精品解析：山东省淄博市临淄区2023-2024学年九年级下学期期末数学试题

2023−2024学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是(　 ) A. x2－5x+5=0 B. x2+5x－5=0 C. x2+5x+5=0 D. x2+5=0 【答案】A 【解析】 【详解】一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c=0(a≠0)， 将原方程去括号为：x2-6x+4+x+1=0， 合并为：x2-5x+5=0， 故答案为：A. 【点睛】考点：一元二次方程的一般式. 2. 已知是正整数，是整数，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 4. 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 由已知得：，，， ∴， 在中，， ∴（）， 故选：D 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算． 5. 已知 ，（a 为任意实数），则的值（ ） A. 小于 0 B. 等于 0 C. 大于 0 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 6. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 7. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是( ) A. B. C. D. ﹣ 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴ =（）2=，∴EC：BC=1：．∵BC=，∴EC=，∴BE=BC﹣EC=．故选D． 8. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. 1.8 B. 3 C. 3.2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 9. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A. 2 B. -4 C. 2或4 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据系数规律得出，令，，由代数式的值为1得出，进而求出x的值． 【详解】解：由系数规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，整式的乘法，熟练掌握展开式的系数规律是解题的关键． 10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 在和中， 设，则， ，即：， 解得：， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若实数m满足，则m的取值范围是 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 13. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论： ①平分； ②； ③四边形是菱形； ④ 其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可． 【详解】解：①∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴平分；正确； ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②错误； ③∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；正确； ④∵，， ∴， ∴， ∴，即，正确； 故答案为：①③④． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵图中，， ∴ ∵与的面积相等， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于的方程是解题的关键． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减乘除的混合运算，熟练掌握二次根式加减乘除的混合运算是解题的关键． （1）现将三个二次根式分别化简，再根据二次根式的加减运算法则计算，即得答案； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再根据二次根式的加减运算法则计算，即得答案． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法． （1）运用直接开平方即可求得x的值； （2）运用配方法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得； 【小问2详解】 解： 或． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可． 【详解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠， ∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC； （2）由勾股定理得，AB=10， 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°， ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得，， 即， 解得：CD=3， 在Rt△ACD中，由勾股定理得， 即， 解得：AD=． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 19. 已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求的取值范围. （2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值. 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1-x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根， ∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0， 解得：m≤2； （2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2=6，x1x2=4m+1， ∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16， 解得：m=1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1-x2|=4，找出关于m的一元一次方程． 20. 已知a，b，c，d为四个不为0的数． （1）如果，求与的值； （2）如果，求证； （3）如果，求证． 【答案】（1）， （2） 证明：设，则，， ∴，， ∴； （3） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示： （1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______． （2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________． （3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？ 【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20 【解析】 【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值； （2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值； （3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15． 故答案为：10；15． （2）∵， ∴， 当时，． 故答案为：；1128． （3）依题意，得：， 化简，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该班共有20名女生． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键． 22. 先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）仿照例题，先根据完全平方公式进行变形，再求出即可； （2）根据勾股定理及题中方法求出即可． 【详解】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即， ， ，， ，， ，， ． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023−2024学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是(　 ) A. x2－5x+5=0 B. x2+5x－5=0 C. x2+5x+5=0 D. x2+5=0 2. 已知是正整数，是整数，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 20 D. 5. 已知 ，（a 为任意实数），则的值（ ） A. 小于 0 B. 等于 0 C. 大于 0 D. 无法确定 6. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是( ) A. B. C. D. ﹣ 8. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. 1.8 B. 3 C. 3.2 D. 4 9. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A. 2 B. -4 C. 2或4 D. 2或 10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若实数m满足，则m的取值范围是 ___________． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 13. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是_____． 14. 如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论： ①平分； ②； ③四边形是菱形； ④ 其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则___________． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求的取值范围. （2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值. 20. 已知a，b，c，d为四个不为0的数． （1）如果，求与的值； （2）如果，求证； （3）如果，求证． 21. 在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示： （1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______． （2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________． （3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？ 22. 先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $