 8．对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中在区间上单调递减的函数有（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为减函数 C．有且只有一个零点 D．的值域为 11．下列不等关系中一定成立的是（    ） A． B． C．， D．， 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知函数，若，则________． 13．若函数的零点在区间，内，则________________． 14．已知函数，则满足不等式的范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设． （1）求的值； （2）求的最小值． 16．已知定义在上的奇函数．在时，． (1)试求的表达式； (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 18．汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式. （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 19．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数函数与对数函数 单元自测卷 答案与解析 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟. 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】， ， ， 所以. 2．函数的定义域为（ ） A．（，1） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1）∪（1，+∞） 【答案】A 【详解】解：由解得，所以原函数的定义域为． 3．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ，故， 所以． 4．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以， 又， . 5．航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，， 代入可得， 所以，可得， 可得，即， 所以， 所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍， 6．已知函数若，则m的值为（    ） A． B．2 C．9 D．2或9 【答案】C 【详解】函数，， ∴或，解得. 7．2023年，通过市场调查，得到肉价在8~11四个月的市场平均价(单位：元/斤)与时间 (单位：月)的数据如下： 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：，，，找出你认为最适合的函数模型，并估计2023年12月份的肉市场的平均价为（　　） A．28 B．25 C．23 D．21 【答案】A 【详解】第二组数据近似为，第四组数据近似为， 根据四组数据，，，， 可得先增后减， 而和都是单调函数，故不符合要求， 所以选， 由第二组数据，和第四组数据，可得的图像关于对称， 故时，. 8．对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得=， 因为函数的图象与轴恰有两个公共点， 所以的图象有两个交点，如图：    由图可知，当时，函数的图象有两个公共点， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中在区间上单调递减的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意； B选项:将 图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符合题意； C选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知在上单调递减， 上单调递增，符合题意； D选项：的图像由指数函数 图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在R上单调递增，所以不符合题意。 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为减函数 C．有且只有一个零点 D．的值域为 【答案】AC 【详解】,, , 故为奇函数， 又， 在R上单调递增， ，，， ，，即函数值域为 令，即，解得，故函数有且只有一个零点0. 综上可知，AC正确，BD错误. 11．下列不等关系中一定成立的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】ABC 【详解】A. 因为，所以，故正确 B.因为在上递增，则，因为在上递减，则，所以 ，故正确； C. 因为，所以，，故正确； D. 当时， ，故错误. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知函数，若，则________． 【答案】-7 【详解】根据题意有，可得，所以，故答案是. 13．若函数的零点在区间，内，则________________． 【答案】 【详解】解：因为，所以在上单调递增，又，，，所以函数在上有唯一零点，所以； 14．已知函数，则满足不等式的范围是________. 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，该函数为偶函数， 因为函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数，所以，函数在区间上为增函数，且， 若，即，即，可得， 可得或者，解得或. 故所求x的范围为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设． （1）求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）因为， 所以 （2）当时，在上是减函数, 所以的最小值为． 当时，， 令,则， ， 所以当时，取得最小值，即时，的最小值为 综上知， 的最小值为 16．已知定义在上的奇函数．在时，． (1)试求的表达式； (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，， 因为在时，， 设，则， 则， 故 . （2）解：由题意，可化为 化简可得， 令，， 因为在定义域上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 故． 17．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)；(2)奇函数，证明见解析；(3) 【详解】（1）要使函数有意义,则， 解得，故所求函数的定义域为； （2）证明：由（1）知的定义域为， 设，则, 且，故为奇函数； （3）因为，所以，即 可得，解得,又， 所以， 所以不等式的解集是． 18．汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式. （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【答案】（1）选择函数,（2）这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少 【详解】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上为增函数； 函数在是减函数，所以不符合题意； 而函数的，即定义域不可能为，也不符合题意； 所以选择函数. 由已知数据得： 解得： 所以， （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得： 因为，所以，当时，y有最小值30. 所以，这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L. 19．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)①不是，②是；理由见解析；(2)；(3) 【详解】（1）①因为，符合， 所以不是"无奇"函数； ②恒成立， 所以是“无奇”函数； （2）在无解， 即在无解， 所以 （3）若不是“无奇”函数， 则有解， 即， 即有解， 令， 则 所以，即， 所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $