7.1.2平面直角坐标系中的图形教学设计 2026-2027学年数学青岛版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦平面直角坐标系中图形的坐标特征，涵盖坐标轴上、平行于坐标轴的直线上及象限角平分线上点的坐标规律，建立适当坐标系和图形面积计算。通过复习旧知导入，以“你说我画”活动连接前后知识，搭建学习支架。 资料特色在于融合探究发现与小组讨论法，通过描点连线抽象坐标规律培养数学抽象，观察归纳角平分线特征发展逻辑推理，借助方格纸研究图形面积深化直观想象。实例丰富，如“小房子”图形探究，提升学生运算与探究能力，为教师提供清晰教学流程和实用策略。

课题 7.1.2 平面直角坐标系中的图形 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 讲练结合法、探究发现法、小组讨论法、数形结合法 教学用具 多媒体课件、投影、直尺、方格纸 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过探究坐标轴上及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，进一步抽象出坐标规律，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过探究象限角平分线上点的坐标特点，培养归纳推理和逻辑思维能力 • 【直观想象】借助平面直角坐标系研究图形的位置和面积，深化数形结合思想 • 【数学运算】能根据图形特点建立适当的坐标系并写出各顶点坐标，能求坐标系中图形的面积，提高运算和动手操作能力 二、教学重难点 教学重点：坐标轴上及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征；根据图形特点建立适当的坐标系；求平面直角坐标系中图形的面积 教学难点：平行于坐标轴的直线上点的坐标特征的应用；建立适当的直角坐标系；利用坐标求图形面积 三、教学过程 【复习导入：回顾旧知】（2分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了平面直角坐标系的概念。现在请大家回顾两个问题：1. 什么是平面直角坐标系？2. 两条坐标轴把坐标平面分成了哪几部分？（不包括坐标轴） 【学生活动】思考并回答：1. 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。2. 两条坐标轴把平面分成第一、二、三、四象限。 【教师活动】很好！今天我们继续学习7.1.2——平面直角坐标系中的图形。本节课的学习目标是：1.掌握坐标轴上及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征；2.能够根据图形特点建立适当的坐标系，并能写出各顶点的坐标；3.能求平面直角坐标系中图形的面积。 【过渡语】首先进入任务一，我们通过一个'你说我画'的活动来探究坐标轴上及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征。 【任务一：活动1——你说我画】（2分钟） 【教师活动】任务一：掌握坐标轴上及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征。活动：你说我画。 【教师活动】请同学们在直角坐标系中描出以下各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来。D(-3，5)，E(-7，3)，C(1，3)，D(-3，5)；F(-6，3)，G(-6，0)，A(0，0)，B(0，3)。观察所描出的图形，它像什么？ 【学生活动】在练习本上描点连线。描完后观察图形，发现像一座小房子。 【教师活动】同学们都画好了吗？我们一起来看看，这个图形是不是像一座房子？下面我们就以这个图形为基础，来探究几个问题。 【知识点】描点连线可以得到平面图形，图形上的每个点都对应一个有序实数对（坐标）。 【过渡语】下面我们来观察这个图形，探究三个问题。 【探究1：坐标轴上的点的坐标特征】（4分钟） 【教师活动】问题(1)：图形中哪些点在坐标轴上？它们的坐标有什么特点？ 【学生活动】观察图形，找出在坐标轴上的点：点G(-6，0)和点A(0，0)在x轴上，它们的纵坐标都是0；点A(0，0)和点B(0，3)在y轴上，它们的横坐标都是0。 【教师活动】非常正确！线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；线段AB上的点都在y轴上，它们的横坐标都等于0。原点A(0，0)既在x轴上，也在y轴上。 【教师活动】我们来总结一下：x轴上的点，纵坐标都为0，即x轴上的点可以表示为（x，0）；y轴上的点，横坐标都为0，即y轴上的点可以表示为（0，y）。原点的坐标是（0，0）。 【知识点】坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，记作（x，0）；y轴上的点横坐标为0，记作（0，y）；原点坐标为（0，0）。 重点强调：坐标轴上的点不属于任何象限！x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，这个特征非常重要，要牢记。 【过渡语】探究了坐标轴上的点，下面我们来看平行于x轴的直线上的点有什么特征。 【探究2：平行于x轴的直线上点的坐标特征】（4分钟） 【教师活动】问题(2)：线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什么特点？线段EC上其他点的坐标呢？ 【学生活动】观察图形，线段EC是水平的，和x轴平行。点E(-7，3)和点C(1，3)的纵坐标都是3，相同。线段EC上其他点的纵坐标也都是3。 【教师活动】对！线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同，线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3。 【教师活动】我们可以得出结论：平行于x轴的直线上的点，纵坐标都相等。反过来，纵坐标相同的点，一定在同一条平行于x轴的直线上。 【知识点】平行于x轴的直线上点的坐标特征：纵坐标相等。即如果直线平行于x轴，那么直线上所有点的纵坐标都相同。 判断技巧：判断两点连线是否平行于x轴，只需看它们的纵坐标是否相等。纵坐标相等，则连线平行于x轴（或在x轴上）。 【过渡语】那么平行于y轴的直线上的点又有什么特征呢？我们继续探究。 【探究3：平行于y轴的直线上点的坐标特征】（4分钟） 【教师活动】问题(3)：点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有怎样的位置关系？ 【学生活动】点F(-6，3)和点G(-6，0)的横坐标都是-6，相同。线段FG是竖直的，和y轴平行。 【教师活动】正确！点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行。 【教师活动】我们来总结：平行于y轴的直线上的点，横坐标都相等。反过来，横坐标相同的点，一定在同一条平行于y轴的直线上。 【教师活动】下面我们用一个表格来总结一下与坐标轴平行的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上，纵坐标相等；平行于y轴的直线上，横坐标相等。 【知识点】平行于y轴的直线上点的坐标特征：横坐标相等。即如果直线平行于y轴，那么直线上所有点的横坐标都相同。 理解要点：平行于哪条轴，哪个坐标就不变：平行于x轴，纵坐标不变；平行于y轴，横坐标不变。可以这样记忆：'平行横轴纵不变，平行纵轴横不变'。 【过渡语】学习了平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，下面我们来思考一个更有挑战性的问题：象限角平分线上的点有什么特点？ 【探究4：象限角平分线上的点的坐标特征】（4分钟） 【教师活动】思考：在平面直角坐标系中，象限角平分线上的点的坐标有什么特点？ 图2 象限角平分线 【教师活动】什么是象限角平分线呢？就是把每个象限平分成两等份的直线。第一、三象限的角平分线，就是从原点出发，穿过第一象限和第三象限的那条直线，它的方程是x=y。第二、四象限的角平分线，就是从原点出发，穿过第二象限和第四象限的那条直线，它的方程是x=-y。 【学生活动】观察图形，思考第一、三象限角平分线上的点：比如(1，1)、(2，2)、(-1，-1)、(-2，-2)，这些点的横坐标和纵坐标都相等。第二、四象限角平分线上的点：比如(1，-1)、(2，-2)、(-1，1)、(-2，2)，这些点的横坐标和纵坐标互为相反数。 【教师活动】非常好！我们来总结：点P在第一、三象限的角平分线上，则横坐标等于纵坐标，即x=y；点P在第二、四象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标互为相反数，即x=-y（或x+y=0）。 【知识点】象限角平分线上点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点，横纵坐标相等（x=y）；第二、四象限角平分线上的点，横纵坐标互为相反数（x=-y）。 易错提示：注意区分：一、三象限角平分线是x=y，二、四象限角平分线是x=-y。不要搞混了！一、三象限的角平分线上的点，横纵坐标同号且相等；二、四象限的角平分线上的点，横纵坐标异号且绝对值相等。 【过渡语】学习了这些坐标特征，下面我们通过活动2来应用这些知识解决问题。 【例题精讲：活动2（1）——平行于x轴的两点间距离】（5分钟） 【教师活动】活动2：已知平面直角坐标系内的三点：A(a-1，-2)，B(-3，a+2)，C(b-6，2b)。 【教师活动】第(1)题：当直线AB平行于x轴时，求A，B两点间的距离。 【学生活动】思考：直线AB平行于x轴，说明A、B两点的纵坐标相等。所以-2 = a+2，解得a=-4。然后代入求出A、B的坐标，再求距离。 【教师活动】思路很清晰！我们来写出完整的解答过程：因为直线AB平行于x轴，所以A、B两点的纵坐标相等，即a+2 = -2，解得a = -4。所以a-1 = -4-1 = -5，所以A(-5，-2)，B(-3，-2)。所以A，B两点间的距离为 -3 - (-5) = 2。 【教师活动】请同学们注意：平行于x轴的两点之间的距离，等于它们横坐标之差的绝对值。因为纵坐标相同，所以距离就是横坐标差的绝对值。这里因为-3比-5大，所以直接用-3 - (-5)就可以了。 【知识点】平行于x轴的两点间距离：若两点纵坐标相等，则两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，即距离 = |x₁ - x₂|。 判断技巧：求平行于坐标轴的两点间距离：平行于x轴的，距离 = |x₁-x₂|（大减小也可以）；平行于y轴的，距离 = |y₁-y₂|。 【过渡语】下面我们来看第(2)题，一个更综合的问题。 【例题精讲：活动2（2）——垂直于x轴与角平分线综合】（5分钟） 【教师活动】第(2)题：当直线AC垂直于x轴，点C在第二、四象限的角平分线上时，求点A和点C的坐标。 【学生活动】思考：直线AC垂直于x轴，说明AC平行于y轴，所以A、C两点的横坐标相等，即a-1 = b-6。点C在第二、四象限的角平分线上，说明C的横纵坐标互为相反数，即(b-6) + 2b = 0。可以联立方程求解。 【教师活动】分析得非常好！我们来一步步解：因为点C(b-6，2b)在第二、四象限的角平分线上，所以横纵坐标互为相反数，即 (b-6) + 2b = 0，也就是 3b - 6 = 0，解得 b = 2。 【教师活动】所以b-6 = 2-6 = -4，2b = 2×2 = 4，所以点C的坐标为(-4，4)。又因为直线AC垂直于x轴，所以AC平行于y轴，A、C横坐标相等，所以A点的横坐标也是-4，即A(-4，-2)。 【教师活动】这道题综合运用了两个知识点：一是垂直于x轴的直线上的点横坐标相等（平行于y轴）；二是第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。同学们都听懂了吗？ 【知识点】垂直于x轴的直线平行于y轴，直线上所有点的横坐标相等。第二、四象限角平分线上的点，横纵坐标互为相反数（x+y=0）。 重点强调：垂直于x轴 = 平行于y轴 = 横坐标相等；垂直于y轴 = 平行于x轴 = 纵坐标相等。这两种说法是等价的，做题时要灵活转换。 【过渡语】任务一我们就学习到这里。下面进入任务二，学习如何根据图形特点建立适当的坐标系。 【任务二：建立适当的坐标系求顶点坐标】（3分钟） 【教师活动】任务二：能根据图形特点建立适当的坐标系并写出各顶点坐标。 【教师活动】活动：已知长方形ABCD的长和宽分别为6、4，以C为坐标原点，分别以CD、CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，请你画出直角坐标系并写出各顶点坐标。 图3 长方形ABCD建立坐标系 【学生活动】思考：以C为原点，CD在x轴上，CB在y轴上。因为长方形长6宽4，所以CD长6，CB长4。那么C(0，0)，D(6，0)，B(0，4)，A(6，4)。 【教师活动】我们来看图：直角坐标系如图所示。A点坐标是(6，4)，B点坐标是(0，4)，C点坐标是(0，0)，D点坐标是(6，0)。大家都写对了吗？ 【教师活动】这里我们是以点C为原点建立坐标系的。请同学们思考一下：还有其他建立直角坐标系的方法吗？小组讨论一下。 【学生活动】小组讨论：可以以D为原点，也可以以A为原点，还可以以长方形的中心为原点，或者以AB中点为原点等等。 【教师活动】非常好！建立坐标系的方法有很多种。那么哪种方法建立的坐标系更容易表示出长方形的各顶点坐标呢？说说你的理由。 【学生活动】思考：以顶点为原点，以两条边为坐标轴建立坐标系，这样顶点的坐标比较好写，很多坐标是0或者边长，计算方便。 【知识点】建立适当坐标系的方法：以图形的顶点为原点，以图形的边所在直线为坐标轴，这样各顶点的坐标容易表示，计算也简便。 【过渡语】那么建立适当的直角坐标系有哪些原则呢？我们来总结一下。 【新知探究：建立适当直角坐标系的原则】（3分钟） 【教师活动】想一想：你认为应该怎样建立适合的直角坐标系？ 【教师活动】建立适当直角坐标系的原则：第一，尽可能选择一些特殊点作坐标原点，比如顶点、中心、垂足等。第二，坐标轴尽可能建立在图形已知的线段上。第三，画直角坐标系一定要完整，要有正方向（箭头）、坐标轴符号（x，y）、原点符号（O），还要保证单位长度一致。 【学生活动】记录三条原则：1.选特殊点作原点；2.坐标轴建在已知线段上；3.坐标系要完整（正方向、符号、原点、单位长度）。 【教师活动】为什么要选择特殊点作原点呢？因为这样可以让更多的点落在坐标轴上，坐标中会出现更多的0，计算更方便。为什么坐标轴要建在已知线段上呢？因为这样线段的长度就可以直接转化为坐标值，不用再换算。 【知识点】建立适当直角坐标系的原则：①选特殊点作原点（顶点、中心、垂足等）；②坐标轴建在已知线段上；③坐标系要完整（正方向、坐标轴符号、原点、单位长度一致）。 判断技巧：建系小窍门：原点选顶点，两边坐轴上，坐标含零多，计算更方便。 【过渡语】学会了建立坐标系，下面我们进入任务三，学习如何求平面直角坐标系中图形的面积。 【任务三：求直角坐标系中图形的面积】（3分钟） 【教师活动】任务三：求直角坐标系中图形的面积。 【教师活动】活动：已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(9，3)，C(1，-1)，求三角形ABC的面积。 图4 三角形ABC 【学生活动】思考：A和B的纵坐标都是3，说明AB边平行于x轴。AB的长度就是9-0=9。然后C到AB的距离就是高，AB在y=3这条线上，C的纵坐标是-1，所以高就是3 - (-1) = 4。面积就是底乘高除以2，即9×4÷2=18。 【教师活动】思路非常清晰！我们来整理一下：在平面直角坐标系中求三角形的面积时，若三角形有一边与坐标轴平行，则以这条边为底，底边的长就是这条边两端点之间的距离，高是另外一个点到底边所在直线的距离。这些距离都能根据点的坐标求出。 【教师活动】具体来说，因为A(0，3)和B(9，3)的纵坐标都是3，所以AB平行于x轴，AB的长度 = 9 - 0 = 9。点C(1，-1)到直线AB（y=3）的距离 = 3 - (-1) = 4。所以三角形ABC的面积 = ½ × 9 × 4 = 18。 【知识点】求坐标系中三角形面积的方法：若有一边平行于坐标轴，以该边为底，底长为两端点距离，高为另一个顶点到该边的距离，面积 = ½ × 底 × 高。 理解要点：求面积的关键是找到'底'和'高'。平行于x轴的边作底，底长=|x₁-x₂|，高=|y₃-y底|；平行于y轴的边作底，底长=|y₁-y₂|，高=|x₃-x底|。 【过渡语】学习了求面积的方法，下面我们通过几道练习题来巩固本节课所学的知识。 【课堂练习】（4分钟） 【教师活动】1. 如图，正方形ABCD中点A和点C的坐标分别为(-2，3)和(3，-2)，则点B和点D的坐标分别为（ ） 图5 正方形ABCD A.（2，2）和（3，3） B.（-2，-2）和（3，3） C.（-2，-2）和（-3，-3） D.（2，2）和（-3，-3） 【学生活动】思考：正方形ABCD中，A(-2，3)，C(3，-2)。因为AB边是竖直的（平行于y轴），所以B的横坐标和A相同，也是-2；BC边是水平的（平行于x轴），所以B的纵坐标和C相同，也是-2。所以B(-2，-2)。同理，D的横坐标和C相同是3，纵坐标和A相同是3，所以D(3，3)。选B。 【教师活动】正确答案是B。利用正方形的边分别平行于坐标轴的特点：B点和A点横坐标相同（同左），和C点纵坐标相同（同下）；D点和C点横坐标相同（同右），和A点纵坐标相同（同上）。 【教师活动】2. 点A(m+3，m+1)在x轴上，则A点的坐标为（ ） 【教师活动】A．(0，-2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，-4) 【学生活动】思考：点在x轴上，说明纵坐标为0。所以m+1=0，解得m=-1。则m+3=-1+3=2。所以A(2，0)。选B。 【教师活动】正确答案是B。x轴上的点纵坐标为0，这个特征要牢记！ 【教师活动】3. 小红将'科''技''创''新'写在方格纸中，若建立平面直角坐标系，使'创''新'的坐标分别为(-2，0)，(0，0)，则'技'所在的象限为（ ） 图6 方格纸中的文字 【教师活动】A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【学生活动】思考：'创'(-2，0)，'新'(0，0)，说明'新'在原点，'创'在x轴负半轴上。那么'技'字在第一象限。选A。 【教师活动】正确答案是A。'新'字在原点(0，0)，'创'字在(-2，0)，可以确定坐标系的位置，然后'技'字就在第一象限。 【教师活动】4. 在平面直角坐标系中，已知点A(3，2)和点B(3，4)，则三角形OAB的面积为（ ） 【教师活动】A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【学生活动】思考：A(3，2)和B(3，4)的横坐标都是3，说明AB平行于y轴。AB的长度是4-2=2。原点O到AB的距离就是3（AB在x=3这条线上）。面积=½×2×3=3。选C。 【教师活动】正确答案是C。AB边平行于y轴，底长AB=4-2=2，高就是O到直线x=3的距离，即3。所以面积=½×2×3=3。 【教师活动】5. 方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(-2，1)。若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（ ） 【教师活动】A.（-2，1） B.（2，-1） C.（-2，-1） D.（2，1） 【学生活动】思考：以B为原点时，A(-2，1)，说明A在B的左边2个单位，上边1个单位。那么反过来，以A为原点时，B就在A的右边2个单位，下边1个单位，所以B(2，-1)。选B。 【教师活动】正确答案是B。原点变换后，坐标的变化规律是：横纵坐标都变号。原来A相对于B是(-2，1)，现在B相对于A就是(2，-1)。 易错提示：原点改变时，所有点的坐标都会改变。两个点之间的相对位置不变，但坐标值要根据新原点重新计算。最简单的方法：相对关系反过来，横纵坐标都变号。 【过渡语】练习题我们就做到这里。下面我们一起来回顾一下本节课所学的内容。 【课堂小结】（2分钟） 【教师活动】针对本节课所学内容，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】回顾本节课内容：学习了坐标轴上点的坐标特征，平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，象限角平分线上点的坐标特征，还学会了建立适当的坐标系求顶点坐标，以及求坐标系中图形的面积。 【教师活动】很好！我们一起来梳理一下本节课的主要内容： 【教师活动】1. 坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。 【教师活动】2. 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上纵坐标相等，平行于y轴的直线上横坐标相等。 【教师活动】3. 象限角平分线上点的坐标特征：一、三象限角平分线x=y，二、四象限角平分线x=-y。 【教师活动】4. 建立适当坐标系的原则：选特殊点作原点，坐标轴建在已知线段上，坐标系要完整。 【教师活动】5. 求图形面积的方法：有边平行于坐标轴时，以该边为底，用底乘高除以2。 【知识点】本节课主要内容：坐标轴上、平行于坐标轴的直线上、象限角平分线上点的坐标特征；建立适当坐标系；求坐标系中图形的面积。 理解要点：本节课的核心是'坐标特征'——各种特殊位置上的点的坐标都有规律可循。掌握了这些规律，就能解决很多与坐标系有关的问题，包括求距离、求面积等等。 四、板书设计 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $