精品解析：河南省 郑州市第九十中学2025-2026学年第二学期期末七年级数学试卷

2025—2026学年下期期末考试 七年级数学试题卷（一） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分100分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列汉字中可以近似看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A“热”、B“爱”、C“和”，都不存在一条直线能让图形对折后两侧完全重合，不是轴对称图形； D“平”，沿竖直中间一条直线对折后，直线两侧部分可以近似重合，符合要求． 2. 阜民里非遗市集缠花发簪，用直径（米）的丝线对称缠绕而成，米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【详解】解：米用科学记数法表示为米． 3. 下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算各袋中摸到红球的概率，概率最大的即为可能性最大的． 【详解】解：A袋中红球有0个，总球数为10，摸到红球的概率为； B袋中红球有2个，总球数为10，摸到红球的概率为； C袋中红球有9个，总球数为10，摸到红球的概率为； D袋中红球有10个，总球数为10，摸到红球的概率为； ， ，摸到红球可能性最大的是D． 4. 下面的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则计算每个选项即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A， ，∴A计算正确； 对于选项B，∵，，∴B计算错误； 对于选项C，∵，，∴C计算错误； 对于选项D，∵，，∴D计算错误． 5. 一副三角板按图中的四个位置摆放，则其中和互为余角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了余角，三角板中的角度计算；根据图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．，和互余，故该选项符合题意； B． ，则和不互余，故该选项不符合题意； C．如图， ，和不互余，故该选项不符合题意； D．，和不互余，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三角形的中点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边中线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【详解】解：支撑点应是三角形的重心， 三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用． 7. 在中，，，分别为的角平分线和高线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形外角的性质，先证明，求解，再进一步利用三角形的角平分线与外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，，为的高线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足1kg按1kg计算） 质量/kg 1 2 3 4 5 费用/元 则下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化过程中，自变量是质量，因变量是费用 B. 随着交寄物品质量的增加，快递的费用逐渐增大 C. 当交寄物品的质量为时，费用为29元 D. 当交寄物品的质量每增加时，快递的费用增加2元 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表格数据得到费用随质量变化的规律，再逐项判断即可． 【详解】解：由表格数据可知，每增加质量，费用增加元， 可得变化规律：当质量为整数（，不足按计算）时，费用． ∵费用随质量的变化而变化， ∴自变量是质量，因变量是费用，A正确； 由表格数据可得，随着交寄物品质量增加，费用逐渐增大，B正确； 当质量为时，元，不是29元，C错误； 计算相邻质量的费用差，均为元，可知质量每增加，费用增加元，D正确． 9. 根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（ ） A. 已知线段，用尺规作，使，， B. 已知，，线段，用尺规作，使，， C. 已知线段，，，用尺规作，使，， D. 已知线段，，，用尺规作，使，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定对三角形形状唯一性的影响，符合全等判定条件的三角形可唯一确定形状，不符合则不能唯一确定，只需判断各选项对应的判定类型即可． 【详解】解：∵全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，逐一分析各选项： A、已知三边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； B、已知两角和夹边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； C、已知两边及其夹角作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； D、已知两边及其中一边的对角作三角形，属于，不能判定三角形全等，可作出多个形状不同的三角形，形状不能唯一确定． 10. 如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段求出函数关系式，再观察图象可得答案． 【详解】解：当在上，即时，，当时，； 当在上，即时，， 当在上，即时，； 观察4个选项，符合题意的为D； 故选D 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），则昆虫停在白色方格中的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式求出图中白色方格数与总方格数的比值即可． 【详解】解：图中方格总数为3，白色方格数为1， 昆虫停在白色方格中的概率为． 12. 如图，点是直线外一点，点A、B、C在直线上，若，，，则点到直线的距离可以是________．（写一个符合条件的值即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：∵，，， ∴点到直线的距离d的取值范围为， 则点到直线的距离可以是． 13. 若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合三边长均为奇数的条件确定第三边的最大值，即可计算得到周长的最大值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：第三边，即第三边， 三边长均为奇数， 第三边的最大值为， 三角形周长的最大值为． 14. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与下侧的等式图，根据图中各式的规律可得展开的多项式中各项系数之和为______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数的和． 【详解】解：展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， ∴展开的多项式中各项系数之和为， 故答案为：32． 15. 如图，在中，，，点是边上靠近点的三等分点，点是边上一个动点（不和B，C重合），将沿折叠得．当的一边与平行时，的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由，可求得，分、、三种情况讨论，分别画出图形并运用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，  ∴， ∵将沿折叠得，  ∴，． 分三种情况讨论： ①如图：当时，  ∴， ∵，  ∴，即， 在中，； ②如图：当时，； ③如图：当时，此时点F也在上，不能组成，不符合题意． 综上，当的一边与平行时，的度数为或． 三、解答题（共55分） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用零次幂、有理数乘方、负整数次幂、绝对值化简，然后再计算即可； （2）直接利用整式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 请你利用线段、正三角形、正方形设计一个轴对称图案，并说明你希望表达的含义． 【答案】 解：如图所示．表示一个苍蝇拍． 【解析】 【分析】先明确轴对称图形需存在一条对称轴使图形对折后完全重合的核心要求，再选用正方形、三角形、线段等基础几何图形，围绕对称轴进行对称组合，最后为组合好的图案赋予合理的实际含义，比如示例中的苍蝇拍． 【详解】略 18. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 （1） ， ；（结果保留两位小数） （2）这些频率具有怎样的稳定性？ （3）根据频率的稳定性，估计这名运动员在射击一次时“射中9环以上”的概率． 【答案】（1）， （2）随着射击次数增加，频率逐渐在附近波动 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数解答即可； （2）根据表格数据总结即可； （3）用频率估计概率即可． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：观察表格数据可知：随着射击次数增加，频率逐渐在附近波动． 【小问3详解】 解：根据表格数据可知：随着射击次数增加，频率逐渐在附近波动，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是． 19. 春光明媚的周末，班长刘伟骑车到北龙湖湿地公园参加“春日研学”活动．他早上从家出发，图中的折线表示刘伟骑车离家的距离与时间的关系，他离开家，回到家，请你根据这个折线图回答下列问题： （1）刘伟家距离北龙湖湿地公园有多少千米？ （2）刘伟在和的平均速度各是多少？ （3）回家路上，何时刘伟距家？ 【答案】（1）千米 （2）（千米/小时），（千米/小时） （3） 【解析】 【分析】（1）观察图象，折线的最高点的纵坐标即是刘伟家到北龙湖湿地公园的距离； （2）分别求出刘伟在和的路程和时间，利用平均速度公式即可求解； （3）观察图象，回家路上，刘伟离家的距离为千米，则内某个时间点，刘伟距家，计算出的平均速度及行驶所需时间，由向前推算出刘伟距家的时间． 【小问1详解】 解：由图象可知，折线的最高点对应的纵坐标为，则刘伟家距离北龙湖湿地公园有千米， 答：刘伟家距离北龙湖湿地公园有千米； 【小问2详解】 解：时间段的平均速度（千米/小时）， 时间段的平均速度（千米/小时）， 答：刘伟在的平均速度为（千米/小时），的平均速度为（千米/小时）； 【小问3详解】 解：由图象可知，回家路上，刘伟离家的距离为千米，则内某个时间点，刘伟距家， 时间段的平均速度（千米/小时）， 行驶最后所需时间， ∴回家路上，刘伟距家． 20. 如图，在中，点是边上的一点． （1）尺规作图：过点作边的平行线交边于点； （2）连接，如果，那么是的平分线吗？请说明理由． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求作， （2）是的平分线，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，即是的平分线． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作平行线的作法即可完成； （2）由两直线平行，内错角相等，和等边对等角，可以证得，则是的平分线． 【小问1详解】 解：过点以大于的长度为半径作弧，交，于，两点，过点以相同长度为半径作弧，交于点，以为半径，点为圆心作弧，与过点的弧交于点，连接交于点，线段即为所求作． 【小问2详解】 略 21. “数理致远”数学兴趣小组探究如下问题： 从1，2，3，…，n为整数，且这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果？ 【分析问题】 我们采取特殊化的策略，先从最简单的特殊化情形入手，再将一般问题转化为特殊问题，从而找出解决问题的方法． 【解决问题】 （1）特殊化1：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． 特殊化2：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，任意2个整数之和中最小的是： ，最大的是 ，所以共有 种不同的结果． 特殊化3：从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （2）验证结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果，说明理由．（结果用含的式子表示） （3）迁移应用：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【答案】（1），，；22； （2）种； （3） 【解析】 【分析】（1）特殊化2；类比特殊化1求解即可；根据特殊化1和2的结论求解即可； （2）（3）利用（1）（2）得到的规律求解即可． 【小问1详解】 解：特殊化2：由题意得：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数， 所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5 2个整数之和 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这两个整数之和共有种情况； 特殊化3：类比特殊化1和2可知：从1，2，3，4，…，10这10个整数中任取3个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这3个整数之和共有种情况． 【小问2详解】 解：由（1）可知：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这6个整数之和共有种情况． 【小问3详解】 解：由（1）（2）规律可得：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中面值为整数，任意抽取5张奖券，其中它们和的最小值为，最大值为，所以其面值之和共有种情况． 22. 在学习全等三角形的过程中，我们积累了一些研究经验，请利用你积累的经验解决下面的问题： 如图，已知在中，，，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，此时，且． 【初步感知】 （1）如图1，当点与点重合时，直线与直线相交所成的锐角为 °． 【一般探究】 （2）如图2，当点不与点、点重合时，连接，直线与直线相交所成的锐角是多少度？请写出解答过程． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，，，．请以为直角边在右侧构造等腰直角三角形，连接，请你补全图形后直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3），或， 【解析】 【分析】（1）点与点重合，线段绕点逆时针旋转得到线段，此时，且，而是等腰直角三角形，，直线与直线相交所成的锐角为与的差； （2）可证得，从而得到是等腰直角三角形，则有，于是得到直线与直线相交所成的锐角为； （3）分情况讨论，确定边上的高，即可求解的面积． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，线段绕点逆时针旋转得到线段，此时，且， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴直线与直线相交所成的锐角； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，则， ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴直线与直线相交所成的锐角为； 【小问3详解】 解：如图，以为直角边在右侧构造等腰直角三角形， 由（2）可知，， ∴，，， 在中，，， ∵， ∴中边上的高， 的面积， 如图，以为直角边在右侧构造等腰直角三角形， 由（2）可知，， ∴，，， 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下期期末考试 七年级数学试题卷（一） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分100分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列汉字中可以近似看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 阜民里非遗市集缠花发簪，用直径（米）的丝线对称缠绕而成，米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一副三角板按图中的四个位置摆放，则其中和互为余角的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三角形的中点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边中线的交点 7. 在中，，，分别为的角平分线和高线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足1kg按1kg计算） 质量/kg 1 2 3 4 5 费用/元 则下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化过程中，自变量是质量，因变量是费用 B. 随着交寄物品质量的增加，快递的费用逐渐增大 C. 当交寄物品的质量为时，费用为29元 D. 当交寄物品的质量每增加时，快递的费用增加2元 9. 根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（ ） A. 已知线段，用尺规作，使，， B. 已知，，线段，用尺规作，使，， C. 已知线段，，，用尺规作，使，， D. 已知线段，，，用尺规作，使，， 10. 如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），则昆虫停在白色方格中的概率为________． 12. 如图，点是直线外一点，点A、B、C在直线上，若，，，则点到直线的距离可以是________．（写一个符合条件的值即可） 13. 若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 14. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与下侧的等式图，根据图中各式的规律可得展开的多项式中各项系数之和为______． 15. 如图，在中，，，点是边上靠近点的三等分点，点是边上一个动点（不和B，C重合），将沿折叠得．当的一边与平行时，的度数为________． 三、解答题（共55分） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 请你利用线段、正三角形、正方形设计一个轴对称图案，并说明你希望表达的含义． 18. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 （1） ， ；（结果保留两位小数） （2）这些频率具有怎样的稳定性？ （3）根据频率的稳定性，估计这名运动员在射击一次时“射中9环以上”的概率． 19. 春光明媚的周末，班长刘伟骑车到北龙湖湿地公园参加“春日研学”活动．他早上从家出发，图中的折线表示刘伟骑车离家的距离与时间的关系，他离开家，回到家，请你根据这个折线图回答下列问题： （1）刘伟家距离北龙湖湿地公园有多少千米？ （2）刘伟在和的平均速度各是多少？ （3）回家路上，何时刘伟距家？ 20. 如图，在中，点是边上的一点． （1）尺规作图：过点作边的平行线交边于点； （2）连接，如果，那么是的平分线吗？请说明理由． 21. “数理致远”数学兴趣小组探究如下问题： 从1，2，3，…，n为整数，且这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果？ 【分析问题】 我们采取特殊化的策略，先从最简单的特殊化情形入手，再将一般问题转化为特殊问题，从而找出解决问题的方法． 【解决问题】 （1）特殊化1：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． 特殊化2：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，任意2个整数之和中最小的是： ，最大的是 ，所以共有 种不同的结果． 特殊化3：从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （2）验证结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果，说明理由．（结果用含的式子表示） （3）迁移应用：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 22. 在学习全等三角形的过程中，我们积累了一些研究经验，请利用你积累的经验解决下面的问题： 如图，已知在中，，，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，此时，且． 【初步感知】 （1）如图1，当点与点重合时，直线与直线相交所成的锐角为 °． 【一般探究】 （2）如图2，当点不与点、点重合时，连接，直线与直线相交所成的锐角是多少度？请写出解答过程． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，，，．请以为直角边在右侧构造等腰直角三角形，连接，请你补全图形后直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $