专题19.2 立方根（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦立方根核心知识点，通过对比立方根与平方根的概念、性质（定义、个数、取值范围等）构建学习支架，系统梳理开立方运算、化简求值、方程求解及实际应用等内容，形成完整知识脉络。 资料亮点在于题型全面（10种题型）且例题与变式结合，融入规律探索（如华罗庚快速求立方根方法）和实际应用（如魔方体积计算）。通过这些设计培养学生抽象能力、运算能力与应用意识，课中辅助分层教学，课后帮助查漏补缺，强化知识应用。

专题19.2 立方根（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 立方根概念的理解与判断】 2 【题型2 求一个数的立方根】 3 【题型3 已知立方根求原数】 4 【题型4 利用立方根性质化简求值】 5 【题型5 估算立方根的大小】 7 【题型6 开立方运算与化简】 8 【题型7 解含立方根的简单方程】 10 【题型8 立方根的规律探索题】 11 【题型9 立方根的实际生活应用】 14 【题型10 立方根与算术平方根的综合应用】 16 考点1 立方根的概念与性质 知识点1 立方根和平方根的不同点和相同点 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 知识点2 开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【题型1 立方根概念的理解与判断】 【例1】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 【变式1-1】（25-26七年级下·福建福州·期中）下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C． D．立方根等于本身的数只有 【答案】C 【详解】解：∵ 正数的立方根是正数，，∴ 的立方根是，A错误； ∵ 负数有一个负的立方根，，∴ 的立方根是，B错误； ∵ ，，∴ ，C正确； ∵ ，，，∴ 立方根等于本身的数是，D错误． 【变式1-2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 【题型2 求一个数的立方根】 【例2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】若一个数的立方等于，即，则是的立方根，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义，的立方根是． 【变式2-1】（25-26七年级下·重庆云阳·期中）计算__________． 【答案】4 【分析】根据立方根的定义求出的值，再根据有理数的符号运算法则计算，即可得到最终结果． 【详解】解：． 【变式2-2】（25-26七年级下·广西北海·期中）已知，则的值是_____． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再将代入所求式子，根据立方根的定义计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的部分，先比较各数大小，再根据运算规则取对应值即可得到结果． 【详解】解：， ，，，， ， ． 【题型3 已知立方根求原数】 【例3】（25-26七年级下·福建莆田·阶段检测）若与互为相反数，则t的值为____． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和立方根的性质，得到两个被开方数之和为，列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 【变式3-1】（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）若，，则______． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式3-2】已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 【答案】D 【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：设这个数是x，则 ∵，，， ∴或， 故选：D． 【变式3-3】-，则a的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解. 【详解】∵=-, ∴a=-. 故选B. 【点睛】考查了根式的化简，解题关键是运用了. 【题型4 利用立方根性质化简求值】 【例4】若，则化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的性质，二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将原式化为，再由，即可去绝对值化简． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 【变式4-1】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为________． 【答案】0 【分析】本题考查实数运算．由数轴易得，且，则，再实数的运算，绝对值的性质及立方根的定义化简即可． 【详解】解：由数轴易得，且， 则， ， 故答案为：0． 【变式4-3】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定的取值范围，判断绝对值符号内代数式及的正负，利用绝对值、立方根和二次根式的性质化简即可. 【详解】解：由数轴可知， ， 原式 ． 故选C． 【题型5 估算立方根的大小】 【例5】下列整数中，与最接近的整数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用立方根的估算法则即可得出答案. 【详解】，在中，27与25最接近 与最接近的整数是，即3 故选：B. 【点睛】本题考查了立方根的估算法则，掌握理解法则和熟记一些常见数字的立方根是解题关键. 【变式5-1】若，且m为整数，则m的值可能是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】先估算，根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的值可能是， 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根的定义，无理数的估算，估算的大小是解题的关键． 【变式5-2】若两个连续的整数a，b满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是立方根的含义，无理数的估算，掌握估算的方法是解本题的关键． 【变式5-3】若整数满足，则的值是______． 【答案】或或 【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数和的大小，进而得出和的大小即可． 【详解】解：，，而， ， ， 又：，，而， ， ， 又整数满足， 或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的性质是正确估算的前提． 考点2 立方根的计算与应用 【题型6 开立方运算与化简】 【例6】（25-26七年级上·山东淄博·期末）计算的结果是____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根，算术平方根化简即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式6-2】按下面程序计算：输入，则输出的答案是______. 【答案】 【分析】本题考查了立方根，平方根的运算，根据程序流程图进行运算即可，读懂程序流程图并列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】计算：____． 【答案】7 【分析】根据立方根、算术平方根、以及绝对值的运算法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： = =； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、以及绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 【题型7 解含立方根的简单方程】 【例7】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方程的解是______． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求解可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 【变式7-1】求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 【变式7-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将的值逐个代入判断即可． 【详解】解：A．当时，，符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，不符合题意． 【变式7-3】方程 的解＝ _________． 【答案】 【分析】根据立方根的意义求解即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了求一个数的立方根，注意：负数有立方根． 【题型8 立方根的规律探索题】 【例8】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 【变式8-1】观察下列各式：用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为______． 【答案】 【分析】观察规律可直接得到规律． 【详解】解：∵， ， ，…， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键． 【变式8-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴只需先求的立方根； 第一步，确定位数： ∵ ， ，且 ， ∴，即是两位数； 第二步，确定个位数字： ∵的个位数字是，中只有的立方的个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步，确定十位数字： 划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 【变式8-3】（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 【题型9 立方根的实际生活应用】 【例9】（25-26七年级下·河南商丘·期中）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5倍，底面半径r是_____厘米.（取3.14） 【答案】10 【分析】根据圆柱的体积公式可得，再结合已知条件，并代入数值可得答案． 【详解】解：根据题意，得，且， 即， 整理，得， 开立方，得， 所以底面半径r是10厘米． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 【变式9-2】（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为；理由见解析 (3) 【分析】（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 【题型10 立方根与算术平方根的综合应用】 【例10】（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 【变式10-1】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【变式10-2】若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______. 【答案】―1 【详解】根据题意得：a+b=0，cd=-1， 则==-1. 故答案是:-1. 【变式10-3】（25-26七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 【答案】(1)3，；3 (2)0 【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小，进而得出a的值，估算无理数的大小，进而得出b的大小，再代入计算即可得出的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； ∵， ∴， ∴的整数部分是3； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴， 又0的平方根是0， ∴的平方根是0． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2 立方根（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 立方根概念的理解与判断】 2 【题型2 求一个数的立方根】 2 【题型3 已知立方根求原数】 3 【题型4 利用立方根性质化简求值】 3 【题型5 估算立方根的大小】 3 【题型6 开立方运算与化简】 4 【题型7 解含立方根的简单方程】 4 【题型8 立方根的规律探索题】 4 【题型9 立方根的实际生活应用】 5 【题型10 立方根与算术平方根的综合应用】 6 考点1 立方根的概念与性质 知识点1 立方根和平方根的不同点和相同点 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 知识点2 开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【题型1 立方根概念的理解与判断】 【例1】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【变式1-1】（25-26七年级下·福建福州·期中）下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C． D．立方根等于本身的数只有 【变式1-2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 求一个数的立方根】 【例2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-1】（25-26七年级下·重庆云阳·期中）计算__________． 【变式2-2】（25-26七年级下·广西北海·期中）已知，则的值是_____． 【变式2-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【题型3 已知立方根求原数】 【例3】（25-26七年级下·福建莆田·阶段检测）若与互为相反数，则t的值为____． 【变式3-1】（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）若，，则______． 【变式3-2】已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 【变式3-3】-，则a的值为(   ) A． B． C． D． 【题型4 利用立方根性质化简求值】 【例4】若，则化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【变式4-1】化简：______． 【变式4-2】（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为________． 【变式4-3】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型5 估算立方根的大小】 【例5】下列整数中，与最接近的整数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】若，且m为整数，则m的值可能是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式5-2】若两个连续的整数a，b满足，则的值为______． 【变式5-3】若整数满足，则的值是______． 考点2 立方根的计算与应用 【题型6 开立方运算与化简】 【例6】（25-26七年级上·山东淄博·期末）计算的结果是____． 【变式6-1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）计算：__________． 【变式6-2】按下面程序计算：输入，则输出的答案是______. 【变式6-3】计算：____． 【题型7 解含立方根的简单方程】 【例7】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方程的解是______． 【变式7-1】求下列方程中x的值： (1)； (2) 【变式7-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】方程 的解＝ _________． 【题型8 立方根的规律探索题】 【例8】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【变式8-1】观察下列各式：用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为______． 【变式8-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【题型9 立方根的实际生活应用】 【例9】（25-26七年级下·河南商丘·期中）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5倍，底面半径r是_____厘米.（取3.14） 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 【变式9-2】（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【题型10 立方根与算术平方根的综合应用】 【例10】（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式10-1】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______. 【变式10-3】（25-26七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； (2)【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 2 / 30 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