第05讲 充分条件、必要条件、充要条件（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：充分条件与必要条件 知识点02：充要条件 知识点03：判定定理、性质定理与充分、必要条件 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断命题的充分不必要条件 题型02：根据充分不必要条件求参数 题型03：判断命题的必要不充分条件 题型04：根据必要不充分条件求参数 题型05：充要条件的证明 题型06：探求命题为真的充要条件 题型07：根据充要条件求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】充分条件与必要条件 如果“p⇒q”,那么称p是q的充分条件(sufficient condition),也称q是p的必要条件(necessary condition). 温馨提示　(1)前提p⇒q,有方向,条件在前,结论在后. (2)如果p⇒q,那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件. (3)改变说法,“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”;“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”. (4)充分条件、必要条件不唯一. 【例1】已知命题 ，命题 ，判断 是 的什么条件， 是 的什么条件。 【知识点02】充要条件 1.如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p. 2.如果p是q的充要条件,就记作p⇔q,称为“p与q等价”,或“p等价于q”. 温馨提示　(1)如果p⇒q且q⇏p,则称p是q的充分不必要条件. 如果p⇏q且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件. 如果p⇏q且q⇏p,则称p是q的既不充分又不必要条件. (2)“⇒”和“⇔”都具有传递性,即如果p⇒q,q⇒s,那么p⇒s; 如果p⇔q,q⇔s,那么p⇔s. 【例2】求证： 的充要条件是 或 。 【知识点03】判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件,性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件. 温馨提示　(1)在数学定义中,条件是结论的充要条件;(2)在判定定理或性质定理中,一旦某个定理条件和结论等价,此定理即可作为它的定义. 【例3】结合平面几何线线平行定理，判断条件关系： ①判定定理：同位角相等 两直线平行 ②性质定理：两直线平行 同位角相等 判断“同位角相等”与“两直线平行”的条件关系。 【题型01】判断命题的充分不必要条件 【典例1-1】（24-25高一上·江苏·期中）已知，是实数，则“，”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-2】（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是________. 【题型02】根据充分不必要条件求参数 【典例2-1】（2025高一上·江苏·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）“”是“或”的充分不必要条件，则实数的值.可以是（   ） A． B． C．1 D．4 【变式2-2】（2025高一上·江苏·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【变式2-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【题型03】判断命题的必要不充分条件 【典例3-1】（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为实数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段检测）设，则的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【题型04】根据必要不充分条件求参数 【典例4-1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是______． 【变式4-3】已知，，若是的必要条件但不是充分条件，求实数的取值范围． 【题型05】充要条件的证明 【典例5-1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）在三角形中，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式5-2】设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的__________条件． 【变式5-3】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【题型06】探求命题为真的充要条件 【典例6-1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【变式6-1】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【变式6-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】方程 有一正一负根的充要条件是_______ 【题型07】根据充要条件求参数 【典例7-1】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数______． 【变式7-3】已知，，求的充要条件. 知识点01核心概念本质梳理（必考基础） 设两个命题/条件 、，以真假推出关系为核心，定义三类基础条件： 1. 充分条件 若 （若 成立，则 一定成立），则 是 的充分条件。 本质：有它就行，该条件足以推出结论，条件范围更小、更精准。 2. 必要条件 若 ，则 是 的必要条件。 本质：没它不行，结论成立必须依赖该条件，无此条件结论一定不成立，等价逆否关系：。 3. 充要条件 若 且，即双向推出成立，记作 ，则 与 互为充要条件。 本质：有它就行，没它不行，两个条件完全等价，范围完全一致。 知识点02条件四种完整分类（考试核心考点） 根据双向推出关系是否成立，可将两个条件的关系分为四类，所有题型均围绕该分类考查： 1. 充分不必要条件： 2. 必要不充分条件： 3. 充要条件（充分必要条件）： 4. 既不充分也不必要条件： 快速记忆口诀 正向推成立，充分打底；反向推成立，必要补齐；双向都成立，充要无疑；双向皆不立，两不关联。 知识点03标准解题步骤（通用万能模板） 1. 条件关系判断题步骤 第一步：找准两个条件 ； 第二步：判断正向推出 是否成立； 第三步：判断反向推出 是否成立； 第四步：结合四类分类，确定最终条件关系。 2. 充要条件证明题步骤 必须分两步证明，缺一不可： ① 充分性：由已知条件推结论； ② 必要性：由结论推已知条件。 知识点04易错点总结（避坑指南） 1. 混淆推出方向： 只能说明 充分、 必要，不可颠倒； 2. 忽略双向验证：判断条件关系必须正反推导，仅凭单向无法确定完整关系； 3. 定理概念混淆：判定定理只对应充分条件，性质定理只对应必要条件，不可混用； 4. 充要证明漏步：只证充分性或只证必要性，证明不完整，答题会扣分。 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江金华·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·重庆北碚·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）集合，，若是的充分条件，则为（  ） A．0 B． C．0或或1 D．0或 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 7．（24-25高一上·四川自贡·阶段检测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 10．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列命题中是真命题的是（   ） A．一次函数（是非零常数）的图象一定经过点 B．直角三角形的外心一定在斜边上 C．已知，则是的充要条件 D．如果都能被5整除，则也能被5整除 11．（25-26高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 三、填空题 12．（26-27高一·全国·暑假作业）“”是“”的_______________条件． 13．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____. 14．（2025高一·全国·专题练习）德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的______条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 四、解答题 15．判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 16．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 19．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：充分条件与必要条件 知识点02：充要条件 知识点03：判定定理、性质定理与充分、必要条件 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断命题的充分不必要条件 题型02：根据充分不必要条件求参数 题型03：判断命题的必要不充分条件 题型04：根据必要不充分条件求参数 题型05：充要条件的证明 题型06：探求命题为真的充要条件 题型07：根据充要条件求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】充分条件与必要条件 如果“p⇒q”,那么称p是q的充分条件(sufficient condition),也称q是p的必要条件(necessary condition). 温馨提示　(1)前提p⇒q,有方向,条件在前,结论在后. (2)如果p⇒q,那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件. (3)改变说法,“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”;“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”. (4)充分条件、必要条件不唯一. 【例1】已知命题 ，命题 ，判断 是 的什么条件， 是 的什么条件。 解：第一步：判断正向推出关系 若 ，显然一定满足 ，因此 成立。 由定义可得： 是 的充分条件， 是 的必要条件。 第二步：判断反向推出关系 举反例：取，满足 （ 成立），但不满足 （ 不成立）。 因此 。 答：1. 是 的充分不必要条件；2. 是 的必要不充分条件。 【知识点02】充要条件 1.如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p. 2.如果p是q的充要条件,就记作p⇔q,称为“p与q等价”,或“p等价于q”. 温馨提示　(1)如果p⇒q且q⇏p,则称p是q的充分不必要条件. 如果p⇏q且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件. 如果p⇏q且q⇏p,则称p是q的既不充分又不必要条件. (2)“⇒”和“⇔”都具有传递性,即如果p⇒q,q⇒s,那么p⇒s; 如果p⇔q,q⇔s,那么p⇔s. 【例2】求证： 的充要条件是 或 。 证明：充要条件证明需分充分性和必要性两步证明。 第一步：证明充分性（由条件推结论） 若 或 ，代入方程： 当 时，，方程成立； 当 时，，方程成立。 因此：，充分性成立。 第二步：证明必要性（由结论推条件） 若 ，因式分解得： 解得 或 。 因此：，必要性成立。 答：，二者互为充要条件。 【知识点03】判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件,性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件. 温馨提示　(1)在数学定义中,条件是结论的充要条件;(2)在判定定理或性质定理中,一旦某个定理条件和结论等价,此定理即可作为它的定义. 【例3】结合平面几何线线平行定理，判断条件关系： ①判定定理：同位角相等 两直线平行 ②性质定理：两直线平行 同位角相等 判断“同位角相等”与“两直线平行”的条件关系。 解：1. 根据判定定理：同位角相等可以推出两直线平行 可得：同位角相等是两直线平行的充分条件； 2. 根据性质定理：两直线平行可以推出同位角相等 可得：同位角相等是两直线平行的必要条件； 3. 双向推导关系成立： 答：“同位角相等”是“两直线平行”的充要条件。 【题型01】判断命题的充分不必要条件 【典例1-1】（24-25高一上·江苏·期中）已知，是实数，则“，”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析命题间的推出关系. 【详解】因为“且”能推出“”，但是“” 不能推出“且”， 所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：B 【变式1-1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由得，从而可得成立；由，取，则不成立，即可得答案． 【详解】由得，即， 故“”是“”的充分条件； 而由，取，则不成立， 故“”不是“”的必要条件． 故选：A 【变式1-2】（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，选项对应的集合为， 因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集，B,C符合题意， 故选：BC 【变式1-3】线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是________. 【答案】(答案不唯一) 【分析】结合一次函数性质知,再结合充分不必要条件定义解题即可. 【详解】结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，需, ． 就是一个使命题成立的充分条件但不是必要条件． 故答案为: . 【题型02】根据充分不必要条件求参数 【典例2-1】（2025高一上·江苏·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）“”是“或”的充分不必要条件，则实数的值.可以是（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】AD 【分析】利用充要关系转换为集合的真包含关系，再求参数的范围即可. 【详解】由“”是“或”的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以有或，即或 即AD正确，BC错误. 故选：AD 【变式2-2】（2025高一上·江苏·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集； （2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式组求解． 【详解】（1）因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，且不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 【题型03】判断命题的必要不充分条件 【典例3-1】（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为实数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】“”不一定能推导出“”，“”是“”的不充分条件. “”一定能推导出“”， “”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 【变式3-1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先解不等式，再利用充分条件和必要条件的概念进行判断. 【详解】不等式等价于，即，解得或， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段检测）设，则的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用必要不充分条件的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若，那么一定有，所以是的必要条件. 当时，成立，但不成立，所以不是的充分条件，所以是的必要不充分条件. 对于B选项，若，则一定成立，所以是的必要条件. 当时，成立，但不成立，所以不是的充分条件，所以是的必要不充分条件. 对于C选项，若，则一定成立，所以是的充分条件，不符合要求. 对于D选项，若，当时，成立，但不成立，所以不是的充分条件. 若，则一定成立，所以是的必要条件，所以是的必要不充分条件. 故选：ABD. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，只需写出的范围满足是的真子集即可. 【详解】根据题意，需要寻求p的一个必要不充分条件， 故只需满足是所写范围的真子集即可，故可以为， 此时，是必要不充分条件. 故答案为：（答案不唯一） 【题型04】根据必要不充分条件求参数 【典例4-1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】把问题转化为集合间的包含关系，再求实数的值. 【详解】由 或. 所以：或. 因为是的必要不充分条件，所以满足⫋满足， 即⫋. 所以可能为，，. 由 ； 由 ； 由 . 故选：ABD 【变式4-2】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】化简命题，再利用必要不充分条件的定义列式求解. 【详解】命题，而命题，由p是q的一个必要不充分条件， 得，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 【变式4-3】已知，，若是的必要条件但不是充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系可求参数的取值范围. 【详解】因为是的必要条件但不是充分条件，故 故有，故． 【题型05】充要条件的证明 【典例5-1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解. 【详解】由，得，则，所以，即由可以推出， 由，得，即，所以由可以推出， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）在三角形中，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质和充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为在三角形中，，， 所以，则，所以“”是“”的充分条件； 由于，所以或，又因为三角形中，， 所以，所以. 所以“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式5-2】设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的__________条件． 【答案】充分必要 【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果. 【详解】若，则，则，故成立， 若，则，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充分必要 【变式5-3】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】通过因式分解得到 ，即可求证. 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以 ， 得证. 【题型06】探求命题为真的充要条件 【典例6-1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】由等价于求解即可. 【详解】等价于，即且， 故选：C 【变式6-1】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 【变式6-3】方程 有一正一负根的充要条件是_______ 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】 有一正一负根 故答案为： 【题型07】根据充要条件求参数 【典例7-1】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 【变式7-1】关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数______． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 【变式7-3】已知，，求的充要条件. 【答案】 【分析】依题意方程至少有一个非负根，则，即可求出参数的取值范围，再求出方程有两个负根时参数的取值范围，从而求出方程至少有一个非负根的的取值范围，即可得解； 【详解】解：的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得. 上述方程有两个负根的充要条件是且，即， ∴. 于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是. 故的充要条件为. 知识点01核心概念本质梳理（必考基础） 设两个命题/条件 、，以真假推出关系为核心，定义三类基础条件： 1. 充分条件 若 （若 成立，则 一定成立），则 是 的充分条件。 本质：有它就行，该条件足以推出结论，条件范围更小、更精准。 2. 必要条件 若 ，则 是 的必要条件。 本质：没它不行，结论成立必须依赖该条件，无此条件结论一定不成立，等价逆否关系：。 3. 充要条件 若 且，即双向推出成立，记作 ，则 与 互为充要条件。 本质：有它就行，没它不行，两个条件完全等价，范围完全一致。 知识点02条件四种完整分类（考试核心考点） 根据双向推出关系是否成立，可将两个条件的关系分为四类，所有题型均围绕该分类考查： 1. 充分不必要条件： 2. 必要不充分条件： 3. 充要条件（充分必要条件）： 4. 既不充分也不必要条件： 快速记忆口诀 正向推成立，充分打底；反向推成立，必要补齐；双向都成立，充要无疑；双向皆不立，两不关联。 知识点03标准解题步骤（通用万能模板） 1. 条件关系判断题步骤 第一步：找准两个条件 ； 第二步：判断正向推出 是否成立； 第三步：判断反向推出 是否成立； 第四步：结合四类分类，确定最终条件关系。 2. 充要条件证明题步骤 必须分两步证明，缺一不可： ① 充分性：由已知条件推结论； ② 必要性：由结论推已知条件。 知识点04易错点总结（避坑指南） 1. 混淆推出方向： 只能说明 充分、 必要，不可颠倒； 2. 忽略双向验证：判断条件关系必须正反推导，仅凭单向无法确定完整关系； 3. 定理概念混淆：判定定理只对应充分条件，性质定理只对应必要条件，不可混用； 4. 充要证明漏步：只证充分性或只证必要性，证明不完整，答题会扣分。 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江金华·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的定义进行判断. 【详解】当时，则，不能推出， 所以不是的充分条件， 当时，则，所以能推出， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若， 则， 当且仅当时等号成立， 必要性：若，令，显然 所以是充分不必要条件 3．（25-26高一上·重庆北碚·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解绝对值不等式，再根据充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】解不等式得， 因为“”是“”的充分不必要条件, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）集合，，若是的充分条件，则为（  ） A．0 B． C．0或或1 D．0或 【答案】D 【分析】由题知，再分类讨论求解即可． 【详解】是的充分条件， ， 则①，解得; ②，解得或（舍去）； 综上，或． 故选：D． 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是的真子集，即可求解. 【详解】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A 6．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 7．（24-25高一上·四川自贡·阶段检测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】AB 【分析】令，由题意得是的真子集，计算即可求解. 【详解】令， 由已知，且，是的真子集． 或，解得或， 故选：AB． 10．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列命题中是真命题的是（   ） A．一次函数（是非零常数）的图象一定经过点 B．直角三角形的外心一定在斜边上 C．已知，则是的充要条件 D．如果都能被5整除，则也能被5整除 【答案】ABD 【分析】将代入一次函数计算判断A；根据直角三角形的性质判断B；当时，取特殊值得到反例判断C；设，即可判断D. 【详解】A：将代入（是非零常数），得，A为真命题； B：由直角三角形的性质，直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，B为真命题； C：当时，取，则，故不充分，C为假命题； D：设，，则，D为真命题； 故选：ABD 11．（25-26高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【分析】由充分条件、必要条件的定义逐项判断可得. 【详解】对于A，令，则，所以充分性不成立， 若，则一定有，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，令，则为无理数，但为有理数，故充分性不成立， 令，则，所以必要性不成立， 综上，“为无理数”是“都为无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，因为，所以，充分性成立， 当时，比如，但， 故不一定推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，可得， 解得，故“”是“”的充要条件，故D正确. 故选：CD 三、填空题 12．（26-27高一·全国·暑假作业）“”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 13．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围. 【详解】不等式， 由“”是“”的必要不充分条件，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（2025高一·全国·专题练习）德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的______条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 【答案】充分不必要 【分析】由所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数，进行判断即可． 【详解】因为所有自然数都是有理数，所以充分性满足； 但有理数包含分数、负整数等非自然数，故必要性不满足． 因此，命题“”是命题“”的充分而不必要条件． 故答案为：充分不必要 四、解答题 15．判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 【答案】(1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件 【分析】（1）（2）根据充分、必要条件分析判断； （3）根据集合的包含关系和运算结合充要条件分析判断. 【详解】（1）若可得中至少有一个不为零，即充分性成立， 但中至少有一个不为零不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （2）若可得，即充分性成立， 但不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （3）由题意可知：等价于，等价于， 所以等价于， 所以p是q的充要条件. 16．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 故实数的取值范围是. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空集的定义求解； （2）根据、求解. 【详解】（1）因，则，即， 故实数的取值范围为； （2）由题意得，且，则，得， 故实数的取值范围. 18．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】 ， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 19．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $