第6章 一元一次不等式（复习讲义）数学新教材青岛版八年级上册

第6章 一元一次不等式（复习讲义） 1．理解不等式的概念及性质，准确识别不等式并利用其性质求解。 ①理解不等式的概念，准确识别不等式；②掌握不等式的基本性质；③能够利用不等式的性质进行复杂不等式的求解。 2．掌握一元一次不等式的定义及解法，能够解决简单的一元一次不等式应用题。 ①掌握一元一次不等式的定义；②掌握基本的解一元一次不等式的方法；③能够解决简单的一元一次不等式应用题 3．理解一元一次不等式组的定义及解法，能够解决涉及一元一次不等式组的应用题。 ①理解一元一次不等式组的定义；②掌握一元一次不等式组的解法；③掌握使用数轴表示一元一次不等式组的解集；④能够解决涉及一元一次不等式组的应用题。 知识点01 不等式 1）不等式：用“＞”、“≥”、“＜”或“≤”连接的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式。有些不等式中不含未知数，如“4＞3”. 2）一元一次不等式：不等式的两边都是等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 3）不等式的解：与方程的解类似，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 4）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。 5）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。 6）不等式的解和解集的区别和联系：不等式的解是一些具体的值，；不等式的解集是一个范围，不等式的每一个解都在它的解集的范围内。 知识点02 不等式的性质 1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 即：若a＞b，那么a±m＞b±m； 2）不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； 3） 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 知识点03 一元一次不等式的解法 1)解一元一次不等式，就是根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为x＜a(x≤a)或x＞a(x≥a)的形式。 2）解一元一次不等式的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1。 注意：以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。 3）解一元一次不等式可以移项，移项后应改变符号。 知识点04 一元一次不等式的应用 1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式解决实际问题。 2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。 3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，设未知数。 ②根据题中的不等关系列出不等式。 ③解不等式，求出解集。 ④写出符合题意的解。 知识点05 一元一次不等式组 1） 一元一次不等式组：一般地，由几个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组。 2）一元一次不等式组的解集：一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。 3）解不等式组：求不等式组解集的过程叫解不等式组。 4）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在同一条数轴上将它们的解集表示出来，利用数轴确定解集的公共部分，最后写出不等式组的解集。 5）解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找。 知识点06一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答。 题型一 一元一次不等式的定义 【例1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、分母中含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； B、，未知数的次数是，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； D、，是一元一次不等式，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1-1】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式1-2】关于x的不等式是一元一次不等式，则 ． 【答案】 【解析】解：关于x的不等式是一元一次不等式， 且， 解得且， 综上，； 故答案为：． 【变式1-3】已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【解析】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 题型二 不等式的基本性质 【例2】若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、当时，不等式两边都减，不等号的方向不变得，故A错误； B、当时，不等式两边都乘以，不等号的方向改变得，故B正确； C、，则，故C错误； D、当时，不等式两边都除以，不等号的方向不变得，故D错误． 故选：B． 【变式2-1】下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】解：A、若，两边同时加上c得，则A不符合题意； B、若，两边同时乘以得，则B不符合题意； C、若，两边同时乘以3得，则C不符合题意； D、若，当时，，则D符合题意； 故选：D． 【变式2-2】若，则 .（填“>”“<”“”或“”）． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 求一元一次不等式的解集 【例3】下列各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：解不等式，得， ∵， ∴是不等式的解， 故选：D． 【变式3-1】已知关于的不等式的解集为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式3-2】11．下列数中，能使的值为负数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 解得：， 故选：A． 【变式3-3】解不等式：． 【答案】 【解析】解：， 去分母得 移项得 合并同类项得, 系数化为得：． 题型四 求一元一次不等式的整数解 【例4】已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】解： 为整数， 可取的最大整数为 故选：C． 【变式4-1】关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【解析】解：， 解得：， ∵关于的不等式只有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4-2】若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵ ∴不等式的解集为， ∵不等式只有两个负整数解，为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为：，． 【解析】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴原不等式负整数解为：，． 题型五 在数轴上表示不等式的解集 【例5】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：将不等式的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【变式5-1】解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 在数轴上表示解集如下：    【变式5-2】解下列不等式，并在数轴上表示解集， (1) (2) 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 【解析】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【变式5-3】解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【解析】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 【例6】舒兰教育图书馆计划购进甲乙两种成套的图书200套，已知甲种图书每套60元，乙种图书每套45元．如果图书馆计划用于购书款不超过10000元，那么甲种图书最多能买多少套？ 【答案】66套 【解析】解：设购买甲种图书套，则购买乙种图书套， 则， 解得， ∵为非负整数，可得不大于的最大整数是66． ∴甲种图书最多能买66套． 【变式6-1】某商店销售某种商品，售价为元/件．五一期间，该商店决定对这种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件该商品（），根据以上信息，回答下列问题． 优惠方案一：商品超过15件后，超出部分五折；否则不打折 优惠方案二：无论多少，一律八折 (1)分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）； (2)请说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？ 【答案】(1)， (2)当时，选择方案二购买更实惠；当时，两种方案花费相同；时，选择方案一购买更实惠 【解析】（1）解：优惠方案一：商品超过15件后，超出部分五折；否则不打折，且小红打算到该商店购买件该商品（），根据题意，得：； 优惠方案二：无论多少，一律八折，且小红打算到该商店购买件该商品（），根据题意，得：； （2）解：当时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，即，解得； ， 当时，选择方案二购买更实惠；当时，两种方案花费相同；时，选择方案一购买更实惠． 【变式6-2】“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，且售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍． (1)求每件A种健身器材和B种健身器材的利润；（用二元一次方程组的知识解答） (2)由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10 000元，那么该店至少需要购进多少件A种健身器材？ 【答案】(1)每件种健身器材的利润为200元，每件种健身器材的利润为100元 (2)该店至少需要购进20件种健身器材 【解析】（1）解：设每件种健身器材的利润为元，每件种健身器材的利润为元， 由题意得：， 解得． 答：每件种健身器材的利润为200元，每件种健身器材的利润为100元． （2）解：设需要购进件种健身器材，则购进件种健身器材， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为20． 答：该店至少需要购进20件种健身器材． 【变式6-3】某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价． (2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 【答案】(1)A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； (2)B型文创用品最多可以购买25件． 【解析】（1）解：（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）解：设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为25， 答：B型文创用品最多可以购买25件． 题型七 求不等式组的解集 【例7】不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 故选：C． 【变式7-1】不等式组的解集为 ． 【答案】 【解析】解：， 由不等式①，得， 由不等式②，得， 故原不等式组的解集是． 故答案为：． 【变式7-2】解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 【变式7-3】解不等式组： 【答案】 【解析】解：， 由①得：， 由②得：， 所以原不等式组的解集为：． 题型八 求一元一次不等式组的整数解 【例8】关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的整数解为 ． 【答案】0 【解析】解：由数轴，得该不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为0． 故答案为：0． 【变式8-1】解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解是 0，1 【解析】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴该不等式组的解集是， ∴该不等式组的整数解是 0，1． 【变式8-2】解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 【答案】，数轴见解析，所有非负整数解有0，1，2． 【解析】解∶， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示为： ∴所有非负整数解有0，1，2． 【变式8-3】解不等式组，并求它所有负整数解的和． 【答案】， 【解析】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组所有负整数解为，，，，， ∴所有负整数解的和为：． 题型九 由一元一次不等式组的解（集）求参数 【例9】如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 解不等式①：， 解不等式②得：． 则不等式组的解集是：． ∵不等式组只有一个整数解，则． 故选：A． 【变式9-1】若关于的不等式组有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解： 解不等式，得， 又且不等式组有实数解， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组无解， ， 故答案为：． 【变式9-3】若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【解析】解： 由①，得：． 由②，得：． ∵不等式组只有4个整数解， ∴整数解为7，8，9，10， ∴． 解得 ， ∴a的取值范围是 题型十 不等式组的应用 【例10】车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 【答案】每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件 【解析】解：设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件， 由题意得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴， 答：每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件． 【变式10-1】某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？ 【答案】该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书 【解析】解：设该班进步学生有x个，共购买了本书， 由题意得：， 解得：； 由于x为正整数，则x为30或31或32； 当时，则购买了（本）； 当时，则购买了（本）； 当时，则购买了（本）； 答：该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书． 【变式10-2】近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元 (2)共有种建造方案：新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩 【解析】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 共有种建造方案： 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩． 【变式10-3】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【解析】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，有两个未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； B、，没有未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； C、是一元一次不等式； D、，含未知数的项的最高次数不是1次，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； 故选：C． 2．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、∵ ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 故C符合题意； D、∵，， ∴， 即D选项没说明，故D不符合题意； 故选：C． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：不等式的解集在数轴上表示正确的是： ． 故选：C． 4．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【解析】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 5．若关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：解关于x的不等式组， 得， ∵关于x的不等式组恰有4个整数解， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．如果整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解，那么整数有 个． 【答案】6 【解析】解：， 解①得，， 解②得，， 则解集为， 整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解， ， 整理得， 解得 符合条件的所有整数为 故答案为：6． 7．已知关于x的不等式组无解，实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．一个盒子的质量为，装入每个质量为的砝码后，总质量不少于，盒内至少装了 个砝码． 【答案】30 【解析】解：设盒内装了x个砝码， 根据题意得，， 解得， 答：盒内至少装了30个砝码． 故答案为：30． 9．一元一次不等式的最大整数解是 ． 【答案】2 【解析】解：， 移项、合并同类项，得， 所以，其最大整数解是2． 故答案为：2． 10．按下列程序进行运算（如图）： 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算进行 次才停止；若运算进行了5次才停止，则的取值范围是 ． 【答案】 4 【解析】解：若， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：， 则停止； 共4次． 第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； ∴由题意：， 解得：． ∴x的取值范围为． 故答案为：4；． 三、解答题 11．解下列不等式（组）： (1)解不等式：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 12．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【解析】解：， ， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上如下： 13．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【解析】（1）解：， 去分母得：， ， ， 是原方程的增根， ，解得． （2）解： 去分母并整理得， 方程的解为非负数， ，即， ， 又或时，该分式方程无解， 且， 且， 综上所述，的取值范围为且． 14．“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； (2)学校共有3种购买方案，方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜；方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜；方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 【解析】（1）解：设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元， 根据题意得， 解得， 答：每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； （2）解：设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜， 根据题意得， 解得， 又，均为正整数， 可以为8，9，10， 学校共有3种购买方案， 方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜； 方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜； 方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 15．某公司计划购进，两种品牌的教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润（毛利润销售总金额进货总金额）12万元，这两种教学设备的进价和售价如表所示： 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该公司计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少种设备的购进数量，增加种设备的购进数量，已知种设备增加的数量是种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问种设备购进数量至多减少多少套? 【答案】(1)该公司计划购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套． (2)6套 【解析】（1）解：设该公司计划购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套． 解得 答：该公司计划购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套． （2）解：设种设备购进数量减少套，则种设备增加套．变化后的数量为套，的数量为套．由题意得 根据总资金不超过万元列不等式： 解得， 又因为设备数量为整数， 所以和均为整数， 则为偶数， 因此，满足的的最大值为6． 答：种设备购进数量至多减少6套． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【解析】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由得， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示为： 故选：． 3．某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（   ） A．25 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【解析】解：设观影人数是人， 甲的说法错误， 观影人数超过了人 ， 乙的说法正确， 观影人数不足人， ， ∴， 只有在取值范围内， 在8号厅的观影人数可能为人， 故选：B． 4．使不等式成立的的值中，最小的整数是（　　） A．2 B． C．0 D． 【答案】C 【解析】解：， ， ， ， 则最小的整数解是0． 故选：C． 5．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：解不等式，得， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴3个整数解为、0、1， ∴， 解得：， 故选：B． 二、填空题 6．已知，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】解：， ∴， ． 故答案为：． 7．若不等式组的解集为，则 ， ． 【答案】 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， 即， 故答案为：，． 8．若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是 【答案】 【解析】解：解不等式得，， ∵不等式只有两个负整数解， ∴不等式只有两个负整数解，负整数解为，， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 9．某工程队计划在10天内共栽1500棵树，开始4天，受天气影响，每天只能完成105棵树．后来天气转好，为了按期或提前完成，天气转好后平均每天至少要栽种 棵树． 【答案】180 【解析】解：设天气好转后平均每天栽种x棵，根据题意可得： ， 解得：． 答：为了按期或提前完成任务，至少每天要栽种180棵． 故答案为：180． 10．不等式组的所有整数解之和为2，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：由得：， 由得：， 因为不等式组的所有整数解之和为2， 所以不等式组的整数解为、0、1、2， 则， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．（1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 解：得，， 得， ， 得，， 解得，， 把代入得， ∴原方程组的解为； （2） 解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组得解集为． 12．（1）解不等式． （2）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． （3）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），画图见解析；（3），画图见解析 【解析】解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； 不等式的解集在数轴上表示如下： （3）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； 不等式的解集在数轴上表示如下： 13．定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：． （3）解：由题意得：， ， ∴不等式组可转化为 ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得． 14．某单位计划购进A，B，C三种型号的礼品共2700件，其中C型号的礼品500件，A型号的礼品比B型号的礼品多200件．已知三种型号的礼品单价如下表所示： 型号 A B C 单价（元） 30 20 10 (1)求计划购进A和B两种型号的礼品分别多少件． (2)实际购买时，在计划总价格不变的情况下，解答下列问题： 若只购进B，C两种型号的礼品，且B型号的礼品件数不超过C型号的礼品件数的2倍，则B型号的礼品最多购进多少件？ 【答案】(1)计划购进A型号礼品1200件，B型号礼品1000件 (2)B型礼品最多购进2440件 【解析】（1）解：设计划购进B型号礼品x件，则计划购进A型号礼品件， 依题意，得：， 解得：， ． 答：计划购进A型号礼品1200件，B型号礼品1000件； （2）解：设购进B型号礼品m件，则购进C型号礼品件， 依题意，得：， 解得：． 答：B型礼品最多购进2440件． 15．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【解析】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一元一次不等式（复习讲义） 1．理解不等式的概念及性质，准确识别不等式并利用其性质求解。 ①理解不等式的概念，准确识别不等式；②掌握不等式的基本性质；③能够利用不等式的性质进行复杂不等式的求解。 2．掌握一元一次不等式的定义及解法，能够解决简单的一元一次不等式应用题。 ①掌握一元一次不等式的定义；②掌握基本的解一元一次不等式的方法；③能够解决简单的一元一次不等式应用题 3．理解一元一次不等式组的定义及解法，能够解决涉及一元一次不等式组的应用题。 ①理解一元一次不等式组的定义；②掌握一元一次不等式组的解法；③掌握使用数轴表示一元一次不等式组的解集；④能够解决涉及一元一次不等式组的应用题。 知识点01 不等式 1）不等式：用“＞”、“≥”、“＜”或“≤”连接的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式。有些不等式中不含未知数，如“4＞3”. 2）一元一次不等式：不等式的两边都是等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 3）不等式的解：与方程的解类似，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 4）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。 5）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。 6）不等式的解和解集的区别和联系：不等式的解是一些具体的值，；不等式的解集是一个范围，不等式的每一个解都在它的解集的范围内。 知识点02 不等式的性质 1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 即：若a＞b，那么a±m＞b±m； 2）不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； 3） 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 知识点03 一元一次不等式的解法 1)解一元一次不等式，就是根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为x＜a(x≤a)或x＞a(x≥a)的形式。 2）解一元一次不等式的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1。 注意：以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。 3）解一元一次不等式可以移项，移项后应改变符号。 知识点04 一元一次不等式的应用 1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式解决实际问题。 2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。 3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，设未知数。 ②根据题中的不等关系列出不等式。 ③解不等式，求出解集。 ④写出符合题意的解。 知识点05 一元一次不等式组 1） 一元一次不等式组：一般地，由几个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组。 2）一元一次不等式组的解集：一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。 3）解不等式组：求不等式组解集的过程叫解不等式组。 4）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在同一条数轴上将它们的解集表示出来，利用数轴确定解集的公共部分，最后写出不等式组的解集。 5）解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找。 知识点06一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答。 题型一 一元一次不等式的定义 【例1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【变式1-2】关于x的不等式是一元一次不等式，则 ． 【变式1-3】已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型二 不等式的基本性质 【例2】若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】若，则 .（填“>”“<”“”或“”）． 【变式2-3】如果的解集为，则的取值范围是 ． 题型三 求一元一次不等式的解集 【例3】下列各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知关于的不等式的解集为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】11．下列数中，能使的值为负数的为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】解不等式：． 题型四 求一元一次不等式的整数解 【例4】已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-1】关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为 ． 【变式4-2】若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 【变式4-3】解不等式，并写出它的所有负整数解． 题型五 在数轴上表示不等式的解集 【例5】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式5-2】解下列不等式，并在数轴上表示解集， (1) (2) 【变式5-3】解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 【例6】舒兰教育图书馆计划购进甲乙两种成套的图书200套，已知甲种图书每套60元，乙种图书每套45元．如果图书馆计划用于购书款不超过10000元，那么甲种图书最多能买多少套？ 【变式6-1】某商店销售某种商品，售价为元/件．五一期间，该商店决定对这种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件该商品（），根据以上信息，回答下列问题． 优惠方案一：商品超过15件后，超出部分五折；否则不打折 优惠方案二：无论多少，一律八折 (1)分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）； (2)请说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？ 【变式6-2】“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，且售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍． (1)求每件A种健身器材和B种健身器材的利润；（用二元一次方程组的知识解答） (2)由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10 000元，那么该店至少需要购进多少件A种健身器材？ 【变式6-3】某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A，B两种型号文创用品的单价． (2)丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 题型七 求不等式组的解集 【例7】不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】不等式组的解集为 ． 【变式7-2】解下列不等式组： (1)； (2)． 【变式7-3】解不等式组： 题型八 求一元一次不等式组的整数解 【例8】关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的整数解为 ． 【变式8-1】解不等式组：，并写出它的整数解． 【变式8-2】解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 【变式8-3】解不等式组，并求它所有负整数解的和． 题型九 由一元一次不等式组的解（集）求参数 【例9】如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】若关于的不等式组有实数解，则的取值范围是 ． 【变式9-2】关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式9-3】若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 题型十 不等式组的应用 【例10】车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 【变式10-1】某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？ 【变式10-2】近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【变式10-3】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．若关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如果整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解，那么整数有 个． 7．已知关于x的不等式组无解，实数a的取值范围为 ． 8．一个盒子的质量为，装入每个质量为的砝码后，总质量不少于，盒内至少装了 个砝码． 9．一元一次不等式的最大整数解是 ． 10．按下列程序进行运算（如图）： 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算进行 次才停止；若运算进行了5次才停止，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．解下列不等式（组）： (1)解不等式：； (2)解不等式组：． 12．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 13．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 14．“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 15．某公司计划购进，两种品牌的教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润（毛利润销售总金额进货总金额）12万元，这两种教学设备的进价和售价如表所示： 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该公司计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少种设备的购进数量，增加种设备的购进数量，已知种设备增加的数量是种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问种设备购进数量至多减少多少套? 能力提升进阶练 一、单选题 1．若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（   ） A．25 B．29 C．30 D．31 4．使不等式成立的的值中，最小的整数是（　　） A．2 B． C．0 D． 5．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，则 （填“”“”或“”）． 7．若不等式组的解集为，则 ， ． 8．若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是 9．某工程队计划在10天内共栽1500棵树，开始4天，受天气影响，每天只能完成105棵树．后来天气转好，为了按期或提前完成，天气转好后平均每天至少要栽种 棵树． 10．不等式组的所有整数解之和为2，则a的取值范围为 ． 三、解答题 11．（1）解方程组： （2）解不等式组： 12．（1）解不等式． （2）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． （3）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 13．定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 14．某单位计划购进A，B，C三种型号的礼品共2700件，其中C型号的礼品500件，A型号的礼品比B型号的礼品多200件．已知三种型号的礼品单价如下表所示： 型号 A B C 单价（元） 30 20 10 (1)求计划购进A和B两种型号的礼品分别多少件． (2)实际购买时，在计划总价格不变的情况下，解答下列问题： 若只购进B，C两种型号的礼品，且B型号的礼品件数不超过C型号的礼品件数的2倍，则B型号的礼品最多购进多少件？ 15．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$