1.2 一元二次方程的解法（第4课时因式分解法）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解法解一元二次方程，通过“等边三角形周长与面积数值相等”问题导入，先回顾配方法、公式法求解过程，再引导学生发现因式分解法的简便性，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以数学思维为导向，通过提取公因式、平方差公式等实例培养运算能力和推理意识，结合整体换元等拓展内容发展创新意识，典例与练习分层设计，助力学生掌握降次转化思想，教师可借此提升教学效率和学生解题能力。

【新教材】青岛版·九年级上册 第1章 一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 第4课时 因式分解法 学 习 目 标 1 2 3 熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程.理解利用因式分解法解一元二次方程的依据和方法. 理解因式分解法解一元二次方程的适用范围，能根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法. 在利用因式分解法解一元二次方程的过程中，体会转化、降次的数学思想的应用，提高数学运算能力. 1.我们学过哪些一元二次方程的解法？它们之间有什么关系？ 直接开平方法： 这是最基础的解法，适用于形如x2 = k(k≥0)或 (mx+n)2 =k(k≥0) 当k≥0时可直接开方求解。 配方法： 这也是一种通用解法，通过配方将方程转化为(mx+n)2 =k 公式法： ，将一般形式配方再开方得到的。是解决一般方程的“万能钥匙”。 用配方法、公式法解一元二次方程,本质上都是 通过开平方将一元二次方 程转化为一元一次方程。 知识回顾 2.什么是因式分解？因式分解的方法有哪些？ 把一个多项式化成几个整式的乘积形式,这种式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 （1）提取公因式法： am+bm+cm = m(a+b+c) （2）公式法： a2−b2 = (a+b)(a−b) a2 ± 2ab +b2 = (a±b)2 （3）十字相乘法： x2+(p+q)x2+pq = (x+p)(x+q) 知识回顾 某数学小组在探索等边三角形周长和面积公式时提出了一个问题:是否存在周长和面积的数值相等的等边三角形? 设等边三角形的边长为x, 则它的周长和面积分别为3x和 x 2。 由题意得3x= x 2 整理,得x 2-4x=0 用哪种方法解这个方程呢？ 可以用配方法或公式法解方程. 导入新课 你会解这个方程x 2-4x=0吗？ x 2-4x=0 配方法解方程： 配方，得：x2 −4x +（-2）2=（-2）2 2 ， ± 2 x1 = 4，x2 = . 导入新课 公式法解方程： 此时 a=1，b=-4，c=， 所以 b2－4ac=（-4）24×1×0 = 48 >0 所以方程有两个不相等的实数根 x＝ = = 导入新课 x 2-4x=0 x1 = 4，x2 = . 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程？ 知识点1 提取公因式法解方程 可以在方程两边同除以x吗？怎样解这样的方程比较简单？ 不可以。因为不确定x是不是等于0。可以用提取公因式法解。 x 2-4x=0 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？ 解：方程①的右边为0，左边可以因式分解，得 如果a·b=0， 那么a = 0，或b = 0. 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道， 如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； 反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. x=0或 x-4 = 0 知识点1 提取公因式法解方程 x 2-4x=0 x ( x-4) = 0 解方程x 2-4x=0时，二次方程是如何降为一次的？ x 2-4x=0 x ( x-4) = 0 提取公因式分解因式 归纳：可以发现上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 知识点1 提取公因式法解方程 x=0或 x-4 = 0 如果a·b=0，那么a = 0，或b = 0. 根据问题的实际意义,x2=4符合题意, 所以存在周长和面积的数值相等的等边三角形, 它的边长为4。 解方程得到的两个实数根x1 = 4，x2 = 都符合题意吗？ (2)如何解方程 x2 -4x +4=0呢? 知识点2 完全平方公式法解方程 这个方程可以用因式分解法解吗？ a2 ± 2ab +b2 = (a±b)2 可以。因为等号左边的二次三项式符合完全平方公式得特征。 (2)如何解方程 x2 -4x +4=0呢? 知识点2 完全平方公式解方程 x2 -2×2•x +22=0 依据完全平方公式a2 ± 2ab +b2 = (a±b)2把方程左边化成完全平方的形式，右边为0，再开平方从而实现降次转化成一次方程. ( x - 2 )2 = 0 ∴ x1=x2=2 。 x - 2 = 0 (3)如何解方程 4x2-9=0. 除直接开方法外还有其他方法吗？ 这个方程只有二次项与常数项，可以利用平方差公式把左边分解成两个因式相乘，右边为0，根据如果a·b=0，那么a = 0，或b = 0转化为一次方程。 (3)如何解方程 4x2-9=0. (2x+3)(2x-3)=0 （2x）2- 32 = 0 a2−b2 = (a+b)(a−b) ∴2x+3=0或2x-3=0 依据ab=0,则a=0或b=0 ∴ x1=-, x2= 。 知识点3 平方差公式法解方程 利用平方差公式a2−b2 = (a+b)(a−b)把方程左边化成两个因式乘积的形式，右边为0，从而实现降次转化成一次方程. (4)如何解方程 x2-4x-12=0. 可以，依据x2+(p+q)x2+pq = (x+p)(x+q) 进行分解因式 可以用配方法，公式法。 知识点4 十字相乘法解方程 这个方程能用因式分解法解吗？ (x+2)(x-6)=0。 (4)如何解方程 x2-4x-12=0. ∴x+2=0 或 x-6=0。 ∴ x1=-2，x2=6 。 十字相乘法 归一归 利用提取公因式，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法把方程左边化成两个因式乘积的形式，右边为0，从而实现降次转化成一次方程从而得解。 因式分解法一元二次方程： 运用因式分解将一元二次方程转化为两个一次因式的乘积等于0的形式,由此得到两个一元一次方程。通过解这两个一元一次方程得到一元二次方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 因式分解法的原理：零乘积性质 若两个实数的乘积为 0，则至少其中一个实数为 0。这是解一元二次方程实现“降次”的关键理论依据，也是因式分解法的核心基石。 若ab=0,则a=0或b=0 因式分解法求解的步骤： 第一步 移项变形 右式化为 0 第二步 因式分解 左式拆乘积 第三步 降次求解 解一次方程 因式分解法求解的步骤： 例1、解方程： （1）20x2＋16x＝0；（2）2x2＝－8x；（3）2x2=6x. 解：（1）提取公因式法，得 4x(5x + 4) = 0； 4x = 0，或5x + 4= 0 x1 = ； 依据ab=0, 则a=0或b=0 典例讲解 （1）20x2＋16x＝0；（2）2x2＝－8x；（3）2x2=6x。 例1、解方程 解：（2）移项，得2x2 + 8x = 0 提取公因式，得2x(x +4) = 0 所以得 2x = 0，或x + 4= 0 解得 x1 =0，x2 =-4， 依据ab=0, 则a=0或b=0 典例讲解 （1）20x2＋16x＝0；（2）2x2＝－8x；（3）2x2=6x。 例1、解方程 解：（3）移项，得 2x2 -6x = 0 提取公因式，得2x(x -3) = 0 所以 2x = 0，或 x -3= 0 解得 x1 =0，x2 =3， 典例讲解 例2.用因式分解法解方程: (1)9x2-25=0；（2）4x2+24x+36=0；（3）x2+2x-8=0. (3x+5)(3x-5)=0； 解(1)（3x）2-52=0； 所以 3x+5=0或3x-5=0； 解得 x1= - ,x2 = 。 依据a2−b2 = (a+b)(a−b) 典例讲解 （2）（2x）2+2×6×2x+62=0. (2x+6)2=0。 所以2x+6=0。 解得 x1=x2=-3。 例2.用因式分解法解方程: (1)9x2-25=0；（2）4x2+24x+36=0；（3）x2+2x-8=0. 依据a2 ± 2ab +b2 = (a±b)2 典例讲解 例2.用因式分解法解方程: (1)9x2-25=0；（2）4x2+24x+36=0；（3）x2+2x-8=0. （3）x2+2x-8=0。 (x-2)(x+4)=0。 所以 x-2=0或x+4=0。 解得 x1=2,x2=-4。 依据x2+(p+q)x2+pq = (x+p)(x+q) 典例讲解 1.用因式分解法解下列方程: (1)x2-2x=0; (2)81x2-36=0; (3)9x2+6x+1=0; （4）x2-x-12=0 跟踪练习 解：(1)x1=0，x2=2；(2)x1=，x2=-； (3)x1=x2=-； (4)x1=4，x2=-3。 例3.用因式分解法解方程: (1)2x(x+1)+x+1=0; （2)2x2-4x=3x-6; (3)(2x+1)2=(x-3)2；（4）(x+2)2-10(x+2)+25=0. 思考： 如何解这种复杂的方程？ 典例讲解 (1)2x(x+1)+x+1=0; 观察结构： 方程右侧已为0，无需移项。重点观察左侧，发现(x+1) 可看作一个整体，与第一项存在公因式 (x+1)。 典例讲解 解:(1)2x(x+1)+ x+1 =0 ( ) (x+1)(2x+1)=0, ∴ x+1=0或2x+1=0, ∴ x1=-1，x2=- 利用加法结合律把(x+1)当整体提取公因式用因式分解法解 典例讲解 （2)2x2-4x =3x-6; 观察结构： 方程右侧已为3x-6，可以提取公因式得3（x-2）再移项。方程左侧2x2-4x，提取公因式2x 得2x(x-2),把(x-2)看作一个整体，提取公因式 (x-2)。 典例讲解 （2)2x2-4x =3x-6; 2x(x-2)=3(x-2); 移项，得2x(x-2)-3(x-2)=0; (x-2)(2x-3)=0; ∴x-2=0或2x-3=0； ∴ x1=2，x2= 把(x-2)当整体 提取公因式 用因式分解法解 典例讲解 (3)(2x+1)2=(x-3)2； 观察结构： 方程右侧与左侧都是平方形式，可以先移项，在方程右边构造平方差公式 a² - b² = 0的标准形式： (2x+1)2-(x-3)2；将(2x+1)与(x-3)看作一个整体， 套用平方差公式。 典例讲解 (3)(2x+1)2=(x-3)2； 移项，得(2x+1)2-(x-3)2=0； (2x+1+x-3)(2x+1-x+3)=0, 即(3x-2)(x+4)=0, ∴3x-2=0或x+4=0, ∴ x1=，x2=-4。 把(2x+1)与(x-3)当整体套用平方差公式用因式分解法解 典例讲解 （4）(x+2)2-10(x+2)+25=0. 把(x+2)当整体套用完全平方公式用因式分解法解 (x+2-5)2=0。 即(x-3)2=0。 ∴x-3=0。 ∴ x1=x2=3。 典例讲解 2.用因式分解法解下列方程: (1)2x(x+1)=3(x+1)2; (2)(x-1)2-4x2=0； (3)(2x-1)2-12(2x-1)+36=0； (4)2(x-3)2=x2-9. 跟踪练习 解：(1)x1=-1，x2=-3； (2)x1=，x2=-1； (3)x1=x2=； (4)x1=-9，x2=-3。 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 配方法： 要先配方，再开方，进而降次； 公式法： 先把方程化为一般式，直接利用求根公式解方程； 因式分解法： 先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 观察结构，择优解题 优先观察方程形式，若能因式分解则避免套用公式。这是最快捷的解题路径，能大幅简化计算步骤，从源头减少计算出错的概率。 善用整体思想 遇到重复出现的多项式结构（如括号、相同代数式），将其视为一个整体设元，化繁为简，把复杂的高次或复合方程转化为简单形式。 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便. 例4、将下列序号填到对应的横线上. ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t 2 + t = 0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . ② ⑥ ⑤ ⑨ ③ ⑦ ① ⑧ ④ 典例讲解 例5、解方程(x+1)2-2(x+1)-3=0时,可以将x+1看成一个整体。设x+1=t, 则原方程可化为t2-2t-3=0,先求出t,进而再解出x。这种方法叫作换元法。 请用这个方法解方程 (2x+3)2-3(2x+3)-5=0。 解析：用整体换元思想 遇到重复出现的多项式结构（如括号、相同代数式），将其视为一个整体设元，化繁为简，把复杂的高次或复合方程转化为简单形式。 拓展延申 解：(2x+3)2-2(2x+3)-15=0。 设2x+3=y, 则原方程可化为y2-2y-15=0， (y-5)(y+3)=0, ∴y-5=0或y+3=0, ∴2x+3=5或2x+3=-3， ∴ x1=1，x2=-3。 拓展延申 3．已知：(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝6，求x2＋y2的值． 所以 x2＋y2＝3. 解得：t1​ =3，t2​ =−2. 因为 t = x2＋y2 ≥ 0，舍去 t = −2. 解：设 t = x2＋y2. 因为平方和非负，所以 t ≥ 0. 原方程变为：t(t−1)=6， 因式分解：(t−3)(t+2)=0. 跟踪练习 因式分解法解一元二次方程 定义 利用因式分解来解一元二次方程的方法 方法 提公因式法，逆用平方差公式和完全平方公式 步骤 一移二分三化四解 课堂小结 1. 一元二次方程 x2 - 2x＝0的解是(　　) A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝3，x2＝-2 D. x1＝ - 2，x2＝ - 1 2. 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个根6和－2，那么二次三项式x2＋px＋q可分解因式为(　　) A. (x＋6)(x＋2) B. (x＋6)(x－2) C. (x－6)(x－2) D. (x－6)(x＋2) B D 课后检测 (1)(x+1)2=5x+5； (2)x2-6x+9=(5-2x)2． ∴x1=4，x2=-1． 解：∵(x+1)2=5(x+1)， ∴(x+1)2-5(x+1)=0， 则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， 解：方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0， 则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0， ∴-x+2=0，或3x-8=0， x1=2，x2= . 3.解方程： 课后检测 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $