湖南株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，融合2024年彩电产量统计等时代情境，通过分层设计考查空间观念、数据意识与推理能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、解三角形、立体几何|第8题结合产量统计图考查数据分析| |多选题|3/18|概率、立体几何|第10题以取球模型考查独立事件| |填空题|3/15|复数方程、向量|第13题矩形动点问题体现几何直观| |解答题|5/77|统计、立体几何、解三角形|15题频率分布直方图考查数据处理，17题线面平行证明与距离计算突出空间观念，18题解三角形结合几何推理考查运算能力|

湖南省株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试 数 学 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D C C C D ABD BCD 题号 11 答案 CD 12． 13．1 14． 15．（1）由频率分布直方图知：，可得， 所以估计500名志愿者中年龄在的人数为. （2）由题设，第2组.第4组和第5组的频率之比为， 则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15个， 而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个， 所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 16．（1）因为，， 由，可得，解得． （2）依题意， 若，则有，解得， 所以，． 17．(1) 连接，由于，所以，且， 所以，又点为线段上靠近的三等分点， 所以，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）由题知且，，得， ，又， 所以由余弦定理得：， 所以，所以，所以. 面，所以面， 因为面，所以. 又知，设到面的距离为， 所以，即， 解得，即点到平面的距离为. 18．(1) 在中，由余弦定理得， 所以． 又因为，由余弦定理得． 由正弦定理得，所以． 因为，所以，从而． （2）以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，则，． 因为，且，所以点在点的左上方， 故．令，，则． 设为的中点，则． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又，把逆时针旋转得到向量． 由于点和点在线段两侧，应取，所以． （ⅰ）设边上的高为．由于在轴上， 所以等于点的纵坐标，即． 当时，．因为， 所以．因此． （ⅱ）设．由点的坐标得，． 因为，边上的高为，所以． 又，所以． 另一方面，由向量数量积的坐标运算得， 即． 当时，，此时正切值不存在，故求正切值范围时应排除这一情形． 当时，． 令，则，且． 设，则，所以函数在区间和上均单调递减． 当时，；当时，． 综上，的取值范围为． 19．1），，，， 存在，使得，，， ，即，. （2）(i)由（1）知：， 令，则（其中，）， ，，解得：， 的值域为. (ii)， ，， 由(i)知：且， 在上单调递增，， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 考试总分：150分） 命题人：熊向清 审题人：曾婉婷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案写在试题卷上无效。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，已知抛物线，过作直线交抛物线于，连接，将绕轴旋转一周得到旋转体，则的体积最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．10 C．15 D．21 6．已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（   ） A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.5 7．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（   ） A．1 B． C． D．2 8．2024年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代.如图是2024年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（注：同比，即和去年同期相比）（   ）    A．这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台 B．这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台 C．自2024年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降 D．这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围为 C．若且，则最大值为 D．若，则的最小值为 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 11．在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则（    ） A． B．直线与直线相交 C．三棱锥外接球的表面积为 D．平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是关于的方程的一个根，则______． 13．在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________. 14．若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组.    (1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； (2)若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 16．（15分）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 17．（15分）如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 18．（17分）如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，． (1)证明：； (2)当角在变化时， （ⅰ）求边上高的取值范围； （ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围． 19．（17分）已知，存在，使得成立，且的最小值为. (1)求的值； (2)若函数， (i)求函数的值域； (ii)若函数，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $湖南省株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试 数学试题 (考试时间：120分钟考试总分：150分) 命题人：熊向清审题人：曾婉婷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“贴条形 码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案写在试题卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 无效。 4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.复数z满足(5+12i)=13i,则z的虚部为（) A.12 13 B.5 13 C.-12i 13 2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=60°，sinA=2sinC,b=2√5，则△ABC的面积为() A. B.√5 C.√6 D.25 2 3.若，为两条不同的直线，a为一个平面，则下列结论正确的是(） A.若m1nm//a,则n⊥a B.若m//a,n⊥a，,则⊥n C.若m/n/a,则n/a D.若m/a,n//a,则m/1n 4.如图，已知抛物线P:y2=2x,过(1,0)作直线MN交抛物线于M,N,连接OM,ON,将△OMN绕y轴旋转 一周得到旋转体C,则C的体积最小值为() A.r B.2n 3 3 C.√2π D.4V2n 3 5.已知响量a6满足园=2,5-5.且a与6的夹角为石，则(a+6)小(3a-6)（） A.6 B.10 C.15 D.21 6.已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5.现已知目标被击 中，则该目标是甲击中的概率为() A.0.6 B.0.8 C.0.75 D.0.5 7.如图，0是锐角三角形ABC的外心，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且A=元 AB+90S C AC=mAO sin C sin B 则m=（) B A.1 B.√2 c.5 D.2 8.2024年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随， 到引领的转变，开启了高质量发展的新时代.如图是2024年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单 位：万台，%)，则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（注：同比，即和去年同期相比）() 2024年3月-12月我国彩电月度产量及增长情况 2500 64 2097 20001846 192 48 802 17831727 R1500 1513154015531650 25.6 过 20.4 B2 1000 8.8 16.5 9.2 16 1.5 13.3 1.2 500 0 8.3 0 -16 3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月 ■彩电月度产量（万台）·一同比增长率(%) A.这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台 B.这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台 C.自2024年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降 D.这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知日=3，=4，日=5，则下列结论正确的是() A.a+b+c的取值范围为0,12 B.若a1i,则-a-的取值范围为[0,10] Q名aB日C=a+sR.则A+最大值为答 D.若a1b,则(a+(a-c的最小值为-16 10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第 一次取出的球的数字是奇数'，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和 是奇数，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则() A.乙发生的概率为 3 B。丙发生的概率为 C.甲与丁相互独立 D.丙与门丁互为对立事件 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D中，点E,F分别是棱BC、CC1的中点，则() A.ADI AF B.直线AF与直线BD相交 C.三棱锥A-BCF外接球的表面积为9π D.平面ABP截正方体所得的截面面积为) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知2+i是关于x的方程ax2+x+b=0(a,beR)的一个根，则a+b= 13.在矩形ABCD中，已知AD=2,AB=m(m为正常数)，E为BC边的中点，F是对角线AC上的动点（含端 点)，若AE.BF的取值范围为[-1,2]，则m= 14.若满足∠ABC=兀，AC=6,BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是 4 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽 取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20,25).第2组[25,30).第3组 [30,35).第4组[35,40).第5组[40,45] 频率/组距 0.07 0.04 0.02 0.01 0202530354045年龄 (1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35,40)的人数； (2)若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的 宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同 一组的概率 16.(15分)已知向量à=(（-1,2)，b=(1,-2),c=(2,x) (1)若a1c,求x的值； (2)若c/2a+b),求的值. 17.(15分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面CD/1AB,AC与BD交于点O,2CD=AB=2AD=2,PC=PA=V2 且∠DAB=90°，PA1BC,点E为线段PA上靠近P的三等分点 E D -0 B (I)证明：PC//平面BDE; (2)求点A到平面PBC的距离. 18.(17分)如图，在△ABC中，AB=2,BC=1,在平面ABC内以线段AC为斜边作等腰直角△ACD(点B和点D 在线段AC两侧).记∠ABC=a,∠BAC=B. D (1)证明：AC.cosB=2-cosa; (2)当角a在(0，π)变化时， (i)求△ABD边AB上高的取值范围； (i)若B,C,D三点不共线，求∠ADB正切值的取值范围. 19.(17分)已知f(x)=si血ux+1(w>0),存在，∈R,使得[f(3)+1][f()-3]=-9成立，且k-x的最小 值为兀. (1)求w的值： ②若函数g(x)=,田 3-cOSx ()求函数g(x)的值域： 3-cosx 的若函数5mt7 ocOs中，求h()的最小值