第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 一元二次不等式 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢?先来看一个问题. 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米? 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【知识点2 分式、高次、绝对值不等式的解法】 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【知识点3 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（25-26高一上·西藏昌都·期末）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】利用一元二次不等式的运算法则计算求解． 【解答过程】，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 【变式1-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】直接利用一元二次不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】利用一元二次不等式的解法解不等式即可． 【解答过程】，解得， 不等式的解集为． 故选：A． 【变式1-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【解答过程】为开口方向向下的抛物线，且与轴交于，两点， 的解集为或. 故选：C. 【题型2 解含参数的一元二次不等式】 【例2】（25-26高一上·天津河东·阶段检测）当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】由，不等式可化为，因为的解集为，，结合一元二次不等式解法可得结论. 【解答过程】因为，， 方程的解集为，且， 所以不等式的解集为，故D正确． 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对进行分类讨论即可求解 【解答过程】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故不等式的解集可能为D； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故不等式的解集可能为B； 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故不等式的解集可能为C； 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）当时，直接利用二次不等式的解法即可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解答过程】（1）若，则由 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式2-3】（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数，． (1)若，求的解集； (2)解关于x的不等式：． 【答案】(1)R； (2)答案见解析 【解题思路】（1）时，，由根的判别式得到解集为R； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【解答过程】（1）时，， 令，即，由于， 所以的解集为R； （2），即， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为或. 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分式不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，得，即， 则，解得， 则不等式的解集为. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】解分式不等式即可. 【解答过程】由可得且， 解得或， 即不等式的解集为或. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·山东德州·期末）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)或. (2)或. 【解题思路】（1）移项、通分，转化为一元二次不等式求解即可； （2）利用公式法可求不等式的解. 【解答过程】（1）即为，故， 所以或，故不等式的解集为或. （2）即为， 故或，所以或， 故不等式的解集为或. 【变式3-3】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)或. (2)或 (3)或. 【解题思路】（1）利用因式分解求二次不等式的解集； （2）由分式不等式转化为二次不等式，然后求得解集； （3）利用因式分解求三次不等式解集. 【解答过程】（1）即， 则， ∴原不等式的解集为或. （2）即， 则， ∴原不等式的解集为或 （3）即， ∴， ∴， ∴， ∴原不等式的解集为或. 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，关于x的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解． 【解答过程】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ，故B正确． 故选：B． 【变式4-1】（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得. 【解答过程】由，得． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 综上，实数的取值范围为或. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【解答过程】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 【变式4-3】（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解答过程】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：C. 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（25-26高一上·吉林·期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据一元二次不等式恒成立，可得判别式，即可求得答案. 【解答过程】因为不等式对恒成立， 所以， 解得． 故选：C． 【变式5-1】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据题意整理可得，换元令，结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，可得， 且，则，可得， 令，则， 可得， 因为，故，因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 可得，所以实数k的最大值为9. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）根据给定条件，按分类求解含参数的不等式. 【解答过程】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【变式5-3】（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】解：（1）由不等式，可化为， 当时，不等式为，此时； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上所述：当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为． （2）对于，不等式恒成立， 即对于，不等式恒成立，即在上恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是． 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【解答过程】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 【变式6-1】（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【解答过程】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·山东潍坊·阶段检测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【解题思路】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【解答过程】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D. 模块三 三个“二次”的关系 【知识点4 三个“二次”的关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型7 二次函数的图象分析与判断】 【例7】（24-25高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·浙江·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可. 【解答过程】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的图象和性质直接可得. 【解答过程】由的图象可知，， 得，，，，. 即，，. 所以BCD正确，A错误. 故选：A. 【变式7-3】（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 【题型8 三个“二次”关系的应用】 【例8】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设关于的方程对应的函数，根据二次函数的零点即可求解. 【解答过程】依题意，设函数，则函数有两个零点，且一个比3大，一个比3小； 所以，即，解得. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·江苏常州·期中）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【解答过程】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式8-3】（25-26高一上·上海松江·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或1 (3) 【解题思路】（1）解一元一次不等式可得结果； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，即可得到的值； （3）分和，结合二次函数的图象性质得到不等式，即可得到的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】此题主要解一元二次不等式，先确定方程的根，由二次项系数为正，抛物线开口向上，进而确定不等式“大于取两侧”得出解集即可. 【解答过程】由不等式，可得，或， 故不等式的解集为或， 故选：C. 2．（25-26高一上·天津·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识判断即可. 【解答过程】由，得，解得. 因为推不出，且推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用韦达定理，得到的关系，代入不等式，转化为不含参的一元二次不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解． 【解答过程】由一元二次不等式的解集为， 可得，解得， 则不等式可转化为，即， 因为，则，不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D． 4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【解答过程】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 5．（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C. 6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【解答过程】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 7．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 故选：D. 8．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】含参分类讨论解不等式，再结合解集中恰有3个整数即可求出答案. 【解答过程】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【解题思路】根据已知有是方程的两个根，且，利用根与系数关系得，进而依次判断各项的正误. 【解答过程】由题设是方程的两个根，且，A对， 所以，可得，则，C错， 由，B错， 由，可得或，D对. 故选：AD. 10．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 【答案】BD 【解题思路】根据二次函数图象的开口方向可判断A选项；利用二次函数的最值可判断B选项；利用二次函数的对称轴方程得出，结合一次不等式的解法可判断C选项；根据二次函数过点得出，利用二次不等式的解法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，由题意可知，函数的图象开口向下，则，A错； 对于B选项，因为二次函数的对称轴为，则该函数在处取得最大值， 即，，B对； 对于C选项，因为二次函数的对称轴方程为，即，可得， 由得，即，解得， 故的解集为，C错； 对于D选项，因为二次函数与轴交于点， 则，可得， 不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，D对. 故选：BD. 11．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【解题思路】根据不等式的解集为或，可得，且和是的两个根，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】由题意可知，，且和是的两个根， 则，，得到，， 对于A选项，由可判断A正确； 对于B选项，由得， 整理得到，解得或，所以B正确， 对于C选项，因为，故C错误， 对于D选项，由，得，得，故D错误， 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________． 【答案】 【解题思路】根据解不等式的步骤，移项，通分，解一元二次不等式即可. 【解答过程】由，得，所以， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知关于的不等式，若不等式的解集为或，则实数的值为___________． 【答案】 【解题思路】利用已知条件得出对应方程的根及的符号，再利用韦达定理构造方程求解． 【解答过程】不等式的解集为或， 和是方程的两个根，且， 由韦达定理得，即，解得． 故答案为：． 14．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知，且，恒成立，则实数的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】由已知等式变形得出，利用基本不等式得出的最小值，即可得出关于实数的不等式，即可解得实数的最大值. 【解答过程】因为，且，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，所以，解得， 因此实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接化简解出一元二次不等式即可； （2）根据判别式即可得到其解； （3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【解答过程】（1）将不等式化简为，即 解得x＞1或， 则不等式的解集为； （2）将不等式化简为， 因为， 所以该不等式无实数解，即解集为. （3）因为，即，所以通分可得， 则，解得， 所以解集为． 16．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若且，解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【解题思路】（1）根据给定的解集，利用一元二次不等式的解集规律，结合韦达定理求解. （2）把代入，按分类求解含参不等式. 【解答过程】（1）不等式的解集为， 则，且是方程的两个实根，于是， 所以. （2）当且时，不等式，则， 当时，，解得或； 当时，，不等式恒成立，； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【解题思路】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 18．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见详解 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知函数， (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，对任意满足，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）由条件可得是方程的两个根，结合韦达定理即可求得，再解不等式即可. （2）条件不等式恒成立可转化为，利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可. 【解答过程】（1）∵不等式的解集是， 是方程的两个根， 由韦达定理得：即， 所以不等式可化为， 化简得， 所以 故不等式的解集为； （2）恒成立，即恒成立， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 解得， 则实数的取值范围是：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 一元二次不等式 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢?先来看一个问题. 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米? 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【知识点2 分式、高次、绝对值不等式的解法】 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【知识点3 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（25-26高一上·西藏昌都·期末）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式1-2】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【题型2 解含参数的一元二次不等式】 【例2】（25-26高一上·天津河东·阶段检测）当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【变式2-3】（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数，． (1)若，求的解集； (2)解关于x的不等式：． 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式3-2】（25-26高一上·山东德州·期末）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【变式3-3】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，关于x的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式4-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（25-26高一上·吉林·期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式5-2】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【变式5-3】（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式6-2】（24-25高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·山东潍坊·阶段检测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 模块三 三个“二次”的关系 【知识点4 三个“二次”的关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型7 二次函数的图象分析与判断】 【例7】（24-25高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·浙江·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【变式7-2】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【题型8 三个“二次”关系的应用】 【例8】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【变式8-2】（25-26高一上·江苏常州·期中）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【变式8-3】（25-26高一上·上海松江·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（25-26高一上·天津·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 7．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 8．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 10．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 11．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________． 13．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知关于的不等式，若不等式的解集为或，则实数的值为___________． 14．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知，且，恒成立，则实数的最大值为___________. 四、解答题 15．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 16．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若且，解关于x的不等式. 17．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 18．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 19．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知函数， (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，对任意满足，且恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $