专题拓展：一元二次方程的根的分布问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

专题拓展：一元二次方程的根的分布问题 类型1：相对于1个值k 角度1：两根均小于k 【例1】关于x的方程有两个负根，求实数m的范围. 【答案】 【详解】令，对称轴为 根据题意，作函数的图象： 则，解得， 所以实数m的范围是； 【方法总结】 根据相对于1个值k之两根均小于k的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等：，两根不相等： 4、解不等式组即可得解. 【变式1-1】已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围______________. 【答案】 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组为 角度2：一根小于k，一根大于k 【例2】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围_______. 【答案】 【详解】设， 根据题意，作函数的图象： 则满足，解得，即实数的取值范围为. 【方法总结】 根据相对于1个值k之一根小于k，一根大于k的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件： 4、解不等式即可得解. 【变式2-1】关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围. 【答案】 【详解】令，由，求得， 综上，实数m的范围是； 角度3：两根均大于k 【例3】已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】令， 因为方程的两根都大于，作函数图如下： 所以由题意可得，解得． 【方法总结】 根据相对于1个值k之两根均大于k的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等：，两根不相等： 4、解不等式组即可得解. 【变式3-1】关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】令， 因为方程的两根都大于，作函数图如下： 则 ． 类型2：相对于2个值m,n（m<n） 角度1：一根小于m，一根∈(m,n) 【例4】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象是： 所以，解得， 所以当时，方程一根小于1，一根大于1且小于2． 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之一根小于m，一根∈(m,n)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等： 4、解不等式组即可得解. 角度2：一根∈(m,n)，一根大于n 【例5】方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】令， 因为程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之一根∈(m,n)，一根大于n的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等： 4、解不等式组即可得解. 角度3：有且只有一根∈(m,n) 【例6】若关于的方程有且只有一个根在区间上，则a的值范围为____________． 【答案】 【详解】令， 当两个根相等时，，解得或2， 当时，，解得，不合题意; 当时，，解得，满足题意. 当两个根不相等时， 因为程有且只有一个根在区间上，所以，解得； 当时，此时方程为 ，根为和 ，，，满足题意. 当时，此时方程为，根为 和，1，5，不合题意; 所以实数的取值范围为. 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之有且只有一根∈(m,n)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图：或或 3、控制条件：两根不相等：（一定要验证端点，以防漏解） 或 两根相等：先计算出参数值，再求根看是否∈(m,n)； 4、解不等式组即可得解. 角度4：两个根均∈(m,n) 【例7】若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 【答案】 【详解】设，由题可知，若都在区间内，则大致图象是： 则需满足，所以解得． 故答案为：. 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之两个根均∈(m,n)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等： 或 两根不相等： 4、解不等式组即可得解. 角度5：一根小于m，一根大于n 【例8】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【详解】设， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之一根小于m，一根大于n的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件： 4、解不等式组即可得解. 类型3：相对于三个值m,n,k （m<n<k） 角度1：一根∈(m,n)，另一根∈(n,k) 【例9】关于的方程的两个根分别位于区间，内，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令， 方程的两根分别在区间和内，作的大致图象： 则，即，即. 【方法总结】 根据相对于三个值m,n,k （m<n<k）之一根∈(m,n)，另一根∈(n,k)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件： 4、解不等式组即可得解. 【变式9-1】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是_____ 【答案】 【详解】∵方程的一根在区间(−1，0)内，另一根在区间(0，2)内， ∴函数的两个零点一个在区间(−1，0)内， 另一个在区间(0，2)内， 则，解得， ∴m的取值范围是. 类型4：相对于4个值m,n,k,t （m<n<k<t） 角度1：一根∈(m,n)，一根一根∈(k,t) 【例10】方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】设，开口向上， 由题意得，解不等式得 实数m的取值范围是. 【方法总结】 根据相对于4个值m,n,k,t （m<n<k<t）之一根∈(m,n)，一根一根∈(k,t)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件： 4、解不等式组即可得解. 【变式10-1】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】令， 由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间内， 只需，解不等式组可得，即的取值范围为. 一、单选题 1．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 2．若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 3．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 4．“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 5．若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】当时,不符合题意， 所以，记对称轴为，且 ①当时，，解得; ②当时，，所以， 综上或． 6．若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 二、多选题 7．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为一元二次方程有两个实数根，， 且，令， 则由题意可得，即 解得. 8．已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】BC 【详解】对于A:当时，方程为：解得：，只有一根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则解得：或，故B正确； 对于C：方程有两个正根等价于解得：，故C正确； 对于D：当时，方程为：，方程无解，故D错误. 9．已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 【答案】AB 【详解】对于A：因为，当时， 所以方程有两实数根，故A正确； 对于B：若方程有两异号的实数根，则，解得， 即当时，方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C：当时，方程无实数根，故C错误； 对于D：若方程有两个实数根，，则，即， 当时，方程的两根，，显然无意义，故D错误. 三、填空题 10．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意可知， 由，可得， 设， 则，解得：， 所以的取值范围为. 故答案为：. 11.方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】解：令， 因为程的一个根在区间上，另一个根在区间上， 所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】关于的方程在区间内有两个不等实根，令， 则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ， 解得．所以a的取值范围是． （3）方程的两个根都大于0， 则 ，解得，所以a的取值范围是． 14．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5) 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展：一元二次方程的根的分布问题 类型1：相对于1个值k 角度1：两根均小于k 【例1】关于x的方程有两个负根，求实数m的范围. 【方法总结】 根据相对于1个值k之两根均小于k的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等：，两根不相等： 4、解不等式组即可得解. 【变式1-1】已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围______________. 角度2：一根小于k，一根大于k 【例2】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围_______. 【方法总结】 根据相对于1个值k之一根小于k，一根大于k的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件： 4、解不等式即可得解. 【变式2-1】关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围. 角度3：两根均大于k 【例3】已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【方法总结】 根据相对于1个值k之两根均大于k的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等：，两根不相等： 4、解不等式组即可得解. 【变式3-1】关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为______． 类型2：相对于2个值m,n（m<n） 角度1：一根小于m，一根∈(m,n) 【例4】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围. 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之一根小于m，一根∈(m,n)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等： 4、解不等式组即可得解. 角度2：一根∈(m,n)，一根大于n 【例5】方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为___________. 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之一根∈(m,n)，一根大于n的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等： 4、解不等式组即可得解. 角度3：有且只有一根∈(m,n) 【例6】若关于的方程有且只有一个根在区间上，则a的值范围为____________． 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之有且只有一根∈(m,n)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图：或或 3、控制条件：两根不相等：（一定要验证端点，以防漏解） 或 两根相等：先计算出参数值，再求根看是否∈(m,n)； 4、解不等式组即可得解. 角度4：两个根均∈(m,n) 【例7】若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之两个根均∈(m,n)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件：两根可相等： 或 两根不相等： 4、解不等式组即可得解. 角度5：一根小于m，一根大于n 【例8】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【方法总结】 根据相对于2个值m,n（m<n）之一根小于m，一根大于n的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件： 4、解不等式组即可得解. 类型3：相对于三个值m,n,k （m<n<k） 角度1：一根∈(m,n)，另一根∈(n,k) 【例9】关于的方程的两个根分别位于区间，内，则实数的取值范围是______. 【方法总结】 根据相对于三个值m,n,k （m<n<k）之一根∈(m,n)，另一根∈(n,k)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件： 4、解不等式组即可得解. 【变式9-1】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是_____ 类型4：相对于4个值m,n,k,t （m<n<k<t） 角度1：一根∈(m,n)，一根一根∈(k,t) 【例10】方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 【方法总结】 根据相对于4个值m,n,k,t （m<n<k<t）之一根∈(m,n)，一根一根∈(k,t)的根的分布求参数范围： 1、令，对称轴为； 2、作图： 3、控制条件： 4、解不等式组即可得解. 【变式10-1】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是__________. 一、单选题 1．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 2．若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 3．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 4．“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 6．若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 9．已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 三、填空题 10．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是______． 11.方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围为___________. 12．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____． 四、解答题 13．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 14．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $