7.2图形的运动与坐标 教学设计 2025-2026学年 青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“图形的运动与坐标”中关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标特征及轴对称图形绘制。通过复习轴对称定义、性质及画对称点方法，衔接轴对称与坐标系知识，为后续函数图象学习铺垫，构建知识支架。 以“观察-探究-归纳-应用”为主线，通过具体点（如Q(4,3)）对称点坐标探究发展几何直观，小组讨论归纳一般点特征培养推理意识，例题练习强化模型应用。激发学生主动性，教师易操作，提升教学效率与学生核心素养。

第七章 图形与坐标 7.2 图形的运动与坐标   一、教材分析 本节课是青岛版初中数学八年级上册第七章《图形与坐标》第2节的内容，本节课是在学生系统学习平面直角坐标系之后，从“运动与变化”的视角来研究图形与坐标的关系，是“数形结合”思想的又一次深化与飞跃，在此之前，学生已经掌握了在静态的坐标系中描述点的位置和建立坐标系，建立合适坐标系则是强调通过优化坐标系简化问题的思想，而本节课的内容则是引领学生进入动态的数学世界，探究在图形关于某条直线轴对称时，其上的点的坐标的特征.教材先通过具体的点在平面直角坐标系中关于x轴、y轴、原点对称的实例，引导学生观察、分析对称点坐标的特征，进而归纳出一般结论.随后，通过例题和练习，让学生运用其坐标系中画出简单图形关于坐标轴的对称图形，巩固所学知识，培养学生的动手能力和应用意识. 本节课承接了之前轴对称图形和平面直角坐标系的学习，为后续函数图象的学习奠定基础，是数形结合思想的重要体现，起到了承上启下的作用.   二、学情分析 学生在之前的数学学习中，已经学习了轴对称图形的性质和平面直角坐标系的相关知识，对图形的对称有了一定的感性认识，也掌握了点在坐标系中的坐标表示方法，这为学习用坐标表示轴对称提供了知识前提. 八年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，具有一定的观察、分析和归纳能力，但对于将直观的图形特征转化为精确的坐标数量关系，可能还存在一定困难，学生极易混淆关于x轴、y轴、原点对称的点坐标的特征不同，需要教师引导他们通过具体实例进行探究和总结. 这个阶段学生好奇心强，对数学学习有一定的兴趣，但部分学生自主学习能力不足，在学习过程中可能会依赖教师的讲解，需要教师设计多样化的教学活动，激发学生的学习主动性和积极性.   三、学习目标 1.在同一平面直角坐标系中，理解已知点关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标特征； 2.通过图形关于坐标轴成轴对称变化与点的坐标变化之间的关系探究过程，感悟数形结合的思想，发展几何直观； 3.在探索关于坐标轴成轴对称的两个点的坐标特征及在绘制轴对称图形的过程中，充分体验到学习数学的乐趣，激发对数学学科的浓厚兴趣和探索欲望．   四、教学重难点 重点：在同一平面直角坐标系中，理解已知点关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标特征； 难点：通过图形关于坐标轴成轴对称变化与点的坐标变化之间的关系探究过程，感悟数学结合的思想，发展几何直观.   五、教学过程 · 复习回顾 问题：什么叫轴对称图形？ 答案：沿着某一直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，这条直线称为对称轴. 问题： 轴对称图形的性质是什么？ 答案：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 追问：已知点A和一条直线l ，你能画出这个点关于已知直线l的对称点吗？ 答案： 作法：1.过点A作直线 l 的垂线，在垂线上截OA′ = OA，垂足为点O； 2.点A′ 就是点A关于直线 l 的对称点. 追问：在平面直角坐标系中,关于坐标轴成轴对称的两个点的坐标有什么特点? 一起探究 师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答. 设计意图：通过引导学生回顾轴对称图形的定义、性质、画轴对称图形的方法，引导学生思考当 x 轴和 y 轴为对称轴时，在平面坐标系中如何画已知图形的轴对称图形，为后面学习作铺垫，吸引学生的课堂注意力:由浅入深，激发学习兴趣. · 探究新知 活动一：探究关于坐标轴对称的点的坐标特征 问题：如图，在平面直角坐标系中，已知点Q的坐标为(4,3). (1)描出点Q关于y轴的对称点Q'，写出点Q'的坐标，点Q 与Q'的坐标有什么关系? 利 用轴对称的基本性质，说明理由. (2)描出点Q关于x轴的对称点Q″，写出点Q″的坐标，点Q 与Q″的坐标有什么关系? 答案： 解：（1）如图，点Q'的坐标是(-4,3).因为点Q 与Q'关于y轴成轴对称， 所以y 轴垂直平分线段QQ'，所以QQ'平行于x轴，且到y轴的距离相等， 所以点Q'与点Q 的横坐标互为相反数，纵坐标相等. （2）如图，点Q″的坐标是(4,-3).因为点Q 与Q″关于x轴成轴对称， 所以x轴垂直平分线段QQ″，所以QQ″平行于y轴，且到y轴的距离相等， 所以点Q与Q″的纵坐标互为相反数，横坐标相等. 问题： 分别描出点(-1,2)关于y轴和x轴的对称点,并写出它们的坐标. 答案：点(-1，2)关于y轴的对称点的坐标是(1，2). 点(-1，2)关于x轴的对称点的坐标是(-1，-2). 问题：已知点P的坐标是(a,b),按照发现的规律,分别写出点P 关于y轴的对称点P'和关于x轴的对称点P″的坐标. 答案：点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标是P′(－a,b). 点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标是P"(a,－b). 【总结】 关于坐标轴对称的点的坐标特征： 注意：(1)横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称. (2)纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称. 师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组讨论，指定学生汇报. 设计意图：通过画关于x、y轴的对称点，引导学生发现并掌握关于x、y轴对称的点的坐标的特征，进一步全面的认识轴对称与坐标变化之间的关系,同时培养学生的动手能力. 活动二：探究关于原点对称的点的坐标特征 问题：在平面直角坐标系中，如果一个正方形关于x 轴和y轴都对称，那么它的各个顶点坐标具有什么特征? 用字母表示它们的坐标特征. 答案： 如图所示，设点A(a，b)，则B(-a，b)，C(-a，-b)，D(a，-b). 其中点A与点B，点C与点D关于y轴对称.点A与点D，点B与点C关于x轴对称. 追问：点A与点C，点B与点D关于什么对称呢? 点A与点C，点B与点D关于原点O对称. 问题：关于原点对称的两个点的坐标之间满足什么特征呢？ 答案：关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数. 追问：如果点P与点P′关于x轴对称，点P′与点P"关于y轴对称，那么点P与点P"是否一定关于原点对称？ 答案： 师生活动：学生先独立思考，然后小组讨论，指定学生汇报，全班集体交流. 设计意图：通过小组合作引导学生探究关于原点对称的点的坐标特征，进一步培养学生发现问题，解决问题的能力. · 应用新知 例1 如图,在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(-2,1)，B(1.5,-4)，C(0,3).△A'B'C'与△ABC关于y轴成轴对称，△A″B″C″与△ABC 关于x轴成轴对称． (1)写出△A'B'C'的各顶点坐标； (2)写出△A″B″C″的各顶点坐标； (3)画出△A'B'C'与△A″B″C″． 解：(1)△A'B'C'的各顶点坐标如下：A'(2,1)，B'(-1.5,-4)，C'(0,3). (2)△A″B″C″的各顶点坐标如下：A″(-2,-1)，B″(1.5,4)，C″(0,-3). (3)连接A'B'，B'C'，C'A'，得到△A'B'C'，如图； 连接A″B″，B″C″，C″A″，得到△A″B″C″，如图. 总结：作已知图形关于坐标轴成轴对称图形的一般步骤： (1)找出已知图形上的特殊点，如三角形的各顶点； (2)求出特殊点关于y轴或x轴的对称点的坐标； (3)根据所求的对称点的坐标在坐标系内描出各点. (4)按原图形的顺序顺次连接所描出的各点得到所求图形. 例2 已知点A(2a+b,-4)，B(3,a-2b)关于y轴对称，求点C(a，b)在第几象限？ 分析：根据“关于y轴对称的两点横坐标互为相反数、纵坐标相等”，可得2a+b=-3，a-2b=-4，最后求解方程组即可． 解：因为点A(2a+b，-4)，B(3，a-2b)关于y轴对称， 所以2a+b=-3，a-2b=-4．解得a=-2，b=1． 所以C(-2，1)在第二象限． 追问：若点A(2a+b,-4)，B(3,a-2b)关于x轴对称，则点C(a，b)在第 象限. 答案：四 师生活动：教师出示例题，引导学生分析解题思路，学生尝试独立完成，指定学生讲解，教师选取学生的典型解法进行展示和点评，针对学生在解题中出现的问题进行重点讲解. 设计意图：通过例题，能熟练应用关于坐标轴对称的点的坐标特征解决问题，提高学生解题的能力. · 课堂练习 教材练习 1.在平面直角坐标系中，分别写出下列各点关于x轴与y轴对称的点的坐标： A(2，1)，B(-5，4)，C(-4，-1)，D(-3，0)，O(0，0). 解：点A(2，1)关于x轴的对称点是(2，-1)，关于y轴的对称点是(-2，1)； 点B(-5，4)关于x轴的对称点是(-5，-4)，关于y轴的对称点是(5，4)； 点C(-4，-1)关于x轴的对称点是(-4，1)，关于y轴的对称点是(4，-1)； 点D(-3，0)关于x轴的对称点是(-3，0)，关于y轴的对称点是(3，0)； 点O(0，0)关于x轴的对称点是(0，0)，关于y轴的对称点是(0，0). 2.如图，△AOB 与△A'OB关于x轴成轴对称，点A'的坐标是(4,-3)，点B的坐标是(5，0). (1)写出点A 的坐标； (2)作出与四边形AOA'B 关于y轴成轴对称的图形,并写出该图形各顶点的坐标. 解：(1)点A的坐标是(4，3)； (2) 如图所示，四边形A1OA2B1是四边形AOA'B 关于y轴成轴对称的图形，其中点A1(-4，3)，点B1(-5，0)，点A2(-4，-3)，点O(0，0). 3.已知点A(a，4)关于x轴的对称点B的坐标为(-2，b)，分别写出点A，B关于y轴的对称点的坐标. 解：因为点A(a，4)关于x轴的对称点B的坐标为(-2，b)， 所以a=-2，b=-4． 所以A(-2，4)，B(-2，-4)． 所以点A关于y轴的对称点的坐标为(2，4)． 点B关于y轴的对称点的坐标为(2，-4)． 限时训练 1.点P(–5， 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________. 答案：(5，6 )； 2.点M(a，–5)与点N(–2， b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____. 答案：； 3.已知点A(2a＋3b，–2)和点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，则a＋b＝ ． 分析：根据任意一点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x，-y)，所以可得2a+3b=8，3a+2b=2，最后求解方程组可得a+b=2. 答案：2. 4.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC 关于x轴和y轴对称的图形. 分析：首先要求出三角形的顶点关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形． 解：如图所示 5.已知点P(a＋1，2a–3)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 分析：由点P关于x轴的对称点在第一象限，可知P点在第四象限，根据第四象限内点的特征可得a＋1>0，2a–3<0． 答案：依题意得点P在第四象限， 解得－1＜a＜. 即a的取值范围是－1＜a＜. （此题还可以点P关于x轴的对称点为P′，则点P′的坐标为(a＋1，3–2a)， 因为点P′在第一象限，所以a＋1>0，且3–2a>0，解得－1＜a＜.) 师生活动：学生在规定时间内完成限时训练题目，教师严格 师生活动：学生在规定时间内完成限时训练题目，教师严格计时，训练结束后，公布答案，学生自行批改，教师统计答题情况，针对错误率较高的题目进行集中讲解. 设计意图：通过限时训练，提高学生的解题速度和准确率，检验学生对本节课所学内容掌握程度，同时培养学生的时间观念和应试能力，及时发现学生学习中的薄弱环节并进行强化. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.关于坐标轴对称的点的坐标特征是什么？ 3.在坐标系中作已知图形的对称图形作图方法是什么？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课所学内容，帮助学生梳理知识脉络，使学生对本节课的知识形成系统的认识，加深记忆和理解，同时培养学生的归纳总结能力. 学科网（北京）股份有限公司 $