专题1.2集合间的基本关系重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题1.2集合间的基本关系重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 拓展训练一 集合的子集（真子集）的个数问题 拓展训练二 空集的判断、性质及应用 拓展训练三 根据集合间的关系求参数 知识点一：子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 【即时训练】 1.（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据真子集的定义进行求解即可. 【解答过程】因为集合的所有非空真子集为：， 所以有， 故选：D. 2．（23-24高一上·天津静海·阶段练习）写出集合的全部真子集 . 【答案】，， 【解析】根据列举法，可直接得出全部真子集. 【详解】集合的全部真子集为，，. 故答案为：，，. 【点睛】本题主要考查求集合的真子集，属于基础题型. 知识点二：集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【即时训练】 1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 【答案】 【分析】根据一次不等式的解集求参数即可. 【详解】若不等式的解集为，则，所以，符合题意， 故a的取值集合为. 故答案为：. 知识点三：集合间关系的性质 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【即时训练】 1.（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【解答过程】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 2.（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由，， 而为奇数，为整数，又， 所以⫋. 故选：B. 【经典例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 【例2】（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的个数. 【答案】集合A的所有子集见解析，集合A的所有子集共有16个 【分析】对集合A的子集分类，分类依据是子集中含有的元素个数，从而即可求解. 【详解】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集. 【详解】集合，集合， 若，则或；若，则或1， ∴， ∴的真子集的个数为. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，进而求出真子集个数. 【详解】依题意，，即，而，因此，， 所以集合的真子集个数为. 故选：C 3．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空子集个数. 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 4．（23-24高一·全国·课后作业）写出集合的所有子集． 【答案】见解析. 【解析】根据子集的定义，按照子集元素数目由少到多的顺序写出集合的所有子集即可. 【详解】集合的所有子集有： ，， ． 【点睛】本题主要考查的是子集的定义，要注意写子集时不重不漏，是基础题. 【经典例题二 求集合的子集（真子集）】 【例1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）满足的集合共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】列举出满足条件的集合，即可得出结果. 【详解】满足题设条件的集合有：、、、、、 、，共个. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）集合满足，则集合的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为， 则集合可以为共7个， 故选：C. 2．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合，若集合满足⫋，则集合 . 【答案】 【分析】用列举法表示集合，根据集合间的基本关系得到集合. 【详解】由题意得，. ∵⫋，∴. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A与B之间无包含关系． (2)． (3)． 【分析】（1）利用集合的元素类型判断集合的包含关系. （2）利用不等式解集判断集合的包含关系. （3）利用列举法判断集合的包含关系. 【详解】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系. （2）集合，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图知. （3）由列举法，，，所以． 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列表示正确的个数为（    ） ①；②；③；④中. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空集的含义，结合元素和集合的关系以及集合间的关系判断即可. 【详解】对于①，是单元素集合，其元素为0，为空集，无元素，二者不相等，错误； 对于②，由于是单元素集合，其元素为0，是一个集合，不是的元素，错误； 对于③，空集是任何集合的子集，正确； 对于④，为空集，它没有任何元素，错误. 故选：B. 3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）设，则与的关系是 ． 【答案】 【分析】根据表示元素的范围确定出，然后再判断的关系. 【详解】对于：因为，所以，所以； 对于：因为，所以， 所以， 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)与是的正因数； (2)与． 【答案】(1)是的正因数 (2) 【分析】（1）根据正因数的定义，结合子集的定义进行判断即可； （2）根据集合元素属性特征进行判断即可. 【详解】（1）因为是的正因数， 所以是的正因数 （2）因为， 所以集合表示的整数倍数， 因为， 所以集合表示的偶数倍数， 因此. 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例1】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得或，求出即可. 【详解】已知集合，集合．若，则或， 而方程无解，方程的解为， 经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，是否存在实数，使得是的子集？若存在，求出集合，；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，， 【分析】分、两种情况讨论，求出的值，以及此时集合，，即可得解. 【详解】存在，理由如下： 若，则，此时，，符合题意； 若，则无实根，故不成立； 综上所述，存在实数，使得是的子集，此时，． 1．（2025高一·全国·专题练习）设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，判断集合中元素的关系，对参数分类讨论，求出参数可能的取值. 【详解】由题意得. 当时，，； 当时，，由，可得或. 综上，实数的取值集合为. 故选：D. 2．（24-25高二下·河南新乡·期末）已知集合，．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】根据，则，从而可求解. 【详解】因为，所以，即，解得，故A正确. 故选：A. 3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据集合间的关系列不等式，可得解. 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 4．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】由集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】由， 当，则，满足题设； 当，则； 综上，. 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 【答案】相等 【分析】求出集合，进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 1．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，，则； 对于B选项，，，则； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，，，则. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程求出各集合，即可得出结论. 【详解】易知，，， 只有B表示，其它A、C、D均表示，B与众不同． 故选：B 3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，则集合A、B的关系为A 从“”选择合适的符号填空． 【答案】 【分析】将集合化为，集合化为，然后作出判断即可． 【详解】解：由集合得：， 由集合得：， ，，， ， 故答案为：． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由. (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)是； (2)否，理由：和是两个不同元素； (3)是； (4)否，理由：是数集，是点集. 【详解】（1），元素一样，是同一集合； （2）表示不同的点，故，集合不同 （3），表示的范围相同，是同一集合 （4）不是同一集合，是数集，是点集. 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例1】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）设集合A含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得或．以上解法是否正确？为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】略 【详解】不正确．原因为： 由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 3．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，，，若，则 ． 【答案】0 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是由实数2，3组成的集合，集合是由实数、组成的集合，若，求的值． 【答案】或 【分析】根据集合相等的定义直接计算即可. 【详解】由可知，当时，或当时，，易得或. 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例1】（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）如何理解空集？与，0，有什么关系？ 【答案】答案见解析 【详解】①空集是不含有任何元素的集合，且规定，任何时候都不成立，是恒成立的． ②情景不同，空集的类型也不同，例，． ③不是空集，中含有一个元素，作为元素，则；作为集合，则．是含有一个元素0的集合，与空集不同，，，． 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）关于的方程的解集为，若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由方程无解，可知方程中的分式的分母为0，进而求出即可求解. 【详解】由，得， 所以， 因为方程解集，故方程无解， 从而，此时. 故答案为：1. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用根的判别式可解. 【详解】依题意，一元二次方程无实根， 则， 即，解得. 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}；         （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （3）空集没有子集；      （4）空集是任何一个集合的子集． （5）空集是任何集合的真子集； （6）若∅A，则A≠∅． 【答案】（1）错误；         （2）错误； （3）错误；      （4）正确； （5）错误； （6）错误. 【分析】（1）根据空集概念进行判断；         （2）根据空集的子集个数进行判断； （3）根据空集的子集个数进行判断；      （4）根据空集概念进行判断； （5）根据空集概念进行判断； （6）根据子集概念进行判断. 【详解】（1）,所以“∅＝{0}”错误；         （2）空集只有一个子集，所以“任何一个集合必有两个或两个以上的子集”错误； （3）空集有一个子集，所以“空集没有子集”错误；      （4）空集是任何一个集合的子集，正确； （5）空集是任何非空集合的真子集，所以“空集是任何集合的真子集”错误； （6）若∅A，则A可以为，所以A≠∅错误. 【点睛】本题考查空集有关概念、子集概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 1．（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可. 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 2．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 3．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【拓展训练一 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【解题思路】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数. 【解答过程】由，， 所以，集合中含有5个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【答案】21 【分析】首先求集合中的元素，再求和. 【详解】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 1.（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【解题思路】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数. 【解答过程】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 2.（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【解题思路】根据集合中有个元素，从而可求解其非空真子集的个数，即可求解. 【解答过程】由题意知集合中有个元素， 所以集合的非空真子集的个数为，故B项正确. 故选：B. 3.（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 4.（23-24高一上·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，，从而可得，再分别求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，, 所以. （2）令，且， 任取两个元素作和，可得：，共个， 任取两个元素作差，可得：，共个， 因此，，则有； 显然，当时，， 此时集合T中只有3个元素，因此， 对于是满足的任意4个实数， 必有， 显然，当时，集合S中只有5个元素， 因此，所以， 综上所述，的取值范围为. 【拓展训练二 空集的判断、性质及应用】 【例1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【解答过程】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 1.（23-24高一上·云南红河·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空集的概念进行判断. 【解答过程】A选项，集合中显然有元素0，不是空集，A错误； B选项，在R上无解，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：B. 2.（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C. 3.（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 4.（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【拓展训练三 根据集合间的关系求参数】 【例1】（24-25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 【解题思路】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可. 【解答过程】（1）因为集合，， 所以. （2）因为，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. （3）因为B⫋A，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. 1．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 3．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可. 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 4.（23-24高二下·江西新余·期末）已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可. （2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围. 【解答过程】（1）解：时，，由图知，， 因为，所以， 所以. （2）当时，，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. 1．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 2．（23-24高一上·四川泸州·期中）设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出集合的真子集求解. 【详解】集合的真子集有，和. 故选：D. 3．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 4．（2025·河南·模拟预测）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系得到不等式即可. 【详解】由题意，可得，. 故选：D. 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列说法正确的是（   ） A．高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合 B．方程的解构成的集合与相等 C． D．方程的实数解构成的集合为 【答案】B 【分析】A根据确定性判断；B写出解集即可判断；C注意点集的两个点不同；D注意的情况. 【详解】A：视力比较好的标准不明确，不能构成集合，错； B：由，可得解为或，对应集合为，对； C：显然表示不同的点，故集合不相等，错； D：若时，集合为，不能写成，错. 故选：B 6．(多选题)（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 【答案】BC 【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断CD. 【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题； 由，知，，则，则B为真命题； 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题； ，所以，所以D为假命题． 故选：BC. 7．(多选题)（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D. 【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误； 空集是任何集合的子集，则，故B正确； 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确； 空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确. 故选：BCD. 8．(多选题)（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（　　） A．若集合A=B，则A、B都是有限集 B．若A⫋B，则B不可能是空集 C．{x|x-1=0}⫋{x|x+1>0} D．集合{7，8，9}的子集有8个 【答案】BCD 【分析】A项，利用集合的概念判定； B项，利用空集的概念判定； C项，利用真子集的概念判定； D项，利用子集个数的判定方法即可. 【详解】A项，集合A、B也可能都是无限集或都是空集，故A错误； B项，空集是任意非空集合的真子集，若B不是空集，则A有可能是空集，故B错误； C项，，，显然C正确； D项，均为{7，8，9}的子集，其实含有个元素的集合其子集个数为，故D正确. 故选：BCD 9．(多选题)（23-24高一上·海南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B．方程的解集为 C．方程组的解集为 D．集合 【答案】ACD 【分析】A.由 是无理数判断；B.由方程的解为判断；C.由方程组的解为 判断；D.由判断. 【详解】A. 是无理数，所以，故正确； B.方程解得，所以解集为，故错误； C.由方程组，解得 ，所以解集为，故正确； D.因为，所以，故正确； 故选：ACD 10．(多选题)（23-24高一下·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断. 【详解】对于选项A，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项A正确； 对于选项B，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，所以选项B错误； 对于选项C，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以是方程的解， 所以方程变形为， 因为，所以方程无解， 所以方程有唯一解， 所以，满足，所以选项D正确； 故选：ACD. 11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有 个. 【答案】 【分析】根据集合中元素的个数为，则该集合的非空真子集个数为求解即可. 【详解】因为集合中有52个元素，所以集合的非空真子集的个数为. 故答案为：. 12．（23-24高一·江苏·假期作业）（1）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） （2）若集合，集合 且，则 ， ． 【答案】 是 1 【分析】（1）解出集合A，并判断与B是否相等； （2）找到相等的对应情况，解方程即可． 【详解】（1）因为，所以或． 又，所以． （2）由题意知，，故， ∴，则，此时， 由于，∴. 13．（24-25高一上·全国·课前预习）若，，并有以下9个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【详解】因为，所以，又，故①错误；②，④，⑤正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以③，⑦，⑨正确， 又，所以⑥错误，显然⑧正确， 故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨. 14．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 15．（2023高一·全国·专题练习）已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数 ． 【答案】3或 【分析】根据集合相等可得答案. 【详解】由题意，或. 故答案为：3或. 16．（23-24高一上·广东东莞·期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 18．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 【答案】或或 【分析】由，分和两种情况分类讨论，根据几何包含关系可求得参数的值. 【详解】，若则，满足， 若则，则或， 解得或， 所以或或. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，若，求实数和的值． 【答案】，或，． 【分析】由已知结合集合相等的条件建立关于，的方程，求解后，需要进一步检查是否满足集合元素的互异性． 【详解】解：由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 20．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知，可得集合是集合的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围. （2）由已知，可得集合和集合没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围. 【详解】（1）已知，，要满足， 即中的任意一个元素都是中的元素，则， 即实数a的取值范围是： （2）当，即与没有公共元素， 因为和都不可能为空集， 所以要使得两个集合没有公共元素，则， 即实数a的取值范围：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2集合间的基本关系重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 拓展训练一 集合的子集（真子集）的个数问题 拓展训练二 空集的判断、性质及应用 拓展训练三 根据集合间的关系求参数 知识点一：子集与真子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 【即时训练】 1.（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·天津静海·阶段练习）写出集合的全部真子集 . 知识点二：集合相等与空集 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【即时训练】 1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 知识点三：集合间关系的性质 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【即时训练】 1.（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【经典例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【例2】（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的个数. 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 2．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）写出集合的所有子集． 【经典例题二 求集合的子集（真子集）】 【例1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）满足的集合共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）集合满足，则集合的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 2．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合，若集合满足⫋，则集合 4．（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列表示正确的个数为（    ） ①；②；③；④中. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）设，则与的关系是 ．． 4．（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)与是的正因数； (2)与． 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例1】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，是否存在实数，使得是的子集？若存在，求出集合，；若不存在，请说明理由． 1．（2025高一·全国·专题练习）设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南新乡·期末）已知集合，．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围. 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 1．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，则集合A、B的关系为A 从“”选择合适的符号填空． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由. (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例1】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）设集合A含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得或．以上解法是否正确？为什么？ 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，，，若，则 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是由实数2，3组成的集合，集合是由实数、组成的集合，若，求的值． 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例1】（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）如何理解空集？与，0，有什么关系？ 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）关于的方程的解集为，若，则的值为 ． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}；         （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （3）空集没有子集；      （4）空集是任何一个集合的子集． （5）空集是任何集合的真子集； （6）若∅A，则A≠∅． 1．（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【拓展训练一 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 1.（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 2.（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3.（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 4.（23-24高一上·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【拓展训练二 空集的判断、性质及应用】 【例1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 1.（23-24高一上·云南红河·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 4.（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【拓展训练三 根据集合间的关系求参数】 【例1】（24-25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 1．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 4.（23-24高二下·江西新余·期末）已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．（23-24高一上·四川泸州·期中）设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 3．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列说法正确的是（   ） A．高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合 B．方程的解构成的集合与相等 C． D．方程的实数解构成的集合为 6．(多选题)（23-24高一上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 7．(多选题)（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 8．(多选题)（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（　　） A．若集合A=B，则A、B都是有限集 B．若A⫋B，则B不可能是空集 C．{x|x-1=0}⫋{x|x+1>0} D．集合{7，8，9}的子集有8个 9．(多选题)（23-24高一上·海南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B．方程的解集为 C．方程组的解集为 D．集合 10．(多选题)（23-24高一下·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有 个. 12．（23-24高一·江苏·假期作业）（1）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） （2）若集合，集合 且，则 ， ． 13．（24-25高一上·全国·课前预习）若，，并有以下9个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 其中正确的有 （填序号）． 14．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 15．（2023高一·全国·专题练习）已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数 ． 16．（23-24高一上·广东东莞·期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 17．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 18． （23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 19． （24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，若，求实数和的值． 20．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$