第01讲 集合的概念（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第01讲 集合的概念（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 集合的概念 在小学和初中，我们已经接触过一些集合.例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)等.为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识.下面先从集合的含义开始. 【知识点1 元素与集合的概念及表示】 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 【知识点2 元素的特性】 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【题型1 集合的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【解题思路】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【解答过程】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解题思路】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【解答过程】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【答案】D 【解题思路】利用集合的互异性求解. 【解答过程】选项A中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项A错误； 选项B中字母和重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项B错误； 选项C中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项C错误； 选项D中字母没有重复，满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项D正确. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【答案】A 【解题思路】由集合元素的确定性即可判断. 【解答过程】对于A：符合集合元素的确定性，正确； 对于BCD，都不符合集合元素的确定性，错误， 故选：A. 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【解答过程】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解题思路】根据集合定义逐一判断即可. 【解答过程】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C. 【变式2-2】（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】据集合的定义及表示方法求解即可. 【解答过程】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【解答过程】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B. 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【解题思路】利用集合元素的互异性讨论即可. 【解答过程】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·河北·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的互异性对进行分类讨论即可. 【解答过程】当时，，违反集合互异性； 当时，此时，符合题意， 故实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】由集合的互异性得，解出即可. 【解答过程】由集合的互异性有，解得且， 所以， 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·全国·随堂练习）若，由两个元素构成的集合中，应满足的条件是___________． 【答案】 【解题思路】根据集合元素的互异性，可求解. 【解答过程】根据集合元素的互异性，，解得， 所以应满足的条件是. 故答案为：. 模块三 元素与集合的关系 【知识点3 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【解答过程】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解不等式得到，得到答案. 【解答过程】， 故，其中. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数集和点集的区别可判断A，根据空集的定义可判断B，根据自然数集和有理数集的定义可判断CD. 【解答过程】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合中表示元素的范围直接判断即可. 【解答过程】因为，所以，，，， 故选：A. 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解题思路】分和讨论即可. 【解答过程】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·陕西·阶段检测）若，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【解答过程】若，则，此时集合为，这与集合中的元素满足互异性相矛盾，不符合题意舍去； 若，则，此时集合为，符合要求； 若，则无实数解. 综上可知： 故选：A. 【变式5-2】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据元素与集合的关系列出不等式组求解即得. 【解答过程】由且，得 解得， 故选：A． 【变式5-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：D. 【题型6 集合中元素的个数问题】 【例6】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【解答过程】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据集合的互异性可得出答案. 【解答过程】根据集合的互异性，， 所以集合中的元素个数为. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【解答过程】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 【变式6-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【解题思路】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【解答过程】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 模块四 集合的表示法 【知识点4 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 用列举法表示集合】 【例7】（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把描述法表示的集合转化成列举法来表示即可. 【解答过程】集合， 故选：A. 【变式7-1】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）将集合用列举法表示出来是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先列举出符合且的的所有取值，再用大括号括起来即可. 【解答过程】因为且，所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示就是. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）根据描述及方程确定集合元素，列举法写出集合即可. 【解答过程】（1）因为方程的实数根为，集合表示为. （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为； （3）由，得，方程组的解集可表示为. 【变式7-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【解题思路】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【解答过程】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 【题型8 用描述法表示集合】 【例8】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【解答过程】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 【变式8-1】（25-26高一上·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）（2）用集合的描述法来表示即可. 【解答过程】（1）被5除余3的正整数组成的集合是； （2）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合是. 【变式8-2】（25-26高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可． 【解答过程】（1）利用列举法表示集合； （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合． 【变式8-3】（2025高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【解答过程】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合； （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以； （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【解题思路】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①；②；③；④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据常用数集的概念进行判断即可. 【解答过程】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 3．（25-26高二上·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的表示方法求解. 【解答过程】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【解答过程】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C. 5．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【解题思路】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【解答过程】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【解题思路】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【解答过程】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B. 7．（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【解答过程】因为，所以，解得． 故选：C. 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【解答过程】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东广州·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】由元素和集合的关系依次判断各选项即可. 【解答过程】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. 10．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【解题思路】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【解答过程】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 11．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【解答过程】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）集合可用列举法表示为___________． 【答案】 【解题思路】由集合的描述，应用列举法写出集合即可. 【解答过程】由. 故答案为：. 13．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【解题思路】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【解答过程】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 14．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【答案】 【解题思路】根据集合元素的互异性进行判断即可. 【解答过程】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【解答过程】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示：； （3）描述法表示为：； （4）描述法表示为：. 16．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【答案】 【解题思路】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解. 【解答过程】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 开始循环， 综上，． 17．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 18．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 19．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【解答过程】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合， ， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 集合的概念 在小学和初中，我们已经接触过一些集合.例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)等.为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识.下面先从集合的含义开始. 【知识点1 元素与集合的概念及表示】 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 【知识点2 元素的特性】 1．确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 2．互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 3．无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【题型1 集合的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式1-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【变式1-3】（25-26高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用集合元素的特性求参数】 【例3】（25-26高一上·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【变式3-1】（25-26高一上·河北·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若集合，则实数a的取值范围是__________． 【变式3-3】（25-26高一上·全国·随堂练习）若，由两个元素构成的集合中，应满足的条件是___________． 模块三 元素与集合的关系 【知识点3 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式5-1】（24-25高一上·陕西·阶段检测）若，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-2】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【题型6 集合中元素的个数问题】 【例6】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式6-1】（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【变式6-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 模块四 集合的表示法 【知识点4 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 用列举法表示集合】 【例7】（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）将集合用列举法表示出来是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【变式7-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【题型8 用描述法表示集合】 【例8】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【变式8-1】（25-26高一上·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【变式8-2】（25-26高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 【变式8-3】（2025高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①；②；③；④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 7．（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·广东广州·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 11．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）集合可用列举法表示为___________． 13．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 14．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 16．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 17．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $