第四章 指数函数与对数函数综合检测卷（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数综合检测卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·天津·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A．且 B． C． D． 4．（5分）（24-25高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米／秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使达到8千米/秒，则大约为（    ）结果精确到1，参考数据：） A．98吨 B．108吨 C．118吨 D．128吨 5．（5分）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一上·重庆·期末）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一上·广东梅州·阶段练习）若不等式（且）在内恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·云南·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知是奇函数，则（    ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 11．（6分）（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D．函数有6个零点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知实数满足，则 . 13．（5分）（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为 ． 14．（5分）（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2) 16．（15分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 17．（15分）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 18．（17分）（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知常数，函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数至少有一个零点在内，求实数的取值范围. 19．（17分）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（无需证明），并求函数的值域； (3)不等式对恒成立，求实数t的取值范围. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·天津·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【解答过程】对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：B. 2．（5分）（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 3．（5分）（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A．且 B． C． D． 【解题思路】先对参数范围分类讨论，再结合复合函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】由对数函数性质得或，下面，我们对的范围进行分类讨论， 令，则是由和构成的复合函数， 当时，由对数函数性质得单调递增， 由一次函数性质得单调递减， 由复合函数性质得单调递减，不符合题意，故排除， 当时，由对数函数性质得单调递减， 若在区间上单调递增，故在区间上单调递减， 此时，解得，且恒成立， 由一次函数性质得的最小值为， 得到，解得， 综上，得到的取值范围为，故B正确. 故选：B. 4．（5分）（24-25高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米／秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使达到8千米/秒，则大约为（    ）结果精确到1，参考数据：） A．98吨 B．108吨 C．118吨 D．128吨 【解题思路】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可. 【解答过程】因为当时，， 所以， 由， 得， 所以， 解得（吨）， 即至少约为128吨. 故选：D. 5．（5分）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数函数的性质，结合基本不等式求解. 【解答过程】因为， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 又因为， 所以 故选：B. 6．（5分）（24-25高一上·重庆·期末）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数为奇函数求得，再确定其单调性即可求解； 【解答过程】是奇函数，又定义域为, 所以，得，经检验符合； 所以， 由在上单调递增，易知在上单调递减， 又， 所以等价于， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：A. 7．（5分）（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案． 【解答过程】函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标． 在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图： 由图可知，. 故选：B． 8．（5分）（24-25高一上·广东梅州·阶段练习）若不等式（且）在内恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围. 【解答过程】若，此时，， 而，故无解； 若，此时，，而， 令，， 画出两函数图象，如下： 故要想在内恒成立， 则要，解得：. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·云南·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则、对数的运算性质与换底公式化简计算即可逐一判断. 【解答过程】对于A中，原式，所以A正确； 对于B中，原式，所以B正确； 对于C中，原式，所以C错误； 对于D中，原式，所以D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知是奇函数，则（    ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【解题思路】利用奇函数的定义求出的值，可判断A选项；利用指数函数值域结合不等式性质可得的值域，可判断B选项；利用复合函数法单调性可判断C选项；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，对于函数，有，可得， 所以，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则， 且，则， 所以，，可得对任意的非零实数恒成立， 所以，，即，A对； 对于C选项，因为， 当时，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数， 由复合函数法可知，函数在上为减函数，C错； 对于B选项，， 可得，则， 所以，函数的值域为，B对； 对于D选项，因为函数在上为减函数，且该函数为奇函数， 所以，函数在上为减函数，且， 由可得，解得， 所以，不等式的解集为，D对. 故选：ABD. 11．（6分）（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D．函数有6个零点 【解题思路】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断. 【解答过程】对于A，由题可画出大致图象， 则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点， 则由图可得，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确； 对于C，由题. 又由题及图可得，， 则，注意到函数 在上单调递减，则，故C正确； 对于D，令，则， 由图可得，则的零点个数为 方程根的个数之和， 即图象与直线交点个数之和. 由图，图象与直线交点个数为0，图象与直线交点个数为2， 图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3， 则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知实数满足，则 . 【解题思路】根据可得结果. 【解答过程】由题意得，， ∵，∴. 故答案为：. 13．（5分）（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为 ． 【解题思路】由函数单调性以及零点存在定理得，由此即可得解. 【解答过程】因为和均单调递增，所以也单调递增， 又注意到， 所以由零点存在定理可知函数的唯一零点， 所以，即有. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ． 【解题思路】判断函数的奇偶性，利用奇偶性化简不等式，研究函数的单调性，结合单调性化简不等式，再结合对数函数性质求解. 【解答过程】由题可知函数的定义域为， ∵， ∴是偶函数， ∴由可得，即． 当时，，∵和在上都是单调递增的， ∴在上单调递增， 又∵，由函数的定义域知有， ∴由可得， 所以或， 解得：或． 综上，不等式的解集为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2) 【解题思路】（1）根据指数的运算化简可得值； （2）根据对数的运算化简可得值. 【解答过程】（1） ； （2） . 16．（15分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 【解题思路】（1）根据分数指数幂的运算公式，即可求解； （2）利用平方关系，根据分数指数幂的运算公式，即可求解. 【解答过程】（1）. （2）①，所以； ②，且， 所以. 17．（15分）（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 【解题思路】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【解答过程】（1）因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即或， 解得或. （2）因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 18．（17分）（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知常数，函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数至少有一个零点在内，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）将代入，解该对数不等式即可； （2）将化简为，通过构造函数借助零点存在性定理求解即可. 【解答过程】（1）若，则， 得，解得， 所以不等式的解集为. （2）根据题意，， 即在上有根，令， 则在上与轴有交点，且需满足，， 所以，即， 又的对称轴为，且， 则，即， ， 所以实数的取值范围为. 19．（17分）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（无需证明），并求函数的值域； (3)不等式对恒成立，求实数t的取值范围. 【解题思路】结合奇函数性质可求出a； 结合指数函数及反比例函数单调性即可求解函数单调性及值域； 由已知结合奇偶性及单调性进行转化，然后分离参数，结合恒成立与最值关系的转化即可求解. 【解答过程】（1）是定义在R上的奇函数， ，得，经检验，当时，是定义在R上的奇函数，； （2）在R上单调递增， 由知，， ， 的值域为； （3）是奇函数， 可化为， 又单调递增， 对恒成立， 即对恒成立，令， 则， 令， 则恒成立， 又在上单调递减，在上单调递增， 故时，y取得最大值， 故， 故t的取值范围为 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$