【暑假预习】专题27.1二次函数概念及特殊式 提优讲义2026-2027学年新沪教版数学九年级上册

【暑假预习】专题27.1二次函数概念及特殊式 提优讲义 2026-2027年新沪教版数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数的概念，能准确判断一个函数是否为二次函数（整式、最高次2、系数不为0）。 · 掌握 二次函数的一般形式 及顶点式 中各项系数的几何意义。 · 熟练运用 二次函数 、、、 的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性）。 · 掌握 二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减），能根据平移前后解析式求参数或新表达式。 · 学会 用待定系数法确定二次函数解析式，并能比较函数值的大小。 ✨ 核心：二次函数定义 → 图象特征（开口、对称轴、顶点）→ 图象变换 → 应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 二次函数的概念 · 定义：一般地，形如 （ 是常数，）的函数叫做二次函数。 · 判断要点：① 等式右边是整式；② 自变量最高次数为2；③ 二次项系数 。 · 常见形式： · 一般式： · 顶点式：，顶点 · 交点式： ☆ 二次函数 y=ax² 的图象与性质 📐 几何特征：图象是一条抛物线，顶点在原点 (0,0)，对称轴为 y 轴（直线 x=0）。 · 开口方向： 时开口向上， 时开口向下。 · 开口大小： 越大，开口越小； 越小，开口越大。 · 增减性： · 当 时，在对称轴左侧（） 随 增大而减小；右侧（） 随 增大而增大。 · 当 时，左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小。 · 最值：顶点处取最值。开口向上时最小值0，开口向下时最大值0。 ☆ 二次函数 y=ax²+k 的图象与性质 📐 几何特征：由 上下平移 个单位得到。顶点 ，对称轴仍为 轴。 · 开口方向、大小：同 ，由 决定。 · 最值：顶点纵坐标 即为最值（开口向上取最小，开口向下取最大）。 · 增减性：与 相同，以 为分界。 ☆ 二次函数 y=a(x-h)² 的图象与性质 📐 几何特征：由 左右平移 个单位得到。顶点 ，对称轴为直线 。 · 开口方向、大小：仍由 决定。 · 增减性：以直线 为界， 时左减右增； 时左增右减。 · 最值：顶点纵坐标为0。 ☆ 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象与性质 📐 几何特征：由 经过两次平移得到。顶点 ，对称轴为直线 。 · 开口方向： 向上， 向下。 · 顶点坐标：，是抛物线的最低点或最高点。 · 最值：当 时，最小值为 ；当 时，最大值为 。 · 增减性：以 为界， 时左减右增， 时左增右减。 ☆ 二次函数图象的平移 · 平移口诀：左加右减（对自变量 而言），上加下减（对整个解析式而言）。 · 示例： 向右平移 个单位、向上平移 个单位，得 。 ☑ 二次函数四种形式性质对比表 ✏️ 图像性质小结 • ：顶点在原点，a>0开口向上，a<0开口向下，对称轴y轴。 • ：由上下平移|k|个单位，顶点(0,k)。 • ：左右平移|h|个单位，顶点(h,0)，对称轴x=h。 • ：由经过两次平移得到，顶点(h,k)，对称轴x=h，是最为通用的顶点式。 函数形式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性（以 为例） 由 符号决定 最小0 减， 增 同上 最小 同上 同上 最小0 减， 增 同上 最小 同上 核心考点 ·6大考点精讲 ☆ 考点一：二次函数的概念 题1-5 ※ 方法总结 · 识别二次函数：解析式必须为整式，自变量最高次数为2，且二次项系数 。 · 根据实际几何图形列函数关系式（如矩形增加长宽后的周长、面积），判断函数类型。 · 已知二次函数定义求参数：需同时满足 和指数条件。 1．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、列二次函数关系式 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 2．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 3．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 4．（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件． 【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即， 解方程得， 所以或 ， 又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去， 因此．当时，函数为，满足二次函数定义． 故答案为：2． ☆ 考点二：y=ax² 的图象和性质 题6-16 ※ 方法总结 · 开口方向由 的符号决定，开口大小由 决定。 · 点在抛物线上 ⇒ 坐标代入解析式成立。 · 比较函数值大小：开口向上时，离对称轴越远值越大；开口向下时，离对称轴越远值越小。 · 对称轴为 轴，顶点 。 6．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、y=ax²的图象和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 8．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 9．（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 10．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 11．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）． 【答案】 < 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】解：二次函数中，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ， ． 12．（25-26九年级上·河南郑州·期末）抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与相比开口小， ∴， ∴可取， 故答案为：4（答案不唯一）． 13．（2026·上海松江·一模）已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 【答案】向上 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征． 抛物线经过第二象限，说明存在点满足，，代入抛物线得，故开口向上． 【详解】解：∵抛物线经过第二象限， ∴存在点在第二象限，即，， 代入抛物线，得， ∵， ∴， ∴抛物线的开口方向向上． 故答案为：向上． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 15．（25-26九年级下·全国·课后作业）不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】 抛物线开口向下，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；抛物线开口向上，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为． 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】解：抛物线中， ， 抛物线开口向下，对称轴是直线（轴），顶点坐标为； 抛物线中， ， 抛物线开口向上，对称轴是直线（轴），顶点坐标为． 16．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． ☆ 考点三：y=ax²+k 的图象和性质 题17-25 ※ 方法总结 · 抛物线由 上下平移 个单位得到，顶点 。 · 开口方向、大小仍由 决定，增减性与 完全相同。 · 最值：顶点纵坐标 。 · 若抛物线不经过某些象限，可结合开口方向和截距判断 、 的符号。 17．（24-25九年级上·广西南宁·期中）与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数解析式中的二次项系数的符号控制二次函数的开口方向，二次项系数的绝对值控制二次函数图象的形状和大小，则与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为，据此可得答案． 【详解】解：与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为， ∴四个选项中只有D选项符合题意； 故选：D． 18．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 19．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 20．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 21．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】把抛物线化成顶点式，进而即可得到答案； 本题考查了抛物线的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键 【详解】解：根据题意，得， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为,即y 轴 故选：C 22．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的系数确定图象开口方向，顶点坐标与对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 23．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】将点代入，求出，比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∵， ∴. 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的最小值是_________． 【答案】-12 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标． 根据二次函数开口向上，最小值在顶点处取得． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∵抛物线的对称轴为直线，将代入函数解析式，得， ∴二次函数的最小值为． 故答案为：． 25．（2026·四川德阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解． （1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标； （2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. ☆ 考点四：y=a(x-h)² 的图象和性质 题26-35 ※ 方法总结 · 抛物线由 左右平移 个单位得到，顶点 ，对称轴直线 。 · 比较函数值：开口向上时，点离对称轴越近值越小；开口向下时，点离对称轴越近值越大。 · 顶点在 轴上。 · 可根据对称轴位置判断 的正负。 26．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 27．（2025九年级上·上海·专题练习）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 28．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 29．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 30．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 【答案】 向下 直线 增大 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过比较标准形式可直接得出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性．抛物线的顶点式为需注意的符号对开口方向和增减性的影响．根据二次函数的性质，由解析式可直接判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解： ， ， 开口方向向下； 对称轴是直线， 顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大． 故答案为：①向下；②直线；③；④增大． 31．（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 32．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 【答案】② 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过分析每个二次函数的顶点、对称轴、开口方向及与x轴交点情况，判断各结论是否正确． 【详解】对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交； 对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误； 结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确； 结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误； 结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误； 故答案为：②． 33．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为__________． 【答案】3 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．，时，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可知对称轴为，进而可得的值． 【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为直线， 故， 故答案是：3． 34．（25-26九年级上·全国·期末）课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 【答案】向上；向下； 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，掌握二次函数性质是解题关键． 【详解】解：根据二次函数图像性质，可知当时开口向上；当时开口向下； 对称轴为直线． 故答案为：向上；向下；． 35．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． ☆ 考点五：y=a(x-h)²+k 的图象和性质 题36-46 ※ 方法总结 · 顶点式直接给出顶点 和对称轴 。 · 开口方向、最值、增减性由 符号和对称轴决定。 · 当自变量取值范围在对称轴一侧时，函数单调；含对称轴时，最值在顶点或端点处取得。 · 图象平移：先左右（ 的变化），后上下（ 的变化）。 36．（2026·辽宁鞍山·二模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，直接根据解析式即可求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 37．（2026·广西钦州·二模）二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式的对称轴为直线，即可直接得出结果． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线． 38．（2026·山西运城·一模）将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 39．（2026·吉林长春·模拟预测），、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小. 【详解】解：抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且， ∴. 40．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】分和两种情况讨论，根据抛物线的性质分别求出y的最大值与最小值，进而列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：若， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵，，， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 若， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最大值为， ∵，，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 综上，a的值为或． 41．（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 42．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则m的取值范围是________． 【答案】或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，即可得当时，，即得到或，求出m的取值范围，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∵，都不存在的情形， ∴或， 解得或， ， 解得， ∴m的取值范围是或． 43．（2026·江苏徐州·一模）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线解析式为， 整理得， 所以平移后抛物线的顶点坐标为． 44．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 45．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【知识点】用描点法画函数图象、y=ax²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 46．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)，， (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的图像性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． ☆ 考点六：二次函数图象的平移 题47-52 ※ 方法总结 · 平移规则：左加右减（对 的变换），上加下减（对整体式子）。 · 应用：已知平移前后解析式，反向求平移量；或已知平移量求新解析式。 · 注意：平移不改变二次项系数 和开口大小。 47．（2026·湖南长沙·一模）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】利用二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为． 48．（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，求出各选项平移后的解析式，代入点验证即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项B：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项C：平移后解析式为，当时，，符合题意； 对于选项D：平移后解析式为，当时，，不符合题意． 49．（2026·河南开封·二模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，根据平移规律可得： 再将所得图象向下平移3个单位长度，可得： ，即 50．（2026·上海静安·二模）如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】由题意可得抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的，结合平移的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的， ∵抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和，即和． 51．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²的图象和性质 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 52．（25-26九年级上·浙江金华·期末）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1：根据二次函数定义求参数（指数为2且二次项系数不为0）。 · 练习2：二次函数 在对称轴右侧下降 ⇒ 开口向下 ⇒ 。 · 练习3：求抛物线 上两点函数值的大小（直接代入比较）。 · 练习4：抛物线左右平移的顶点坐标变化（左加右减）。 · 练习5：抛物线 有最低点 ⇒ 开口向上 ⇒ 。 · 练习6：比较 上三点纵坐标大小，利用开口向上时离对称轴越远值越大。 【练习1】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 【练习2】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【练习3】（21-22九年级下·内蒙古锡林郭勒·单元测试）已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】求出，的值，比较即可得出结果． 【详解】解：∵，是抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴． 【练习4】（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标是． 【练习5】（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】抛物线有最低点说明抛物线开口向上，则二次项系数大于0，由此可以确定的取值范围． 【详解】解：抛物线有最低点， ， 解得． 【练习6】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1-3：二次函数定义求参数（指数、系数双重限制）。 · 作业4-5：比较 的开口大小（ 越小开口越大）。 · 作业6-7：二次函数图象平移（上下平移、左右平移后的解析式）。 · 作业8-10：利用二次函数性质比较函数值大小（开口方向与离对称轴距离）。 · 作业11-12：平移求新表达式或顶点坐标。 · 作业13-14：由顶点式直接写出对称轴、顶点、最值、增减性。 · 作业15-16：描点法画二次函数图象，并写出性质。 · 作业17-18：平移后判断点是否在图象上；比较函数值大小。 ❤ 复习建议 二次函数是后续学习的基础，务必熟练掌握定义、四种基本形式的图象特征（开口、对称轴、顶点、最值、增减性）以及平移规律。建议结合图象理解性质，多做比较函数值大小的题目，为后续学习二次函数综合应用打下坚实基础。 【作业1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 【作业2】（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 【作业3】（21-22九年级上·江苏连云港·期末）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 【作业4】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 【作业5】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【作业6】（2026·吉林长春·三模）若将抛物线向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据平移规律上加下减，进行平移即可． 【详解】解：向下平移3个单位长度可得：． 【作业7】（2026·广西百色·三模）二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 【作业8】（2026·河南周口·二模）已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题根据二次函数顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上的二次函数性质，得点到对称轴的距离越大，函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为：直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离相等则函数值相等，距离越大，函数值越大 ， ∴． 【作业9】（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【作业10】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．确定抛物线的对称轴为y轴，由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，于是可判断与的大小． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【作业11】（2026·浙江·二模）将抛物线向下平移个单位长度，所得新抛物线的表达式为____． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，新抛物线的表达式为． 【作业12】（2026·山西晋城·一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】解：将原抛物线解析式化为顶点式为， 根据平移规律，可得新抛物线的解析式为． 【作业13】（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 【答案】 / 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较两个函数值的大小即可． 【详解】∵抛物线解析式为， 又∵， ∴抛物线开口向上，由顶点式可知对称轴为直线， 根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵点，的横坐标都满足，，即两点都在对称轴右侧，且， ∴． 【作业14】（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】 解：对于二次函数， 当时，抛物线开口向上； 当时，抛物线开口向下； 该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 填表如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 开口向上 直线 开口向下 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】略 【作业15】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)解：图象如下图所示： (2)解：函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【知识点】用描点法画函数图象、y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）由函数解析式列表描点作图即可． （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： （2）略 【作业16】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 【作业17】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，将函数图象沿轴向上平移1个单位． (1)求平移后的函数表达式． (2)判断是否在平移后的函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数图象上，理由见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用函数图象的平移规则“上加下减”求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：将二次函数图象沿轴向上平移1个单位，得到平移后的函数表达式为，即； （2）解：点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 【作业18】（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【暑假预习】专题27.1二次函数概念及特殊式 提优讲义 2026-2027年新沪教版数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数的概念，能准确判断一个函数是否为二次函数（整式、最高次2、系数不为0）。 · 掌握 二次函数的一般形式 及顶点式 中各项系数的几何意义。 · 熟练运用 二次函数 、、、 的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性）。 · 掌握 二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减），能根据平移前后解析式求参数或新表达式。 · 学会 用待定系数法确定二次函数解析式，并能比较函数值的大小。 ✨ 核心：二次函数定义 → 图象特征（开口、对称轴、顶点）→ 图象变换 → 应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 二次函数的概念 · 定义：一般地，形如 （ 是常数，）的函数叫做二次函数。 · 判断要点：① 等式右边是整式；② 自变量最高次数为2；③ 二次项系数 。 · 常见形式： · 一般式： · 顶点式：，顶点 · 交点式： ☆ 二次函数 y=ax² 的图象与性质 📐 几何特征：图象是一条抛物线，顶点在原点 (0,0)，对称轴为 y 轴（直线 x=0）。 · 开口方向： 时开口向上， 时开口向下。 · 开口大小： 越大，开口越小； 越小，开口越大。 · 增减性： · 当 时，在对称轴左侧（） 随 增大而减小；右侧（） 随 增大而增大。 · 当 时，左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小。 · 最值：顶点处取最值。开口向上时最小值0，开口向下时最大值0。 ☆ 二次函数 y=ax²+k 的图象与性质 📐 几何特征：由 上下平移 个单位得到。顶点 ，对称轴仍为 轴。 · 开口方向、大小：同 ，由 决定。 · 最值：顶点纵坐标 即为最值（开口向上取最小，开口向下取最大）。 · 增减性：与 相同，以 为分界。 ☆ 二次函数 y=a(x-h)² 的图象与性质 📐 几何特征：由 左右平移 个单位得到。顶点 ，对称轴为直线 。 · 开口方向、大小：仍由 决定。 · 增减性：以直线 为界， 时左减右增； 时左增右减。 · 最值：顶点纵坐标为0。 ☆ 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象与性质 📐 几何特征：由 经过两次平移得到。顶点 ，对称轴为直线 。 · 开口方向： 向上， 向下。 · 顶点坐标：，是抛物线的最低点或最高点。 · 最值：当 时，最小值为 ；当 时，最大值为 。 · 增减性：以 为界， 时左减右增， 时左增右减。 ☆ 二次函数图象的平移 · 平移口诀：左加右减（对自变量 而言），上加下减（对整个解析式而言）。 · 示例： 向右平移 个单位、向上平移 个单位，得 。 ☑ 二次函数四种形式性质对比表 ✏️ 图像性质小结 • ：顶点在原点，a>0开口向上，a<0开口向下，对称轴y轴。 • ：由上下平移|k|个单位，顶点(0,k)。 • ：左右平移|h|个单位，顶点(h,0)，对称轴x=h。 • ：由经过两次平移得到，顶点(h,k)，对称轴x=h，是最为通用的顶点式。 函数形式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性（以 为例） 由 符号决定 最小0 减， 增 同上 最小 同上 同上 最小0 减， 增 同上 最小 同上 核心考点 ·6大考点精讲 ☆ 考点一：二次函数的概念 题1-5 ※ 方法总结 · 识别二次函数：解析式必须为整式，自变量最高次数为2，且二次项系数 。 · 根据实际几何图形列函数关系式（如矩形增加长宽后的周长、面积），判断函数类型。 · 已知二次函数定义求参数：需同时满足 和指数条件。 1．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 2．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若是关于x的二次函数，则m的值为______． ☆ 考点二：y=ax² 的图象和性质 题6-16 ※ 方法总结 · 开口方向由 的符号决定，开口大小由 决定。 · 点在抛物线上 ⇒ 坐标代入解析式成立。 · 比较函数值大小：开口向上时，离对称轴越远值越大；开口向下时，离对称轴越远值越小。 · 对称轴为 轴，顶点 。 6．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 10．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 11．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）． 12．（25-26九年级上·河南郑州·期末）抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 13．（2026·上海松江·一模）已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 15．（25-26九年级下·全国·课后作业）不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 16．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． ☆ 考点三：y=ax²+k 的图象和性质 题17-25 ※ 方法总结 · 抛物线由 上下平移 个单位得到，顶点 。 · 开口方向、大小仍由 决定，增减性与 完全相同。 · 最值：顶点纵坐标 。 · 若抛物线不经过某些象限，可结合开口方向和截距判断 、 的符号。 17．（24-25九年级上·广西南宁·期中）与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 19．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 22．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 23．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”） 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的最小值是_________． 25．（2026·四川德阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． ☆ 考点四：y=a(x-h)² 的图象和性质 题26-35 ※ 方法总结 · 抛物线由 左右平移 个单位得到，顶点 ，对称轴直线 。 · 比较函数值：开口向上时，点离对称轴越近值越小；开口向下时，点离对称轴越近值越大。 · 顶点在 轴上。 · 可根据对称轴位置判断 的正负。 26．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 27．（2025九年级上·上海·专题练习）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 31．（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 32．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 33．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为__________． 34．（25-26九年级上·全国·期末）课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 35．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． ☆ 考点五：y=a(x-h)²+k 的图象和性质 题36-46 ※ 方法总结 · 顶点式直接给出顶点 和对称轴 。 · 开口方向、最值、增减性由 符号和对称轴决定。 · 当自变量取值范围在对称轴一侧时，函数单调；含对称轴时，最值在顶点或端点处取得。 · 图象平移：先左右（ 的变化），后上下（ 的变化）。 36．（2026·辽宁鞍山·二模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 37．（2026·广西钦州·二模）二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 38．（2026·山西运城·一模）将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 39．（2026·吉林长春·模拟预测），、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 40．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 41．（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 42．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则m的取值范围是________． 43．（2026·江苏徐州·一模）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 44．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 45．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 46．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． ☆ 考点六：二次函数图象的平移 题47-52 ※ 方法总结 · 平移规则：左加右减（对 的变换），上加下减（对整体式子）。 · 应用：已知平移前后解析式，反向求平移量；或已知平移量求新解析式。 · 注意：平移不改变二次项系数 和开口大小。 47．（2026·湖南长沙·一模）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 48．（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 49．（2026·河南开封·二模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 50．（2026·上海静安·二模）如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 51．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 52．（25-26九年级上·浙江金华·期末）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1：根据二次函数定义求参数（指数为2且二次项系数不为0）。 · 练习2：二次函数 在对称轴右侧下降 ⇒ 开口向下 ⇒ 。 · 练习3：求抛物线 上两点函数值的大小（直接代入比较）。 · 练习4：抛物线左右平移的顶点坐标变化（左加右减）。 · 练习5：抛物线 有最低点 ⇒ 开口向上 ⇒ 。 · 练习6：比较 上三点纵坐标大小，利用开口向上时离对称轴越远值越大。 【练习1】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【练习2】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【练习3】（21-22九年级下·内蒙古锡林郭勒·单元测试）已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【练习4】（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【练习5】（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 【练习6】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1-3：二次函数定义求参数（指数、系数双重限制）。 · 作业4-5：比较 的开口大小（ 越小开口越大）。 · 作业6-7：二次函数图象平移（上下平移、左右平移后的解析式）。 · 作业8-10：利用二次函数性质比较函数值大小（开口方向与离对称轴距离）。 · 作业11-12：平移求新表达式或顶点坐标。 · 作业13-14：由顶点式直接写出对称轴、顶点、最值、增减性。 · 作业15-16：描点法画二次函数图象，并写出性质。 · 作业17-18：平移后判断点是否在图象上；比较函数值大小。 ❤ 复习建议 二次函数是后续学习的基础，务必熟练掌握定义、四种基本形式的图象特征（开口、对称轴、顶点、最值、增减性）以及平移规律。建议结合图象理解性质，多做比较函数值大小的题目，为后续学习二次函数综合应用打下坚实基础。 【作业1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【作业2】（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】（21-22九年级上·江苏连云港·期末）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【作业4】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【作业5】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【作业6】（2026·吉林长春·三模）若将抛物线向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【作业7】（2026·广西百色·三模）二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【作业8】（2026·河南周口·二模）已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 【作业9】（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【作业10】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 【作业11】（2026·浙江·二模）将抛物线向下平移个单位长度，所得新抛物线的表达式为____． 【作业12】（2026·山西晋城·一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【作业13】（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 【作业14】（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【作业15】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【作业16】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【作业17】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，将函数图象沿轴向上平移1个单位． (1)求平移后的函数表达式． (2)判断是否在平移后的函数图象上，并说明理由． 【作业18】（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $