第25讲 诱导公式（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第25讲 诱导公式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用诱导公式给角求值 题型2 利用诱导公式给值求值 题型3 利用互余互补关系求值 题型4 诱导公式综合化简求值 题型5 利用诱导公式证明恒等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 诱导公式 1. 理解推导：借助单位圆对称性推导诱导公式，培养直观想象与逻辑推理素养. 2. 掌握转化：能利用公式将任意角转化为锐角求值，提升数学运算素养. 3. 化简证明：能运用诱导公式进行三角函数式的化简与恒等式证明. 4. 体会思想：领悟数形结合、转化与化归思想，掌握“奇变偶不变，符号看象限”规律. 学习重点：（1）公式推导：借助单位圆的对称性，准确推导并理解六组诱导公式. （2）公式应用：熟练运用诱导公式进行任意角三角函数的求值、化简与证明. 学习难点：（1）本质联系：建立单位圆对称性与三角函数代数关系之间的联系. （2）灵活应用：准确判断公式右侧的符号，并在复杂变形中灵活运用公式. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 诱导公式 1、诱导公式二：角与角的终边关于原点对称 ， ， ，其中 【记忆规律】把看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把看作是锐角，则是第三象限角，函数名不变，符号为的终边在第三象限时的三角函数值的符号. 2、诱导公式三：角与角的终边关于轴对称 ， ， ， 其中 【记忆规律】把看作锐角，则是第四象限角，函数名不变，符号为的终边在第四象限时的三角函数值的符号. 3、诱导公式四：角与角的终边关于轴对称 ， ， ，其中 【记忆规律】把看作锐角，则是第二象限角，三角函数名不变，符号为的终边在第二象限时的三角函数值的符号/ 4、诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 【记忆规律】（1）把看作锐角，则是第一象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值，函数值均不变号； （2）把看作锐角，则是第二象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值的相反数. 知识点02 所有诱导公式记忆口诀与作用 1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 2、诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为的角求值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的互相转化 知识点03 诱导公式常用方法 1、用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 3、利用诱导公式求值与求角解题策略 （1）条件求值问题的策略 ①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． ②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． （2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． 4、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 题型1 利用诱导公式给角求值 【例1】（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 【变式1-1】的值为（   ） A． B． C． D． 题型2 利用诱导公式给值求值 【例2】，那么（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决条件求值问题的策略： (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 【变式2-1】已知，且，则________. 题型3 利用互余互补关系求值 【例3】（1）已知，则（    ） A． B． C． D． （2）已知 则=（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用互余互补关系求值，首先发现存在互余互补关系，然后熟练应用诱导公式四和诱导公式五解题即可. 【变式3-1】已知，求的值. 题型4 诱导公式综合化简求值 【例4】已知，且，则______. 【方法总结】 利用诱导公式化简、求值： （1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； （2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； （3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 【变式4-1】已知. (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值. 题型5 利用诱导公式证明恒等式 【例5】证明：，． 【方法总结】 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异 【变式5-1】若，求证：. 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 6．设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 二、多选题 7．下列诱导公式正确的是（　　） A． B． C． D． 8．在中，下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 9．下列各式子的值等于1的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．计算：＝________． 11．已知，则的值为_____. 12．已知且，若，则________． 四、解答题 13．求证：＝． 14．已知. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 诱导公式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用诱导公式给角求值 题型2 利用诱导公式给值求值 题型3 利用互余互补关系求值 题型4 诱导公式综合化简求值 题型5 利用诱导公式证明恒等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 诱导公式 1. 理解推导：借助单位圆对称性推导诱导公式，培养直观想象与逻辑推理素养. 2. 掌握转化：能利用公式将任意角转化为锐角求值，提升数学运算素养. 3. 化简证明：能运用诱导公式进行三角函数式的化简与恒等式证明. 4. 体会思想：领悟数形结合、转化与化归思想，掌握“奇变偶不变，符号看象限”规律. 学习重点：（1）公式推导：借助单位圆的对称性，准确推导并理解六组诱导公式. （2）公式应用：熟练运用诱导公式进行任意角三角函数的求值、化简与证明. 学习难点：（1）本质联系：建立单位圆对称性与三角函数代数关系之间的联系. （2）灵活应用：准确判断公式右侧的符号，并在复杂变形中灵活运用公式. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 诱导公式 1、诱导公式二：角与角的终边关于原点对称 ， ， ，其中 【记忆规律】把看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把看作是锐角，则是第三象限角，函数名不变，符号为的终边在第三象限时的三角函数值的符号. 2、诱导公式三：角与角的终边关于轴对称 ， ， ， 其中 【记忆规律】把看作锐角，则是第四象限角，函数名不变，符号为的终边在第四象限时的三角函数值的符号. 3、诱导公式四：角与角的终边关于轴对称 ， ， ，其中 【记忆规律】把看作锐角，则是第二象限角，三角函数名不变，符号为的终边在第二象限时的三角函数值的符号/ 4、诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 【记忆规律】（1）把看作锐角，则是第一象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值，函数值均不变号； （2）把看作锐角，则是第二象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值的相反数. 知识点02 所有诱导公式记忆口诀与作用 1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 2、诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为的角求值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的互相转化 知识点03 诱导公式常用方法 1、用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 3、利用诱导公式求值与求角解题策略 （1）条件求值问题的策略 ①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． ②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． （2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． 4、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 题型1 利用诱导公式给角求值 【例1】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 【方法总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 【变式1-1】的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 题型2 利用诱导公式给值求值 【例2】，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 【方法总结】 解决条件求值问题的策略： (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 【变式2-1】已知，且，则________. 【答案】 【详解】由，因为，可得， 所以. 题型3 利用互余互补关系求值 【例3】（1）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. （2）已知 则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 【方法总结】 利用互余互补关系求值，首先发现存在互余互补关系，然后熟练应用诱导公式四和诱导公式五解题即可. 【变式3-1】已知，求的值. 【答案】 【详解】因为， 可得， ， 所以. 题型4 诱导公式综合化简求值 【例4】已知，且，则______. 【答案】 【详解】∵，且，∴， ∴． 【方法总结】 利用诱导公式化简、求值： （1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； （2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； （3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 【变式4-1】已知. (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） 即 （2）由，可得． 因为为第三象限角， 因此， 故 题型5 利用诱导公式证明恒等式 【例1】证明：，． 【答案】证明见解析 【详解】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 【方法总结】 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异 【变式1-1】若，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】分为偶数和为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明； 【详解】证明：若为偶数，则 左边 ； 若为奇数，则 左边 ； 左边=右边，所以原式成立. 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：. 2．已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由于是第二象限角，所以， 所以. 3．若，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，且， ， ， 则原式． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：. 5．若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为第二象限角，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 所以. 6．设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 【答案】D 【详解】，其中， 若，则， 二、多选题 7．下列诱导公式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 8．在中，下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项错误. ，D选项错误. 9．下列各式子的值等于1的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：，不等于1，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：， ， ，C正确； 选项D：，D正确. 三、填空题 10．计算：＝________． 【答案】1 【详解】 ． 11．已知，则的值为_____. 【答案】 【详解】因为， 所以， 可得 . 12．已知且，若，则________． 【答案】 【详解】， ， 因为，所以， 化简得，所以，即， 因为且，所以且， 所以且，所以， . 四、解答题 13．求证：＝． 【答案】证明见解析 【详解】左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 14．已知. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， 由，得， 所以； （2）由，得， 则. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $