专题15.7 综合与实践—最短路径（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题15.7 综合与实践—最短路径 教学目标 1. 掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线的距离最短。 2. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。 教学重难点 1. 重点 （1） 最短路径的基本原理与基本作图； （2） 利用相关知识点进行最短路径有关的计算。 2. 难点 （1）最短路径的基本作图； （2）最短路径的有关计算。 知识点01 最短路径的基本原理 1. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短 ②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。 知识点02 利用轴对称解决最短路径问题 1. 两点一线型（两点在直线的异侧）： 问题 如图，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。 作法 如图，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。 结论 PA＋PB最小 原理及证明 两点之间，线段最短 2. 两点一线型（两点在直线的同侧）： 问题 如图：直线同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。 作法 如图，作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。 结论 MP＋MQ最小 原理及证明 ∵P与P’关于直线l对称 ∴直线l是PP’的 垂直平分线 ∴MP ＝ MP’ ∴MP＋MQ＝ MP’ ＋MQ＝ P’ Q 。 ∴MP＋MQ此时有最小值，为 P’ Q 的长度 【即学即练1】 1．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用AB表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：作D点关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点N， 由对称性可知，DN＝D′N， ∴CN+DN＝CN+D′N≥CD′， 当C、N、D′三点共线时，CN+DN的距离最短， 故C选项符合题意， 故选：C． 【即学即练2】 2．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是12平方单位，腰AB的垂直平分线EF交AB于E，交AC于F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【解答】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABCBC•AD4×AD＝12，解得AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝ADBC＝84＝6+2＝8． 故选：C． 3. 一点两线型： 问题 如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。 作法 如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点 结论 △PAB的周长最小 原理及证明 ∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称 ∴OM是PP’的 垂直平分线 ，ON是PP’’的 垂直平分线 。 ∴AP ＝ AP’，BP ＝ BP’’ ∴＝ AP’ ＋AB＋ BP’’ ＝ P’ P’’ ∴△PAB的周长最小。 【即学即练1】 3．已知P为∠O内一定点，点A，B分别在∠O的两边上，则下列图形中△PAB的周长最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据轴对称图形与三角形的周长定义可得： D图中，三角形的周长＝AP+BP+AB＝P1A+AB+BP2＝P1P2，为一条线段，故为最小， 其他三个选项均不是最小周长． 故选：D． 【即学即练2】 4．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 【答案】B 【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB， ∴OC＝OP＝OD，∠AOB∠COD， ∴∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴OC＝OD＝CD＝OP， ∵△PMN周长的最小值是3cm， ∴PM+PN+MN＝3cm， ∴DM+CN+MN＝3cm， 即CD＝3cm＝OP， 故选：B． 4. 两点两线型： 问题 如图，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。 作法 如图，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。 结论 四边形PQMN的周长最小 原理及证明 ∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称 ∴OA是QD的 垂直平分线 ，OB是PC的 垂直平分线 。 ∴MD ＝ MQ，NP ＝ NC。 ＝PQ＋ MD ＋MN＋ NC ＝PQ＋ DC 。 ∴四边形PQMN的周长最小。 【即学即练1】 5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解答． 【解答】解：如图，四边形MNQP为所作． 【即学即练2】 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A．45° B．90° C．75° D．135° 【答案】B 【解答】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'， 则ME＝ME'，ND＝ND'， ∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'， ∵DE长固定， ∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N， 由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'）， 设DD'与BC交于点H， ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠BDH＝45°， ∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°， 即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°， 故选：B． 知识点03 利用平移解决造桥选址问题 1. 造桥选址问题： 问题 如图，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短。 作法 如图，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点 【即学即练1】 7．直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥EF（桥EF与河的两岸l1，l2垂直），使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小．则下列图中满足条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵l1∥l2， ∴先把l2和点P向上平移，使l2与l1重合，点P平移到P′，再连接P′Q交l1于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 题型01 最短路径的基本作图 【典例1】如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂P，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂P的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：作A点关于直线l的对称点A'，连接BA'交l于点P， 由对称性可知，AP＝A'P， ∴AP+BP＝A'P+BP≥A'B， 当A'、P、B三点共线时，AP+BP的距离最短， 故选：B． 【变式1】有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据轴对称确定最短路线问题，D选项图形符合． 故选：D． 【变式2】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处． 同学乙：作A点关于直线MN对称的A′点，再作B点关于直线l对称的B′点，连接A′B′交直线MN于Q点，交直线l于P点，则路径A→Q→P→B为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 【答案】同学乙指出的最短路径正确，见解析． 【解答】解：同学乙指出的最短路径正确． 理由：如图，在直线MN上任意选一点Q1，在直线l上任意选一点P1，连接AQ1，A′Q1，BP1，B′P1． 由轴对称性质，易得AQ1＝A′Q1，BP1＝B′P1． ∵A′Q1+P1Q1+B′P1＞A′B′＝A′Q+QP+PB′， ∴AQ1+P1Q1+BP1＞A′B′， 当A′，Q1，P1，B′共线时， ∴A′Q1+P1Q1+B′P1＝A′B′＝A′Q+QP+PB′ ∵AQ+PQ+BP＝A′Q+QP+PB′ ∴AQ+PQ+BP是最短路径． 【变式3】如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，分别作A、B关于公路m、n的对称点A′、B′，连接A′B′交m、n于M、N两点，连AM、BN，则A→M→N→B即为最短路线． 【变式4】（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小． （2）如图2，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝10．请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得△PQR的周长最小．要求：画出图形，并计算这个最小值是 　10　 ． 【答案】（1）见解析； （2）作图见解析；10． 【解答】解：（1）如图：作点A关于l的对称点A'，连接A′B交l于点P，连接PA，点P即为所求， ∵l垂直平分AA′， ∴PA＝PA′， ∴PA+PB＝PA′+PB， ∵两点之间线段最短， ∴此时PA′+PB最小，即PA+PB最小． （2）作出点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接OP′、OP″，连接P′P''交OA、OB于点Q、R，此时△PQR的周长最小，如图： 根据对称性可得出：∠P″OB＝∠BOP，∠POA＝∠AOP′，PR＝P″R，PQ＝P′Q，OP″＝OP＝OP′＝10， ∴PR+RQ+PQ＝P″R+RQ+P′Q＝P′P″， ∵两点之间线段最短， ∴此时△PQR的周长最小， ∵∠AOB＝30°， ∴∠P″OP′＝60°， ∵OP″＝OP＝OP′＝10， ∴△P''OP′为等边三角形， ∴P′P″＝OP′＝10， ∴△PQR的周长最小值为10． 故答案为：10． 【变式5】利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点A′，线段A′B与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线APB是最短的． （1）如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． （2）如图，已知∠AOB及其内部一点P，试在OA，OB上分别确定点M，N，使PM+PN+MN最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】（1）； （2） 【解答】解：（1） 如图3，连接BC，然后作出点C关于l的对称点C′，线段AC'与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线APCB是最短的． 如图4，分别连接AD、BC，然后作出点C关于l的对称点C′，线段DC'与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线ADPCB是最短的． （2） 如图5，分别作出P关于OA、OB的对称点P'、P''，然后连接P'P''交OA于M，OB于N，所得△PMN即为所求． 【变式6】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： （1）分别写出点A，点B，点C的坐标； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（注意标出对应点字母）； （3）求△ABC的面积； （4）在x轴上找一点P，使AP+BP最小，在图中画出点P，并写出点P坐标．（不限作图工具，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）． 【答案】（1）A（4，2），B（1，4），C（3，5）； （2）作图见解答过程； （3）3.5； （4）点P见解答过程；（3，0）． 【解答】解：（1）由图可知，A（4，2），B（1，4），C（3，5）； （2）如图1，△A1B1C1为所作； （3）△ABC的面积＝3×31×22×31×3＝3.5； （4）如图2，点P为所作，坐标为（3，0）． 题型02 与最短路径有关的计算 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，S△ABC＝36，直线EF垂直平分线段AC，若点D为边BC的中点，M为直线EF上一动点，则△MCD的周长的最小值为（　　） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】C 【解答】解：如图，连接AD，与EF的交点为M， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴点A与点C关于EF对称． 则此时点M为使△CDM周长最小时的位置． ∵△ABC是等腰三角形，且点D是底边BC上的中点，BC＝8， ∴AD⊥BC ， ∵BC＝8，S△ABC＝36， ∴， ∵直线EF垂直平分线段AC， ∴MC＝MA， ∴△MCD的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝9+4＝13， 故选：C． 【变式1】如图，已知∠AOB＝30°，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE的周长最小值等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【解答】解：作点C关于OA、OB的对称点，分别作点C关于OA的对称点C1，关于OB的对称点C2，连接C1C2，OC2，OC1， ∴CD＝C1D，CE＝C2E， 此时△CDE的周长＝CD+DE+CE＝C1D+DE+C2E＝C1C2； 即当D、E为上述所作的交点时，△CDE的周长取得最小值，最小值为C1C2的长度， ∵点C与C1关于OA对称，点C与C2关于OB对称， ∴OA是CC1的垂直平分线，OB是CC2的垂直平分线； ∴∠C1OA＝∠AOC，∠C2OB＝∠BOC， ∵∠AOB＝30°， ∴∠C1OC2＝2∠AOB＝2×30°＝60°； ∴OC1＝OC＝OC2＝3， 在△C1OC2中，OC1＝OC2＝3，∠C1OC2＝60°， ∴△C1OC2是等边三角形； ∴C1C2＝OC1＝OC2＝3， 即△CDE周长的最小值为3； 故选：A． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝8，AD平分∠BAC，∠BAD＝15°，点P、Q分别为边AD，AB上的动点，连接BP，PQ，则BP+PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：如图，过B作作BE⊥AC交AC于E，交AD于P，过P作作PQ⊥AB于Q， ∵AD平分∠BAC， ∴PQ＝PE， ∵∠BAD＝15°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝30°， ∴当点B，P，E三点共线时，BP+QP＝BP+PE＝BE，此时BP+PQ的值最小， ∵AB＝8，∠BAC＝30°， ∴BP+PQ的最小值为， 故选：C． 【变式3】如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（　　） A．55° B．50° C．40° D．45° 【答案】C 【解答】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O， ∵PP1关于OA对称， ∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50° 同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2， ∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP， ∴△P1OP2是等腰三角形． ∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°， ∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°， ∴∠AOB＝40°， 故选C． 【变式4】如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．84° B．88° C．90° D．96° 【答案】B 【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N， 则AM＝PM，AN＝QN， 所以，∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN， 所以，△AMN周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ， 由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值， ∵∠BAE＝136°， ∴∠P+∠Q＝180°﹣136°＝44°， ∵∠AMN＝∠P+∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q）＝2×44°＝88°， 故选：B． 【变式5】如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC边的中点，点F是AB边上一动点，连接FD，FE．当FD+FE取得最小值时，∠AFE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH，过点D作DI⊥AB于点l，交EH的延长线于点G，连接HD， ∵等边△ABC， ∴AB＝BC＝CA，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 点D，E分别是BC，AC边的中点，AB的中点H， ∴AH＝HB＝BD＝DC＝CE＝EABCACAB， ∴△AHE，△BHD都是等边三角形， ∴∠AHE＝∠GHI＝∠B＝∠BDH＝60°，DH＝BD， ∵DI⊥AB， ∴∠HGI＝∠HDI＝∠BDI＝30°，HG＝HD， ∴IG＝ID， ∴点G是点D关于AB的对称点， ∴当F与H重合时，FD+FE取得最小值，此时∠AFE＝∠AHE＝60°， 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.7 综合与实践—最短路径 教学目标 1. 掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线的距离最短。 2. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。 教学重难点 1. 重点 （1） 最短路径的基本原理与基本作图； （2） 利用相关知识点进行最短路径有关的计算。 2. 难点 （1）最短路径的基本作图； （2）最短路径的有关计算。 知识点01 最短路径的基本原理 1. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 。如图， 号线最短 ②点到直线的距离 。如图， 最短。 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。如图，MN是垂直平分线，CA= 。 知识点02 利用轴对称解决最短路径问题 1. 两点一线型（两点在直线的异侧）： 问题 如图，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。 作法 如图，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。 结论 PA＋PB最小 原理及证明 两点之间，线段最短 2. 两点一线型（两点在直线的同侧）： 问题 如图：直线同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。 作法 如图，作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。 结论 MP＋MQ最小 原理及证明 ∵P与P’关于直线l对称 ∴直线l是PP’的 ∴MP MP’ ∴MP＋MQ＝ ’ ＋MQ＝ 。 ∴MP＋MQ此时有最小值，为 的长度 【即学即练1】 1．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用AB表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是12平方单位，腰AB的垂直平分线EF交AB于E，交AC于F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 3. 一点两线型： 问题 如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。 作法 如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点 结论 △PAB的周长最小 原理及证明 ∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称 ∴OM是PP’的 ，ON是PP’’的 。 ∴AP AP’，BP BP’’ ∴＝ ＋AB＋ ’ ＝ ’ ∴△PAB的周长最小。 【即学即练1】 3．已知P为∠O内一定点，点A，B分别在∠O的两边上，则下列图形中△PAB的周长最小的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（　　） A．1.5 B．3 C． D． 4. 两点两线型： 问题 如图，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。 作法 如图，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。 结论 四边形PQMN的周长最小 原理及证明 ∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称 ∴OA是QD的 ，OB是PC的 。 ∴MD MQ，NP NC。 ＝PQ＋ ＋MN＋ ＝PQ＋ 。 ∴四边形PQMN的周长最小。 【即学即练1】 5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 【即学即练2】 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A．45° B．90° C．75° D．135° 知识点03 利用平移解决造桥选址问题 1. 造桥选址问题： 问题 如图，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短。 作法 如图，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点 【即学即练1】 7．直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥EF（桥EF与河的两岸l1，l2垂直），使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小．则下列图中满足条件的是（　　） A． B． C． D． 题型01 最短路径的基本作图 【典例1】如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂P，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂P的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处． 同学乙：作A点关于直线MN对称的A′点，再作B点关于直线l对称的B′点，连接A′B′交直线MN于Q点，交直线l于P点，则路径A→Q→P→B为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 【变式3】如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法． 【变式4】（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小． （2）如图2，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝10．请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得△PQR的周长最小．要求：画出图形，并计算这个最小值是 　 　 ． 【变式5】利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点A′，线段A′B与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线APB是最短的． （1）如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． （2）如图，已知∠AOB及其内部一点P，试在OA，OB上分别确定点M，N，使PM+PN+MN最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【变式6】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： （1）分别写出点A，点B，点C的坐标； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（注意标出对应点字母）； （3）求△ABC的面积； （4）在x轴上找一点P，使AP+BP最小，在图中画出点P，并写出点P坐标．（不限作图工具，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）． 题型02 与最短路径有关的计算 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，S△ABC＝36，直线EF垂直平分线段AC，若点D为边BC的中点，M为直线EF上一动点，则△MCD的周长的最小值为（　　） A．15 B．14 C．13 D．12 【变式1】如图，已知∠AOB＝30°，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE的周长最小值等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝8，AD平分∠BAC，∠BAD＝15°，点P、Q分别为边AD，AB上的动点，连接BP，PQ，则BP+PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（　　） A．55° B．50° C．40° D．45° 【变式4】如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．84° B．88° C．90° D．96° 【变式5】如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC边的中点，点F是AB边上一动点，连接FD，FE．当FD+FE取得最小值时，∠AFE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $