第19讲 任意角和弧度制（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第19讲 任意角和弧度制（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 任意角 由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°~360°范围内的角.如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了.所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围. 【知识点1 任意角】 1．角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2．角的表示 如图： (1)始边：射线的起始位置OA； (2)终边：射线的终止位置OB； (3)顶点：射线的端点O； (4)记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 3．角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 4．角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称α=β. 5．角的加、减法 (1)角的加法 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. (2)相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. (3)角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 【知识点2 象限角与终边相同的角】 1．终边相同的角 若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 2．象限角、轴线角 (1)象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. (2)象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 (3)轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 3．区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 【题型1 任意角的概念】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．小于的角是锐角 C．第二象限角必大于第一象限角 D．相等的角终边必定重合 【答案】D 【解题思路】根据角概念的推广逐项判断即可. 【解答过程】解：对于A，第一象限的角是指终边落在第一象限的角的集合，有正有负，而锐角仅指大于小于的角，故不相同，故A错误； 对于B，小于的角还包含和负角，而锐角仅指大于小于的角，故不相同，故B错误； 对于C，例如为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足 ，故C错误； 对于D，相等的角终边必定重合，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据任意角的概念计算可得； 【解答过程】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可. 【解答过程】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 【变式1-3】（25-26高一·全国·课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】计算分针走过的角度大小的同时考虑他的方向即可求解. 【解答过程】分针是顺时针走的，形成的角度是负角， 又分针走过了10分钟， 走过的角度大小为， 综上，分针走过的角度是． 故选：D． 【题型2 终边相同的角】 【例2】（25-26高一上·天津·期末）下列各角中与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据终边相同的角的定义判断即可. 【解答过程】与终边相同的角可以表示为， 当时，当时，当时， 当且时，当且时， 故符合题意的只有. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由即可求解. 【解答过程】因为， 所以与终边相同的一个角为. 又、、与终边不同， 故符合的只有A， 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）与角终边相同的一个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把表示成的形式即可求解． 【解答过程】， 与角终边相同． 故选：A． 【变式2-3】（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出与角终边相同的角的集合，列不等式求结论. 【解答过程】与角终边相同的角的集合为， 令，可得，又， 所以，且， 所以与角终边相同的角中，最大的负角是， 故选：B. 【题型3 根据图形写出角（范围）】 【例3】（25-26高一上·浙江·阶段检测）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先写出在间阴影部分区域表示的角的范围，再写出终边落在阴影部分的区域内的任意角的集合. 【解答过程】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【解答过程】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对按奇偶分类讨论可得． 【解答过程】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 【变式3-3】（25-26高一下·江西吉安·期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据图形，找出边界对应的角，即可写出集合. 【解答过程】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C. 【题型4 象限角的判定】 【例4】（25-26高一上·湖北武汉·期末）是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解题思路】将改为，判断所在的象限即得. 【解答过程】， 与终边相同， 是第三象限角，是第三象限角. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解题思路】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限. 【解答过程】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解题思路】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【解答过程】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【解题思路】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【解答过程】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C. 模块三 弧度制 【知识点3 弧度制】 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【题型5 用弧度制表示角的集合】 【例5】（25-26高三·全国·一轮复习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用弧度制表达出，进而表达出与角的终边相同的角的集合. 【解答过程】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用， 故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·湖南湘潭·期末）与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可. 【解答过程】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合. 【解答过程】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【解题思路】首先找到对应边界的终边表示的角，再写成集合形式. 【解答过程】（1）边界对应射线所在终边的角分别为，， 所以终边在阴影部分的角的集合为. （2）边界对应射线所在终边的角分别为，， ，， 所以终边在阴影部分的角的集合为 . 【题型6 角度与弧度的换算】 【例6】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）将角度化为弧度，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据角度化弧度公式计算可得结果. 【解答过程】易知, 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用弧度制与角度制的互化关系进行互化. 【解答过程】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课前预习）（1）把化成弧度； （2）把化成角度． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）（2）根据角度制和弧度制之间的关系运算求解. 【解答过程】（1）． （2）． 【变式6-3】（25-26高一上·全国·课后作业）把下列角度与弧度进行互化． (1)72°； (2)－300°； (3)2； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)－40°. 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的互化公式求解即可. 【解答过程】（1）， （2）， （3）， （4）. 【题型7 弧长的有关计算】 【例7】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据扇形面积公式得到扇形的半径，进而得到扇形的弧长. 【解答过程】设扇形的半径为，则，解得， 故扇形弧长为. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）圆心角为，半径为2的扇形，其弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据弧长的公式求解. 【解答过程】由，则. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由弧长公式即可求解； 【解答过程】因为时针每转一周， 故经过，时针的针尖转过的弧度数为， 走过的路程约为． 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出小轮每分钟转的圈数和小轮每秒钟转的弧度数，从而求出弧长. 【解答过程】大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈， 故小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是． 故选：B． 【题型8 扇形面积的有关计算】 【例8】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知扇形的弧长是2，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先通过已知的弧长和圆心角弧度数，利用弧长公式求出扇形的半径；再将弧长与半径代入扇形面积公式，计算得到面积． 【解答过程】根据弧度制下的扇形弧长公式， 已知弧长，圆心角弧度，代入得： ，解得半径． 扇形面积 ， 故选：A． 【变式8-1】（25-26高一下·贵州·阶段检测）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【解答过程】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·云南曲靖·期末）在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内弧所对圆心角依周天星辰之轨，为，外弧长为厘米，内弧长为厘米.”则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用弧长公式和扇形面积公式即可得到答案. 【解答过程】作出示意图如图所示：由题意可得，， 扇形的面积是， 扇形的面积是. 则扇面（曲边四边形）的面积是. 故选：B． 【变式8-3】（25-26高一上·江苏·阶段检测）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【解答过程】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【答案】B 【解题思路】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义， 【解答过程】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误， B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确， C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误. D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）把化成角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据弧度与角度的互化可得答案. 【解答过程】. 故选：B. 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解题思路】通过将角度 −2025°30′ 表示为 −360°×6+134°30′，利用终边相同的角的性质，判断出它是第二象限角. 【解答过程】因为，所以与终边相同， 因为是第二象限角，所以是第二象限角． 故选：B. 4．（25-26高一上·湖北武汉·期末）一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】由扇形面积公式与弧长公式直接计算即可. 【解答过程】由题意得，解得，则， 故选：D. 5．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知是锐角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【解题思路】求出角的取值范围，即可得出结论. 【解答过程】因为是锐角，即，所以，故是小于的正角， 且角的终边在第一象限或第二象限或轴正半轴上， 故选：C. 6．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列与终边相同角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据终边相同角的定义可得. 【解答过程】. 表示终边与终边相同或与终边相同的角的集合，所以A错误； 表示与终边相同的角的集合，与终边不相同，所以B错误； ，所以表示与终边相同或与终边相同的角的集合，所以C错误； 表示与终边相同的角的集合，所以D正确. 故选：D. 7．（25-26高一上·江苏无锡·期末）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出小轮每分钟转的圈数，进而求得小轮每秒钟转的弧度数，从而求出小轮每秒转过的弧长. 【解答过程】由大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈， 得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：B. 8．（25-26高一上·安徽六安·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用扇形的面积公式求解. 【解答过程】因为扇形的圆心角为 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据终边相同的角的定义判断即可. 【解答过程】与终边相同的角为， 当，；当，，故B、D正确； 令，解得，因为，故舍去，故A错误； 令，解得，因为，故舍去，故C错误； 故选：BD. 10．（25-26高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（   ） A．若是第二象限角，则是钝角 B．角与角的终边相同 C．若，则为第三象限角或第四象限角 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【解题思路】根据象限角与轴线角的范围即可判断出答案. 【解答过程】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，∵，故B正确； 对于C，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，故C错误； 对于D，若为第二象限角，则，，所以， ，若为偶数时，为第一象限角； 若为奇数时，则，，为第三象限角. 综上，为第一象限或第三象限角，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（   ） （参考数据：） A． B．若，且扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【答案】AC 【解题思路】利用扇形面积公式来求解各选项即可. 【解答过程】对于A，因为与所在扇形的圆心角分别为，， 所以，故A正确： 对于B，因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·四川成都·期末）角的弧度数为___________． 【答案】 【解题思路】根据角度与弧度的互化可得结果. 【解答过程】. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海徐汇·期末）在与角终边相同的角中，最大的负角为___________． 【答案】 【解题思路】根据终边相同的角的性质进行求解即可. 【解答过程】因为与角终边相同的角表示为 ， 所以当时，最大的负角为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·福建福州·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”中国传统折扇有着深厚的文化底蕴．如图，某把折扇的扇面部分是扇环，设，则该折扇的扇面部分的面积是___________． 【答案】 【解题思路】扇面部分的面积等于大扇形 OAB 的面积减去小扇形 OCD 的面积，先根据已知条件求出两个扇形的半径和圆心角，再代入扇形面积公式计算即可求解. 【解答过程】已知，可得； 所以大扇形 OAB 的面积为； 小扇形 OCD 的面积； 因此扇面部分的面积. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【解题思路】直接利用所给角，表示出范围即可. 【解答过程】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为： 或 . 16．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，第四象限角. (2)，第三象限角 (3)，第二象限角. 【解题思路】利用角度制与弧度制的换算公式，再根据象限角定义判断即可. 【解答过程】（1）， 是第四象限角； （2）， 是第三象限角； （3）， 是第二象限角. 17．（25-26高一·全国·随堂练习）在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据终边相同的角的定义结合象限角的定义可得出结论. 【解答过程】（1）解：， 所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第四象限角. （2）解：因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第一象限角. （3）解：因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第三象限角. （4）解：因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第二象限角. 18．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积公式求解； （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求解即可. 【解答过程】（1）． （2）． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 19．（25-26高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【答案】(1)米 (2)元 【解题思路】（1）利用弧长计算公式计算即可； （2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得. 【解答过程】（1）弧的长度，弧的长度， 所以扇形环面展台周长为：米； （2）设，米， 则弧的长度，弧的长度， 因为该扇形环面的周长为米，所以，即， 整理得， 则该扇形环面展台的面积：平方米， 所以布置该扇形环面展台的总费用为：元. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 任意角和弧度制（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 任意角 由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°~360°范围内的角.如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了.所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围. 【知识点1 任意角】 1．角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2．角的表示 如图： (1)始边：射线的起始位置OA； (2)终边：射线的终止位置OB； (3)顶点：射线的端点O； (4)记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 3．角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 4．角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称α=β. 5．角的加、减法 (1)角的加法 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. (2)相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. (3)角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 【知识点2 象限角与终边相同的角】 1．终边相同的角 若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 2．象限角、轴线角 (1)象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. (2)象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 (3)轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 3．区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 【题型1 任意角的概念】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．小于的角是锐角 C．第二象限角必大于第一象限角 D．相等的角终边必定重合 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（25-26高一·全国·课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 【题型2 终边相同的角】 【例2】（25-26高一上·天津·期末）下列各角中与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）与角终边相同的一个角是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据图形写出角（范围）】 【例3】（25-26高一上·浙江·阶段检测）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一下·江西吉安·期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【题型4 象限角的判定】 【例4】（25-26高一上·湖北武汉·期末）是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式4-1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-2】（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-3】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 模块三 弧度制 【知识点3 弧度制】 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【题型5 用弧度制表示角的集合】 【例5】（25-26高三·全国·一轮复习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·湖南湘潭·期末）与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)   (2)   【题型6 角度与弧度的换算】 【例6】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）将角度化为弧度，则（      ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课前预习）（1）把化成弧度； （2）把化成角度． 【变式6-3】（25-26高一上·全国·课后作业）把下列角度与弧度进行互化． (1)72°； (2)－300°； (3)2； (4). 【题型7 弧长的有关计算】 【例7】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）圆心角为，半径为2的扇形，其弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 【题型8 扇形面积的有关计算】 【例8】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知扇形的弧长是2，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式8-1】（25-26高一下·贵州·阶段检测）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·云南曲靖·期末）在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内弧所对圆心角依周天星辰之轨，为，外弧长为厘米，内弧长为厘米.”则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·江苏·阶段检测）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）把化成角度是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（25-26高一上·湖北武汉·期末）一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C． D．1 5．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知是锐角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 6．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列与终边相同角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏无锡·期末）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·安徽六安·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（   ）.    A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（   ） A．若是第二象限角，则是钝角 B．角与角的终边相同 C．若，则为第三象限角或第四象限角 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 11．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（   ） （参考数据：） A． B．若，且扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 三、填空题 12．（25-26高一上·四川成都·期末）角的弧度数为___________． 13．（25-26高一上·上海徐汇·期末）在与角终边相同的角中，最大的负角为___________． 14．（25-26高一上·福建福州·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”中国传统折扇有着深厚的文化底蕴．如图，某把折扇的扇面部分是扇环，设，则该折扇的扇面部分的面积是___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 16．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限： (1)； (2)； (3). 17．（25-26高一·全国·随堂练习）在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 19．（25-26高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $