湖南长沙市同升湖高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

长沙市同升湖高级中学 2026年上学期高一期末考试数学参考答案 时量：120分钟满分：150分命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1 2 3 4 5 6 8 B A D B A D c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD ABD ACD 三、填空题（共3个小题，每题5分，共15分） 14.【答案】43π 13.【答案】a 14.【答案】(0,1)： 2e+。e2+2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 【答案】(1)a=0.15,众数为5，平均数5.6 (2)200人 【小问1详解】 .0.05×2×3+0.10×2×2+2a=1 .a=0.15 众数为5， 平均数(1×0.05+3×0.1+5×0.15+7×0.1+9×0.05+11×0.05)×2=5.6 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，平均费用不少于8元的频率为：0.05×2+0.05×2=0.2 .1000×0.2=200 第一页共五页 ,试估计该公司有200名职员早餐日平均费用不少于8元. 16.(15分) 【答案】解：(1)由余弦定理得，b2=a2+c2-2 accosB. 因为a=5,b=7,c=8,所以72=52+82-2×5×8c0sB. 故c0sB=5282-2+69-0=月 2×5×8 80 80 因为B∈0，)，所以∠B=等 (2)由三角形面积公式得，SAABC=acsinB. 因为a=5,c=8,∠B=号 所以5A48c=×5×8×sim写=20×9=10N3 17.(15分) 【答案】解：(1)f(x)=4sinx·(cos xcos石+sinxsin名) =2v3sincosx+2sin2 x=3sin 2x-cos 2x+1=2sin (2x)+1, 则f)的最小正周期为=哥-号=元 (2)解法-：f9=2sin(2x-君)+1， 令-+2m≤2x-≤+2m, 解得-名+km≤x≤号+km, fx)单调递增区间为[-石+kr,+km. 因为x∈[-五]，所以fw)在[-五]递增，在[]递减 f)max=f(g)=3,f)mm=f(-)=1-V3, 所以f(x)值域为[1-V3,3], 解法二：因为x∈[-五]，所以2x-e[-,1 由正弦函数图象知，x=时，y=2si(2x-)+1有最大值3. x=-2时，y=2sin(2x-名)+1有最小值1-V5 所以f(x)值域为[1一V3,3], 第二页共五页 18.(17分) 【答案】(1)1/AC,证明见解析(2)证明见解析 (3)(12-65)π 【分析】(1)由平面AB,C∥平面ABC可得AC1∥平面ABC,从而根据线面平行的性质定理 即可得证： (2)连接AC1,根据已知可得AC⊥平面ABC1,从而即可证明AC⊥BC; (3)由题意，首先求出棱锥中各条棱的长度，然后利用等体积法计算三棱锥内切球的半径， 最后计算其表面积即可得答案. 【详解】(1)解：判断l∥AC.证明如下：：ABC-AB,C为直三棱柱，∴.平面AB,C∥平 面ABC, :AC1c平面AB,C1,.AC1∥平面ABC,又平面ABC1∩平面ABC=1,ACC平 面ABC, .AC∥1，又：AC∥AC,.1∥AC; (2)证明：连接AC1,,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱， .AA⊥平面ABC,∴.AA⊥AB,又∠BAC=90°，AA0AC=A,.AB⊥平面ACC1A 又ACC平面ACCA, .AB⊥AC,又，直三棱柱ABC-AB,C中，AA=AC,.四边形ACCA为正方 形，.AC⊥AC, :AC∩AB=A,AC1C平面ABC1,ABC平面ABC1,.AC⊥平面ABC1, 又BCC平面ABC,.AC⊥BC: (3)解：过A作AD⊥B,C1，垂足为D,连接CD如图所示，，三棱柱ABC-ABC 为直三棱柱， .BB1平面ABC1,又ADC平面AB,C1,.BB⊥AD,BC⊥AD, BB∩BC1=B, .AD⊥平面BCCB, ∴∠ACD为直线AC与平面BCCB,所成的角，即∠ACD=30°， ”A4=AC=3,4C=32,sim∠4CD=in30°=4D-4D=1 AC3√221 3W2 A0=源，在w△4GD巾，mACD-2子， 2 AC132 .∠ACD=45°，又∠B4C1=90°，.AB,=AC1=3 设三棱锥A-ABC内切球的半径为n,球心为O,连接OA,0OB,OC,OA4, 则由V三棱4Bc=V三棱0-Bc+'三枚D-B4十'三枝细-4C4十'三枝银-4pC得 33-)3-5 3+56 2 “.三棱锥A-ABC内切球的表面积S=4πr2-z3-V3=(12-63元 第三页共五页 19.(17分) 【答案】(1)3 (2)(i)m=-3,n=3,在(-0，+o)上是增函数(ii)（-0,0[3+2V2,+0） 【小问1详解】 因为函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称， 所以y=f(x+1)-1为奇函数，所以f(-x+1)-1=-[f(x+1)-1, 令x=0,则有2f(1)=2,故f(1)=1:令x=1,则有f(2)+f(0)=2, 所以f(0)+f(1)+f(2)=3. 【小问2详解】 (i)由(1)可知g(1)=1,g(2)+g(0)=2, 因为g(0)=0,所以g(2)=2,则 1+m+n=1, =-3, 解得 8+4+2n=2, n=3, 此时g(x)=x3-3x2+3x=(x-1)3+1, 所以g(-x+1)-1=(←x+1-1)3=-x3,g(x+1)-1=(x+1-1)3=x2, 所以g(-x+1)-1=-「g(x+1)-1,即y=g(x+1)-1为奇函数，符合题意， 所以m=-3,n=3. 因为函数g(x)的图象可由y=x先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 故函数g(x)在(-0，+o)上也是增函数. (ii)因为函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且该函数的定义域为R, 对任意的x∈R,g(x)+g(2-x)=2, 由gx2+sx+0+g(2-x)≥2可得g（x2+sx+）+g(2-x)≥g(x)+g(2-x), 即gx2+sx+）≥g(x), 因为函数g(x)在(-o,+∞)上是增函数，则x+x+≥x, 第四页共五页 因为e防a+1, 令(x)=x+,得|h()+s≥1， 夏-个：心2-Ne22F千t 不小于1. 测当M-V<2d任意变化到陵，+5=0时，对任意的xGD x+5+ M-V<1. 2 故原命题等价于M-N≥2 ①当1≤0时，h-+在xL,上单调递指， 即M-N=h(3)-h1)=2-21≥2，所以t≤0， 3 ②当1>0时，h()=x+{在(0，V门上单调递减，在，+四)上单调递增， 所以当0<1≤1时，A(到在L到上单调蓬省，M-N=A3)-A)=2-子≥21e@: ®当1<t<9时，h(x)在[1V门上单调递减，在(NG,3]上单调递增， 0)=1+,(3)=3+5同=2， 若1<1<3，则h0)<h3,所以M-N=M(3)-h)=3+号-2F≥21eo, 若3≤t<9,则h1)>h3),所以M-N=h1)-h(NF)=1+t-2F≥2， 所以3+22≤t<9, 当1≥9时，h(y)在[，3]上单调递减，此时M-N=M1)-h3)=1-2≥2，得1≥9 综上得1∈-o,0U[3+2W2,+∞】 第五页共五页长沙市同升湖高级中学 2026年上学期高一期末考试数学试卷 时量：120分钟满分：150分命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A={-1,0,1,B={x-1<x<2,则AnB=() A.{-1,0} B.{-1,1} C.0,1} D.{-1,0,1] 2.命题“x≥0，sinx≤x”的否定为() A.3x<0,sinx≤x B.3x≥0，sinx>x C.x≥0，sinx>x D.3x≥0，sinx≤x 3.若向量ā=(x,2)与b=(1,-1)垂直，则a+=() A.0 B.V10 c.√ D. 2 4.有下列一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则这组数据的第75百分位数 是() A.11 B.13 C.22 D.33 5.设复数z-3 1+ ,则复数五的虚部为() A.-2i B.2 C.2i D.-2 6.已知x>-3,则4+x的最小值是0 A.-1 B.1 C.4 D.7 7.把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1,2,3,4,5（单位：小时）作为 一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m n(单位：小时)，与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说 法正确的是() A.若+n=6,则方差不变 B.若极差不变，则m+n=6 C.若m+=6,则中位数变大 D.若平均数不变，则m+n=6 第一页共四页 8.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，已知AA=7,点O在棱AA上，且AO=4,P为正 方体表面上的动点，若PO=5,则点P的轨迹长度为() A.15n B.4+3V2元） 17π c. D.(4+33)元 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.关于平面向量，下列说法正确的( ) A.若同>，则a>万 B.若a=b,则a/f C.若a/b,b11,则al1c D.若a=b,b=c,则a=c 10.先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是() A.样本空间中一共含有4个样本点 B.事件“两次正面向上”发生的概率是 C.事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D.事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 11.如图，函数f()=Asin(ax+p)(A>0,o>0,0<p<π)的图象交x轴于 点和贴交于点6已知G0,c09 点B的横坐标为-2 BD=(⑧c+B丽).则( f=2+ B.△BCB的面积为V3m 6 (13元11元 C若f)=2在x272 有n个解依次为X1,x2,x, 2 则x1十2x2十..+2xn-1+xn= 3 D。把函数y=f)的图象向右平移5个单位，然后级坐标不变，横坐标扩大为原来的 两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数 5兀 y=8(0的图象.若对任意的0≤m≤3，方程3(m在区间0, 上至多有一个解， 则正数k的取值范围为 第二页共四页 三、填空题（共3个小题，每题5分，共15分) 14.已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为 13.已知同=1，=2，a与万的夹角为买，则万在ā上的投影向量为 9,0<0若方程/=加有三个实数根，，。，则m的范围 14.设函数f(x)= 11 是 ,又x<x2<x,则一++x的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日 平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清. 频率 组距 a 0.10 0.05 0 24681012早餐日平均费用（元） (1)试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数： (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？ 16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8. (1)求∠B; (2)求△ABC的面积. 17.(15分)已知函数f()=4 sin xcos(x-) (1)求f(x)的最小正周期： (2)求函数f()在[-五]的值域 第三页共四页 18.(17分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，A4=AC=3 (1)设平面ABC1与平面ABC的交线为1，判断1与AC的位置关系，并证明： (2)求证：4C⊥BC1: (3)若AC与平面BCC1B,所成的角为30°，求三棱锥A-ABC内切球的表面积S 19.(17分)必修一教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数y=f(x)的图象 关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=∫(x)为奇函数，有同学发现可以将其 推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数 y=f(x+a)-b为奇函数. (1)已知函数f(x)的定义域为R,且图象关于点(1,1)中心对称，求f(0)+f(1)+f(2) 的值 (2)已知函数g(x)=x+x+x的图象关于点(1,1)中心对称. (i)求实数m,n的值，并判断函数g(x)的单调性（不用证明）： (ii)若对任意的实数5，都存在实数x∈[1,3]，使得不等式g（x+x+）+g(2-x)≥2 成立，求实数t的取值范围 第四页共四页