5.3无理数 教学设计——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

课题	5.3 无理数
课型	新授课
课时	1课时
教材版本	青岛版数学八年级上册
教学方法	情境探究法、合作讨论法、讲练结合法
教学用具	多媒体课件、投影、剪刀、边长为1的正方形纸片、计算器

 

一、核心素养目标

• 【数学抽象】从拼正方形活动中抽象出无理数的概念，理解无理数产生的必要性，体会数系扩充的过程

• 【逻辑推理】通过推理a²=2中a不是整数也不是分数，证明a不是有理数，发展逻辑推理能力

• 【数学运算】掌握用估算的方法求无理数近似值的方法，会用计算器辅助估算

• 【直观想象】能在数轴上表示无理数，体会数形结合思想，理解无理数的几何意义

二、教学重难点

教学重点：无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数

教学难点：理解无理数产生的过程（a²=2中a不是有理数），用数轴上的点表示无理数

三、教学过程

【导入：有理数复习与情境引入】（2分钟）

【教师活动】同学们，我们在七年级已经学习了有理数。请大家回顾一下，有理数包括哪些数？

【学生活动】回答：有理数包括整数和分数。整数有正整数、零、负整数，如1, 2, 3, …, 0, -1, -2, -3, …；分数有正分数和负分数，如1/2, 5.2, -3.5等。

【教师活动】很好！我们把整数和分数统称为有理数。那么，除了有理数之外，还有没有其他的数呢？今天我们就来探究这个问题。

【过渡语】带着这个问题，我们进入今天的学习——5.3 无理数。首先明确本节课的学习目标：1.了解无理数的基本概念，会判断一个数是有理数还是无理数；2.能用估算的方法求出一个无理数的范围；3.能用数轴上的点表示无理数。

【教师活动】本节课分为两个部分：5.3.1 认识无理数——了解无理数的概念，学会判断和估算；5.3.2 勾股定理与无理数——学会用数轴上的点表示无理数。

【知识点】有理数包括整数和分数。除了有理数外还有没有其他的数？

【任务一：拼正方形活动】（4分钟）

【教师活动】任务一：了解无理数的概念。活动：请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

【学生活动】小组合作，动手操作：将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，再拼成一个大正方形。

【教师活动】巡视指导，观察各小组的拼法。请各小组展示拼出的正方形。

【教师活动】大家思考一个问题：拼接前后两个图形的面积有什么关系？

【学生活动】回答：拼接前后两个图形的面积保持不变。每个小正方形面积为1，两个面积之和为2，所以大正方形的面积为2。

【知识点】两个边长为1的正方形拼成的大正方形，面积S = 2。拼接前后面积不变。

【过渡语】知道了大正方形的面积，接下来我们研究它的边长。

【问题1：a²=2，a是整数吗？】（4分钟）

【教师活动】问题1：(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？

【学生活动】回答：因为S大正方形=2，所以a²=2。

【教师活动】正确！a²=2，即a的平方等于2。(2)a能是整数吗？说说你的理由。我们先从'数'的角度来分析。

【教师活动】因为a²=2，而1²=1，2²=4，3²=9…，所以1²<a²<2²，因此1<a<2。在1和2之间没有整数，所以a不是整数。

【学生活动】理解：1²=1<2，2²=4>2，所以a在1和2之间，不可能是整数。

【过渡语】我们还可以从'形'的角度来分析。

【教师活动】在三角形ABC中，AC=1，BC=1，AB=a。根据三角形的三边关系，斜边AB满足：AC-BC<a<AC+BC，即0<a<2，且a≠1，所以a不是整数。

【学生活动】从形的角度再次确认：a既不是0也不是1，也不在1和2之间取整数，所以a不是整数。

【知识点】从'数'和'形'两个角度都证明：a不是整数。

方法总结：判断a是否为整数，可用两种方法：数的角度——比较平方大小；形的角度——利用三角形三边关系。两种方法互相印证。