第11讲 抛物线（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026-2027学年新高二上学期数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第11讲 抛物线（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：抛物线的定义 知识点02：抛物线的标准方程 知识点03：抛物线的几何性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：抛物线定义的理解 题型02：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型03：根据抛物线方程求焦点或准线 题型04：抛物线的焦半径公式 题型05：求抛物线的标准方程 题型06：抛物线的顶点、开口方向 题型07：抛物线的范围 题型08：抛物线的对称性 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】抛物线的定义 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线. 温馨提示　1.定义中的条件:定点F不在定直线l上不能忽略. 2.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 【例1】已知平面内定点，定直线，动点满足到与直线的距离相等，求证：动点的轨迹为抛物线。 【知识点02】抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) x =- y2=-2px(p>0) x = x2=2py(p>0) y =- x2=-2py(p>0) y = 温馨提示　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离(也叫焦准距). (2)焦点位置:一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定. (3)由抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,能实现点点距与点线距之间的转化. 【例2】已知抛物线焦点为，求该抛物线的标准方程及准线方程。 【知识点03】抛物线的几何性质 1.抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x=- x= y=- y= 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e==1(其中M是抛物线上一点,d表示M到准线的距离) 2.通径:过焦点且与对称轴垂直的弦叫通径,通径长等于2p. 温馨提示　(1)只有焦点在坐标轴上,顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程; (2)抛物线与双曲线不同,抛物线没有渐近线; (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线; (4)所有抛物线的离心率均为1. (5)利用顶点和通径即可作出抛物线的简图. 【例3】已知抛物线，点在抛物线上，求点到抛物线焦点的距离（焦半径长）。 【题型01】抛物线定义的理解 【典例1-1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是抛物线上一点，若点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（24-25高三上·江苏淮安·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为______. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏扬州·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则的值为_________. 【题型02】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【典例2-1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是__________． 【变式2-2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为__________. 【变式2-3】求抛物线上一点到两点的距离之和的最小值． 【题型03】根据抛物线方程求焦点或准线 【典例3-1】（25-26高二上·江苏常州·期中）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）抛物线的方程为，则（    ） A．其焦点坐标是 B．其焦点坐标是 C．其准线方程是 D．其准线方程是 【变式3-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)． 【题型04】抛物线的焦半径公式 【典例4-1】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线的焦点是是抛物线上一点，若，则点的横坐标为（    ） A．9 B．12 C．3 D．6 【变式4-1】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上一点P到焦点F的距离为12，则点P的横坐标为________. 【变式4-3】已知抛物线上一点到焦点的距离为，求该点的坐标． 【题型05】求抛物线的标准方程 【典例5-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）准线为的抛物线的标准方程是_______________ 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【题型06】抛物线的顶点、开口方向 【典例6-1】对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式6-1】下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式6-2】（多选）（24-25高二下·甘肃定西·期末）若方程表示的曲线是抛物线，则（　　） A． B．的顶点坐标为 C．的焦点坐标为 D．直线为的准线 【变式6-3】在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【题型07】抛物线的范围 【典例7-1】一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为 【变式7-1】若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【变式7-2】已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型08】抛物线的对称性 【典例8-1】抛物线的对称轴是直线 A． B． C． D． 【变式8-1】已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8-2】已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 【变式8-3】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 知识点01 抛物线的定义（核心解题依据） 1. 严格定义 平面内，到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等，且定点不在定直线上的点的轨迹叫做抛物线。 2. 定义核心公式（万能转化公式） 设抛物线上任意一点，点到准线距离为，则： 3. 关键限定条件 若定点，动点轨迹为直线，不是抛物线，此为判定轨迹的核心前提。 4. 定义核心用途 实现抛物线上点到焦点距离与点到准线距离的相互转化，简化距离计算。 知识点02 抛物线的标准方程 1. 基础参数说明 规定，的几何意义：焦点到准线的垂直距离。 2. 四大标准方程（必背微软公式） 1. 开口向右：，焦点，准线 2. 开口向左：，焦点，准线 3. 开口向上：，焦点，准线 4. 开口向下：，焦点，准线 3. 快速判定规律 ① 一次项对应对称轴：为一次项，对称轴为轴；为一次项，对称轴为轴； ② 一次项系数正负决定开口方向：正半轴开口正向，负半轴开口负向； ③ 恒为正数，方程符号仅改变开口方向，不改变正负。 知识点03 抛物线的几何性质 以原点为顶点、对称轴为坐标轴的标准抛物线通用性质： 1. 基础通用性质 ① 顶点：所有标准抛物线唯一顶点为坐标原点； ② 离心率：抛物线为单离心率曲线，恒满足 ； ③ 对称性：仅一条对称轴，无对称中心。 2. 分类型定义域与值域 ① ：定义域，值域； ② ：定义域，值域； ③ ：定义域，值域； ④ ：定义域，值域。 3. 核心焦半径公式（高频考点） 设抛物线上任意一点： ① 开口向右： ② 开口向左： ③ 开口向上： ④ 开口向下： 知识点04本节高频易错点总结 易错点1：忽略抛物线定义前提，未验证“定点不在定直线上”，盲目判定轨迹为抛物线。 易错点2：混淆与，由方程求参数时，误将一次项系数直接当作。 易错点3：记错焦半径公式，不分开口方向统一套用公式，导致距离计算错误。 易错点4：混淆对称轴与一次项关系，无法快速判断抛物线开口方向与焦点位置。 易错点5：误以为抛物线有对称中心，实际抛物线只有对称轴、无对称中心。 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 4．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高二上·江苏徐州·期末）若抛物线上一点到直线的距离为5，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线方程为，且经过原点，则（   ） A． B． C． D． 7．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 8．（25-26高二上·江苏·期中）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 10．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 11．已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称 C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏盐城·期中）若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 13．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）已知抛物线上一点，则点到该抛物线焦点的距离为___________． 14．已知抛物线的焦点在y轴上，点 是抛物线上的一点，M到焦点的距离是5，则m的值为_______抛物线的标准方程为_______,准线方程为_______． 四、解答题 15．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程是； (3)对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4． 16．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线. （1）； （2）； （3）． 通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系． 17．若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程. 18．已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点 ，求的最小值： 19．已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 抛物线（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：抛物线的定义 知识点02：抛物线的标准方程 知识点03：抛物线的几何性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：抛物线定义的理解 题型02：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型03：根据抛物线方程求焦点或准线 题型04：抛物线的焦半径公式 题型05：求抛物线的标准方程 题型06：抛物线的顶点、开口方向 题型07：抛物线的范围 题型08：抛物线的对称性 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】抛物线的定义 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线. 温馨提示　1.定义中的条件:定点F不在定直线l上不能忽略. 2.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 【例1】已知平面内定点，定直线，动点满足到与直线的距离相等，求证：动点的轨迹为抛物线。 解：步骤1：列出距离公式 动点到焦点的距离： 动点到准线的距离： 步骤2：根据抛物线定义列等式 由得： 步骤3：等式化简 两边平方去根号： 展开整理： 消项化简得： 步骤4：结论判定 定点不在定直线上，且动点轨迹符合抛物线特征，故动点的轨迹为抛物线。 最终结论：轨迹为抛物线，方程为。 【知识点02】抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) x =- y2=-2px(p>0) x = x2=2py(p>0) y =- x2=-2py(p>0) y = 温馨提示　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离(也叫焦准距). (2)焦点位置:一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定. (3)由抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,能实现点点距与点线距之间的转化. 【例2】已知抛物线焦点为，求该抛物线的标准方程及准线方程。 解：步骤1：判断抛物线类型 焦点在轴正半轴，抛物线开口向上，标准方程形式为。 步骤2：求参数 由焦点坐标，得： 步骤3：代入写出标准方程 将代入得： 步骤4：求准线方程 开口向上抛物线准线公式： 代入得准线： 最终答案：标准方程，准线方程。 【知识点03】抛物线的几何性质 1.抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x=- x= y=- y= 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e==1(其中M是抛物线上一点,d表示M到准线的距离) 2.通径:过焦点且与对称轴垂直的弦叫通径,通径长等于2p. 温馨提示　(1)只有焦点在坐标轴上,顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程; (2)抛物线与双曲线不同,抛物线没有渐近线; (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线; (4)所有抛物线的离心率均为1. (5)利用顶点和通径即可作出抛物线的简图. 【例3】已知抛物线，点在抛物线上，求点到抛物线焦点的距离（焦半径长）。 解：步骤1：提取抛物线参数 抛物线方程，对应标准式， 可得。 步骤2：明确焦半径公式 开口向右抛物线焦半径公式： 已知点横坐标，。 步骤3：代入计算 最终答案：点到焦点的距离为。 【题型01】抛物线定义的理解 【典例1-1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程的定义即可得到答案. 【详解】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5， 所以点到直线的距离为7． 故选：A． 【变式1-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是抛物线上一点，若点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由抛物线定义即可求解. 【详解】由题可得点横坐标为4，点P到准线距离为， 所以点到该抛物线焦点的距离是. 故选：C 【变式1-2】（24-25高三上·江苏淮安·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为______. 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义计算可得结果. 【详解】由题意得，抛物线准线方程为. 设，根据抛物线定义得， ∴. 故答案为：4. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏扬州·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则的值为_________. 【答案】4 【分析】由抛物线的定义知，且，得为等边三角形，从而，在直角三角形求解即可. 【详解】如图，    由抛物线的定义可知：， 又∵， ∴，则为等边三角形， 又，则， ∴，则. 故答案为：4. 【题型02】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【典例2-1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作与抛物线的准线垂直，垂足为，，当P，Q，F共线时，取得最大值，由此计算可得． 【详解】如图，过作与抛物线的准线垂直，垂足为，连接，则抛物线上一点P到直线的距离， ∴当P，Q，F（Q在P,F之间）共线时，取得最大值， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2-1】抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是__________． 【答案】4 【分析】作准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时取最大值. 【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为， 作准线l，M为垂足，又知， 由抛物线的定义可得， 故当P，A，M三点共线时，取最大值， 最大值为． 故答案为：4.    【变式2-2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】设抛物线的准线为，则. 如图，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 则，又， 当且仅当共线且在之间时等号成立， 故的最小值为12， 故答案为：. 【变式2-3】求抛物线上一点到两点的距离之和的最小值． 【答案】 【分析】数形结合，根据抛物线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可知，点是该抛物线的焦点，准线方程为， 过作直线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知：， 于是， 所以当三点共线时，到两点的距离之和最小，最小值为. 【题型03】根据抛物线方程求焦点或准线 【典例3-1】（25-26高二上·江苏常州·期中）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的方程可得答案. 【详解】因为抛物线的开口向左， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的几何性质计算准线方程即可； 【详解】因为抛物线焦点在轴正半轴上，且， 所以准线方程为． 故选：A． 【变式3-2】（多选）抛物线的方程为，则（    ） A．其焦点坐标是 B．其焦点坐标是 C．其准线方程是 D．其准线方程是 【答案】AC 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可判断出答案, 【详解】由，得， 故准线方程为，其焦点坐标是，故A，C正确，B，D错误， 故选：AC 【变式3-3】（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2)焦点坐标为，准线方程为． (3)焦点坐标为，准线方程为． 【分析】（1）（2）（3）根据抛物线的焦点坐标和准线方程的求法即可得到答案. 【详解】（1）对于，焦点在轴正半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． （2）对于，焦点在轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． （3）对于，即，焦点在轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． 【题型04】抛物线的焦半径公式 【典例4-1】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线的焦点是是抛物线上一点，若，则点的横坐标为（    ） A．9 B．12 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式求解. 【详解】，则， 设的横坐标为，根据抛物线的焦半径公式，，解得. 故选：D 【变式4-1】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，准线方程为， 因为为该抛物线上一点，由抛物线的定义可得. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上一点P到焦点F的距离为12，则点P的横坐标为________. 【答案】9 【分析】根据焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线的焦点，准线. 因为点到焦点的距离为12， 所以点到准线的距离为，则. 所以点的横坐标为. 故答案为： 【变式4-3】已知抛物线上一点到焦点的距离为，求该点的坐标． 【答案】或 【分析】根据焦半径公式代入求解横坐标，再代入抛物线方程求解纵坐标，即可得该点的坐标. 【详解】由抛物线方程得，，因为抛物线上一点到焦点的距离为，由焦半径公式可得，代入抛物线方程得，所以该点的坐标为或. 【题型05】求抛物线的标准方程 【典例5-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的右焦点坐标进而得抛物线的焦点坐标，即可得抛物线方程. 【详解】双曲线的右焦点为，所以抛物线的焦点为， 所以抛物线的方程为：, 故选：C 【变式5-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）准线为的抛物线的标准方程是_______________ 【答案】 【分析】根据准线方程写出抛物线方程即可. 【详解】由抛物线的准线为，故，则抛物线方程为. 所以抛物线标准方程为. 故答案为： 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 【变式5-3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； （4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 故， 故抛物线标准方程为. 【题型06】抛物线的顶点、开口方向 【典例6-1】对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【变式6-1】下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题. 【变式6-2】（多选）（24-25高二下·甘肃定西·期末）若方程表示的曲线是抛物线，则（　　） A． B．的顶点坐标为 C．的焦点坐标为 D．直线为的准线 【答案】ABD 【分析】方程可化为，几何意义为点到的距离与点到直线的距离之比为，结合题意知为抛物线，即可求出，利用抛物线定义及图象即可判断其它选项. 【详解】由方程易得，方程可化为， 即，几何意义为点到的距离与点到直线的距离之比为， 由题意知方程表示的曲线为抛物线，则，解得，所以A正确； 由抛物线定义可知，的焦点坐标为，所以C错误； 由抛物线定义可知，的准线方程为，所以D正确； 经过焦点且与直线垂直的直线方程为， 即曲线的对称轴为，设直线与直线的交点为， 联立，解得，所以点坐标为， 的顶点为点与点的中点，所以的顶点坐标为，所以B正确. 故选：ABD. 【变式6-3】在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【答案】答案见解析 【分析】在同一坐标系下画出抛物线，和图象，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系下画出抛物线，和图象， 由图象可得，当方程中的系数越大，抛物线的开口就越大.    【题型07】抛物线的范围 【典例7-1】一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为 【答案】0＜r≤1 【详解】设小球圆心（0，y0） 抛物线上点（x，y） 点到圆心距离平方 r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02 若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底, 此二次函数对称轴在纵轴左边， 所以1﹣y0≥0 所以0＜y0≤1 所以0＜r≤1 故答案为0＜r≤1 点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力． 【变式7-1】若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 【变式7-2】已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设 ，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 【变式7-3】已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意，设，，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，得出，，再由题意，表示出，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为过点的直线与抛物线相交于，两点， 所以可设，，直线的方程为：， 由得，因此，， 且， 又直线，的斜率分别为，，点， 所以，， 因此， 当时，； 当时，， 且， 当且仅当，即时，等号成立； 所以； 当时，， 且， 当且仅当，即时，等号成立； 所以， 综上. 故选：C. 【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，涉及基本不等式求最值，属于常考题型. 【题型08】抛物线的对称性 【典例8-1】抛物线的对称轴是直线 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的简单几何性质即可求出． 【详解】因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，属于基础题． 【变式8-1】已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可. 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，且轴， ∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形， 设与轴的交点为， ∴，即， ∴将代入得，解得． 故选：D． 【变式8-2】已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 【变式8-3】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解； （2）设，，结合可得线段关于x轴对称，得，求得，得解. 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 知识点01 抛物线的定义（核心解题依据） 1. 严格定义 平面内，到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等，且定点不在定直线上的点的轨迹叫做抛物线。 2. 定义核心公式（万能转化公式） 设抛物线上任意一点，点到准线距离为，则： 3. 关键限定条件 若定点，动点轨迹为直线，不是抛物线，此为判定轨迹的核心前提。 4. 定义核心用途 实现抛物线上点到焦点距离与点到准线距离的相互转化，简化距离计算。 知识点02 抛物线的标准方程 1. 基础参数说明 规定，的几何意义：焦点到准线的垂直距离。 2. 四大标准方程（必背微软公式） 1. 开口向右：，焦点，准线 2. 开口向左：，焦点，准线 3. 开口向上：，焦点，准线 4. 开口向下：，焦点，准线 3. 快速判定规律 ① 一次项对应对称轴：为一次项，对称轴为轴；为一次项，对称轴为轴； ② 一次项系数正负决定开口方向：正半轴开口正向，负半轴开口负向； ③ 恒为正数，方程符号仅改变开口方向，不改变正负。 知识点03 抛物线的几何性质 以原点为顶点、对称轴为坐标轴的标准抛物线通用性质： 1. 基础通用性质 ① 顶点：所有标准抛物线唯一顶点为坐标原点； ② 离心率：抛物线为单离心率曲线，恒满足 ； ③ 对称性：仅一条对称轴，无对称中心。 2. 分类型定义域与值域 ① ：定义域，值域； ② ：定义域，值域； ③ ：定义域，值域； ④ ：定义域，值域。 3. 核心焦半径公式（高频考点） 设抛物线上任意一点： ① 开口向右： ② 开口向左： ③ 开口向上： ④ 开口向下： 知识点04本节高频易错点总结 易错点1：忽略抛物线定义前提，未验证“定点不在定直线上”，盲目判定轨迹为抛物线。 易错点2：混淆与，由方程求参数时，误将一次项系数直接当作。 易错点3：记错焦半径公式，不分开口方向统一套用公式，导致距离计算错误。 易错点4：混淆对称轴与一次项关系，无法快速判断抛物线开口方向与焦点位置。 易错点5：误以为抛物线有对称中心，实际抛物线只有对称轴、无对称中心。 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点坐标公式直接求解即可. 【详解】由题意得，由焦点坐标公式知焦点坐标为,即 故选：D 3．对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点. 【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为. 故选A项. 【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题. 4．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D 【点睛】易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论. 5．（25-26高二上·江苏徐州·期末）若抛物线上一点到直线的距离为5，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由抛物线的定义知：点到抛物线焦点的距离等于点到准线的距离. 【详解】因为抛物线方程为，所以该抛物线准线方程为， 设， 因为点到直线的距离为5，所以，解得或， 又因为点在抛物线上，所以，故 所以点到准线的距离为，即到抛物线焦点的距离为. 故选：B. 6．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线方程为，且经过原点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质，利用原点到焦点的距离等于原点到准线的距离，再利用点到直线的距离公式求解． 【详解】已知原点在抛物线上，则到焦点的距离等于到准线的距离， 即，故B正确． 故选：B． 7．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 8．（25-26高二上·江苏·期中）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【详解】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 10．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】AB 【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D． 【详解】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：AB． 11．已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称 C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义得到，然后根据抛物线的图象即可得到当在原点时，最小，即可判断A选项；根据抛物线的图象即可判断BD选项；根据抛物线的定义和几何知识可以得到当三点共线时最小，然后求最小值即可判断C选项. 【详解】 作出抛物线的准线，过作的垂线，垂足为，则. 当在原点时，最小为1，A错误； 易知抛物线关于轴对称，B错误； ，∴当三点共线时最小，最小值为到准线的距离为4，C正确. 点在抛物线内，故只有当过的直线平行于对称轴轴时，过的直线与抛物线有一个公共点，D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏盐城·期中）若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 【答案】 【分析】确定准线方程，结合抛物线的定义确定点P的纵坐标，代入即可求解. 【详解】由题可知抛物线即的准线方程为. 设点，根据抛物线的定义可知，即. 由抛物线方程可得，即，所以点P到y轴的距离为. 故答案为： 13．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）已知抛物线上一点，则点到该抛物线焦点的距离为___________． 【答案】 【分析】根据抛物线方程得抛物线标准方程，从而得抛物线的焦准距的值，再根据抛物线的定义得所求即可. 【详解】抛物线的标准方程为：， 则抛物线中， 由抛物线的定义可得抛物线上的点 到该抛物线焦点的距离为. 故答案为：. 14．已知抛物线的焦点在y轴上，点 是抛物线上的一点，M到焦点的距离是5，则m的值为_______抛物线的标准方程为_______,准线方程为_______． 【答案】 【详解】设抛物线方程为 ，因为M到焦点的距离是5，所以 ，所以抛物线的标准方程为，准线方程为；因为 四、解答题 15．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程是； (3)对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由题意设出抛物线的方程，再根据焦点坐标求出即可得出答案. (2) 由题意设出抛物线的方程，再根据准线方程求出即可得出答案. (3) 由题意设出抛物线的方程，再根据的几何意义即可得出答案. 【详解】（1）由题意设抛物线的方程为 由焦点为，则，则 所以抛物线的方程为： （2）由题意设抛物线的方程为 由抛物线的准线方程是，即，则 所以抛物线的方程为： （3）由题意设抛物线的方程为或 由焦点到准线的距离是4，则 所以抛物线的方程为：或 16．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线. （1）； （2）； （3）． 通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系． 【答案】答案见解析. 【分析】做出抛物线，根据图象得出结论. 【详解】在同一平面直角坐标系内做出抛物线，如图，    通过图象可以看出来，当x的系数为正数且越大时，抛物线的开口向右且开口越大. 17．若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 由已知可得圆的圆心为，半径． 因为两圆外切，所以． 又动圆与已知直线相切， 所以圆心到直线的距离， 所以， 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 且，故动圆圆心的轨迹方程为.    18．已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点 ，求的最小值： 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求解. （2）利用两点间距离公式，讨论参数求解. 【详解】（1）由可知，，则，所以焦点，准线为. （2）设点，则有， 则. 因为， 所以当，即时，， ； 当，即时，， . 综上所述，. 19．已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题意可得上的任意点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义即可求解； （2）由题意可设直线方程为,由题可得与有两个不同交点,根据韦达定理及根的判别式可得的中点坐标及的取值范围，根据的中点坐标在直线上即可求解. 【详解】（1）因为上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1， 所以上的任意点到点的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点的抛物线. 因为曲线在轴右侧， 所以曲线的方程是. （2）设关于直线对称，所以. 设直线方程为, 代入,得. 因为与有两个不同交点, 所以,解得. 当直线经过原点时，, 所以且. 所以, , 所以中点坐标为. 又中点坐标为在直线上, 所以,即, 因为且，所以且. 所以的取值范国是.    1 学科网（北京）股份有限公司 $