27.3 确定二次函数的表达式（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数表达式的确定，系统梳理一般式（已知三点列三元一次方程组求系数）和顶点式（已知顶点、对称轴或最值代入求系数），并延伸至结合平移、对称、表格数据、图像信息等条件的求解方法，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以分层设计与素养导向为特色，通过“随学随练”即时巩固，“题型分类”结合“解题贴士”引导学生用数学思维分析问题，如利用图像对称性求点培养几何直观（数学眼光），待定系数法推理培养运算能力（数学思维）。实际问题如利润计算、喷泉设计（迁移创新）培养模型意识（数学语言），课中辅助教师授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺。

第二十七章 二次函数 27.3 确定二次函数的表达式 课标要点 1. 掌握二次函数一般式、顶点式二种表达式形式，理解各参数几何意义。 2. 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式。 3. 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 学习重难点 重点： 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式。 难点： 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 知识点 一般式 适用条件：已知任意三点求表达式。 解题方法：列三元一次方程组求系数a、b、c。 特别提醒 解题步骤： 1. 设一般式，根据条件列出三元一次方程组; 2. 解三元一次方程组求出系数a、b、c； 3. 写出二次函数表达式。 随学随练 1．已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 知识点 顶点式 适用条件：已知顶点（或对称轴、最值）求表达式。 解题方法：先将顶点坐标代入公式，再列方程（组）求其他系数。 特别提醒 解题步骤： 1. 设顶点式，代入坐标根据条件列出方程（组）; 2. 解方程（组）求出其他系数； 3. 写出二次函数表达式。 随学随练 1. 抛物线的顶点坐标为，且图象经过原点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与轴交点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的关系式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． 题型 已知三点求表达式 ▌例1 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． ▌对点练1.已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线． ▌对点练2. 如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 题型 已知顶点求表达式 解题贴士 1. 二次函数y=ax²+bx+c化为顶点式 y=a(x+m)²+h可以用配方法； 2. 在实际问题中要注意自变量的取值范围； 3. 在函数与几何的综合应用中要注意数形结合。 ▌例1 如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； 【详解】（1）解：由题意设，则把点代入得： ，解得：， ∴； （2）解：令时，则有， ∴， ∴由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为； （3）解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为． ▌对点练1. 已知抛物线顶点，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的开口方向和y的最值； 【详解】（1）解：抛物线顶点， 可设此抛物线的解析式为， 过点， ， 解得：， ； 故此抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， ， 抛物线的开口向上，． ▌对点练2. 已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 【详解】（1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 题型 根据隐藏条件求二次函数表达式 解题贴士 当已知二次函数图像的对称轴外加一个已知点时，可以利用图像的轴对称性求出另一个已知点再求函数表达式。 当已知对称轴或最值时，可用顶点式解决问题，也可设一般式根据对称轴公式或最值公式列方程。 ▌例1 已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：设满足题意的抛物线解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴满足题意的抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． ▌例2 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． ▌对点练1. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． ▌对点练2. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 题型 二次函数图像平移、翻折等图形变换后的表达式 解题贴士 1. 抛物线y=ax²+bx+c沿x轴翻折后的表达式为y=-ax²-bx-c； 2. 抛物线y=ax²+bx+c沿y轴翻折后的表达式为y=ax²-bx+c； ▌例1 已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标： (2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【详解】（1）解：， 此抛物线的顶点坐标为； （2）解：设平移后的抛物线表达式为(为常数)， 平移后的抛物线经过点， ，解得， 平移后的抛物线表达式为． ▌例2已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 【详解】解：（1）y和y1关于x轴对称，则开口方向相反，顶点关于x轴对称， 即表达式为：； （2）y和y2关于y轴对称，则开口不变，顶点关于y轴对称， 即表达式为：； （3）y和y3关于坐标原点对称，则开口方向相反，顶点坐标关于原点对称， 即表达式为：； （4）y4由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则开口相反，顶点关于P（1，0）对称， 即表达式为：. ▌对点练1. 已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 【详解】（1）解：抛物线：， 平移后的新抛物线：， 把原抛物线向左平移4个单位，向上平移6个单位可得到新抛物线； （2）将抛物线图象沿轴翻折，得到新的抛物线的开口方向与原来相反，顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于x轴对称， 新的抛物线的函数表达式为：． ▌对点练2. 已知二次函数的顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A、B两点的坐标； (2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式． 【详解】（1）二次函数的顶点为， 二次函数的解析式为：， 当，则， 解得， A、B两点的坐标为：； （2）由题可知，新的抛物线顶点坐标为，， 新的抛物线的解析式为：． 题型 综合应用 解题贴士 1）已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，可以重新设表达式为； 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 如图，已知二次函数图象的顶点为，与轴的交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)求与此二次函数图象关于轴对称的图象的二次函数解析式； (3)已知点A的坐标为，若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过A点，求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴的交点为， ∴， ∵顶点为， ∴，即， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵关于轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为： ； （3）解：， 若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过点A， 则此时函数解析式为， 将代入中， 解得：． ▌例2 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)第7月的利润最大，最大利润是49万元 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式求最值，解题的关键是熟练掌握待定系数法和顶点式． （1）利用待定系数法进行求解析式即可； （2）将函数解析式化成顶点式，然后进行求最值即可． 【详解】（1）解：因图像过原点，则设函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：， 当时，利润最大，最大利润为（万元）． ▌对点练1. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式，并求出点B的坐标． (2)连接，现将抛物线图象向下平移m个单位，使得顶点落在线段上，请求出m的值． 【答案】(1)；B点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，找到对称轴，根据对称求解即可． （2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，则用待定系数法可得直线的解析式为，根据平移的性质解得即可． 【详解】（1）解：（1）将和代入中， 得， 解得， ∴函数解析式为； 对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知：B点的坐标为； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）可知：， 设直线的解析式为：， 代入B、C的坐标得：， 解得： ∴直线的解析式为， 由题意可知：平移后的顶点为：， 将平移后的顶点代入直线的解析式得：， 解得：． ▌对点练2. 综合与应用： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线．以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶，截面宽米，竖直高为米，请根据上述信息解决下列问题：      (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶，求台阶应放在离点多远处？（求的取值范围） (3)如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，机器人从滑梯上起跳，米，米，此时米，起跳点的横坐标记为，跳跃后刚好落在台阶顶面的中点处，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出顶点坐标，且抛物线经过原点，使用待定系数法求解析式即可； （2）先求出第二次起跳点的坐标，对比两次起跳点的坐标，通过平移求出第二起跳的解析式，再令，求出对应的的值，从而得到的取值范围； （3）先求出的解析式，从而得到起跳点的坐标，对比（2）的解法求出起跳的抛物线解析式，根据题意得出的中点的坐标，代入求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，图1中抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得或， ∴第一次落地点的坐标为，即第二次起跳点的坐标为， 根据题意，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线， ∴第二次跳跃的抛物线等同于第一次跳跃的抛物线向右平移4个单位得到， ∴第二次跳跃的抛物线为， 将代入，得， ， 解得或， 机器人想要越过长方体台阶，则点和点必须在抛物线的内部， ∴，且， ∴． 答：台阶应放在离点O距离米处，即． （3）解：设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴起跳点的坐标为， 对比（1）中的起跳点可知，此次起跳的抛物线可由向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴本次起跳的抛物线解析式为， ∵米，米，米， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴中点的坐标为， 将点代入，得， ， 整理，得， 解得或， ∵起跳点在滑梯上， ∴， ∴． 基础通关 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象经过点，故把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入，得， 解得， 故选：C． 2．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，则的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求二次函数一般式的系数，将已知点的坐标直接代入函数式求解是解题的关键． 根据点在二次函数图象上，代入即可求出的值． 【详解】∵ 二次函数的图象经过点， ∴ 当时，． 代入函数得：， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·福建·期末）抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．利用抛物线经过原点和点(2,0)的条件，求出，，再代入对称轴公式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和原点． ∴把和代入， 得 解得，， 则该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（   ） … 0 1 2 3 … … 0 … A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据代入点求解析式，再逐一判断选项即可． 【详解】解：由表格知：点在函数上，代入得： ， 解得：， ∴， 判断选项： A.∵，∴开口向上，正确； B.对称轴为直线，正确； C.∵，，∴，∴原结论不正确； D. ，， ∵，∴，正确； 故选C． 5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． ①该二次函数的最小值为；                ②当时，随的增大而减小； ③该抛物线的顶点坐标为；        ④两点之间的距离是4 以上说法中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，抛物线与轴皎点问题，理解二次的图象和性质是解答关键． 先求出二次函数解析式，再变形为顶点式，求出二次函数的最小值来判断①，根据抛物线开口方向和对称轴来判定②，根据顶点坐标来判断③，令时，求出的坐标，进而求出两点之间的距离即可求解④． 【详解】解：将和代入抛物线解析式得 ， 解得， 抛物线解析式为， 二次函数的最小值是，故①正确， ， 抛物线开口向上． 抛物线的对称轴为， 当，随的增大而减小，故②正确； 顶点坐标是，故③错误． 令时，， 解得，， ， 两点之间的距离是，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 6．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， 把代入中得：， ； 设， 把代入中得： ， 解得：， ； 设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元， 由题意得： ， ， 当时，， ， 当时，， 能获取的最大总利润是万元， 故选：D． 7．（2025·陕西西安·一模）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 把点代入得到二元一次方程组，解方程组得、，即可得结论． 【详解】解：把点代入得，， 解得， ∴二次函数表达式为． 8．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的，的部分对应值如下表所示： 求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，能够通过表格找到对称点是解题的关键． 根据表格观察出来和为对称点，再通过表格确认顶点坐标，用顶点坐标求二次函数的表达式即可． 【详解】解：∵由表可知和为对称点， ∴对称轴为直线， ∵由表可知，，对应的是， ∴该函数的顶点为，且， ∴这个二次函数的表达式为． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数图象的平移，掌握待定系数法，二次函数图象平移规律是关键． （1）根据题意，得到对称轴直线为，再把点代入计算即可求解； （2）根据（1）得到抛物线解析式，结合平移规律即可求解． 【详解】（1）解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得，； （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 10．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能抛到观众区，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，求出抛物线与轴正半轴的交点横坐标，再与10比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不能抛到观众区，理由如下： 令，则， 解得，， ∵， ∴， ∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， ∴不能抛到观众区． 素养提升 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（   ） ．．． 1 2 3 ．．． ．．． 0 0 ．．． A．函数图像开口向下； B．对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 先求出函数解析式，再逐一判断即可． 【详解】解：由表格数据知：当时，；当时，；当时，， 代入得：， 解得：， ∴， A． ∵，∴开口向上，A错误； B．对称轴为直线，B错误； C．，C正确； D．，，∵，∴，D错误； 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边在轴上，顶点、在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．先根据一次函数的表达式，得出点的坐标，再结合四边形是正方形，得出点坐标，进一步得出点坐标，最后利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：将代入得， ， 所以点的坐标为． 又因为，两点在二次函数图象上， 则，两点关于轴对称． 因为四边形为正方形， 所以，两点关于轴对称， 所以点坐标为， 则， 所以点坐标为． 令二次函数的表达式为， 则， 解得， 所以二次函数的解析式为． 故选：B． 4．（24-25九年级下·上海虹口·阶段检测）已知二次函数（为常数）命题①：该函数的图像经过点；命题②：该函数的图像经过点；命题③：该函数的图像与轴的交点位于轴的下方；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（    ） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 【答案】A 【分析】本题考查了判断命题真假、二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式、抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先假设命题①和④都是真命题，得出，分析可得此时命题②和③都是假命题，不符合题意，所以命题①和④中有一个是假命题，则命题②和③都是真命题，再分命题①是真命题、命题④是真命题两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】解：假设命题①和④都是真命题， 则二次函数的图像经过点，且对称轴为直线， 二次函数的顶点为， 二次函数的解析式为， 当时，；当时，； 该函数的图像不经过点；且该函数的图像与轴的交点位于轴的上方， 命题②和③都是假命题，不符合题意， 命题①和④中有一个是假命题， 又四个命题中只有一个命题是假命题， 命题②和③都是真命题； 设命题①是真命题， 则该函数的图像经过点和， 代入到，得， 解得：， 二次函数的解析式为， 当时，， 该函数的图像与轴的交点位于轴的上方，即命题③为假命题，不符合题意； 设命题④是真命题， 则该函数的图像经过点，且对称轴为直线， 则有， 解得：， 二次函数的解析式为， 当时，；当时，， 该函数的图像不经过点；该函数的图像与轴的交点位于轴的下方 命题①是假命题，命题③是真命题，符合题意； 综上所述，这个假命题是命题①． 故选：A． 5．（24-25九年级上·上海·期中）已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．先利用顶点式求出二次函数解析式，然后求出图象与x轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值时，自变量x的取值范围即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得，， ∴抛物线与x轴交于，， ∵， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 _________． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 7．（24-25九年级下·上海·阶段检测）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义，根据两个函数顶点坐标的关系确定函数的“关联函数”的解析式即可． 【详解】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∴函数的“关联函数”的二次项系数为2， ∵， ∴它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， ∴函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段检测）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．先解方程得到，，则，所以，由于函数的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线，而C、D关于直线对称，所以，，然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ∴，， ∴平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·期末）已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 【答案】(1)；顶点 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图形平移，熟练掌握函数性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可得，由此可求得直线的解析式为，由，可设直线解析式为，进而求得其解析式为，由，代入直线的表达式求得，即可求得的值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点； （2）解：令，则，即， ∵直线经过点， 设其解析式为， 则，解得， ∴直线， ∵，且直线经过点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线， ∵点是点向上平移个单位所得， ∴，代入直线的表达式，得， ∴． 10．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴向上平移，平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可． （2）画出图形作出辅助线利用中位线的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵抛物线的顶点C的坐标为， 故设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于A点，点A坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴EH为△BDF的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴ 迁移创新 1．（2026·广东河源·二模）综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上．    问题解决 (1)求点C 的坐标． (2)求抛物线的解析式． (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 【答案】(1)点C的坐标为 (2) (3)1.8米 【分析】（1）先由轴，确定C 的纵坐标为5，再代入可求出点C的横坐标，即可得出点C的坐标； （2）根据抛物线的形状与相同，可设抛物线的解析式为 ，再代入，求解即可； （3）对于，令，得，解得或 (舍去)，进而可求出． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴点 C 的纵坐标为5； 由题意知抛物线 经过点C， ∴令 解得或 (舍去)， ∴点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的形状与相同， ∴可设抛物线的解析式为 ， 由题意知，抛物线经过点 C，E， ∴将，分别代入 ，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：令， 解得或 (舍去).     ∵，，且喷头 E 喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置， ∴（米）． 3．（2026·贵州铜仁·模拟预测）为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． (1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； (2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴和先根据抛物线对称轴公式求出，再把点代入抛物线解析式求出即可； （2）先确定点B和点C的坐标，得出是等腰直角三角形，，当，存在两种情况：点在点的上方， ，点在点的下方， ，据此求出即可， 【详解】（1）解：∵抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线， ∴，解得． 又∵抛物线经过点， ∴，解得． 故这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式为． （2）解：当时，即，解得或．故点B的坐标为． 当时，，故点C的坐标为． 设坐标为． 在中， ，，， ∴是等腰直角三角形，． 当，存在两种情况： ①点在点的上方，如图： 此时． 在中，OP=，解得． 此时点坐标为． 线段． ②点在点的下方， 如图： 此时． 在中，OB=OP，解得． 此时点坐标为， 线段． 综上所述，线段的长度为或． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数 27.3 确定二次函数的表达式 课标要点 1. 掌握二次函数一般式、顶点式二种表达式形式，理解各参数几何意义。 2. 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式。 3. 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 学习重难点 重点： 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式。 难点： 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 知识点 一般式 适用条件：已知任意三点求表达式。 解题方法：列三元一次方程组求系数a、b、c。 特别提醒 解题步骤： 1. 设一般式，根据条件列出三元一次方程组; 2. 解三元一次方程组求出系数a、b、c； 3. 写出二次函数表达式。 随学随练 1．已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 知识点 顶点式 适用条件：已知顶点（或对称轴、最值）求表达式。 解题方法：先将顶点坐标代入公式，再列方程（组）求其他系数。 特别提醒 解题步骤： 1. 设顶点式，代入坐标根据条件列出方程（组）; 2. 解方程（组）求出其他系数； 3. 写出二次函数表达式。 随学随练 1. 抛物线的顶点坐标为，且图象经过原点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与轴交点坐标． 题型 已知三点求表达式 ▌例1 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． ▌对点练1.已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． ▌对点练2. 如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 题型 已知顶点求表达式 解题贴士 1. 二次函数y=ax²+bx+c化为顶点式 y=a(x+m)²+h可以用配方法； 2. 在实际问题中要注意自变量的取值范围； 3. 在函数与几何的综合应用中要注意数形结合。 ▌例1 如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； ▌对点练1. 已知抛物线顶点，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的开口方向和y的最值； ▌对点练2. 已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 题型 根据隐藏条件求二次函数表达式 解题贴士 当已知二次函数图像的对称轴外加一个已知点时，可以利用图像的轴对称性求出另一个已知点再求函数表达式。 当已知对称轴或最值时，可用顶点式解决问题，也可设一般式根据对称轴公式或最值公式列方程。 ▌例1 已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． ▌例2 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． ▌对点练1. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． ▌对点练2. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 题型 二次函数图像平移、翻折等图形变换后的表达式 解题贴士 1. 抛物线y=ax²+bx+c沿x轴翻折后的表达式为y=-ax²-bx-c； 2. 抛物线y=ax²+bx+c沿y轴翻折后的表达式为y=ax²-bx+c； ▌例1 已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标： (2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． ▌例2已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． ▌对点练1. 已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． ▌对点练2. 已知二次函数的顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A、B两点的坐标； (2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式． 题型 综合应用 解题贴士 1）已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，可以重新设表达式为； 2）在实际问题中利用二次函数模型解决问题时，一定要注意自变量的取值范围。 ▌例1 如图，已知二次函数图象的顶点为，与轴的交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)求与此二次函数图象关于轴对称的图象的二次函数解析式； (3)已知点A的坐标为，若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过A点，求的值． ▌例2 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ ▌对点练1. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式，并求出点B的坐标． (2)连接，现将抛物线图象向下平移m个单位，使得顶点落在线段上，请求出m的值． ▌对点练2. 综合与应用： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线．以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶，截面宽米，竖直高为米，请根据上述信息解决下列问题：      (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶，求台阶应放在离点多远处？（求的取值范围） (3)如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，机器人从滑梯上起跳，米，米，此时米，起跳点的横坐标记为，跳跃后刚好落在台阶顶面的中点处，求的值． 基础通关 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，则的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 3．（25-26九年级上·福建·期末）抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（   ） … 0 1 2 3 … … 0 … A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C． D． 5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． ①该二次函数的最小值为；                ②当时，随的增大而减小； ③该抛物线的顶点坐标为；        ④两点之间的距离是4 以上说法中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 6．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西西安·一模）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 8．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的，的部分对应值如下表所示： 求这个二次函数的表达式． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 10．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 素养提升 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（   ） ．．． 1 2 3 ．．． ．．． 0 0 ．．． A．函数图像开口向下； B．对称轴是直线 C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边在轴上，顶点、在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海虹口·阶段检测）已知二次函数（为常数）命题①：该函数的图像经过点；命题②：该函数的图像经过点；命题③：该函数的图像与轴的交点位于轴的下方；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（    ） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 5．（24-25九年级上·上海·期中）已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是______． 6．（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 _________． 7．（24-25九年级下·上海·阶段检测）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 8．（24-25九年级上·上海·阶段检测）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 9．（25-26八年级上·上海·期末）已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 10．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴向上平移，平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 迁移创新 1．（2026·广东河源·二模）综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上．    问题解决 (1)求点C 的坐标． (2)求抛物线的解析式． (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 3．（2026·贵州铜仁·模拟预测）为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． (1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； (2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $