3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线与抛物线的位置关系，涵盖交点判定、弦长计算、中点弦及最值问题。通过“思考”问题导入，衔接抛物线几何性质，以问题链为支架，引导学生从基础认知逐步深入综合应用。 其特色在于以数学眼光创设认知冲突，如“只有一个交点是否相切”培养抽象能力，通过例题推理（联立方程、判别式应用）发展数学思维，结合焦点弦性质等模型提升数学语言表达。采用母题探究、跟踪训练，助力学生掌握解题方法，教师可直接用于课堂，提升教学效果。

第3章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线 1 3.3.2 抛物线的几何性质 第2课时 直线与抛物线的位置关系 2 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 3 PART 01 新知学习 探究 4 一 直线与抛物线的交点 思考 直线与抛物线只有一个交点则直线与抛物线相切,这种说法对吗? 提示 不对. 直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分 条件． 返回导航 5 ［知识梳理］ 设直线，抛物线： ，将直线方程与抛 物线方程联立整理成关于的方程 . （1）若 ，当①_______时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当②_______时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当③_______时，直线与抛物线相离，没有公共点． （2）若 ，直线与抛物线有④______公共点，此时直线平行于抛物线 的对称轴或与对称轴重合． 一个 返回导航 6 ［例1］ 已知直线，抛物线，当为何值时， 与 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 【解】联立消去 ， 得 当时，式只有一个解 ， 所以直线与只有一个公共点, ， 此时直线平行于 轴． 当时， 式是一个一元二次方程， 返回导航 7 ． ①当，即，且 时， 与有两个公共点，此时直线与 相交； ②当，即时，与有一个公共点，此时直线与 相切； ③当，即时，与没有公共点，此时直线与 相离． 综上所述，当或0时，与 有一个公共点； 当，且时，与 有两个公共点； 当时，与 没有公共点． 返回导航 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系 数不等于零时，用判别式 来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物 线相交于一点． 返回导航 9 ［跟踪训练1］ （多选）若过点的直线与抛物线 只有一个 交点，则直线 的方程为( ) A. B. C. D. 解析：选.当直线的斜率不存在时，直线 满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，联立 消去可得，因为直线 与 抛物线 只有一个交点， 所以,所以或，所以直线的方程为 或 .综上，直线的方程为，或或 .故选 . √ √ √ 返回导航 10 二 弦长问题及中点弦问题 ［例2］ 已知抛物线,过此抛物线焦点的直线与抛物线交于 ， 两点，且 ,求 所在直线的方程. 【解】 由题意知焦点 , 设 , . 若轴，则 ,不满足题意.所以直线 的斜率存在且不 为零，设为 ， 则直线的方程为, . 返回导航 11 联立 方法一:消去，整理得 . 因为，由根与系数的关系得， .所以 ，解得 . 所以所在直线的方程为或 . 返回导航 12 方法二：消去 ，整理得.因为 ,所以由 根与系数的关系得 .所以 ,解得.所以 所在直线的方程为或 . 返回导航 13 母题探究 将本例中的“过此抛物线焦点的直线与抛物线交于 ， 两点， 且”改为“过点且斜率为2的直线与抛物线相交于， 两 点”，求 的长. 解：直线的方程为，联立直线 与抛物 线的方程 解得或所以 的长为 . 返回导航 14 （1）求弦长问题的方法 ①一般弦长：或 . ②焦点弦长：在抛物线 中，设过焦点的弦的端点为 ,,则 . （2）中点弦问题的解法 涉及抛物线弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 返回导航 15 ［跟踪训练2］ （1）设抛物线的焦点为，过点 且斜率 为1的直线交抛物线于,两点，则 的面积为( ) A. B. C. D. 解析：选D.易知过点,的直线为：,设, ,由 得,则, ,因为 , ,则 .故选D. √ 返回导航 16 （2）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为.直线与抛物线 相 交于，两点，若的中点为，则直线 的方程为__________. 解析：由题意知抛物线的方程为 ， 设直线与抛物线的交点为 ， ， 则有且 ， 两式相减得， . 返回导航 17 因为的中点为 ， 所以 ， 所以 ， 所以直线的方程为 ， 即 . 返回导航 18 三 与抛物线有关的最值问题 ［例3］ 如图，已知直线交抛物线 于 ，两点，试在抛物线这段曲线上求一点，使 的面积最大，并求出这个最大面积. 【解】 由解得或 由题图可知，， ， 则 . 设为抛物线这段曲线上一点，为点到直线 的距离， 返回导航 19 则 . 因为，所以 . 所以 . 从而当时， ， . 因此，当点的坐标为，时，的面积取得最大值，最大值为 . 返回导航 与抛物线有关的最值问题的解题思路 一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化， 数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代 换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决. 返回导航 21 ［跟踪训练3］ 求抛物线上的点到直线 的最小距离. 解：方法一:设 为抛物线上的点， 则点到直线 的距离 . 所以当时，有最小值 . 返回导航 22 方法二：如图，设与直线 平行的抛物 线的切线方程为 ，由 消去得 ， 所以，所以 . 所以所求最小距离为 . 返回导航 23 拓视野 抛物线焦点弦性质的应用 抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设 是过抛物线 焦点的弦，若， ，则 （1）， ； （2）以弦 为直径的圆与准线相切； （3）是直线 的倾斜 角， ,为直线的斜率 ； （4） 为定值. 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷. 返回导航 24 ［典例］ （1）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于， 两点，若，则 ( ) A.4 B. C.5 D.6 解析：因为， ， 解得， ， 故 . √ 返回导航 25 （2）已知抛物线的顶点在原点，以 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的直线被抛物线所截得的弦长为8，则抛物线的方程为__________. 解析：当抛物线的方程为时，直线方程为 . 设直线交抛物线于，两点，则 ，所以 ，所以，故所求抛物线的方程为 . 当抛物线的方程为 时，同理可求得抛物线的方程为 . 综上，抛物线的方程为 . 返回导航 26 （1）解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线的定义在其中的应用,通 过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系 进行求解. （2）在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解 中可以灵活选择，从而实现快速求解，为了不“小题大做”，熟悉一些常见 的二级结论尤为重要. 返回导航 27 ［练习1］ 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线 交于，两点，点为坐标原点，则 是( ) A.直角 B.锐角 C.钝角 D.与点， 位置有关 √ 返回导航 28 解析：选C.方法一:抛物线的焦点的坐标为 ，由题意分析可知，直 线 的斜率一定存在. 设，，设直线的方程为，联立 得，所以， ，所以 ，所以 为钝角. 方法二：抛物线焦点在轴上，则， ，则 ，故 为钝角. 返回导航 29 ［练习2］ （多选）已知抛物线上三点 ， ，， 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是( ) A.抛物线的准线方程为 B.若，则 C.若，，三点共线，则 D.若，则的中点到 轴距离的最小值为2 √ √ √ 返回导航 30 解析：选.把点代入抛物线，得 ，所以抛物线的 准线方程为 ，故A正确； 因为，，，，所以 ， ，，又由，得 ， 所以 ，故B正确； 因为，，三点共线，所以是焦点弦，所以 ，故C 不正确； 设的中点为，因为 ， ，所以，得 ， 即的中点到 轴距离的最小值为2，故D正确. 返回导航 31 PART 02 课堂巩固 自测 32 1.过抛物线的焦点作直线交于， 两点， 若，则 ( ) A.16 B.12 C.10 D.8 解析：选B.由题意得 ， 则 . √ 返回导航 33 2.直线与抛物线有且只有一个公共点，则 ______. 0或1 解析：当 时，直线与抛物线只有一个公共点； 当时，联立方程消去 ， 得 ， 由题意 ， 解得 . 综上，或 . 返回导航 34 3.若直线与抛物线交于，两点，则线段 的中点坐标 是______. 解析：由得， ， 设， ， 则， ， 故线段的中点坐标为 ． 返回导航 35 4.抛物线上一点到直线 距离的最小值为____. 解析：设直线与相切，联立与 得, ，由，得，则直线 为 ， 故直线与之间的距离即为上一点 到直线 距离的最小值，由两平行线间距离公式得,所求距离的最小值为 . 返回导航 36 1.已学习：直线与抛物线的位置关系. 2.须贯通：抛物线的弦长求法，焦点弦问题. 3.应注意：（1）涉及弦长时，忽视判别式 这一隐含条件致错.（2） 忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错. 返回导航 37 $