5.3无理数 教学设计——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“无理数”核心知识，涵盖概念、估算及数轴表示。通过复习有理数导入，结合拼正方形活动（两个边长1的正方形拼成面积2的大正方形，边长a²=2）引出无理数，衔接旧知搭建认知支架。 特色在于情境探究与动手操作结合，拼正方形抽象概念培养数学抽象，推理a非整数分数发展逻辑推理，用勾股定理在数轴表示√2等体现直观想象。讲练结合与“夹逼法”估算提升学生探究能力，清晰框架和实例辅助教师高效教学。

课题 5.3 无理数 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 情境探究法、合作讨论法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件、投影、剪刀、边长为1的正方形纸片、计算器 一、核心素养目标 • 【数学抽象】从拼正方形活动中抽象出无理数的概念，理解无理数产生的必要性，体会数系扩充的过程 • 【逻辑推理】通过推理a²=2中a不是整数也不是分数，证明a不是有理数，发展逻辑推理能力 • 【数学运算】掌握用估算的方法求无理数近似值的方法，会用计算器辅助估算 • 【直观想象】能在数轴上表示无理数，体会数形结合思想，理解无理数的几何意义 二、教学重难点 教学重点：无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数 教学难点：理解无理数产生的过程（a²=2中a不是有理数），用数轴上的点表示无理数 三、教学过程 【导入：有理数复习与情境引入】（2分钟） 【教师活动】同学们，我们在七年级已经学习了有理数。请大家回顾一下，有理数包括哪些数？ 【学生活动】回答：有理数包括整数和分数。整数有正整数、零、负整数，如1, 2, 3, …, 0, -1, -2, -3, …；分数有正分数和负分数，如1/2, 5.2, -3.5等。 【教师活动】很好！我们把整数和分数统称为有理数。那么，除了有理数之外，还有没有其他的数呢？今天我们就来探究这个问题。 【过渡语】带着这个问题，我们进入今天的学习——5.3 无理数。首先明确本节课的学习目标：1.了解无理数的基本概念，会判断一个数是有理数还是无理数；2.能用估算的方法求出一个无理数的范围；3.能用数轴上的点表示无理数。 【教师活动】本节课分为两个部分：5.3.1 认识无理数——了解无理数的概念，学会判断和估算；5.3.2 勾股定理与无理数——学会用数轴上的点表示无理数。 【知识点】有理数包括整数和分数。除了有理数外还有没有其他的数？ 【任务一：拼正方形活动】（4分钟） 【教师活动】任务一：了解无理数的概念。活动：请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。 【学生活动】小组合作，动手操作：将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，再拼成一个大正方形。 【教师活动】巡视指导，观察各小组的拼法。请各小组展示拼出的正方形。 【教师活动】大家思考一个问题：拼接前后两个图形的面积有什么关系？ 【学生活动】回答：拼接前后两个图形的面积保持不变。每个小正方形面积为1，两个面积之和为2，所以大正方形的面积为2。 【知识点】两个边长为1的正方形拼成的大正方形，面积S = 2。拼接前后面积不变。 【过渡语】知道了大正方形的面积，接下来我们研究它的边长。 【问题1：a²=2，a是整数吗？】（4分钟） 【教师活动】问题1：(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ 【学生活动】回答：因为S大正方形=2，所以a²=2。 【教师活动】正确！a²=2，即a的平方等于2。(2)a能是整数吗？说说你的理由。我们先从'数'的角度来分析。 【教师活动】因为a²=2，而1²=1，2²=4，3²=9…，所以1²<a²<2²，因此1<a<2。在1和2之间没有整数，所以a不是整数。 【学生活动】理解：1²=1<2，2²=4>2，所以a在1和2之间，不可能是整数。 【过渡语】我们还可以从'形'的角度来分析。 【教师活动】在三角形ABC中，AC=1，BC=1，AB=a。根据三角形的三边关系，斜边AB满足：AC-BC<a<AC+BC，即0<a<2，且a≠1，所以a不是整数。 【学生活动】从形的角度再次确认：a既不是0也不是1，也不在1和2之间取整数，所以a不是整数。 【知识点】从'数'和'形'两个角度都证明：a不是整数。 方法总结：判断a是否为整数，可用两种方法：数的角度——比较平方大小；形的角度——利用三角形三边关系。两种方法互相印证。 【a是分数吗？】（5分钟） 【教师活动】(3)a能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。我们分几个情况来讨论： 【教师活动】讨论①：a是分母为2的分数吗？即a可能是1/2=0.5，3/2=1.5等——(3/2)²=2.25>2，(1/2)²=0.25<2，都不是2，所以a不是分母为2的分数。 【学生活动】计算验证：(1/2)²=0.25≠2，(3/2)²=2.25≠2，所以不是。 【教师活动】讨论②：a是分母为3的分数吗？——(4/3)²=16/9≈1.78<2，(5/3)²=25/9≈2.78>2，都不是2，所以不是。 【学生活动】计算验证：分母为3的分数，平方后分母为9，分子为某整数的平方，不可能等于2=18/9。 【教师活动】讨论③：a是分母为4的分数吗？——(5/4)²=25/16=1.5625<2，(6/4)²=36/16=2.25>2，都不是2，所以不是。 【教师活动】事实上，我们可以一般地证明：任何一个分数（即有理数），它的平方不可能恰好等于2。 【学生活动】理解：所有分母的分数平方后都不等于2，所以a不是分数。 【知识点】事实上，满足等式a²=2的a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。 关键认识：a²=2中的a是一个客观存在的数（正方形的边长），但它既不是整数也不是分数，所以不是有理数。这说明有理数不够用了，需要引入新的数。 【过渡语】既然a不是有理数，那它究竟是什么数呢？a的值究竟是多少？我们继续来探究。 【估算a的值】（4分钟） 【教师活动】思考：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？我们已经知道1<a<2。下面我们进一步确定a的整数部分、十分位、百分位。 【教师活动】a的整数部分是多少？因为1²=1<2<2²=4，所以a的整数部分是1。 【学生活动】回答：a的整数部分是1。 【教师活动】a的十分位是多少？我们需要计算1.1², 1.2², 1.3², ..., 1.9²，看哪个最接近2。1.4²=1.96，1.5²=2.25。因为1.96<2<2.25，所以1.4<a<1.5，a的十分位是4。 【学生活动】跟随计算：1.4²=1.96<2，1.5²=2.25>2，所以a≈1.4... 【教师活动】a的百分位是多少？利用计算器，分别计算1.40², 1.41², 1.42², ..., 1.49²。1.41²=1.9881，1.42²=2.0164。因为1.9881<2<2.0164，所以1.41<a<1.42，a的百分位是1。 【学生活动】用计算器计算：1.41²=1.9881，1.42²=2.0164，所以a≈1.41... 【教师活动】追问：如果我们继续用计算器算下去，能算完吗？ 【学生活动】回答：不能！a的小数位数是无限的，而且不循环。 【知识点】a=1.41421356…是一个无限不循环小数。 估算方法：求无理数近似值的方法：先确定整数部分，再逐步确定十分位、百分位、千分位……每次用两个相邻的平方数'夹逼'即可。 【无理数定义与有理数的区别】（3分钟） 【教师活动】像a=1.41421356…这样，无限不循环小数叫作无理数。这就是我们今天要学习的新数——无理数。 【知识点】无理数的定义：无限不循环小数叫作无理数。常见的无理数有：π，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）等。 【教师活动】有理数与无理数的主要区别有哪些？请大家看屏幕总结。 【学生活动】回答：(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示；(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能。 【知识点】有理数与无理数的区别：①有理数可表示为有限小数或无限循环小数（即可化为分数形式），无理数是无限不循环小数（不能化为分数形式）；②有理数都能写成分数p/q（p,q为整数，q≠0），无理数不能。 注意：π是无理数，但22/7是π的近似值，是有理数。不要混淆π和22/7。另外，带根号的数不一定都是无理数，如=2是有理数。 【教师活动】请同学们判断：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，3.7（循环），-π，，22/7，0.373373337…（相邻两个7之间3的个数逐次加1）。 【学生活动】判断并回答：有理数有0.4583（有限小数），3.7循环（循环小数），22/7（分数）；无理数有-π（无限不循环），（无限不循环），0.373373337…（构造的无限不循环小数）。 【过渡语】下面我们学习如何用估算的方法求出一个无理数的近似值。 【任务二：用估算求无理数近似值】（4分钟） 【教师活动】任务二：用估算的方法求出一个无理数的近似值。我们已经学会了用'夹逼'的方法估算的近似值，现在运用这个方法估算其他无理数。 【教师活动】估算的近似值（精确到0.01）。思路：2²=4<8<3²=9，所以2<<3，整数部分为2。再算十分位：2.8²=7.84<8，2.9²=8.41>8，所以2.8<<2.9。再算百分位：2.82²=7.9524<8，2.83²=8.0089>8，所以2.82<<2.83，≈2.83。 【学生活动】跟随计算：2.8²=7.84，2.9²=8.41，2.82²=7.9524，2.83²=8.0089，所以≈2.83。 【教师活动】再估算√55的近似值（精确到0.01）。7²=49<55<8²=64，所以7<<8。7.4²=54.76<55，7.5²=56.25>55，所以7.4<<7.5。7.41²=54.9081<55，7.42²=55.0564>55，所以7.41<<7.42，≈7.42。 【学生活动】跟随计算验证：7.41²=54.9081，7.42²=55.0564，所以≈7.42。 【知识点】估算方法总结：求无理数的近似值：①确定在哪两个连续整数之间；②再确定十分位在哪两个数之间；③再确定百分位……逐步逼近即可。 夹逼法：估算无理数近似值的核心方法是'夹逼法'：用两个越来越接近的平方数'夹住'被开方数，逐步缩小范围。此方法适用于所有求算术平方根近似值的场景。 【无理数知识框架】（2分钟） 【教师活动】我们来梳理一下5.3.1认识无理数的知识框架。无理数部分主要包含两个方面：一是无理数的概念及认识——从拼正方形活动出发，发现a²=2中的a不是有理数，引入无理数概念；二是有理数与无理数的区别——有理数可化为分数，无理数不能。 【学生活动】跟随教师梳理知识框架，完成笔记。 【过渡语】了解了无理数的概念之后，我们进入5.3.2——勾股定理与无理数。我们将学习如何用数轴上的点来表示无理数。 【5.3.2 勾股定理与无理数：学习目标】（1分钟） 【教师活动】5.3.2 勾股定理与无理数。学习目标：能用数轴上的点表示无理数。我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？ 【学生活动】思考并产生疑问：无理数也是数，应该也能在数轴上表示吧？但怎么表示呢？ 【任务：用数轴上的点表示无理数——π】（4分钟） 【教师活动】任务：探索用数轴上的点表示无理数。活动1：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么，无理数呢？带着该疑问，回答下面的问题。 【教师活动】问题1：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ 【学生活动】思考并回答：直径为1的圆，周长C=π×1=π。圆滚动一周，圆上的点移动的距离等于圆的周长，所以点O'对应的数是π。 【教师活动】非常好！直径为1的圆，周长就是π。圆从原点向右滚动一周，圆上一点到达的位置正好是π，所以π可以用数轴上的点来表示。 【知识点】π是无限不循环小数（无理数），但它可以用数轴上的点来表示。 【过渡语】π可以用滚动圆的方法在数轴上表示，那么、这样的无理数能否在数轴上表示呢？ 【用数轴表示√2和√5】（4分钟） 【教师活动】问题2：上节课讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a²=2，b²=5。(1)如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？ 【学生活动】观察图形：OA=OB，OB是边长为1的正方形的对角线，即OB==。所以OA=，即点A对应数a=。 【教师活动】正确！利用勾股定理：在直角三角形中，直角边均为1，斜边==。所以OA=，点A对应数。 【教师活动】(2)你能在数轴上找到另一个数b=的对应点吗？与同伴进行交流。 【学生活动】小组讨论：构造直角边分别为2和1的直角三角形，斜边==。以O为圆心，斜边为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为的对应点。 【教师活动】总结：在数轴上表示无理数的方法：构造一个直角三角形，使其斜边长度等于，然后以原点为圆心、斜边为半径画弧，弧与数轴的交点即表示。 【知识点】利用勾股定理构造直角三角形，将无理数转化为直角三角形的斜边，再通过画弧'搬'到数轴上。 数形结合：用数轴上的点表示无理数的核心思想是'数形结合'：利用勾股定理，将无理数转化为几何图形（直角三角形）的边长，再通过画弧将长度'搬'到数轴上。 【结论与注意】（1分钟） 【教师活动】通过上面的探究，我们得到什么结论？ 【学生活动】回答：任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 【知识点】任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 【教师活动】注意：并不是所有的无理数都是用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如π，0.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1）等。但我们能用其他方法（如滚动圆）在数轴上找到π的对应点。 注意：尺规作图可以在数轴上表示某些无理数（如, , 等），但并非所有无理数都能用尺规作图表示（如π）。但不论用什么方法，理论上每个无理数在数轴上都有唯一的对应点。 【过渡语】下面我们来看一道例题，巩固用数轴表示无理数的方法。 【例题：在数轴上表示√13】（4分钟） 【教师活动】例题：在数轴上作出表示的点。 【思路分析】要作出，需要构造一个直角三角形，使其斜边长为√13。根据勾股定理，=，所以构造直角边分别为3和2的直角三角形，斜边即为。然后以原点为圆心、斜边为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求。 【教师活动】解：作法如下：(1)在数轴上找到一点A，使OA=3；(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB=2；(3)连接OB；(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点。 【学生活动】跟随教师步骤，在数轴上完成作图：OA=3，AB⊥数轴，AB=2，则OB==。以O为圆心、OB为半径画弧交数轴于C，C即表示。 【教师活动】追问：为什么要构造直角边为3和2的直角三角形？ 【学生活动】回答：因为3²+2²=9+4=13，斜边正好是。 【教师活动】总结：在数轴上表示的步骤：①将a写成两个平方数之和a=m²+n²；②构造直角边为m和n的直角三角形；③以原点为圆心、斜边为半径画弧，弧与数轴的交点即为的对应点。 关键步骤：在数轴上表示√a的关键是找到两个整数m,n，使m²+n²=a。例如：3²+2²=13；：3²+1²=10；：4²+2²=20。 【练习巩固】（2分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习。 【教师活动】练习1：如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作AB⊥数轴，AB=1，以O为圆心，OB为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数为____。 【思路分析】在直角三角形OAB中，OA=3（A点表示3，到原点O的距离为3），AB=1，所以OB==。以O为圆心、OB=为半径画弧交数轴左侧于C，C在原点左侧，所以C表示的数为-。 【学生活动】解：在直角三角形OAB中，OA=3，AB=1，所以OB==。以O为圆心、OB=为半径画弧交数轴左侧于C，C在原点左侧，所以C表示的数为-。 【教师活动】正确！点C在原点左侧，所以表示的数是-。注意：这里弧交数轴于A点左侧，即负半轴，所以是-而不是。 【过渡语】很好！下面我们来做课堂小结。 【课堂小结】（1分钟） 【教师活动】针对本课关键词'无理数'，你能说一说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：①无理数的定义——无限不循环小数叫作无理数；②无理数的产生——从拼正方形活动发现a²=2中的a不是有理数，需要引入无理数；③有理数与无理数的区别——有理数可化为分数，无理数不能；④估算无理数近似值的方法——夹逼法；⑤用数轴上的点表示无理数——利用勾股定理构造直角三角形，再画弧。 【教师活动】请一位同学总结在数轴上表示无理数的一般方法。 【学生活动】总结：将无理数写成两个平方数之和a=m²+n²，构造直角边为m和n的直角三角形，斜边=，以原点为圆心、斜边为半径画弧，弧与数轴的交点即表示。 【教师活动】本节课我们认识了无理数，知道了它是有理数之外的数，无限不循环小数。我们还学会了用估算求无理数近似值，以及用数轴上的点表示无理数。课后请大家完成作业。 四、板书设计 5.3 无理数 一、无理数的概念 1. 产生：a²=2 → a不是整数，也不是分数 → a不是有理数 2. 定义：无限不循环小数叫作无理数 3. 有理数与无理数的区别： 有理数→可化为分数（有限小数或循环小数） 无理数→不能化为分数（无限不循环小数） 二、估算无理数的近似值 夹逼法：整数部分→十分位→百分位→… 例：≈1.414… 三、用数轴上的点表示无理数 方法：勾股定理 + 画弧 例：= → 构造直角边3和2的Rt△ 结论：任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $