5.6实数 教学设计——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实数”核心知识，涵盖概念、分类、运算及与数轴关系。通过回顾有理数和无理数旧知导入，搭建新旧知识支架，引导学生构建完整实数体系。 以核心素养为导向，采用情境探究与合作讨论法，任务一分类活动培养数学抽象，任务二类比有理数运算推理实数规律发展逻辑推理，任务三数轴对应强化直观想象。讲练结合提升运算能力，助力学生夯实基础，为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

课题 5.6 实数 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 情境探究法、合作讨论法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件、投影 一、核心素养目标 • 【数学抽象】理解实数的概念，能将实数按不同标准进行分类，建立完整的实数体系 • 【逻辑推理】类比有理数的运算法则和运算律，推理出实数范围内相反数、绝对值、倒数及运算律同样适用 • 【数学运算】掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的求法，能进行实数的简单运算 • 【直观想象】理解实数与数轴上的点一一对应，能利用数轴比较实数的大小 二、教学重难点 教学重点：实数的概念与分类，实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义 教学难点：实数与数轴上的点一一对应关系的理解，利用数轴比较实数的大小 三、教学过程 【导入：回顾旧知，引入实数】（3分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了有理数、无理数、平方根、立方根。请大家回顾一下：什么是有理数？什么是无理数？ 【教师活动】哪位同学能举例说明，什么样的数是有理数？什么样的数是无理数？ 【学生活动】回答：有理数如2、-3、0.5、1/3，它们可以表示为两个整数之比或有限小数、无限循环小数；无理数如√2、√3、π，它们是无限不循环小数。 【学生活动】回答：有理数是可以表示为分数形式的数，包括整数和分数；无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式。 【教师活动】很好！有理数和无理数统称为什么呢？今天我们就来学习——实数。 【过渡语】首先明确本节课的学习目标：1.了解实数的概念和意义，能按要求对实数进行分类；2.了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和运算律；3.能用数轴上的点表示无理数，并理解实数与数轴上的点是一一对应关系。 【知识点】有理数和无理数统称为实数。 【任务一：对实数进行分类——活动1】（5分钟） 【教师活动】任务一：对实数进行分类。活动1：把下列各数分别填入相应的集合内。 【教师活动】请同学们看屏幕，将给出的各数分别填入有理数集合和无理数集合中。注意观察：哪些数是有理数？哪些是无理数？ 【学生活动】分类填写：有理数集合填入有限小数、无限循环小数和分数；无理数集合填入无限不循环小数。 【学生活动】观察后回答：有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数。有理数集合和无理数集合合起来就是实数集合。 【教师活动】非常好！请同学们注意，有理数和无理数之间没有重叠——一个数不能既是有理数又是无理数。它们合起来构成了实数集合。 【教师活动】通过这个活动，我们发现：有理数和无理数统称为实数。 【知识点】有理数与无理数统称为实数。 理解要点：实数的定义：有理数和无理数统称为实数。实数是有理数集合和无理数集合的并集。 【过渡语】了解了实数的定义后，我们继续探究如何对实数进行分类。 【任务一：对实数进行分类——活动2】（5分钟） 【教师活动】活动2：小组合作讨论，完成下列问题。问题：请你按照不同的分类标准对实数进行分类。 【学生活动】小组讨论，尝试从不同角度对实数分类。 【教师活动】我们可以按'有理数和无理数'来分类：实数分为有理数和无理数。还可以按'正负零'来分类： 【教师活动】如果按照数的正、负、零，可将实数分为三类，然后再按照是否有理数将正实数和负实数继续进行分类：正实数包括正有理数（正整数、正分数）和正无理数；负实数包括负有理数（负整数、负分数）和负无理数；零。 【教师活动】第二种分类：按数的正、负、零来分。实数可分为正实数、零、负实数三大类。正实数又可分为正有理数和正无理数，负实数又可分为负有理数和负无理数。 【学生活动】跟随教师完成实数分类图，理解两种分类标准。 【教师活动】检查一下，在上面的两种分类中，有没有重复和遗漏？ 【学生活动】检查：每种分类都覆盖了所有实数，没有重复也没有遗漏。第一种按有理数/无理数分，第二种按正/负/零分。 【知识点】实数的两种分类方法：①按有理数/无理数：实数分为有理数和无理数；②按正负零：实数分为正实数、零、负实数。 重点强调：实数分类要确保不重不漏。两种分类方法各有用途：按有理数/无理数分强调数的本质属性；按正负零分便于比较大小。 【过渡语】掌握了实数的分类后，我们进入任务二，探究实数范围内的相反数、绝对值和倒数。 【任务二：实数范围内相反数、绝对值、倒数——问题1】（6分钟） 【教师活动】任务二：了解实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义和运算律。活动：类比有理数的运算法则和运算律，完成下列问题。 【教师活动】问题1：完成下列填空。 【教师活动】(1) 5的相反数是____，绝对值是____，倒数是____。 【学生活动】回答：5的相反数是-5，绝对值是5，倒数是1/5。 【教师活动】(2) -1.5的相反数是____，绝对值是____，倒数是____。 【学生活动】回答：-1.5的相反数是1.5，绝对值是1.5，倒数是-2/3。 【教师活动】(3) √2的相反数是____，绝对值是____，倒数是____。 【学生活动】回答：√2的相反数是-√2，绝对值是√2，倒数是1/√2（即√2/2）。 【教师活动】(4) ∛8的相反数是____，绝对值是____，倒数是____。 【学生活动】回答：∛8=2，相反数是-2，绝对值是2，倒数是1/2。 【教师活动】思考：通过上述各组实数间的运算，你发现了什么规律？用字母表示你发现的规律。 【学生活动】回答：实数a的相反数是-a，绝对值是|a|，倒数在a≠0时是1/a。这与有理数中相反数、绝对值、倒数的意义完全一致。 【知识点】实数a的相反数是-a，绝对值是|a|。把有理数扩充到实数以后，相反数、绝对值的意义也同样适用。 理解要点：实数范围内的相反数、绝对值、倒数定义与有理数完全一致：相反数——符号相反；绝对值——非负；倒数——乘积为1。 【过渡语】下面我们来看问题2，探究运算律在实数范围内是否适用。 【任务二：实数范围内运算律——问题2】（4分钟） 【教师活动】问题2：观察下列式子，它们运用了哪些运算律？ 【学生活动】观察并回答：第一个算式运用了乘法交换律；第二个算式运用了乘法结合律；第三个算式运用了乘法分配律。 【教师活动】正确！这三个运算律在实数范围内同样成立。总结：有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用。 【知识点】有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用。包括：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等。 重点强调：从有理数扩充到实数后，原来有理数的所有运算法则和运算律全部保留，在实数范围内仍然适用。这是数系扩充的基本要求。 【过渡语】通过例题的学习，我们掌握了实数范围内相反数、绝对值、倒数及运算律的应用。下面进入任务三，探究实数与数轴的关系。 【任务三：实数与数轴上的点一一对应】（4分钟） 【教师活动】任务三：知道实数与数轴上的点一一对应，会比较两个实数的大小。 【教师活动】有理数可以用数轴上的点来表示，无理数也能用数轴上的点来表示。每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 【学生活动】理解：实数与数轴上的点之间是一一对应的关系。每个实数在数轴上都有唯一的一个点，每个点对应唯一的实数。 【知识点】实数和数轴上的点是一一对应的。这意味着数轴上的每一个点都有唯一的一个实数与之对应，每一个实数也都有数轴上唯一的一个点与之对应。 理解要点：一一对应'关系是实数体系完备性的重要体现。有理数不能与数轴上的点一一对应（因为无理数对应的点填满了有理数之间的空隙），只有实数才能与数轴上的点一一对应。 【过渡语】利用实数与数轴上点的一一对应关系，我们可以用数轴比较实数的大小。 【任务三：用数轴比较实数大小】（5分钟） 【教师活动】活动：请将数轴上各点与下列实数对应起来。 【教师活动】数轴上标出了A、B、C、D、E五个点，请将给定的实数与这些点对应起来，并比较它们的大小（用'<'号连接）。 【学生活动】观察数轴，根据点的位置确定对应的实数，然后按从左到右的顺序用'<'号连接。 【教师活动】总结：与有理数一样，在实数范围内：1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；2.两个正数，绝对值大的数较大；3.两个负数，绝对值大的数反而小；4.数轴上的点越往右表示的实数越大。 【知识点】实数比较大小的规则：①正数>零>负数；②两个正数，绝对值大的较大；③两个负数，绝对值大的反而小；④数轴上越往右的点表示的实数越大。 判断技巧：比较实数大小最直观的方法是利用数轴：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。这是数形结合思想的典型应用。 【过渡语】下面我们通过练习巩固所学内容。 【练习巩固】（6分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习。 【教师活动】练习1：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值。 【教师活动】题目给出了几个实数，请分别求出它们的相反数、倒数和绝对值。 【教师活动】请同学们独立完成练习1，然后我们一起来核对答案。 【学生活动】逐题计算并填写答案。 【教师活动】练习2：请将数轴上各点与下列实数对应起来，并比较它们的大小，用'<'号连接。 【学生活动】根据数轴上点的位置对应实数，然后按从小到大的顺序排列。 【教师活动】练习3：判断下列说法是否正确：(1)实数包括有理数、无理数和零；(2)无理数都是无限小数；(3)实数都可以用数轴上的点表示。 【学生活动】判断：(1)错误，零是有理数；(2)正确，无理数是无限不循环小数；(3)正确，实数与数轴上的点一一对应。 【教师活动】总结：第(1)题中零是有理数，不能把零单独拿出来和有理数、无理数并列。(2)和(3)都是正确的概念。 易错提示：注意：实数包括有理数和无理数，零属于有理数，不能把零单独列为一类。实数分类中，零在按正负分类时单独列出，但在按有理数/无理数分类时属于有理数。 【过渡语】下面我们来做课堂小结。 【课堂小结】（3分钟） 【教师活动】针对本课的关键词'实数'，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：①实数的概念——有理数和无理数统称为实数；②实数的分类——按有理数/无理数分类，或按正/负/零分类；③实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义和有理数一致；④有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用；⑤实数与数轴上的点一一对应；⑥实数比较大小的方法。 【教师活动】请一位同学说说实数与数轴的关系。 【学生活动】实数与数轴上的点是一一对应的。每个实数在数轴上都有唯一的一个点，反过来，数轴上的每个点都对应唯一的实数。 【教师活动】很好！请另一位同学总结实数比较大小的方法。 【学生活动】正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小；在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。 【教师活动】本节课我们学习了实数的概念、分类、性质以及实数与数轴的关系。实数是有理数和无理数的统称，它的引入使数轴上的点与数之间建立了一一对应关系。课后请大家完成作业。 四、板书设计 5.6 实数 一、实数的概念 有理数和无理数统称为实数 二、实数的分类 1. 按有理数/无理数：有理数、无理数 2. 按正负零：正实数、零、负实数 注意：不重不漏 三、实数范围内的运算 相反数：a → -a 绝对值：a → |a| 倒数：a → 1/a (a≠0) 运算法则和运算律对实数仍然适用 四、实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应 比较大小：数轴上右边的点>左边的点 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $