第13讲 指数及其运算 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第13讲 指数及其运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 根式的概念和性质 【题型二】 根式与分数指数幂的互化 【题型三】 利用指数幂的性质化简 【题型四】 指数幂性质的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算； 2.能准确掌握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练掌握幂的运算性质进行幂的运算. 【题型一】 根式的概念和性质 相关知识点讲解 次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. (1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 【典题1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）化简： （   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的定义求值． 【详解】. 故选：A. 变式练习 1（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 2（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式运算性质，得到，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，解得. 故选：A. 3（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 【题型二】 根式与分数指数幂的互化 相关知识点讲解 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg：，，，. ② 正数的负分数指数幂的意义： Eg：. ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【典题1】（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 变式练习 1（24-25高一上·北京·阶段练习）将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式指数幂与根式关系即可得结果. 【详解】. 故选：C 2（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 3（20-21高一·全国·课后作业）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 4（2025高三·全国·专题练习）若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所在的区间，代入解析式求值即得. 【详解】因， 则． 故选：A． 5（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分母有理化、指数幂运算、平方差公式判断各项正误. 【详解】由，A正确； 由，B正确； 由，C正确； 由，D错误． 故选：D 【题型三】 利用指数幂的性质化简 相关知识点讲解 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【典题1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数运算和根式运算法则得到答案； （2）由两边平方求出，进而两边平方求出，代入求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）由，则有，， 所以原式 变式练习 1（2025高三下·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质求结论即可. 【详解】原式 ． 故选：C. 2（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可. 【详解】因为， 则 ． 故选：B. 3（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 4（2024高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据的正负求出. 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 5（24-25高一上·江苏徐州·期中）若是方程的根，则（   ）. A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理，通过平方关系即可求解. 【详解】设方程的另一根为， 由韦达定理可得：，即，同时， 所以， 故选：C 6（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）计算； （2）已知，求式子的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可得出所求代数式的值； （2）在等式两边平方，可求出， 再求的值，再利用立方和公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】（1）原式； （2）因为，等式两边平方可得，可得， 所以，， 因为，故， 因此，. 【题型四】指数幂性质的应用 【典题1】 （24-25高一上·浙江温州·期中）为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（   ） A．0.036 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，列出等式，再结合指数函数的公式，即可求解． 【详解】设2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为，2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低为， 则2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为， 故，解得． 故选：C． 【典题2】（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数运算可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，即，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 变式练习 1（24-25高一上·重庆·期中）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍. 【详解】设植物原来长度m，经过8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 则， 即24天后该植物的长度是原来的倍， 故选：C 2（2024·福建南平·二模）对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（    ） A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919 【答案】C 【分析】将化为，根据新定义，直接计算取近似值即可． 【详解】 . 故选：C. 3（24-25高一上·北京·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】由基本不等式求最小值． 【详解】因为 所以，当且仅当即时等号成立， 故选：D． 4（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以． 所以，即． 当且仅当，，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 5（2023·河南开封·三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件. 【详解】， ∵，∴等号不成立，故； ， ∵，∴等号不成立，故， 综上，. 故选：A. 6（22-23高三上·江苏·阶段练习）设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值. 【详解】，，，， 当时，，， 因为，所以，即 当时，，，， 因为，所以， 当时，，，，， 因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立， 正整数的最大值为4， 故选：A． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·广东中山·阶段练习）将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由根式与分数指数幂的转换公式即可求解. 【详解】. 故选：A. 2（24-25高三上·山东威海·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合求出集合，再求出，最后根据补集的定义求出. 【详解】已知，集合. 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得. 所以. 所以. 因为，，所以. 故选：B. 3（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式． 故选：D 4（24-25高一上·吉林长春·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】结合指数幂的运算性质化简得 ，再结合基本不等式“1” 的妙用即可求解. 【详解】由题意，，∴， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 5（多选）（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用指数的运算性质，得到，可判断AB选项，然后利用基本不等式判断CD选项的结果. 【详解】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 6（多选）（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】CD 【分析】先由等式得到，再应用基本不等式求得的范围，结合选项判断即可. 【详解】由得：，解得，即， 由于，，当且仅当（即）时取得等号. 故选：CD. 7（24-25高一上·辽宁鞍山·期中） ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 8（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数运算的知识求得正确答案. （2）根据根式运算的知识求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . 9（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·浙江绍兴·期中）在算式中，是五个非负整数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可判定只能在中取数，再结合的展开式，即可确定各字母的取值，计算即得. 【详解】因是五个非负整数，且， 若，则，矛盾，故， 所以，， 因为，所以， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾 若，则，矛盾， 故，所以，故， 若，则，与已知矛盾， 所以，， 故选：B. 2（22-23高三上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】令，由条件用表示，结合基本不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，又， 所以， 设，则，即. 因为， 即，当且仅当，即时等号成立， 解得，，所以的取值范围是 故选：C. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 指数及其运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 根式的概念和性质 【题型二】 根式与分数指数幂的互化 【题型三】 利用指数幂的性质化简 【题型四】 指数幂性质的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算； 2.能准确掌握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练掌握幂的运算性质进行幂的运算. 【题型一】 根式的概念和性质 相关知识点讲解 次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. (1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 【典题1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）化简： （   ） A．1 B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【题型二】 根式与分数指数幂的互化 相关知识点讲解 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg：，，，. ② 正数的负分数指数幂的意义： Eg：. ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【典题1】（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·北京·阶段练习）将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 3（20-21高一·全国·课后作业）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 4（2025高三·全国·专题练习）若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）下列根式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型三】 利用指数幂的性质化简 相关知识点讲解 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【典题1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值． 变式练习 1（2025高三下·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 4（2024高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·江苏徐州·期中）若是方程的根，则（   ）. A． B． C．7 D． 6（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）计算； （2）已知，求式子的值． 【题型四】指数幂性质的应用 【典题1】 （24-25高一上·浙江温州·期中）为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（   ） A．0.036 B． C． D． 【典题2】（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·重庆·期中）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2（2024·福建南平·二模）对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（    ） A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919 3（24-25高一上·北京·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 4（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 5（2023·河南开封·三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6（22-23高三上·江苏·阶段练习）设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【A组---基础题】 1（24-25高一上·广东中山·阶段练习）将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·山东威海·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·吉林长春·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 5（多选）（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 6（多选）（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7（24-25高一上·辽宁鞍山·期中） ． 8（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）求值： (1) (2) 9（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【B组---提高题】 1（24-25高一上·浙江绍兴·期中）在算式中，是五个非负整数，且，，则（   ） A． B． C． D． 2（22-23高三上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$