精品解析：山东省淄博市临淄区2025-2026学年初三下学期数学期末考试（五四制）

2025—2026学年度第二学期期末考试 初三数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 《水浒传》能成为四大名著之一，主要因其深刻的社会历史内涵、独特的艺术风格及广泛的影响力．如图，用放大镜将《水浒传》的封面手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 2. 若是方程的解，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 1 3. 已知，且相似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 4. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A. B. 3 C. D. 都不对 5. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图是某公园在一长，宽的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（ ） A. 100 B. 93 C. 86 D. 78 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在射线上时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果，则___________． 12. 已知，若，则______ 13. 已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 14. 为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 15. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知是方程的一个根，试求的值． 18. 如图，在ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F． (1) 求证：△ABE∽△ECF； (2) 若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长． 19. 碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 20. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． （1）若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； （2）请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 21. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 22. 根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． （1）如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． （2）如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 23. 【定义】将线段绕点A逆时针旋转角得到线段，将线段绕点A逆时针旋转角得到线段，则称由点A，B，C，D围成的四边形为“旋补四边形”，其中为旋补角． 【概念理解】 （1）如图1，在旋补四边形中，，，试说明对边与满足位置关系； 【拓展应用】 已知四边形为旋补四边形，旋补角，把沿折叠到，与交于点F． （2）如图2，若，，求线段的长； （3）若于点G，画出示意图并求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末考试 初三数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 《水浒传》能成为四大名著之一，主要因其深刻的社会历史内涵、独特的艺术风格及广泛的影响力．如图，用放大镜将《水浒传》的封面手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换． 2. 若是方程的解，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 3. 已知，且相似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，相似比为，相似三角形面积比为相似比的平方， ∴与的面积比为． 4. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A. B. 3 C. D. 都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 根据题意得到，，即可求得m的范围．要特别注意二次项系数这一条件，当时，方程就是一元一次方程了． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 解得：． 故选：C． 5. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，分式方程的运用，掌握黄金分割点的计算方法是关键．根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， 故选：B ． 6. 如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 7. 如图是某公园在一长，宽的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中曲桥分布，列出方程即可 【详解】解：如图， 将曲桥移至同一水平上可得， 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 8. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（ ） A. 100 B. 93 C. 86 D. 78 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出前行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在射线上时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点Q作于点H，交于点M．由题意可得，由等腰直角三角形的性质可得，，从而得出，．设，则，．由平移和旋转的性质，得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点Q作于点H，交于点M． ∵点B的坐标为，点A与原点O重合， ∴． ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴． ∵D为的中点， ∴． 设，则，． 由平移和旋转的性质，得． 在中，有， 即， 解得． ∵， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴. 12. 已知，若，则______ 【答案】20 【解析】 【分析】根据已知等式可得，再根据即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 13. 已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【解析】 【分析】设出符合条件的一元二次方程，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到目标方程． 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 14. 为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 15. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 17. 已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 18. 如图，在ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F． (1) 求证：△ABE∽△ECF； (2) 若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长． 【答案】(1)详见解析；(2) 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF； （2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC−BE＝8−2＝6，代入计算即可． 【详解】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC． ∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB． 又∵∠DAE＝∠F， ∴∠AEB＝∠F． ∴△ABE∽△ECF； （2）∵△ABE∽△ECF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8． ∴EC＝BC−BE＝8−2＝6． ∴． ∴FC＝. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC． 19. 碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【答案】 这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是 【解析】 【分析】设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为，根据该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，列出方程解答即可． 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为． 20. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． （1）若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； （2）请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【答案】（1）解：∵ ， ， ， 当时， ， ∴线段的长是方程的一个解； （2）解：∵， ， ， 用求根公式求得， 正确性：的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求得的长，可求的长，再代入方程验算即可； （2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 21. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】（1）①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； （2）当为秒或秒，的面积等于． 【解析】 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； 【小问2详解】 解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 22. 根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． （1）如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． （2）如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】（1）雕塑顶部距离地面的高度为； （2）此时相机镜头距离地面的高度约为． 【解析】 【分析】（1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； 【小问2详解】 解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 23. 【定义】将线段绕点A逆时针旋转角得到线段，将线段绕点A逆时针旋转角得到线段，则称由点A，B，C，D围成的四边形为“旋补四边形”，其中为旋补角． 【概念理解】 （1）如图1，在旋补四边形中，，，试说明对边与满足位置关系； 【拓展应用】 已知四边形为旋补四边形，旋补角，把沿折叠到，与交于点F． （2）如图2，若，，求线段的长； （3）若于点G，画出示意图并求出的值． 【答案】（1）， 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题中定义并利用等腰三角形的性质，平行线的判定即可证得结论； （2）根据题中定义并利用等腰三角形的性质，折叠的性质结合相似三角形的判定与性质，设，列出方程求解x的值，从而得解； （3）先根据题意画出示意图，再根据题中定义，利用等腰三角形的性质，折叠的性质及相似三角形的判定与性质即可求得最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为旋补四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵把沿折叠到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为． 【小问3详解】 解：当时，如图，在上截取，连接， 由折叠性质得，， ∵， ∴， 由（2）可知，，， ∴，解得：， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：（舍去负值），即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $