专题19.1 算术平方根与平方根（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题19.1 算术平方根与平方根 教学目标 1. 知道算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根； 2. 了解平方根，会用根号表示数的平方根；会求一个数的平方根； 3. 了解开平方与平方互为逆运算； 4. 掌握算术平方根的小数点移动问题，算术平方根、平方根的其他应用。 教学重难点 1.重点 （1）知道算术平方根、平方根的概念与表示，会求一个数的算术平方根或平方根； （2）算术平方根的双重非负性的应用，利用平方根解方程等； （3）利用算术平方根、平方根求参数。 2.难点 （1）概念辨析：由平方都开平方，引出算术平方根、平方根的概念；抽象思想； （2）算术平方根、平方根的综合应用。 知识点1 算术平方根 1.问题引入：已知一个正方形的边长，可以通过平方运算求出它的面积.反过来，已知正方形的面积，它的边长应该如何计算? 2.算术平方根 ①算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即x²=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根. ②a的算术平方根记为“ ”，读作“根号a”.a叫作被开方数. ③因为0的平方是0,所以规定0的算术平方根是0,记为=0. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0； 可简记为算术平方根的“双重非负性”。 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确； B、不是2的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、是2的算术平方根，故D错误； 故选：A． 2．求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 【答案】(1)30 (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）根据算术平方根的定义即可解答； （3）根据算术平方根的定义即可解答； （4）根据算术平方根的定义即可解答； 【详解】（1）∵， ∴900的算术平方根为30； （2）∵， ∴1的算术平方根为1； （3） 的算术平方根为; （4）, 的算术平方根为. 3．的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，先根据算术平方根的定义化简，进而求出算术平方根即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故选：． 4．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了学生能否熟练掌握非负数的性质并应用于解题，根据非负数的性质求出，的值，然后代入求值即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：5． 知识点2 算术平方根小数点移动问题 1.被开方数与算术平方根的数量关系 ①我们知道，如果x²=a,那么(10x)²=100a.这说明一个数扩大为原来的10倍，它的平方就扩大为原来的100倍. ②反过来， 一个数扩大为原来的100 倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍. 一个数缩小为原来,它的算术平方根就缩小为原来 2.算术平方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 【即学即练】 1．已知，则 ． 【答案】1.01 【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：， ； 故答案为：1.01． 【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 2．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了求算术平方根，掌握规律是解题的关键． 知识点3 平方根 1.问题引入 ①问（题）：已知一个数的平方等于100,那么这个数是多少? ②设（未知数）：设这个数是x, ③列（方程）：根据已知条件，得x²=100. 转化：因为10²=100,(一10)²=100,所以这个数是10或一10. 等价于：这实际上是“已知一个数的平方，求这个数”的问题. 2.平方根 ①平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即 x²=a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. ②开平方：求一个数a 的平方根的运算叫作开平方.例如，求64的平方根，就是要对64进行开平方运算，64是被开方数. 开平方与平方互为逆运算. 3.平方根的特点 ①正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根； ②0的平方根是0; ③负数没有平方根. 4.平方根的表示 正数a的两个平方根可以用符号“±” 表示.其中，“+ ” 表示a的正的平方根，即a的算术平方根；“-” 表示a的负的平方根，读作“负根号a”. 0的平方根记为“ ”, =0 . 思考：根据一个数的算术平方根可以写出它的负的平方根吗?为什么? 可以；因为正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根，那么他的负的平方根就是这个数的算术平方根的相反数。 【即学即练】 1．下列说法错误的是（   ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的性质逐项判断即可． 【详解】A．4是16的一个平方根，说法正确，不符合题意； B．81的平方根是，说法正确，不符合题意； C．是25的一个平方根，说法正确，不符合题意； D．25的平方根是，说法错误，符合题意； 故选：D． 2．下列各数：，其中一定有平方根的数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义．根据有理数的乘方和绝对值的性质进行计算并判断出各数的正负情况，再根据正数和0有平方根解答． 【详解】解：0有平方根， ，有平方根， ，有平方根， ，没有平方根， ，没有平方根， ，有平方根， 中，当时，没有平方根， 综上所述，一定有平方根的数共有4个． 故选：B． 3． ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 4．16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键． 根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：16的平方根是， 故答案为：． 5．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】64 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：64． 6．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用． （1）直接求361的平方根即可； （2）先变形为，再求平方根即可； （3）先变形为，再求平方根即可； （4）先变形为，然后把看成一个整体，求平方根得，再解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：， ， ， 即； （3）解：， ， ， 即； （4）解：， ， ， 当时，； 当时，． 综上所述，或． 知识点4 平方根和算术平方根的区别与联系 1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2.联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 3.算术平方根等于它本身的数是0或1；平方根等于它本身的数是0。 *4.平方根的性质 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，故原说法错误，不符合题意； C、，的平方根是，故原说法错误，不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和平方根，正确理解题意是解题的关键． 先求出，再求9的平方根即可． 【详解】解：， 则9的平方根为， 故选：D． 题型01 求算术平方根 【典例1】．求下列各数的算术平方根： (1)121； (2)1.44； (3)； (4)． 【答案】(1)11； (2)1.2； (3)； (4)． 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义逐题求解即可． 【详解】（1）， ∴121的算术平方根是11； （2）， ∴1.44的算术平方根是1.2； （3）， 的算术平方根是； （4）， 的算术平方根是． 【变式1】．求下列各数的算术平方根． (1)64； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据算术平方根的定义解答即可．   （2）根据算术平方根的定义解答即可． （3）根据算术平方根的定义解答即可． （4）根据算术平方根的定义解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴64的算术平方根为8， 即． （2）解：∵， ∴的算术平方根为， 即． （3）解：∵， ∴的算术平方根为， 即． （4）解：∵，， ∴81的算术平方根为9， 即． 【变式2】．的算术平方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 4 4 【分析】先计算，，再求解算术平方根即可． 【详解】解；∵， ∴的算术平方根是4， ∵， ∴的算术平方根是4； 故答案为4，4 【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，掌握求算术平方根的方法是解本题的关键． 题型02 算术平方根的概念辨析 【典例1】．“16的算术平方根”这句话用数学符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的基本性质，关键在于要通过题意正确选出答案．观察并分析题目从选项中找到16的算术平方根，选出正确选项即可． 【详解】解：16的算术平方根为， 故选：B． 【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．表示5的算术平方根 B．表示3的算术平方根 C．2的算术平方根为 D．16是4的算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查了算数平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示5的算术平方根，故A正确； B、不是3的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、4是16的算术平方根，故D错误； 故选：A． 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．7是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．是的算术平方根 D．是的算术平方根 【答案】A 【分析】根据算术平方根的含义逐一分析即可． 【详解】解：7是的算术平方根，表述正确，故A符合题意； 是的算术平方根，原表述错误，故B不符合题意； 6是的算术平方根，原表述错误，故C不符合题意； 不是的算术平方根，原表述错误，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，掌握求解一个数的算术平方根是解本题的关键． 题型03 求平方根 【典例1】．下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，计算即可． 【详解】（1）因为，所以的平方根是，即； （2）因为，所以的平方根是，即； （3）因为，所以的平方根是，即； （4）因为，所以的平方根是，即； （5）的平方根是． 【点睛】本题考查平方根的定义和性质，本题的解答关键在熟练记忆平方根的定义． 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根． 平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【变式1】．（1）9的平方根等于 ；（2）的平方根是 ；（3）的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：，的平方根等于； ，的平方根等于； ，的平方根等于． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了平方根的定义．理解一个正数的平方根有两个，并且解题中不要漏解是本题的关键． 题型04 利用平方根解方程 【典例1】．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据称x是a的平方根，且计算即可． （2）根据称x是a的平方根，且计算即可． （3）根据称x是a的平方根，且计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得，或． （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 【变式1】．求下列各式中的x值： （1）；    （2）；       （3）； （4）；        （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或；（5）． 【分析】通过移项，二次项系数化为1，再直接开平方，即可求解． 【详解】解：（1）， 移项得：，即：， 解得：x=; （2）. 开平方得： ， 解得：x=； （3）， 移项得：，即：， 开平方得：， 解得：x=或； （4）， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：x=或； （5）， 整理得：，即， 开平方得：， 解得：x=． 【点睛】本题主要考查解二次方程，掌握平方根的意义，是解题的关键． 【变式2】．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用． （1）直接求361的平方根即可； （2）先变形为，再求平方根即可； （3）先变形为，再求平方根即可； （4）先变形为，然后把看成一个整体，求平方根得，再解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：， ， ， 即； （3）解：， ， ， 即； （4）解：， ， ， 当时，； 当时，． 综上所述，或． 题型05 平方根中被开方数的取值范围 【典例1】．下列各数中没有平方根的是（    ） A．π B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据负数没有平方根，解答即可． 本题考查了平方根的特点，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：由负数没有平方根，得没有平方根，其余有， 故选：D． 【变式1】．下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根，一个正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0．据此进行解答即可． 【详解】A.当时，，有平方根，故选项不符合题意； B.当时，，有平方根，故选项不符合题意；     C. ，则一定没有平方根，故选项符合题意； D. 当时，，有平方根，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】．若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平方根有关的知识，熟记并灵活地掌握负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，本题即可解决 【详解】A．选项A正数一定有2个平方根，符合题意，正确； B．选项B负数没有平方根，错误； C．选项C整数既包括正整数也包括负整数，不一定有平方根，错误； D．选项D分数既包括正分数也包括负分数，不一定有平方根，错误； 故选：A． 题型06 平方根的概念辨析 【典例1】．求的平方根，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，即可列出代数式． 【详解】解：∵的平方根是， ∴用式子来表示就是：； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． 【变式1】．下列说法错误的是（   ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的性质逐项判断即可． 【详解】A．4是16的一个平方根，说法正确，不符合题意； B．81的平方根是，说法正确，不符合题意； C．是25的一个平方根，说法正确，不符合题意； D．25的平方根是，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】．下列说法正确的是（　　） A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根 C．－2是－4的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根． 【详解】解：A. ，，，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故0.2不是0.4的平方根，故该选项不正确，不符合题意； C.－4没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，故是的平方根，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键． 【变式3】．下列说法正确的是（    ） A．可以平方的数一定也可以开平方 B．平方根有负数，所以负数有平方根 C．把4开平方得到的结果为 D．没有平方根 【答案】C 【分析】根据负数没有平方根，正数的平方根有两个（一正一负）进行逐一判断即可得到答案． 【详解】解：负数可以平方，但不可以开平方，故A错误； 负数没有平方根，故B错误； 4开平方得±，故C正确； 当a为非正数时，，有平方根，故D错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键在于能够熟练掌握，负数没有平方根，正数的平方根有两个（一正一负，互为相反数），0的平方根是0． 【变式4】．下列说法正确的是(　　) A．只有正数才有平方根 B．负数没有平方根 C．1的平方根是它本身 D．－9的平方根是±3 【答案】B 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】A.非负数有平方根，故此选项错误； B.负数没有平方根，正确； C.1的平方根是±1，故此选项错误； D.－9没有平方根，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义． 【变式5】．下列叙述中，正确的是（    ） A．正数a的平方根是 B．的平方根是 C．一个数总有两个平方根 D．是的一个平方根 【答案】D 【分析】根据平方根和算术平方根的定义进行判断． 【详解】一个正数a必有两个平方根，所以正数a的平方根是，故选项A错误； 的平方根是，故选项B错误； 负数没有平方根，0的平方根只有一个，故选项C错误； 的平方根有两个，分别是a和，所以是的一个平方根，故选项D正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了平方根概念的运用．如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a＝0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根． 【变式6】．下列命题：①只有正数才有平方根；②是的一个平方根；③的平方根是；④是的平方根；⑤的平方根是；⑥的平方根是．其中正确的是（   ） A．①②④ B．②⑤ C．③④⑥ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是注意任何正数都有个平方根，的平方根是，负数没有平方根．利用平方根的定义依次进行判断即可． 【详解】解：①中，由于有平方根为，故①错误； ②中，的平方根是，故是的一个平方根，故②正确； ③中，的平方根式，故③错误； ④中，是的平方根，故④正确； ⑤中，，的平方根是，故的平方根是，故⑤错误； ⑥中，，负数没有平方根，故⑥错误． 故正确的是②④． 故选：D． 题型07 算术平方根与平方根的运算（数学符号型） 【典例1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的含义逐一分析即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，掌握求解算术平方根的方法是解本题的关键． 【变式1】．下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的，平方根的求解，根据算术平方根，平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2】．的相反数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、求一个数的算术平方根，先求算术平方根，再根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：， 故的相反数为， 故选：C． 【变式3】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根，掌握平方根，算术平方根的计算是解题的关键． 根据求一个数的平方根，算术平方根的计算方法计算即可求解． 【详解】解：A、，无意义，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式4】．下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可． 【详解】解：，A选项正确； 0，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项正确． 故选：B． 【变式5】．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． （1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 题型08 已知一个数的平方根，求这个数 【典例1】．若一个正数的平方根为和，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正数的平方根互为相反数，可得，可求，即可求． 【详解】解：由题意知， 解得， 则， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平方根的性质，熟练掌握正数的平方根的特点，是解题的关键． 【变式1】．若一个正数的两个平方根分别是和，则 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出，求解即可，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．若一个正数的两个不同的平方根是与，则这个正数为 ． 【答案】169 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，得，求得x的值，后计算即可． 本题考查了平方根，解方程，熟练掌握平方根，解方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故平方根为， 故该数为， 故答案为：169． 题型09 算术平方根的估算 【典例1】．估计的值在 （   ） ． A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，利用夹逼法估算即可． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【变式1】．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的估算、不等式的基本性质，根据可知，根据不等式的基本性质一可得 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 题型10 算术平方根的非负性 【典例1】．若与互为相反数，则 ， ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质可列出关于x、y的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵≥0，≥0，与互为相反数， ∴，， 解得，，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和一元一次方程的解法，解题关键是根据非负性列出方程，准确解方程． 【变式1】．若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根的非负数性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】．如果，那么的平方根为 ． 【答案】/或/或 【分析】根据算术平方根和平方的非负性，求出的值，然后进行计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方式的非负性、代数式求值，解题的关键是利用非负性求出的值． 题型11 利用算术平方根与平方根求参数 【典例1】．已知的算术平方根是，是的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，求代数式的值，解题的关键是根据算术平方根的定义得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：， 又∵是的算术平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式1】．已知的平方根是的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根等知识点，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键．根据平方根和算术平方根的概念列方程求得和y的值，然后代入求得其求平方根即可． 【详解】解：由题意知， 所以， 所以， 所以的平方根为． 【变式2】．已知的平方根是的算术平方根是4，求的值． 【答案】 【分析】由平方根及算术平方根定义得到，求出，代入即可求值． 【详解】解：∵的平方根是的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了算术平方根及平方根的定义，正确理解定义得到，求出是解题的关键． 【变式3】．若一个自然数的算术平方根是，则它的下一个自然数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，先根据算术平方根的定义，得出这个自然数是，则它的下一个自然数是，再根据算术平方根根的定义，即可解答． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是， ∴这个自然数是， ∴它的下一个自然数是， ∴它的下一个自然数的算术平方根是， 故选：C． 题型12 算术平方根、平方根的实际应用 【典例1】．一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长扩大为原来的 倍． 【答案】 【分析】设该正方形的边长为x，求出扩大后的面积，然后根据算术平方根的概念求出扩大后的边长，进行求解即可． 【详解】解：设该正方形的边长为x，则其面积是，其面积的a倍是， ∵， ∴变化后正方形的边长为， ∴， ∴它的边长扩大为原来的倍． 故答案为：． 【点睛】此题考查了运用算术平方根解决图形问题的能力，关键是能准确理解问题间的数量关系运用算术平方根知识列式求解． 【变式1】．已知自由下落物体的高度单位：与下落时间单位：的关系式是，现有一物体从的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间． 【答案】 【分析】令，然后直接求解即可． 【详解】解：令，则：， 解得：，或（舍去）． ∴它到达地面需要的时间是． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，将实际问题转化成数学问题成为解答本题的关键． 【变式2】．如图，小明打算用一块面积为的正方形木板沿着边的方向裁出一个面积为的长方形桌面，桌面的长、宽之比为4：3，你认为他能做到吗？如果能，请计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面，理由见解析 【分析】设桌面的长为4xcm，宽为3xcm，由题可得：4x•3x=768，解得x=8，求出长方形的长和宽分别为32，24，而正方形木板的边长是30，所以做不到． 【详解】解：不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面．理由如下： 设桌面的长为4xcm，宽为3xcm， 由题可得，4x•3x=768， 整理得，x2=64， 解得，x=±8， ∵桌面的长和宽为正数， ∴x=-8不合题意，舍去， ∴x=8， ∴4×8=32（cm），3×8=24（cm）， ∵正方形木板的面积为900cm2， ∴正方形木板的边长为30cm， ∵32＞30， ∴桌面的长为32cm不合题意， ∴不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，本题的关键是：设出桌面的长为4xcm，宽为3xcm，根据长方形面积为768cm2列出方程． 题型13 小数点移动问题；规律题 【典例1】．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据被开方数扩大倍，算术平方根扩大，可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大倍，算术平方根扩大． 【变式1】．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【答案】A 【分析】根据平方根小数点的移动规律解答． 【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8； 故选：A． 【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位． 【变式2】．根据下列表格，估计的大小（    ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 【答案】B 【分析】确定的范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 由表格数据可知：在之间 故选：B 【点睛】本题考查算术平方根的估值．确定被开方数的范围是解题关键． 【变式3】．下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 ． 【答案】 【分析】根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推断出相应的数字规律，是解题的关键． 一、单选题 1．“的平方根是”，用式子来表示就是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根的定义，即可列出代数式． 【详解】解：∵的平方根是， ∴用式子来表示就是：； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． 2．用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可. 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 3．的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：D． 4．下列说法正确的是（    ）． A．4是的算术平方根 B．0的算术平方根是0 C．是算术平方根 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】A. 4是16的算术平方根，故原选项错误； B. 0的算术平方根是0，故原选项正确； C.2是算术平方根，故原选项错误； D. 没有算术平方根，故原选项错误， 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义和性质，掌握负数没有平方根，零的平方根是零，正数有两个平方根，是解题的关键． 5．下列各数13，，0，，，，，，中有平方根的个数为（    ）． A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】C 【分析】由于负数没有平方根，所以只要所给数中的负数淘汰即可解决问题． 【详解】解：∵13＞0，π＞0，0=0，-4＜0，（-3）2=9＞0，-32=-9＜0，-|-3|=-3＜0，-（-3）=3＞0，3.14-π＜0， ∴有平方根的个数是13，π，0，（-3）2，-（-3），共5个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键． 6．一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（   ） A．，0或1 B．1 C．或1 D．0或1 【答案】D 【解析】略 二、填空题 7．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义．一个正数的平方根有两个，且互为相反数．根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 8．如果一个数的算术平方根是，则这个数是 ，它的平方根是 ． 【答案】 10 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根和算术平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：如果一个数的算术平方根是，则这个数是，它的平方根 9．下列说法：①是的平方根；②只有正数才有平方根；③是的平方根；④的平方根是．正确的是 ．（写序号） 【答案】①④ 【详解】易错：①②④ 错因：考虑不全面，没有考虑到0也有平方根，0的平方根是0． 满分备考：判断一个数有没有平方根，有几个平方根，就是判断该数是正数、负数还是零． 10．若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意分别得出a、b、c的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵x是最大的负整数， ∴， ∵y是最小的正整数， ∴， ∵z是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的相关定义，平方根的定义，解题的关键是掌握平方根等于本身的数是0． 三、解答题 11．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）（2）（3）（4）根据算术平方根的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】此题主要考查算术平方根的含义，解题的关键是熟知算术平方根的定义． 12．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据称x是a的平方根，且计算即可． （2）根据称x是a的平方根，且计算即可． （3）根据算术平方根的定义，计算即可； （4）根据算术平方根的定义，计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴． 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根的计算，正确理解定义是解题的关键． 13．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了根据平方根求方程的解， 对于（1），先整理得，再开方得出答案； 对于（2），直接开方得，计算得出答案． 【详解】（1）解：整理，得， 开方，得或； （2）解：开方，得， 即或， 解得或． 14．解答题． (1)一个正数a的平方根是与，则a是多少？ (2)已知a、b满足，求的平方根 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，进而求出a的值； （2）根据非负性，求出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，以及绝对值和算术平方根的非负性，是解题的关键． 15．当x为何值时， 有最小值，最小值为多少？ 【答案】，6 【分析】根据算术平方根的双重非负性求解即可． 【详解】解：由算术平方根的双重非负性得，． ∴当，即时，有最小值，最小值为6． 【点睛】本题考查算术平方根的双重非负性，解答的关键是熟知算术平方根的双重非负性：，． 16．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗？并说明理由（）． 【答案】(1)长为30米，则宽为20米 (2)不能改造出这样的两块不相连的正方形试验田 【分析】（1）根据长方形长宽之比，设长为米，则宽为米，根据题意，得．解答即可． （2）根据两个小正方形的边长比为，设一个正方形边长为米，则另一个正方形的边长为米，根据题意，得．解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形长宽之比，设长为米，则宽为米，根据题意，得． 解得（舍去） ∴长为，宽为． 答：长为30米，则宽为20米． （2）解：根据两个小正方形的边长比为，设一个正方形边长为米，则另一个正方形的边长为米，根据题意，得． 解得（舍去）， 故正方形的边长为， 由， 故，超过了30米， 故不能改造出这样的两块不相连的正方形试验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，实数的大小比较，图形的面积计算，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.1 算术平方根与平方根 教学目标 1. 知道算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根； 2. 了解平方根，会用根号表示数的平方根；会求一个数的平方根； 3. 了解开平方与平方互为逆运算； 4. 掌握算术平方根的小数点移动问题，算术平方根、平方根的其他应用。 教学重难点 1.重点 （1）知道算术平方根、平方根的概念与表示，会求一个数的算术平方根或平方根； （2）算术平方根的双重非负性的应用，利用平方根解方程等； （3）利用算术平方根、平方根求参数。 2.难点 （1）概念辨析：由平方都开平方，引出算术平方根、平方根的概念；抽象思想； （2）算术平方根、平方根的综合应用。 知识点1 算术平方根 1.问题引入：已知一个正方形的边长，可以通过平方运算求出它的面积.反过来，已知正方形的面积，它的边长应该如何计算? 2.算术平方根 ①算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即x²=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根. ②a的算术平方根记为“ ”，读作“根号a”.a叫作被开方数. ③因为0的平方是0,所以规定0的算术平方根是0,记为=0. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0； 可简记为算术平方根的“双重非负性”。 【即学即练】 1．下列说法正确的是（     ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 2．求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 3．的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 4．若，则 ． 知识点2 算术平方根小数点移动问题 1.被开方数与算术平方根的数量关系 ①我们知道，如果x²=a,那么(10x)²=100a.这说明一个数扩大为原来的10倍，它的平方就扩大为原来的100倍. ②反过来， 一个数扩大为原来的100 倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍. 一个数缩小为原来,它的算术平方根就缩小为原来 2.算术平方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 【即学即练】 1．已知，则 ． 2．已知，，则 ． 知识点3 平方根 1.问题引入 ①问（题）：已知一个数的平方等于100,那么这个数是多少? ②设（未知数）：设这个数是x, ③列（方程）：根据已知条件，得x²=100. 转化：因为10²=100,(一10)²=100,所以这个数是10或一10. 等价于：这实际上是“已知一个数的平方，求这个数”的问题. 2.平方根 ①平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即 x²=a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数. ②开平方：求一个数a 的平方根的运算叫作开平方.例如，求64的平方根，就是要对64进行开平方运算，64是被开方数. 开平方与平方互为逆运算. 3.平方根的特点 ①正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根； ②0的平方根是0; ③负数没有平方根. 4.平方根的表示 正数a的两个平方根可以用符号“±” 表示.其中，“+ ” 表示a的正的平方根，即a的算术平方根；“-” 表示a的负的平方根，读作“负根号a”. 0的平方根记为“ ”, =0 . 思考：根据一个数的算术平方根可以写出它的负的平方根吗?为什么? 可以；因为正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根，那么他的负的平方根就是这个数的算术平方根的相反数。 【即学即练】 1．下列说法错误的是（   ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5 2．下列各数：，其中一定有平方根的数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3． ． 4．16的平方根是 ． 5．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 6．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点4 平方根和算术平方根的区别与联系 1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2.联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 3.算术平方根等于它本身的数是0或1；平方根等于它本身的数是0。 *4.平方根的性质 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 2．的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 题型01 求算术平方根 【典例1】．求下列各数的算术平方根： (1)121； (2)1.44； (3)； (4)． 【变式1】．求下列各数的算术平方根． (1)64； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．的算术平方根是 ；的算术平方根是 ． 题型02 算术平方根的概念辨析 【典例1】．“16的算术平方根”这句话用数学符号表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．表示5的算术平方根 B．表示3的算术平方根 C．2的算术平方根为 D．16是4的算术平方根 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．7是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．是的算术平方根 D．是的算术平方根 题型03 求平方根 【典例1】．下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1】．（1）9的平方根等于 ；（2）的平方根是 ；（3）的平方根是 ． 题型04 利用平方根解方程 【典例1】．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 【变式1】．求下列各式中的x值： （1）；    （2）；       （3）； （4）；        （5）． 【变式2】．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 平方根中被开方数的取值范围 【典例1】．下列各数中没有平方根的是（    ） A．π B． C．0 D． 【变式1】．下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 题型06 平方根的概念辨析 【典例1】．求的平方根，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列说法错误的是（   ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5 【变式2】．下列说法正确的是（　　） A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根 C．－2是－4的平方根 D．是的平方根 【变式3】．下列说法正确的是（    ） A．可以平方的数一定也可以开平方 B．平方根有负数，所以负数有平方根 C．把4开平方得到的结果为 D．没有平方根 【变式4】．下列说法正确的是(　　) A．只有正数才有平方根 B．负数没有平方根 C．1的平方根是它本身 D．－9的平方根是±3 【变式5】．下列叙述中，正确的是（    ） A．正数a的平方根是 B．的平方根是 C．一个数总有两个平方根 D．是的一个平方根 【变式6】．下列命题：①只有正数才有平方根；②是的一个平方根；③的平方根是；④是的平方根；⑤的平方根是；⑥的平方根是．其中正确的是（   ） A．①②④ B．②⑤ C．③④⑥ D．②④ 题型07 算术平方根与平方根的运算（数学符号型） 【典例1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．的相反数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式5】．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08 已知一个数的平方根，求这个数 【典例1】．若一个正数的平方根为和，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．若一个正数的两个平方根分别是和，则 【变式2】．若一个正数的两个不同的平方根是与，则这个正数为 ． 题型09 算术平方根的估算 【典例1】．估计的值在 （   ） ． A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间 【变式1】．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 题型10 算术平方根的非负性 【典例1】．若与互为相反数，则 ， ． 【变式1】．若，则的值等于 ． 【变式2】．如果，那么的平方根为 ． 题型11 利用算术平方根与平方根求参数 【典例1】．已知的算术平方根是，是的算术平方根，求的值． 【变式1】．已知的平方根是的算术平方根是，求的平方根． 【变式2】．已知的平方根是的算术平方根是4，求的值． 【变式3】．若一个自然数的算术平方根是，则它的下一个自然数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 题型12 算术平方根、平方根的实际应用 【典例1】．一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长扩大为原来的 倍． 【变式1】．已知自由下落物体的高度单位：与下落时间单位：的关系式是，现有一物体从的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间． 【变式2】．如图，小明打算用一块面积为的正方形木板沿着边的方向裁出一个面积为的长方形桌面，桌面的长、宽之比为4：3，你认为他能做到吗？如果能，请计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由． 题型13 小数点移动问题；规律题 【典例1】．若，，则 ． 【变式1】．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【变式2】．根据下列表格，估计的大小（    ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A． 在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 【变式3】．下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 ． 一、单选题 1．“的平方根是”，用式子来表示就是(　　) A． B． C． D． 2．用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 3．的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ）． A．4是的算术平方根 B．0的算术平方根是0 C．是算术平方根 D．的算术平方根是 5．下列各数13，，0，，，，，，中有平方根的个数为（    ）． A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 6．一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（   ） A．，0或1 B．1 C．或1 D．0或1 二、填空题 7．的平方根是 ． 8．如果一个数的算术平方根是，则这个数是 ，它的平方根是 ． 9．下列说法：①是的平方根；②只有正数才有平方根；③是的平方根；④的平方根是．正确的是 ．（写序号） 10．若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 三、解答题 11．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 12．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．求下列各式中的值． (1)； (2)． 14．解答题． (1)一个正数a的平方根是与，则a是多少？ (2)已知a、b满足，求的平方根 15．当x为何值时， 有最小值，最小值为多少？ 16．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗？并说明理由（）． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$